对数函数和性质-对数的公式互化-详尽的讲解

./2.1对数与对数运算1．对数的概念一般地,如果ax＝N<a>0,且a≠1>,那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数．说明：<1>实质上,上述对数表达式,不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式,例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式ax＝N⇔x＝logaN,从而得对数恒等式：alogaN＝N.<2>"log"同"＋""×""eq\r<>"等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面．<3>根据对数的定义,对数logaN<a>0,且a≠1>具有下列性质：①零和负数没有对数,即N>0；②1的对数为零,即loga1＝0；③底的对数等于1,即logaa＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度．<1>基本公式①loga<MN>＝logaM＋logaN<a>0,a≠1,M>0,N>0>,即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和．②logaeq\f<M,N>＝logaM－logaN<a>0,a≠1,M>0,N>0>,即两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数．③logaMn＝n·logaM<a>0,a≠1,M>0,n∈R>,即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．<2>对数的运算性质注意点①必须注意M>0,N>0,例如loga[<－3>×<－4>]是存在的,但是loga<－3>与loga<－4>均不存在,故不能写成loga[<－3>×<－4>]＝loga<－3>＋loga<－4>．②防止出现以下错误：loga<M±N>＝logaM±logaN,loga<M·N>＝logaM·logaN,logaeq\f<M,N>＝eq\f<logaM,logaN>,logaMn＝<logaM>n.3．对数换底公式在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公式：logbN＝eq\f<logcN,logcb><b>0,且b≠1；c>0,且c≠1；N>0>．证明设logbN＝x,则bx＝N.两边取以c为底的对数,得xlogcb＝logcN.所以x＝eq\f<logcN,logcb>,即logbN＝eq\f<logcN,logcb>.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：<1>logbN＝eq\f<1,logNb>或logbN·logNb＝1<N>0,且N≠1；b>0,且b≠1>；<2>logbnNm＝eq\f<m,n>logbN<N>0；b>0,且b≠1；n≠0,m∈R>.题型一正确理解对数运算性质对于a>0且a≠1,下列说法中,正确的是<>①若M＝N,则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN,则M＝N；③若logaM2＝logaN2,则M＝N；④若M＝N,则logaM2＝logaN2.A．①与③B．②与④C．②D．①、②、③、④解析在①中,当M＝N≤0时,logaM与logaN均无意义,因此logaM＝logaN不成立．在②中,当logaM＝logaN时,必有M>0,N>0,且M＝N,因此M＝N成立．在③中,当logaM2＝logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2＝N2,即|M|＝|N|,但未必有M＝N.例如,M＝2,N＝－2时,也有logaM2＝logaN2,但M≠N.在④中,若M＝N＝0,则logaM2与logaN2均无意义,因此logaM2＝logaN2不成立．所以,只有②成立．答案C点评正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：<1>2log32－log3eq\f<32,9>＋log38－5log53；<2>lg25＋eq\f<2,3>lg8＋lg5·lg20＋<lg2>2；<3>eq\f<log5\r<2>·log79,log5\f<1,3>·log7\r<3,4>>.分析利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计算．解<1>原式＝2log32－<log332－log39>＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.<2>原式＝2lg5＋2lg2＋lgeq\f<10,2>·lg<2×10>＋<lg2>2＝2lg<5×2>＋<1－lg2>·<lg2＋1>＋<lg2>2＝2＋1－<lg2>2＋<lg2>2＝3.<3>∵eq\f<log5\r<2>·log79,log5\f<1,3>·log7\r<3,4>>＝eq\f<\f<1,2>log52·2log73,－log53·\f<1,3>log74>＝－eq\f<\f<lg2,lg5>·\f<lg3,lg7>,\f<lg3,lg5>·\f<1,3>·\f<lg4,lg7>>＝－eq\f<3,2>.点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值．题型三对数换底公式的应用计算：<log2125＋log425＋log85><log52＋log254＋log1258>．分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题,在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．解方法一原式＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<log253＋\f<log225,log24>＋\f<log25,log28>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<log52＋\f<log54,log525>＋\f<log58,log5125>>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<3log25＋\f<2log25,2log22>＋\f<log25,3log22>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<log52＋\f<2log52,2log55>＋\f<3log52,3log55>>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<3＋1＋\f<1,3>>>log25·<3log52>＝13log25·eq\f<log22,log25>＝13.