广东省部分名校2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广东省部分名校2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册､选择性必修第二册（只考第四章数列）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为双曲线的一条渐近线，则（）A. B.1 C. D.27〖答案〗A〖解析〗因为双曲线的渐近线为，所以，解得.故选：A.2.在等差数列中，若，则（）A.4 B.6 C.8 D.3〖答案〗B〖解析〗由等差数列的性质可得，故，解得.故选：B3.圆：和圆：的位置关系为（）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离〖答案〗A〖解析〗圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为7，则，所以圆和圆内切.故选：A4.在数列中，若，则下列数不是中的项的是（）A.-1 B.-2 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，所以为周期数列，且周期为4.故选：A.5.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A. B. C. D.或〖答案〗D〖解析〗由，，得，因此，即，所以或.故选：D6.如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（）A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗B〖解析〗建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，则，即，所以，解得（舍去）或，则到顶点的距离为3.故选：B7.在三棱锥中，，，且，若满足，则到的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，，，到的距离.故选：D8.已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可设，则，故，由双曲线的定义有，故，，故，在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，即，解得，即，故的离心率为2.故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗设所求直线的方程为，由题意可得，解得或，故所求直线的方程为或.故选：BC10.已知直线，双曲线，则（）A.当时，与只有一个交点B.当时，与只有一个交点C.当时，与的左支有两个交点D.当时，与的左支有两个交点〖答案〗ABD〖解析〗由题意直线过定点，即双曲线的左焦点.当时，与的渐近线平行，与只有一个交点，当时，与的左支和右支各有一个交点，当时，与的左支有两个交点.故选：ABD.11.已知数列为等比数列，设的前项和为，的前项积为，若，则（）A. B.为等比数列C. D.当时，取得最小值〖答案〗ACD〖解析〗设数列的公比为，则，又，所以，则，所以不是等比数列，因为当时，，当时，，所以，当时，取得最小值.故选：ACD．12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（）A.若秒针指向了钟上数字5，如图2，则B.若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面C.若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为D.若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为〖答案〗ACD〖解析〗如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.若秒针指向了钟上数字5，则，则，，所以，A正确.，故是平面的一个法向量.因为，所以，所以与不垂直，从而与平面不平行，B不正确.若秒针指向了钟上数字4，则，，，C正确.由，得.因为，所以外接圆的半径，则四面体的外接球的半径，则，故四面体的外接球的表面积为，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知向量与共线，则__________.〖答案〗15〖解析〗由，得，解得.故〖答案〗为：1514.写出与圆相切，且在轴和轴上的截距相等的一条直线的方程：__________.〖答案〗或(写出一条即可)〖解析〗若截距为0，此时直线过原点，与圆相交，不合题意，故截距不为0，设直线的方程为，即，又因与圆相切，所以，故，所以直线方程为或.故〖答案〗为：或(写出一条即可)15.在原点处发射一束激光，经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为__________.〖答案〗〖解析〗设点关于直线对称的点为，则，解得，所以，则直线的方程为，联立直线与，可得，即.故〖答案〗为：16.如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设是第行数字1的个数，是第行数字2的个数，则__________，__________.〖答案〗①②〖解析〗由题意可知：，且，则，可得，，所以.故〖答案〗：16；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知为等差数列，是等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）若，求的值.解：（1）设数列的公差为，数列的公比为.因为，所以，即，所以，所以，则，所以.（2）.18.已知圆经过点，且圆心在直线上.（1）求线段的垂直平分线的方程及圆的标准方程；（2）若直线与圆相交于两点，圆与轴相切于点，求的面积.解：（1）设线段的垂直平分线的斜率为，则线段的中点为，所以，则，所以线段的垂直平分线的方程为由，解得，得圆心，所以，所以圆的标准方程为.（2）圆心到直线的距离，则因为圆与轴相切于点，令，则，所以，又到直线的距离为，所以面积为.19.已知抛物线的焦点为是上的点，且.（1）求的方程；（2）已知直线交于两点，且的中点为，求的方程.解：（1）因为，所以，故抛物线的方程为.（2）易知直线的斜率存在，设的斜率为，则，两式相减得，整理得.因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即.联立与，得，显然，综上满足题意的的方程为.20.如图，长方体的底面为正方形，为上一点.（1）证明：；（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）由题可知，平面，平面.所以.连接，因为四边形为正方形，所以.又，平面，所以平面，所以.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则.因为平面，所以，解得，所以平面的一个法向量为.易知是平面的一个法向量，，所以平面与平面夹角的余弦值为.21.记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和.解：（1）因为，故，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，即，则，两式相减得，即，所以，因此的通项公式为.（2）由题可知，则，所以，，两式相减得，所以.22.动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹为.（1