广西壮族自治区崇左市扶绥县2023-2024学年九年级（上）学期期末数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页广西壮族自治区崇左市扶绥县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单选题1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A． B． C． D．2．下列四组线段中，是成比例线段的是（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，3．将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．4．对于函数，下列结论错误的是（

）A．图象顶点是 B．图象开口向下C．图象关于直线对称 D．函数最小值为55．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B． C．20m D．6．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（）A．3 B． C． D．27．如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（

）

A．12 B．20 C．24 D．228．在中，，，那么的值等于（）A． B． C． D．9．正比例函数与反比例函数在同一直角坐标平面大致的图像可以（

）A． B．C． D．10．已知二次函数有最大值，且图象经过原点，则的值为（

）A． B．3 C． D．11．如图，已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论：其中正确结论的个数是（

）①；②；③；④；⑤方程的根是，．A．2 B．3 C．4 D．512．如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点．点是第三象限抛物线上一动点，连接．则面积的最大值等于（

）A． B． C． D．二、填空题13．若两个相似三角形的相似比是，则周长比是．14．如果，那么的值等于.15．在中，若，则．16．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接，若的面积为3，则k的值为．

17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为．

18．如图，在中，，，点D在边上．若，则的值为．

三、解答题19．如图，三个顶点坐标分别为．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得到的图形画出来．

20．计算：．21．如图，在与中，，且．求证：．

22．观察下列等式：①sin30°=，cos60°=；②sin45°=，cos45°=；③sin60°=，cos30°=．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°-α）=．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．23．如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律可知，，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角，观测者眼睛与地面距离，，求旗杆AB的高度．（结果取整数，）24．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格每件的售价每涨1元，那么每星期少卖10件．已知商品的进价为每件40元．设每件涨价x元，每星期的销量为y件．（1）写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？25．如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．26．如图，是边长为8的等边三角形，点分别在边上运动，满足．(1)求证：(2)设长为，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得函数，求当点运动到什么位置时，的面积最小？并求出这个最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可．【详解】解：A、，该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意；B、时，是一次函数，故本选项不符合题意；C、，该函数是二次函数，故本选项符合题意；D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．故选：C．2．B【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、∵，故不符合题意；B、∵，故符合题意；C、∵，故不符合题意；D、∵，故不符合题意．故选：B．3．B【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为：．故选：B．4．D【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据中，对称轴为，顶点坐标为可得答案．【详解】解：对于函数，图象顶点是，图象关于直线对称，∵，∴图象开口向下，函数有最大值5，∴A、B、C正确，D错误，故选：D．5．C【详解】解∶∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=，∴AC===m．∴AB=m．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值及勾股定理，熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．6．B【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，把点代入反比例函数解析式中求出k的值即可．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴，故选B．7．C【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，通过证明，可求，即可求解．【详解】∵是的中点，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴菱形的周长，故选：C．8．A【分析】此题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形的性质，先根据，求出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值即可得出的值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：如图，∵中，，，∴，∴，∴，故选：．9．D【分析】本题主要考查了一次函数以及反比例函数的图像以及性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．【详解】解：当时，函数经过二、四象限，在一、三象限，故D项符合题意．当时，函数经过一三象限，在二、四象限，无对应选项．故选∶D．10．C【分析】本题考查二次函数的基本性质，根据二次函数有最大值得出，根据二次函数图象经过原点得出，即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：二次函数的解析式为：有最大值，，，二次函数的图象经过原点，，或，，．故选：C．11．D【分析】根据抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用时函数值为正数可对②进行判断；由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴交点位置得，于是可对③进行判断；由于时，，得到，然后把代入计算，则可对④进行判断；根据抛物线与x轴的交点问题可对⑤进行判断．【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴，∴，即①正确；∵时，，∴，∴，即②正确；∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∵抛物线与y轴交点位于y轴正半轴，∴，∴，所以③正确；∵，，∴，而，∴，所以④正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为，即或3时，，∴方程的根是，，所以⑤正确．综上所述：正确结论有①②③④⑤，正确结论有5个．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点；抛物线与x轴交点个数由△决定．12．C【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用配方法来求最值问题．【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点，令，得，，令，即，解得或，,设直线的表达式为，将，代入，解得，直线的表达式为，设，则，，，当时，最大，最大面积为．故选：C．13．【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，∴它们的周长比等于相似比，即：．故答案为．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．14．【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．【详解】∵，∴设，（），∴，故答案为：．15．/105度【分析】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，利用非负数和为零得出，，求出、度数，再由三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵∴，，∴，，，，．故答案为：．16．3【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，首先根据反比例函数中k的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出k的值．【详解】解：由反比例函数中k的几何意义得：，由反比例函数的对称性可知：，∴，∴，反比例函数图象在一、三象限，，．故答案为：3．17．【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当、、三点共线时最小，即最小，最小值为是解题的关键．先求出，，如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，然后证明当、、三点共线时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案．【详解】解：在中，当时，，；抛物线解析式为，；如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，

，，当、、三点共线时最小，即最小，最小值为，的最小值，故答案为：．18．【分析】本题考查了三角函数，勾股定理．过点D作于点E，根据，设，根据勾股定理，利用三角函数，求得，根据正切的定义计算即可。熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．【详解】如图，过点D作于点E，∵，，∴，

设，则，∵，∴，，∴，解得，∴，∴，∴，故答案为：．19．见解析【分析】本题主要考查了画位似图形，解题的关键是根据原点为位似中心，求出的三个对应点，然后顺次连接即可．【详解】解：以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得到的图形的对应点为：或，如图所示：

20．【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值，实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：原式．21．见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，先证得，再结合，即可判定，熟练掌握有两条边的比相等，且其夹角相等，则这两个三角形相似，是解此题的关键．【详解】证明：，，，，．22．（1）1（2）【详解】分析：（1）观察、分析所给等式可得：，结合即可求得本题的答案为1；（2）把原式化为（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°，再结合（1）中所得结论进行计算即可求得本题答案.详解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°-α）=cosα，∴sin2α+sin2（90°-α）=sin2α+cos2α=1；（2）由（1）中结论可得：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°=1+1+…1+=44+=．点睛：本题的解题要点是：（1）；（2）.23．旗杆AB的高度约为【分析】由题意可知，即．由光的反射原理可知，这样可以得到，然后利用对应边成比例就可以求出AB．【详解】解：由题意知，∵，∴，∴，∴．∴，即，∴，答：旗杆AB的高度约为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、正切的应用等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．24．（1）y=300﹣10x（0≤x≤30）；（2）定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6250元．【分析】（1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，进一步即可求出x的取值范围；（2）根据涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，∴每件涨价x元，每星期实际可卖出（300﹣10x）件，∴y与x的函数解析式为：y=300﹣10x；由y≥0，即300﹣10x≥0，解得x≤30，∴x的取值范围是0≤x≤30；（2）设每星期的利润为w元，则由题意得：w＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，