方法二原式＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<lg125,lg2>＋\f<lg25,lg4>＋\f<lg5,lg8>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<lg2,lg5>＋\f<lg4,lg25>＋\f<lg8,lg125>>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3lg5,lg2>＋\f<2lg5,2lg2>＋\f<lg5,3lg2>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<lg2,lg5>＋\f<2lg2,2lg5>＋\f<3lg2,3lg5>>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<13lg5,3lg2>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<3\f<lg2,lg5>>>＝13.点评方法一是先将括号内换底,然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下,一次性地统一为常用对数<当然也可以换成其他非1的正数为底>,然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log<x＋3><x2＋3x>＝1,求实数x的值．错解由对数的性质可得x2＋3x＝x＋3.解得x＝1或x＝－3.错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1,这点在解题中忽略了．正解由对数的性质知eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x2＋3x＝x＋3,,x2＋3x>0,,x＋3>0且x＋3≠1.>>解得x＝1,故实数x的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一,主要性质有：loga1＝0,logaa＝1,alogaN＝N<a>0,且a≠1,N>0>．1．<上海高考>方程9x－6·3x－7＝0的解是________．解析∵9x－6·3x－7＝0,即32x－6·3x－7＝0∴<3x－7><3x＋1>＝0∴3x＝7或3x＝－1<舍去>∴x＝log37.答案log372．<XX高考>设g<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<ex,x≤0,,lnx,x>0,>>则geq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<g\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>>>＝____.解析geq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>＝lneq\f<1,2><0,geq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<ln\f<1,2>>>＝elneq\f<1,2>＝eq\f<1,2>,∴geq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<g\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>>>＝eq\f<1,2>.答案eq\f<1,2>1．对数式log<a－3><7－a>＝b,实数a的取值范围是<>A．<－∞,7>B．<3,7>C．<3,4>∪<4,7>D．<3,＋∞>答案C解析由题意得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a－3>0,,a－3≠1,,7－a>0,>>解得3<a<7且a≠4.2．设a＝log32,则log38－2log36用a表示的形式是<>A．a－2B．3a－<1＋a>2C．5a－2D．－a2＋3a－1答案A解析∵a＝log32,∴log38－2log36＝3log32－2<log32＋1>＝3a－2<a＋1>＝a－2.3．log56·log67·log78·log89·log910的值为<>A．1B．lg5C.eq\f<1,lg5>D．1＋lg2答案C解析原式＝eq\f<lg6,lg5>·eq\f<lg7,lg6>·eq\f<lg8,lg7>·eq\f<lg9,lg8>·eq\f<lg10,lg9>＝eq\f<lg10,lg5>＝eq\f<1,lg5>.4．已知loga<a2＋1><loga2a<0,则a的取值范围是<>A．<0,1>B.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>C.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,1>>D．<1,＋∞>答案C解析由题意,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<0<a<1,,2a>1,>>∵a>0,a≠1,loga<a2＋1><loga2a,∴0<a<1.∴eq\f<1,2><a<1.5．已知函数f<x>＝ax－1＋logax<a>0,a≠1>在[1,3]上最大值与最小值之和为a2,则a的值为<>A．4B.eq\f<1,4>C．3D.eq\f<1,3>答案D6．若方程<lgx>2＋<lg7＋lg5>lgx＋lg7·lg5＝0的两根为α,β,则αβ等于<>A．lg7·lg5B．lg35C．35D.eq\f<1,35>答案D解析∵lgα＋lgβ＝－<lg7＋lg5>＝－lg35＝lgeq\f<1,35>∴α·β＝eq\f<1,35>.7．已知f<log2x>＝x,则feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>＝________.答案eq\r<2>解析令log2x＝eq\f<1,2>,则2eq\f<1,2>＝x,∴feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>＝2eq\f<1,2>＝eq\r<2>.8．log<eq\r<2>－1><eq\r<2>＋1>＝________.答案－1解析logeq\r<2>－1<eq\r<2>＋1>＝logeq\r<2>－1eq\f<<\r<2>＋1><\r<2>－1>,\r<2>－1>＝log<eq\r<2>－1>eq\f<1,\r<2>－1>＝－1.9．已知lg2＝0.3010,lg3＝0.4771,lgx＝－2＋0.7781,则x＝________.答案0.06解析∵lg2＝0.3010,lg3＝0.4771,而0.3010＋0.4771＝0.7781,∴lgx＝－2＋lg2＋lg3,即lgx＝lg10－2＋lg6.∴lgx＝lg<6×10－2>,即x＝6×10－2＝0.06.10．<1>已知lgx＋lgy＝2lg<x－2y>,求logeq\r<2>eq\f<x,y>的值；<2>已知log189＝a,18b＝5,试用a,b表示log365.解<1>lgx＋lgy＝2lg<x－2y>,∴xy＝<x－2y>2,即x2－5xy＋4y2＝0.即<x－y><x－4y>＝0,解得x＝y或x＝4y,又∵eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x>0,,y>0,,x－2y>0,>>∴x>2y>0,∴x＝y,应舍去,取x＝4y.