高考数学考点单元复习教案1

三角函数

1.了解任意向的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余

弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、

余弦、正切.

2.掌握三角函数的公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及

运用.

3.能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明.

4.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正

弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.会用“五点法”

画出正弦函数、余弦函数和y=Asin(o+q的简图，理解A、G9的物理意义.

5.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx,arccosx,arctanx表示角.

6.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形

的计算问题.

角的概念的推广、弧度

制

任意角的三角函数的定

义

两角和与差的正弦、余

两角和与差的；：角

---------------------------

y=sinx,y=cosx的图

-象和.性质----------------

三角函数的图象和

y=tanx电图象和性质

y=Asin(x+)的图象

高考导

三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：

1.降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查.尤其是三角

函数的最大值与最小值、周期.

2.以小题为主.一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易.其

次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综

合题等.

1

3.更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体

几何、平面解析几何中考查三角函数的知识.

第1课时任意角的三角函数

一、用的概节的推广

基砒!;述I终边相同的角的集合为__________________:-

2.与角a终边互为反向延长线的角的集合为.

3.轴线角(终边在坐标轴上的角)

终边在x轴上的角的集合为,终边在y轴上的角的集合为,终边在坐标轴上

的角的集合为.

4.象限角是指：.

5.区间角是指：.

6.弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任

意角的集合与实数集合之间建立了--对应关系.

7.弧度与角度互化：180o=弧度，1o=弧度，1弧度=xo.

8.弧长公式：I=；

扇形面积公式：S=

二、任意角的三角函数

9.定义：设P(x,y)是角a终边上任意一点，且|PO|=r,则sina=；cosa

典型例

例1.若是第二象限的角，试分别确定2,的终边所在位置

23

解：1.•是第二象限的角,

2

k360°+90°<<&•360°+180°(keZ).

(1)/2k-360°+180°<2<3k-360°+360°(keZ),

.•・2混第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上

(2).k180°+45°<四180°+90°(keZ),

2

当k=2n(neZ)时，

n-360°+45°<3600+90°；

2

当k=2n+1(neZ)时,

a

n-360°+225°<Mrr360°+270°.

2

a

一是第一或第三象限的角

2

a

(3);k-120°+30°<<7-120°+60°(kwZ),

3

当k=3n(neZ)时，

a

n-3600+30°<<n-360°+60°；

3

当k=3n+1(neZ)心卜

n-360°+150°<<n-360°+180°；

3

当k=3n+2(neZ)啜

n-360°+270°<<n-360°+300°.

a3

・•.是第一或第二或第四象限的角.

3a—a

变就赛西口是第三象限角，问是哪个善限的角？

解：...是第三象限角，J180。+仁360°<<270°+k-360°(keZ),

60°+k-120°<<90°+k-120°.

3

①当k=3m(meZ)0^可得

60°由360°<<90°+m-360°(ntZ).

—3

故的终边在第一象限.

3

a

②当k=3m+1(meZjl寸，可得

180a+m-360°<<210°+m-360°(作Z).

3

故的终边在第三象限.

301

③当k=3m+2(ITCZ)时，可得

300°+m-360°<<330°+m-360°(nrZ).

3

3

故&的终边在第四象限

3

综上可知，a是第一、第三或第四象限的角

3

例2.在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围，并由此写出角a的集合：

(1)sin§；(2)cosav-1.

解：(1)作直线y=亨交单位圆乐B两点，谢DA、0B,

班与0B围成的区

域即为角a的终边的范围，故满足条件的角a的集合为

a.k兀+a-2k71+：”,keZ.}

⑵作直线x=1交单位圆&D两点，/C、0D,赃与0D围成的区域(图中阴

影部分)

即为角01终边的范围.故满足条件的角a的集合为

J(xJI+2万4a47+4穴w_►

1|2k2k,kZ.

I33

变就雒求下列函数的定义域：

(1)y=52cosx11；(2)y=lg(3-4sin?x).

解：(1)/2cosx-1^0,「.cosxN~

2

由三角函数线画出X满足条件的终边范围(如图阴影所示

rn'l(kwZ).

,.xe限"-kx

,2

33

3幺＜sinx＜以

(2…sindsin”,

22

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影)，

.-.Xe(kn--,k5匹)(k%).

33

aaaa的值

例3.已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan

解：：角骗终边在直线3x+4y=0上，

在角终边上任取一点P(4t,-3t)(t*0),

K^4t,y=-3t,

J+=Q+-=

r=2、(4)(3)5

X2yt2t2|t|,

当哈03=叟_a

sin=丫3t3,cos

4t4

a二q一

5t5

tan=y3t3；

x4t4

4

3

当tv0时\r=-5t,sin片1JI

r-5t5

____x4t4

cosa=—=—=_»-

r-5t5

tana=-=-3t=-5

X4t4

34,tan=3

综上可知,t>0时，sina=一COSa=a一

5-54

2,cos=-4tan=3

tV0时，sinaEa——

a54

0P(一石m)(m*0),且sin®=0

变式训练3：已知角的终边经过点m,试判断角口所在

4

00

的象限，并求cos和tan的值.

5；W

解:由题意，得+

r3m,m0,m5

02

4

3m_J"「

故角是第二或第三象限角.

4m

co9-0=

r22

.0厂e_匚

当m°卞川,rp2FP的超获"(5),

cos\36tanV515

f-224x33

例4.已知一扇形中心角为a,所在圆半径为R

⑴若a

__nR=2cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形面积;

3

(2)若扇形周长为一密值C(C>0),窿a为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值.

