江西省上饶市广丰区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

广丰区2023-2024学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）1.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念，即可得出正确答案．【详解】解：A.此图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；B.此图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；C.此图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；D.此图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形是指在平面沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握概念是解本题的关键．2.下列方程为一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；、是一元二次方程，故本选项符合题意；、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．3.射击运动员射击一次，命中靶心，这个事件是（）A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.确定性事件【答案】C【解析】【分析】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的定义，解题的关键是学会判断一个事件是何种事件，即可．【详解】∵必然事件：在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件，在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，∴射击运动员射击一次，命中靶心属于随机事件，故选：C．4.如图，是的圆周角，，则的度数为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵是的圆周角，，∴．故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A.函数解析式为 B.蓄电池的电压是18VC.当时， D.当时，【答案】C【解析】【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．【详解】解：设，将代入可得，故A错误；∴蓄电池的电压是36V，故B错误；当时，，该项正确；当当时，，故D错误，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．6.在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（）．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，连接，根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论．【详解】解：连接，，点D为中点，，．，．，，．在和中，，，，．，，．，．，，．，，始终为等腰直角三角形．，．，．∴正确的有4个．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）7.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____________．【答案】（-3，4）【解析】【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．【详解】解：点（3，-4）关于原点对称的点的坐标为（-3，4），故答案为：（-3，4）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．8.二次函数的图象的对称轴是直线___．【答案】【解析】【分析】直接由顶点式可以得到对称轴．【详解】解：由得，二次函数图象的对称轴为直线，故答案为：．【点睛】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，学会通过顶点式得到对称轴是本题的关键，属于基础题型．9.已知方程两个根分别为，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的国际化是掌握一元二次方程根与系数的关系，则，，即可．【详解】∵方程的两个根为，，∴，，∴，故答案为：．10.如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，．若，，，则_________．【答案】12【解析】【分析】由则可以得出，于是可得，根据已知数据即可求出BC的长．【详解】，,即.故答案为.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行、比例、相似三者之间的相互推出关系是解题关键．11.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为______【答案】8【解析】【分析】设A的坐标为（a，），则B的坐标为（3a，），然后求解面积即可.【详解】解：设A的坐标为（a，）∴∵四边形为矩形∴∴B的纵坐标为∴B的横坐标为∴∴矩形ABCD的面积=故答案为：8.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与矩形的面积公式，反比例函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.12.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与轴相切．【答案】2或6【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．设与坐标轴的切点为D，根据已知条件得到，推出是等腰直角三角形，，①当与x轴相切时，②如图，与x轴和y轴都相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．【详解】解：设与坐标轴的切点为D，∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，点，时，时，时，，，，，，是等腰直角三角形，，①当与x轴相切时，∵点D是切点，的半径是2，轴，，等腰直角三角形，，，∵点P的速度为每秒个单位长度，；②如图，与x轴和y轴都相切时，，，∵点P的速度为每秒个单位长度，；综上所述，则当或6秒时，与x轴相切，故答案为：2或6．三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分）13.解方程．（1）；（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解法．（1）利用直接开平方法即可求解；（2）先移项，再利用因式分解法即可求解．【小问1详解】解：，移项得，∴，；【小问2详解】解：，移项得，因式分解得，∴，．14.“马家柚”是江西省上饶市广丰区的特色水果，今年柚子成熟，农业合作社以原价每千克20元对外销售，为了减少库存，同时回馈广大市民的厚爱，决定降价销售，经过两次降价后，售价为每千克16.2元．求平均每次降价的百分率．【答案】平均每次降价的百分率为【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列一元二次方程求解即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率为，依题意得：，解得：，，（不合题意，舍去）．答：平均每次降价的百分率为．15.如图，中，，，．E是上一点，，，垂足为D．求的长．【答案】4【解析】【分析】通过证明，可得，即可求解.【详解】解：∵∴，∴，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明是本题的关键．