则logeq\r<2>eq\f<x,y>＝logeq\r<2>eq\f<4y,y>＝logeq\r<2>4＝eq\f<lg4,lg\r<2>>＝4.<2>∵18b＝5,∴log185＝b,又∵log189＝a,∴log365＝eq\f<log185,lg1836>＝eq\f<b,log18<18×2>>＝eq\f<b,1＋log182>＝eq\f<b,1＋log18\f<18,9>>＝eq\f<b,1＋<1－log189>>＝eq\f<b,2－a>.11．设a,b,c均为不等于1的正数,且ax＝by＝cz,eq\f<1,x>＋eq\f<1,y>＋eq\f<1,z>＝0,求abc的值．解令ax＝by＝cz＝t<t>0且t≠1>,则有eq\f<1,x>＝logta,eq\f<1,y>＝logtb,eq\f<1,z>＝logtc,又eq\f<1,x>＋eq\f<1,y>＋eq\f<1,z>＝0,∴logtabc＝0,∴abc＝1.12．已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的方程x2－2x＋lg<c2－b2>－2lga＋1＝0有等根,试判定△ABC的形状．解∵关于x的方程x2－2x＋lg<c2－b2>－2lga＋1＝0有等根,∴Δ＝0,即4－4[lg<c2－b2>－2lga＋1]＝0.即lg<c2－b2>－2lga＝0,故c2－b2＝a2,∴a2＋b2＝c2,∴△ABC为直角三角形．2．2.1对数与对数运算<一>学习目标1．理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a<a>0且a≠1>的b次幂等于N,就是ab＝N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作b＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数．2．对数的性质有：<1>1的对数为零；<2>底的对数为1；<3>零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数叫做自然对数,log10N可简记为lgN,logeN简记为lnN.4．若a>0,且a≠1,则ab＝N等价于logaN＝b.5．对数恒等式：alogaN＝N<a>0且a≠1>.一、对数式有意义的条件例1求下列各式中x的取值范围：<1>log2<x－10>；<2>log<x－1><x＋2>；<3>log<x＋1><x－1>2.分析由真数大于零,底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式<组>,解之即可．解<1>由题意有x－10>0,∴x>10,即为所求．<2>由题意有eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋2>0,,x－1>0且x－1≠1,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x>－2,,x>1且x≠2,>>∴x>1且x≠2.<3>由题意有eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<<x－1>2>0,,x＋1>0且x＋1≠1,>>解得x>－1且x≠0,x≠1.点评在解决与对数有关的问题时,一定要注意：对数真数大于零,对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1在b＝log<a－2><5－a>中,实数a的取值范围是<>A．a>5或a<2B．2<a<5C．2<a<3或3<a<5D．3<a<4答案C解析由题意得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<5－a>0,a－2>0,a－2≠1>>,∴2<a<5且a≠3.二、对数式与指数式的互化例2将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：<1>54＝625；<2>logeq\f<1,2>8＝－3；<3>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,4>>>－2＝16;<4>log101000＝3.分析利用ax＝N⇔x＝logaN进行互化．解<1>∵54＝625,∴log5625＝4.<2>∵logeq\f<1,2>8＝－3,∴eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>－3＝8.<3>∵eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,4>>>－2＝16,∴logeq\f<1,4>16＝－2.<4>∵log101000＝3,∴103＝1000.点评指数和对数运算是一对互逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用ax＝N⇔x＝logaN进行互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2将下列对数式化为指数式求x值：<1>logx27＝eq\f<3,2>；<2>log2x＝－eq\f<2,3>；<3>log5<log2x>＝0;<4>x＝log27eq\f<1,9>；<5>x＝logeq\f<1,2>16.解<1>由logx27＝eq\f<3,2>,得xeq\f<3,2>＝27,∴x＝27eq\f<2,3>＝32＝9.<2>由log2x＝－eq\f<2,3>,得2－eq\f<2,3>＝x,∴x＝eq\f<1,\r<3,22>>＝eq\f<\r<3,2>,2>.<3>由log5<log2x>＝0,得log2x＝1,∴x＝21＝2.<4>由x＝log27eq\f<1,9>,得27x＝eq\f<1,9>,即33x＝3－2,∴x＝－eq\f<2,3>.<5>由x＝logeq\f<1,2>16,得eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>x＝16,即2－x＝24,∴x＝－4.三、对数恒等式的应用例3<1>alogab·logbc·logcN的值<a,b,c∈R＋,且不等于1,N>0>；<2>4eq\f<1,2><log29－log25>．解<1>原式＝<alogab>logbc·logcN＝blogbc·logcN＝<blogbc>logcN＝clogcN＝N.<2>原式＝2<log29－log25>＝eq\f<2log29,2log25>＝eq\f<9,5>.点评对数恒等式alogaN＝N中要注意格式：<1>它们是同底的；<2>指数中含有对数形式；<3>其值为真数．变式迁移3计算：3log3eq\r<5>＋<eq\r<3>>log3eq\f<1,5>.解原式＝eq\r<5>＋3eq\f<1,2>log3eq\f<1,5>＝eq\r<5>＋<3log3eq\f<1,5>>eq\f<1,2>＝eq\r<5>＋eq\r<\f<1,5>>＝eq\f<6\r<5>,5>.1．一般地,如果a<a>0,a≠1>的b次幂等于N,就是ab＝N,那么b叫做以a为底N的对数,记作logaN＝b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数．2．