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PAGEPAGE1广东省部分名校2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题〖答案〗后,用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时,将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册(只考第四章数列).一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知为双曲线的一条渐近线,则()A. B.1 C. D.27〖答案〗A〖解析〗因为双曲线的渐近线为,所以,解得.故选:A.2.在等差数列中,若,则()A.4 B.6 C.8 D.3〖答案〗B〖解析〗由等差数列的性质可得,故,解得.故选:B3.圆:和圆:的位置关系为()A.内切 B.相交 C.外切 D.外离〖答案〗A〖解析〗圆的圆心为,半径为2;圆的圆心为,半径为7,则,所以圆和圆内切.故选:A4.在数列中,若,则下列数不是中的项的是()A.-1 B.-2 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由题意得,所以为周期数列,且周期为4.故选:A.5.若直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则()A. B. C. D.或〖答案〗D〖解析〗由,,得,因此,即,所以或.故选:D6.如图1,抛物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位于焦点上的照射器(馈源,通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线,广泛应用于微波和卫星通讯等领域,具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面,两点关于抛物线的对称轴对称,是抛物线的焦点,是馈源的方向角,记为,若,则到该抛物线顶点的距离为()A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗B〖解析〗建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为,则,即,所以,解得(舍去)或,则到顶点的距离为3.故选:B7.在三棱锥中,,,且,若满足,则到的距离为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵,,,到的距离.故选:D8.已知双曲线的左、右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点,且,则的离心率为()A.2 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可设,则,故,由双曲线的定义有,故,,故,在中,由余弦定理得.在中,由余弦定理得,即,解得,即,故的离心率为2.故选:A二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列直线与直线平行,且与它的距离为的是()A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗设所求直线的方程为,由题意可得,解得或,故所求直线的方程为或.故选:BC10.已知直线,双曲线,则()A.当时,与只有一个交点B.当时,与只有一个交点C.当时,与的左支有两个交点D.当时,与的左支有两个交点〖答案〗ABD〖解析〗由题意直线过定点,即双曲线的左焦点.当时,与的渐近线平行,与只有一个交点,当时,与的左支和右支各有一个交点,当时,与的左支有两个交点.故选:ABD.11.已知数列为等比数列,设的前项和为,的前项积为,若,则()A. B.为等比数列C. D.当时,取得最小值〖答案〗ACD〖解析〗设数列的公比为,则,又,所以,则,所以不是等比数列,因为当时,,当时,,所以,当时,取得最小值.故选:ACD.12.数学探究课上,小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感,创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的,它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角(其中对应钟上数字对应钟上数字9).设的中点为,若长度为2的时针指向了钟上数字8,长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针(安装完秒针后,不考虑时针与分针可能产生的偏移,不考虑三根指针的粗细),则下列说法正确的是()A.若秒针指向了钟上数字5,如图2,则B.若秒针指向了钟上数字5,如图2,则平面C.若秒针指向了钟上数字4,如图3,则与所成角的余弦值为D.若秒针指向了钟上数字4,如图3,则四面体的外接球的表面积为〖答案〗ACD〖解析〗如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则.若秒针指向了钟上数字5,则,则,,所以,A正确.,故是平面的一个法向量.因为,所以,所以与不垂直,从而与平面不平行,B不正确.若秒针指向了钟上数字4,则,,,C正确.由,得.因为,所以外接圆的半径,则四面体的外接球的半径,则,故四面体的外接球的表面积为,D正确.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知向量与共线,则__________.〖答案〗15〖解析〗由,得,解得.故〖答案〗为:1514.写出与圆相切,且在轴和轴上的截距相等的一条直线的方程:__________.〖答案〗或(写出一条即可)〖解析〗若截距为0,此时直线过原点,与圆相交,不合题意,故截距不为0,设直线的方程为,即,又因与圆相切,所以,故,所以直线方程为或.故〖答案〗为:或(写出一条即可)15.在原点处发射一束激光,经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为,光束射到的位置为点,则的坐标为__________.〖答案〗〖解析〗设点关于直线对称的点为,则,解得,所以,则直线的方程为,联立直线与,可得,即.故〖答案〗为:16.如图所示的数阵由数字1和2构成,将上一行的数字1变成1个2,数字2变成2个1,得到下一行的数据,形成数阵,设是第行数字1的个数,是第行数字2的个数,则__________,__________.〖答案〗①②〖解析〗由题意可知:,且,则,可得,,所以.故〖答案〗:16;.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知为等差数列,是等比数列,且.(1)求和的通项公式;(2)若,求的值.解:(1)设数列的公差为,数列的公比为.因为,所以,即,所以,所以,则,所以.(2).18.已知圆经过点,且圆心在直线上.(1)求线段的垂直平分线的方程及圆的标准方程;(2)若直线与圆相交于两点,圆与轴相切于点,求的面积.解:(1)设线段的垂直平分线的斜率为,则线段的中点为,所以,则,所以线段的垂直平分线的方程为由,解得,得圆心,所以,所以圆的标准方程为.(2)圆心到直线的距离,则因为圆与轴相切于点,令,则,所以,又到直线的距离为,所以面积为.19.已知抛物线的焦点为是上的点,且.(1)求的方程;(2)已知直线交于两点,且的中点为,求的方程.解:(1)因为,所以,故抛物线的方程为.(2)易知直线的斜率存在,设的斜率为,则,两式相减得,整理得.因为的中点为,所以,所以直线的方程为,即.联立与,得,显然,综上满足题意的的方程为.20.如图,长方体的底面为正方形,为上一点.(1)证明:;(2)若平面,求平面与平面夹角的余弦值.解:(1)由题可知,平面,平面.所以.连接,因为四边形为正方形,所以.又,平面,所以平面,所以.(2)以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则.因为平面,所以,解得,所以平面的一个法向量为.易知是平面的一个法向量,,所以平面与平面夹角的余弦值为.21.记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列.(1)求的通项公式;(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和.解:(1)因为,故,所以数列是以1为首项,为公差的等差数列,所以,即,则,两式相减得,即,所以,因此的通项公式为.(2)由题可知,则,所以,,两式相减得,所以.22.动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数,点的轨迹为.(1
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