16.随着教育部对学考体测的重视以及学考体测时间的日渐临近，某校决定利用大课间对九年级全体学生开设A．1000米跑步；B．立定跳远；C．一分钟跳绳这三项运动，并进行专项训练．甲、乙两位同学决定从这三项运动中只选择一项进行训练，每项运动被选择的可能性相同．（1）甲选择立定跳远的概率为______．（2）请你用列表法或画树状图法表示甲、乙两位同学选择不同运动项目进行训练的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握列表法和树状图法的步骤．（1）直接根据概率公式进行计算即可；（2）画出树状图，再根据树状图选出符合题意的结果计算概率即可．【小问1详解】解：甲选择立定跳远的概率为；【小问2详解】根据题意，可画树状图如下：由上图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学随机选择不同项目的结果有6种，∴甲、乙两位同学选中相同运动的概率为．17.已知矩形ABCD的顶点A、D在圆上，B、C两点在圆内，请仅用没有刻度的直尺作图．（1）如图1，已知圆心O，请作出直线l⊥AD；（2）如图2，未知圆心O，请作出直线l⊥AD．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析【解析】【详解】解（答案不唯一）：（1）如图1，直线l为所求；（2）如图2，直线l为所求．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；（2）画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）点旋转到点所经过的路径长为【解析】【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点旋转到点为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．小问1详解】解：如图所示△A1B1C1即为所求，；【小问2详解】如图所示△A2B2C2即为所求，；【小问3详解】∵∴点旋转到点所经过的路径长为．【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，熟练掌握和灵活运用这些知识点是解题的关键．19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E．已知C点的坐标是，．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）先由点C的坐标求出反比例函数的解析式，再将点D的坐标代入反比例函数的解析式，点D的坐标．将点C，点D的坐标代入一次函数关系式求出k，b即可求一次函数的解析式；（2）一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值，即一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的取值范围，根据图象即可求解．【小问1详解】（1）把C（6，－1）代入，得，则反比例函数的解析式为，把＝3代入，得，∴D点坐标为（－2，3）．将C（6，－1）、D（－2，3）代入，得，解得，则一次函数的解析式为；【小问2详解】（2）根据函数图象可知，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标求出函数的解析式．20.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝5，求图中阴影部分的周长．【答案】（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；（2）阴影部分的周长＝5+．【解析】【分析】（1）连接OD，OE，AD，证明△OAE≌△ODE，可得∠ODE=∠OAE=90°，即OD⊥ED，所以直线DE与⊙O相切；

（2）根据阴影部分的周长=AE+DE+弧AD，再根据弧长的计算公式即可得出图中阴影部分的周长．【详解】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∵OB＝OD，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，在△AOE和△DOE中：，∴△AOE≌△DOE（SAS）∴∠ODE＝∠OAE＝90°，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O切线；（2）∵DE、AE是⊙O的切线，∴DE＝AE，∵点E是AC的中点，∴DE＝AE＝AC＝2.5，又∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，∴阴影部分的周长＝2.5+2.5+＝5+．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，弧长的计算公式，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质以及弧长的计算公式．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.已知某商品的进价是每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件．据市场调查：售价每涨1元，每星期要少卖出10件．设每件涨价x元，每星期售出该商品所获利润为元．（1）当每件涨价x元时，则每件的利润为______元，每星期售出该商品的件数为______件．（用含x的式子表示）（2）若商场计划每星期的利润是6160元，每件商品应涨价多少元？（3）每件商品涨价多少元，每星期可获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1），（2）若商场计划每星期的利润是6160元，每件商品应涨价2元或8元（3）每件商品涨价5元，每星期可获得利润最大，最大利润是6250元【解析】【分析】（1）根据售价减进价求得每件的利润，再由售价每涨1元，每星期要少卖出10件，可得每星期要少卖出件，从而可求得每星期售出该商品的件数；（2）根据一件的利润乘以总销售量等于总利润列一元二次方程求解即可；（3）设总利润为y元，根据题意列出二次函数，再根据二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：由题意可得，每件的利润为（元），每星期售出该商品的件数为（件），故答案为：，；【小问2详解】解：根据题意，得：，整理，得：，解得，，答：若商场计划每星期的利润是6160元，每件商品应涨价2元或8元；【小问3详解】解：设总利润为y元，根据题意得，，，∴当时，y取得最大值6250，答：每件商品涨价5元，每星期可获得利润最大，最大利润是6250元．22.如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点，B、两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链成一条线段．发现：连接．则与有何位置关系？并说明理由；探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？【答案】发现：，理由见解析；探究：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上【解析】【分析】发现：利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，根据性质，得到对应角相等，运用内错角相等，两直线平行证明即可．探究：过点A作于点，过点作于点，利用等腰三角形判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，计算即可．【详解】解：发现：，理由如下：连接，如下图，立杆相交于点，，又，，，；探究：如下图，过点A作于点，过点作于点，，是等腰三角形，，，，，在中，根据勾股定理可得，，，，，，，，，，，即，解得．答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上．【点睛】本题考