利用ab＝N⇔b＝logaN<其中a>0,a≠1,N>0>可以进行指数与对数式的互化．3．对数恒等式：alogaN＝N<a>0且a≠1>．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是<>A．100＝1与lg1＝0B．27－eq\f<1,3>＝eq\f<1,3>与log27eq\f<1,3>＝－eq\f<1,3>C．log3eq\f<1,2>＝9与9eq\f<1,2>＝3D．log55＝1与51＝5答案C2．指数式b6＝a<b>0,b≠1>所对应的对数式是<>A．log6a＝aB．log6b＝aC．logab＝6D．logba＝6答案D3．若logx<eq\r<5>－2>＝－1,则x的值为<>A.eq\r<5>－2B.eq\r<5>＋2C.eq\r<5>－2或eq\r<5>＋2D．2－eq\r<5>答案B4．如果f<10x>＝x,则f<3>等于<>A．log310B．lg3C．103D．310答案B解析方法一令10x＝t,则x＝lgt,∴f<t>＝lgt,f<3>＝lg3.方法二令10x＝3,则x＝lg3,∴f<3>＝lg3.5．21＋eq\f<1,2>·log25的值等于<>A．2＋eq\r<5>B．2eq\r<5>C．2＋eq\f<\r<5>,2>D．1＋eq\f<\r<5>,2>答案B解析21＋eq\f<1,2>log25＝2×2eq\f<1,2>log25＝2×2log25eq\f<1,2>＝2×5eq\f<1,2>＝2eq\r<5>.二、填空题6．若5lgx＝25,则x的值为________．答案100解析∵5lgx＝52,∴lgx＝2,∴x＝102＝100.7．设loga2＝m,loga3＝n,则a2m＋n的值为________．答案12解析∵loga2＝m,loga3＝n,∴am＝2,an＝3,∴a2m＋n＝a2m·an＝<am>2·an＝22×3＝12.8．已知lg6≈0.7782,则102.7782≈________.答案600解析102.7782≈102×10lg6＝600.三、解答题9．求下列各式中x的值<1>若log3eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1－2x,9>>>＝1,则求x值；<2>若log2003<x2－1>＝0,则求x值．解<1>∵log3eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1－2x,9>>>＝1,∴eq\f<1－2x,9>＝3∴1－2x＝27,即x＝－13<2>∵log2003<x2－1>＝0∴x2－1＝1,即x2＝2∴x＝±eq\r<2>10．求x的值：<1>x＝logeq\f<\r<2>,2>4；<2>x＝log9eq\r<3>；<3>x＝71－log75；<4>logx8＝－3；<5>logeq\f<1,2>x＝4.解<1>由已知得：eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<2>,2>>>x＝4,∴2－eq\f<1,2>x＝22,－eq\f<x,2>＝2,x＝－4.<2>由已知得：9x＝eq\r<3>,即32x＝3eq\f<1,2>.∴2x＝eq\f<1,2>,x＝eq\f<1,4>.<3>x＝7÷7log75＝7÷5＝eq\f<7,5>.<4>由已知得：x－3＝8,即eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,x>>>3＝23,eq\f<1,x>＝2,x＝eq\f<1,2>.<5>由已知得：x＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>4＝eq\f<1,16>.2.2.1对数与对数运算<二>学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么,<1>loga<MN>＝logaM＋logaN；<2>logaeq\f<M,N>＝logaM－logaN；<3>logaMn＝nlogaM<n∈R>．2．对数换底公式：logab＝eq\f<logcb,logca>.一、正确理解对数运算性质例1若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数有<>①logax·logay＝loga<x＋y>；②logax－logay＝loga<x－y>；③logaeq\f<x,y>＝logax÷logay；④loga<xy>＝logax·logay.A．0个B．1个C．2个D．3个答案A解析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如logax≠loga·x,logax是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而都是错误的．点评正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁移1若a>0且a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式正确的是<>A．logax＝－logaeq\f<1,x>B．<logax>n＝nlogaxC．<logax>n＝logaxnD．logax＝logaeq\f<1,x>答案A二、对数运算性质的应用例2计算：<1>log535－2log5eq\f<7,3>＋log57－log51.8；<2>2<lgeq\r<2>>2＋lgeq\r<2>·lg5＋eq\r<<lg\r<2>>2－lg2＋1>；<3>eq\f<lg\r<27>＋lg8－lg\r<1000>,lg1.2>；<4><lg5>2＋lg2·lg50.分析利用对数运算性质计算．解<1>原式＝log5<5×7>－2<log57－log53>＋log57－log5eq\f<9,5>＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.<2>原式＝lgeq\r<2><2lgeq\r<2>＋lg5>＋eq\r<<lg\r<2>－1>2>＝lgeq\r<2><lg2＋lg5>＋1－lgeq\r<2>＝lgeq\r<2>＋1－lgeq\r<2>＝1.<3>原式＝eq\f<\f<3,2>lg3＋3lg2－\f<3,2>,lg3＋2lg2－1>＝eq\f<3lg3＋6lg2－3,2<lg3＋2lg2－1>>＝eq\f<3,2>.<4>原式＝<lg5>2＋lg2·<lg2＋2lg5>＝<lg5>2＋2lg5·lg2＋<lg2>2＝<lg5＋lg2>2＝1.点评要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．变式迁移2求下列各式的值：<1>log535＋2logeq\f<1,2>eq\r<2>－log5eq\f<1,50>－log514；<2>[<1－log63>2＋log62·log618]÷log64.解<1>原式＝log5<5×7>－2log22eq\f<1,2>＋log5<52×2>－log5<2×7>＝1＋log57－1＋2＋log52－log52－log57＝2.<2>原式＝[logeq\o\al<2,6>2＋log62·log6<3×6>]÷log622＝log62<log62＋log63＋1>÷<2log62>＝1.三、换底公式的应用例3<1>设3x＝4y＝36,求eq\f<2,x>＋eq\f<1,y>的值；<2>已知log189＝a,18b＝5,求log3645.解<1>由已知分别求出x和y.∵3x＝36,4y＝36,∴x＝log336,y＝log436,由换底公式得：x＝eq\f<log3636,log363>＝eq\f<1,log363>,y＝eq\f<log3636,log364>＝eq\f<1,log364>,∴eq\f<1,x>＝log363,eq\f<1,y>＝log364,∴eq\f<2,x>＋eq\f<1,y>＝2log363＋log364＝log36<32×4>＝log3636＝1.<2>∵log189＝a,18b＝5,∴log185＝b.∴log3645＝eq\f<log1845,log1836>＝eq\f<log18<9×5>,log18<18×2>>＝eq\f<log189＋log185,1＋log182>＝eq\f<a＋b,1＋log18\f<18,9>>＝eq\f<a＋b,2－a>.点评指数式化为对数式后,两对数式的底不同,但式子两端取倒数后,利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3<1>设log34·log48·log8m＝log416,求m；<2>已知log1227＝a,求log616的值．解<1>利用换底公式,得eq\f<lg4,lg3>·eq\f<lg8,lg4>·eq\f<lgm,lg8>＝2,∴lgm＝2lg3,于是m＝9.<2>由log1227＝a,得eq\f<3lg3,2lg2＋lg3>＝a,∴lg3＝eq\f<2alg2,3－a>,∴eq\f<lg3,lg2>＝eq\f<2a,3－a>.∴log616＝eq\f<4lg2,lg3＋lg2>＝eq\f<4,\f<2a,3－a>＋1>＝eq\f<4<3－a>,3＋a>.1．对于同底的对数的化简常用方法是：<1>"收",将同底的两对数的和<差>化成积<商>的对数；<2>"拆",将积<商>的对数拆成对数的和<差>．2．对于常用对数的化简要充分利用"lg5＋lg2＝1"来解题．3．对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为<>A．－3B．－1C．1D．3答案D解析lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1000＝3.2．已知lg2＝a,lg3＝b,则log36等于<>A.eq\f<a＋b,a>B.eq\f<a＋b,b>C.eq\f<a,a＋b>D.eq\f<b,a＋b>答案B解析log36＝eq\f<lg6,lg3>＝eq\f<lg2＋lg3,lg3>＝eq\f<a＋b,b>.3．若lga,lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根,则eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<lg\f<a,b>>>2的值等于<>A．2B.eq\f<1,2>C．4D.eq\f<1,4>答案A解析由根与系数的关系,得lga＋lgb＝2,lga·lgb＝eq\f<1,2>,∴eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<lg\f<a,b>>>2＝<lga－lgb>2＝<lga＋lgb>2－4lga·lgb＝22－4×eq\f<1,2>＝2.4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000,则eq\f<1,x>－eq\f<1,y>等于<>A.eq\f<1,3>B．3C．－eq\f<1,3>D．－3答案A解析由指数式转化为对数式：x＝log2.51000,y＝log0.251000,则eq\f<1,x>－eq\f<1,y>＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝eq\f<1,3>.5．设函数f<x>＝logax<a>0,且a≠1>,若f<x1x2…x2005>＝8,则f<xeq\o\al<2,1>>＋f<xeq\o\al<2,2>>＋…＋f<xeq\o\al<2,2005>>的值等于<>A．4B．8C．16D．2loga8答案C解析因为f<x>＝logax,f<x1x2…x2005>＝8,所以f<xeq\o\al<2,1>>＋f<xeq\o\al<2,2>>＋…＋f<xeq\o\al<2,2005>>＝logaxeq\o\al<2,1>＋logaxeq\o\al<2,2>＋…＋logaxeq\o\al<2,2005>＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋…＋2loga|x2005|＝2loga|x1x2…x2005|＝2f<x1x2…x2005>＝2×8＝16.二、填空题6．设lg2＝a,lg3＝b,那么lgeq\r<1.8>＝__________.答案eq\f<a＋2b－1,2>解析lgeq\r<1.8>＝eq\f<1,2>lg1.8＝eq\f<1,2>lgeq\f<18,10>＝eq\f<1,2>lgeq\f<2×9,10>＝eq\f<1,2><lg2＋lg9－1>＝eq\f<1,2><a＋2b－1>．7．若logax＝2,logbx＝3,logcx＝6,则logabcx的值为____．答案1解析logabcx＝eq\f<1,logxabc>＝eq\f<1,logxa＋logxb＋logxc>∵logax＝2,logbx＝3,logcx＝6∴logxa＝eq\f<1,2>,logxb＝eq\f<1,3>,logxc＝eq\f<1,6>,∴logabcx＝eq\f<1,\f<1,2>＋\f<1,3>＋\f<1,6>>＝eq\f<1,1>＝1.8．已知log63＝0.6131,log6x＝0.3869,则x＝________.答案2解析由log63＋log6x＝0.6131＋0.3869＝1.得log6<3x>＝1.故3x＝6,x＝2.三、解答题9．求下列各式的值：<1>eq\f<1,2>lgeq\f<32,49>－eq\f<4,3>lgeq\r<8>＋lgeq\r<245>；<2><lg5>2＋2lg2－<lg2>2.解<1>方法一原式＝eq\f<1,2><5lg2－2lg7>－eq\f<4,3>·eq\f<3,2>lg2＋eq\f<1,2><2lg7＋lg5>＝eq\f<5,2>lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f<1,2>lg5＝eq\f<1,2>lg2＋eq\f<1,2>lg5＝eq\f<1,2><lg2＋lg5>＝eq\f<1,2>lg10＝eq\f<1,2>.方法二原式＝lgeq\f<4\r<2>,7>－lg4＋lg7eq\r<5>＝lgeq\f<4\r<2>×7\r<5>,7×4>＝lg<eq\r<2>·eq\r<5>>＝lgeq\r<10>＝eq\f<1,2>.<2>方法一原式＝<lg5＋lg2><lg5－lg2>＋2lg2＝lg10·lgeq\f<5,2>＋lg4＝lgeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,2>×4>>＝lg10＝1.方法二原式＝<lg10－lg2>2＋2lg2－lg22＝1－2lg2＋lg22＋2lg2－lg22＝1.10．若26a＝33b＝62c,求证：eq\f<1,a>＋eq\f<2,b>＝eq\f<3,c>.证明设26a＝33b＝62c＝k<k>0>,那么eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<6a＝log2k,,3b＝log3k,,2c＝log6k,>>∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<1,a>＝\f<6,log2k>＝6logk2,,\f<1,b>＝\f<3,log3k>＝3logk3,,\f<1,c>＝\f<2,log6k>＝2logk6.>>∴eq\f<1,a>＋eq\f<2,b>＝6·logk2＋2×3logk3＝logk<26×36>＝6logk6＝3×2logk6＝eq\f<3,c>,即eq\f<1,a>＋eq\f<2,b>＝eq\f<3,c>.2．2.2对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y＝logax<a>0且a≠1>的函数叫做对数函数．对于对数函数定义的理解,要注意：<1>对数函数是由指数函数变化而来的,由指数式与对数式关系知,对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是<0,＋∞>；<2>对数函数的解析式y＝logax中,logax前面的系数为1,自变量在真数的位置,底数a必须满足a>0,且a≠1；<3>以10为底的对数函数为y＝lgx,以e为底的对数函数为y＝lnx.2．对数函数的图象及性质：a>10<a<1图象性质函数的定义域为<0,＋∞>,值域为<－∞,＋∞>函数图象恒过定点<1,0>,即恒有loga1＝0当x>1时,恒有y>0；当0<x<1时,恒有y<0当x>1时,恒有y<0；当0<x<1时,恒有y>0函数在定义域<0,＋∞>上为增函数函数在定义域<0,＋∞>上为减函数3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式y＝ax<a>0,且a≠1>y＝logax<a>0,且a≠1>定义域<－∞,＋∞><0,＋∞>值域<0,＋∞><－∞,＋∞>函数值变化情况a>1时,；0<a<1时,xa>1时,logax；0<a<1时,logax图象必过定点点<0,1>点<1,0>单调性a>1时,y＝ax是增函数；0<a<1时,y＝ax是减函数a>1时,y＝logax是增函数；0<a<1时,y＝logax是减函数图象y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值y＝logmn有以下规律：<1>当<m－1><n－1>>0,即m、n范围相同<相对于"1"而言>,则logmn>0；<2>当<m－1><n－1><0,即m、n范围相反<相对于"1"而言>,则logmn<0.有了这个规律,我们再判断对数值的正负就很简单了,如log2eq\f<1,3><0,log52>0等,一眼就看出来了！题型一求函数定义域求下列函数的定义域：<1>y＝log3x－1eq\f<\r<2x＋3>,x－1>；<2>y＝eq\f<1,\r<1－loga<x＋a>>><a>0,a≠1>．分析定义域即使函数解析式有意义的x的范围．解<1>要使函数有意义,必须eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x＋3>0,x－1>0,3x－1>0,3x－1≠1>>同时成立,解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x>－\f<3,2>,x>1,x>\f<1,3>,x≠\f<2,3>.>>∴x>1.∴定义域为<1,＋∞>．<2>要使原函数有意义,需1－loga<x＋a>>0,即loga<x＋a><1＝logaa.当a>1时,0<x＋a<a,∴－a<x<0.当0<a<1时,x＋a>a,∴x>0.∴当a>1时,原函数定义域为{x|－a<x<0}；当0<a<1时,原函数定义域为{x|x>0}．点评求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑：真数大于零,底数大于零且不等于1,若分母中含有x,还要考虑不能使分母为零．题型二对数单调性的应用<1>log43,log34,logeq\f<4,3>eq\f<3,4>的大小顺序为<>A．log34<log43<logeq\f<4,3>eq\f<3,4>B．log34>log43>logeq\f<4,3>eq\f<3,4>C．log34>logeq\f<4,3>eq\f<3,4>>log43D．logeq\f<4,3>eq\f<3,4>>log34>log43<2>若a2>b>a>1,试比较logaeq\f<a,b>,logbeq\f<b,a>,logba,logab的大小．<1>解析∵log34>1,0<log43<1,logeq\f<4,3>eq\f<3,4>＝logeq\f<4,3>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<4,3>>>－1＝－1,∴log34>log43>logeq\f<4,3>eq\f<3,4>.答案B<2>解∵b>a>1,∴0<eq\f<a,b><1.∴logaeq\f<a,b><0,logbeq\f<b,a>∈<0,1>,logba∈<0,1>．又a>eq\f<b,a>>1,且b>1,∴logbeq\f<b,a><logba,故有logaeq\f<a,b><logbeq\f<b,a><logba<logab.点评比较对数的大小,一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同,则由对数函数的单调性<底数a>1为增；0<a<1为减>比较．②如果两对数的底数和真数均不相同,通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同,如y＝loga1x与y＝loga2x的比较<a1>0,a1≠1,a2>0,a2≠1>．当a1>a2>1时,曲线y1比y2的图象<在第一象限内>上升得慢．即当x>1时,y1<y2；当0<x<1时,y1>y2.而在第一象限内,图象越靠近x轴对数函数的底数越大．当0<a2<a1<1时,曲线y1比y2的图象<在第四象限内>下降得快．即当x>1时,y1<y2；当0<x<1时,y1>y2即在第四象限内,图象越靠近x轴的对数函数的底数越小．已知logaeq\f<1,2><1,那么a的取值范围是________．分析利用函数单调性或利用数形结合求解．解析由logaeq\f<1,2><1＝logaa,得当a>1时,显然符合上述不等式,∴a>1；当0<a<1时,a<eq\f<1,2>,∴0<a<eq\f<1,2>.故a>1或0<a<eq\f<1,2>.答案a>1或0<a<eq\f<1,2>点评解含有对数符号的不等式时,必须注意对数的底数是大于1还是小于1,然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：<1>当a>1时,logax>0⇔x>1,logax<0⇔0<x<1；<2>当0<a<1时,logax>0⇔0<x<1,logax<0⇔x>1.题型三函数图象的应用若不等式2x－logax<0,当x∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>时恒成立,求实数a的取值范围．解要使不等式2x<logax在x∈时恒成立,即函数y=logax的图象在内恒在函数y=2x图象的上方,而y=2x图象过点.由图可知,loga>,显然这里0<a<1,∴函数y=logax递减．又loga>=log,∴a>,即a>.∴所求的a的取值范围为<a<1.点评原问题等价于当x∈时,y1=2x的图象在y2=logax的图象的下方,由于a的大小不确定,当a>1时,显然y2<y1,因此a必为小于1的正数,当y2的图象通过点时,y2满足条件,此时a=.那么a是大于a还是小于a才满足呢？可以画图象观察,请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f<x>＝lg<ax2＋2x＋1>,若f<x>的值域是R,求实数a的取值范围．错解∵f<x>的值域是R,∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立,即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>0Δ<0>>⇔eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>04－4a<0>>⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f<x>＝lg<ax2＋2x＋1>的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时,只要x>－eq\f<1,2>,即可使真数t取到所有的正数,符合要求；当a≠0时,必须有eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>0Δ≥0>>⇔eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>04－4a≥0>>⇔0<a≤1.∴f<x>的值域为R时,实数a的取值范围为[0,1]．本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似,着重考查对数的概念与对数函数的单调性,考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．<XX高考>已知函数f<x>＝eq\f<1,\r<1－x>>的定义域为M,g<x>＝ln<1＋x>的定义域为N,则M∩N等于<>A．{x|x>－1}B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1}D．∅解析由题意知M＝{x|x<1},N＝{x|x>－1}．故M∩N＝{x|－1<x<1}．答案C2．<XX高考>下列不等式成立的是<>A．log32<log23<log25B．log32<log25<log23C．log23<log32<log25D．log23<log25<log32解析∵y＝log2x在<0,＋∞>上是增函数,∴log25>log23>log22＝1.又y＝log3x在<0,＋∞>上为增函数,∴log32<log33＝1.∴log32<log23<log25.答案A3．<全国高考>若x∈<e－1,1>,a＝lnx,b＝2lnx,c＝ln3x,则<>A．a<b<cB．c<a<bC．b<a<cD．b<c<a解析∵eq\f<1,e><x<1,∴－1<lnx<0.令t＝lnx,则－1<t<0.∴a－b＝t－2t＝－t>0.∴a>b.c－a＝t3－t＝t<t2－1>＝t<t＋1><t－1>,又∵－1<t<0,∴0<t＋1<1,－2<t－1<－1,∴c－a>0,∴c>a.∴c>a>b.答案C1．已知函数f<x>＝eq\r<1＋2x>的定义域为集合M,g<x>＝ln<1－x>的定义域为集合N,则M∩N等于<>A．{x|x>－1}B．{x|x<1}C.eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<x|－\f<1,2><x<1>>D．∅答案C2．已知函数f<x>＝lgeq\f<1－x,1＋x>,若f<a>＝eq\f<1,2>,则f<－a>等于<>A.eq\f<1,2>B．－eq\f<1,2>C．－2D．2答案B解析f<－a>＝lgeq\f<1＋a,1－a>＝－lgeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1＋a,1－a>>>－1＝－lgeq\f<1－a,1＋a>＝－f<a>＝－eq\f<1,2>.3．已知a＝log23,b＝log32,c＝log42,则a,b,c的大小关系是<>A．c<b<aB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b答案A解析因为a＝log23>1,b＝log32<1,所以a>b；又因为2>eq\r<3>,则log32>log3eq\r<3>＝eq\f<1,2>,而log42＝log2eq\r<2>＝eq\f<1,2>,所以b>eq\f<1,2>,c＝eq\f<1,2>,即b>c.从而a>b>c.4．函数f<x>＝lg|x|为<>A．奇函数,在区间<0,＋∞>上是减函数B．奇函数,在区间<0,＋∞>上是增函数C．偶函数,在区间<－∞,0>上是增函数D．偶函数,在区间<－∞,0>上是减函数答案D解析已知函数定义域为<－∞,0>∪<0,＋∞>,关于坐标原点对称,且f<－x>＝lg|－x|＝lg|x|＝f<x>,所以它是偶函数．又当x>0时,|x|＝x,即函数y＝lg|x|在区间<0,＋∞>上是增函数．又f<x>为偶函数,所以f<x>＝lg|x|在区间<－∞,0>上是减函数．5．函数y＝ax与y＝－logax<a>0,且a≠1>在同一坐标系中的图象只可能为<>答案A解析方法一若0<a<1,则曲线y＝ax下降且过<0,1>,而曲线y＝－logax上升且过<1,0>；若a>1,则曲线y＝ax上升且过<0,1>,而曲线y＝－logax下降且过<1,0>．只有选项A满足条件．方法二注意到y＝－logax的图象关于x轴对称的图象的表达式为y＝logax,又y＝logax与y＝ax互为反函数<图象关于直线y＝x对称>,则可直接选定选项A.6．设函数f<x>＝log2a<x＋1>,若对于区间<－1,0>内的每一个x值都有f<x>>0,则实数a的取值范围为<>A．<0,＋∞>B.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,＋∞>>C.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,1>>D.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>答案D解析已知－1<x<0,则0<x＋1<1,又当－1<x<0时,都有f<x>>0,即0<x＋1<1时都有f<x>>0,所以0<2a<1,即0<a<eq\f<1,2>.7．若指数函数f<x>＝ax<x∈R>的部分对应值如下表：x－202f<x>0.69411.44则不等式loga<x－1><0的解集为__________．答案{x|1<x<2}解析由题可知a＝1.2,∴log1.2<x－1><0,∴log1.2<x－1><log1.21,解得x<2,又∵x－1>0,即x>1,∴1<x<2.故原不等式的解集为{x|1<x<2}．8．函数y＝logax<1≤x≤2>的值域为[－1,0],那么a的值为________．答案eq\f<1,2>解析若a>1,则函数y＝logax在区间[1,2]上为增函数,其值域不可能为[－1,0]；故0<a<1,此时当x＝2时,y取最小值－1,即loga2＝－1,得a－1＝2,所以a＝eq\f<1,2>.9．已知函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<<3a－1>x＋4a,x<1,logax,x≥1>>是实数集R上的减函数,那么实数a的取值范围为__________．答案eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,7>,\f<1,3>>>解析函数f<x>为实数集R上的减函数,一方面,0<a<1且3a－1<0,所以0<a<eq\f<1,3>,另一方面,由于f<x>在R上为减函数,因此应有<3a－1>×1＋4a≥loga1,即a≥eq\f<1,7>.因此满足题意的实数a的取值范围为eq\f<1,7>≤a<eq\f<1,3>.10．已知f<x>＝1＋log2x<1≤x≤4>,求函数g<x>＝f2<x>＋f<x2>的最大值和最小值．解∵f<x>的定义域为[1,4],∴g<x>的定义域为[1,2]．∵g<x>＝f2<x>＋f<x2>＝<1＋log2x>2＋<1＋log2x2>＝<log2x＋2>2－2,又1≤x≤2,∴0≤log2x≤1.∴当x＝1时,g<x>min＝2；当x＝2时,g<x>max=7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质,把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地,我们把函数y＝logax<a>0,且a≠1>叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是<0,＋∞>．2．对数函数的图象与性质定义y＝logax<a>0,且a≠1>底数a>10<a<1图象定义域<0,＋∞>值域R单调性在<0,＋∞>上是增函数在<0,＋∞>上是减函数共点性图象过点<1,0>,即loga1＝0函数值特点x∈<0,1>时,y∈<－∞,0>；x∈[1,＋∞>时,y∈[0,＋∞>x∈<0,1>时,y∈<0,＋∞>；x∈[1,＋∞>时,y∈<－∞,0]对称性函数y＝logax与y＝logeq\f<1,a>x的图象关于x轴对称3.反函数对数函数y＝logax<a>0且a≠1>和指数函数y＝ax_<a>0且a≠1>互为反函数．一、对数函数的图象例1下图是对数函数y＝logax的图象,已知a值取eq\r<3>,eq\f<4,3>,eq\f<3,5>,eq\f<1,10>,则图象C1,C2,C3,C4相应的a值依次是<>A.B．C．D．答案A解析方法一因为对数的底数越大,函数的图象越远离y轴的正方向,所以C1,C2,C3,C4的a值依次由大到小,即C1,C2,C3,C4的a值依次为.方法二过<0,1>作平行于x轴的直线,与C1,C2,C3,C4的交点的横坐标为<a1,1>,<a2,1>,<a3,1>,<a4,1>,其中a1,a2,a3,a4分别为各对数的底,显然a1>a2>a3>a4,所以C1,C2,C3,C4的底值依次由大到小．点评函数y=logax<a>0,且a≠1>的底数a的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧,底数大于1时,底数越大,图象越靠近x轴；底数大于0且小于1时,底数越小,图象越靠近x轴．②左右比较：<比较图象与y=1的交点>交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大．变式迁移1借助图象比较m,n的大小关系：<1>若logm5>logn5,则mn；<2>若logm0.5>logn0.5,则mn.答案<1><<2>>二、求函数的定义域例2求下列函数的定义域：<1>y＝eq\r<3,log2x>；<2>y＝eq\r<log0.5<4x－3>>；<3>y＝log<x＋1><2－x>．分析定义域即使函数解析式有意义的x的范围．解<1>∵该函数是奇次根式,要使函数有意义,只要对数的真数是正数即可,∴定义域是{x|x>0}．<2>要使函数y＝eq\r<log0.5<4x－3>>有意义,必须log0.5<4x－3>≥0＝log0.51,∴0<4x－3≤1.解得eq\f<3,4><x≤1.∴定义域是eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<x|\f<3,4><x≤1>>.<3>由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋1>0,x＋1≠1,2－x>0>>,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x>－1,x≠0,,x<2>>即0<x<2或－1<x<0,所求定义域为<－1,0>∪<0,2>．点评求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外,还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性,有针对性的解不等式．变式迁移2求y＝eq\r<loga<4x－3>><a>0,a≠1>的定义域．解loga<4x－3>≥0.<*>当a>1时,<*>可化为loga<4x－3>≥loga1,∴4x－3≥1,x≥1.当0<a<1时,<*>可化为loga<4x－3>≥loga1,∴0<4x－3≤1,eq\f<3,4><x≤1.综上所述,当a>1时,函数定义域为[1,＋∞>,当0<a<1时,函数定义域为eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<3,4>,1>>.三、对数函数单调性的应用例3比较大小：<1>log0.81.5与log0.82；<2>log35与log64.分析从比较底数、真数是否相同入手．解<1>考查对数函数y＝log0.8x在<0,＋∞>内是减函数,∵1.5<2,∴log0.81.5>log0.82.<2>log35和log64的底数和真数都不相同,找出中间量"搭桥",再利用对数函数的单调性,即可求解．∵log35>log33＝1＝log66>log64,∴log35>log64.点评比较两个对数值的大小,常用方法有：①底数相同真数不同时,用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时,常借助图象比较,也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同,需寻求中间值比较．变式迁移3比较下列各组中两个值的大小：<1>log0.52.7,log0.52.8；<2>log34,log65；<3>logaπ,logae<a>0且a≠1>．解<1>∵0<0.5<1,∴对数函数y＝log0.5x在<0,＋∞>上是减函数．又∵2.7<2.8,∴log0.52.7>log0.52.8.<2>∵y＝log3x在<0,＋∞>上是增函数,∴log34>log33＝1.∵y＝log6x在<0,＋∞>上是增函数,∴log65<log66＝1.∴log34>log65.<3>当a>1时,y＝logax