解：=(1)段弧长为XTT句形而枳盼s-

=2-a•=-a•

2

(3)(cm)

3

c

扇形周长C2RI2R2R

R

2

2

11

2)2

R

2222

c2c2C2

-a-―1--------=———1—<—

\a+a22+才—2416

24

2

2

2C

当且仅当2=4,即a=2时扇形面积最大为

16

2

变式训练4：扇形OAB的面积是1cm,它的周长是4cm,求中心角的弧度数和弦长AB.

解：石壁的半径为r,弧长为I,中心角的弧度数为a

⑵I4

4

则有『=

、lr12

2

趾a|=:得,a=2.*.|AB|=2-sin1(cm)

小结归

1.本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范

围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系.

2.在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情

况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值

是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些？

第R时同角三角函数的基本关系及诱导公式

基础过

1.同角公式：

2222

⑴）平方关系:sina+cosa=1,1+tana,1+cota=

⑵商数关系:tana=,cota=

⑶倒数关系:tan

2.诱导公式：

规律：奇变偶不变，符号看象限

3.同角三角函数的关系式的基本用途：

根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明

同角的三角恒等式.

4.诱导公式的作用；

诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0~90o角的三角函数值.

典型例

6

xsin(n-aK-a-a+n;

例1.已知f(=

-)既段)熨5)

tan()sin()

a

(1)化简f()；zX

aQ-，)=a

(2)若是第三象限角，且cos.31,求可)的值.

25

a

2

，f()=6-+aq兀+a

5aa

sin()

kcos(k)则构成的集合是()变式绷:

已知A=()

kZ

sincos

A.{-1,1,—2,2}Br<a.<{i,-al}-n="匹+a

C.{2,-2}D-2,-1,01,2}

a-a

解：c———=-a+aa+

a-a+a

3

例2.求值：(“已知

—+=—2,cos(7)，求cos()的值.

tan,求下列各式的值.①sin②sinsincos2

2)已知a-a3cos

t骸+1a

sincos

4五一8

解：⑴.8一K0-a一十a+一

cos(-0-71

2)

25

(2).3cos5

3

sinc®<<

变式缠：化简：①cos(8)

sin(5)tan，②sin()cos()

sin(4)44

+

解：①原式=e—②原式=0

例3.已知一x0,sinx+cosx=

Z-

(1)求sinx—cosx的值.

20007t

求sin2x2sinx

(2),0_哈10

60

《且,1tanx

(动-00

解：⑴7,24-

5175

A.6—00户m

变式绷:8已—i知品+cos=_11).求值:

5

(1)tan;(2)sin-cos;(3)sin

+cos

1

解方法一/sin+cose(0,),

5

1=1+2sincos

/.(sin+cos)

25

7

12<n

/.sin@os西u・

由根与系数的关系知,

2-1X-12=0的两根,

sin6cosa

是方程X525

4,x_3

解方程得2一

x'=65

,cos=-2

1.sinQ>O,cos0<0,.'.sin*Je

4

/.(1)tan

3

(2)sin0-cos0=i

・3-3-37

(3)sin0+cos0=^25

方法二(1)同方法一.

(2)(sin0-cos0)z=1-2sineCOS0

49

=1-2x

25

,.sin6>O,cos0c0,/.sin£osdo,

7

/.sin9cosa-

□

(3)sin0+cosB=(sin8+cos8)(sin^-sin^cos®+cos

_IX

-5

例4.已知tana=2,求下列各式的值:

2sir)a-3cosa；

4sinOl-9cosOt

2a—2a

(2)2sin3cos

2a—2a

4sin°9c03aa

(3)4sina-x

-3sin~^ps=-§cos

23223

a-tan01=a-X

解：(1)原式二aa-1X

4tan9429

aa

(2)2s/3cos22即232/35a

4r%。百口端4297

a

2a+2a

(3)zsin

a^<cos_斗x

/.4sina十

-3sincos行CO或e

2

3sin9CDSa2

=4sin与cos

20+210

sincos

2

4tan3tan544325

1

2

tan141

变式缔：己知sin(+k)=-2cos(+k)(keZ).

求:(1)4sin

2cos

5cos3sin

8

2

⑵2.sin20+|cosq

解：由已知得cos(0+kn)*0.

,-.tan(6-k护-2(keZ),即tan42.

4sin8—28s84tan8-2_.

(1)e+e+6=10

5cos3sin53tan

costan

小维

1.求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解囊（如例1）,应抓住使整个解式有意义

的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2）,就应抓住内函数的值域就是外函数的定义

域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或何题有

意义.

2.求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有

界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不情点综

合而灵活地选择方法.

名3睬两角和与差的三角函数

基地

1.两珀和的余弦公式的推导方法：

2.基本公式

sin(a±p)=sinucusp±cususin~p-

cos(a±p)=----------;--------------------

tan(a±p)=.

3.公式的变式

tana+tanp=tan(aY觎g-tanatanp)

1-tanatanp=tantan

tan(

a)a+Ba-B

4”常见的角的变换：

2=(a+p)+(a—P)；。=

44

典型例

2的值.

例1.求［2sin50o+sin100(1+3tan10°)3-2sin80

9

=(2sin50sin10厂)21sin80

—costQ-l_0

cos10sin10

22

10sin40

2cps10n

2sin50a+

cos10

2sin60

2cos1022sin60

cos10

6.

22

Tt

2e——€-Jt

3

变式维⑴已知)，sin啊)等于()

254

A.11

~B.7-D.-7

77

(2)sinS6^°sin223o+sin24sin313鳞于(

1133

2会2匹C一口出

2

解：(1)A(2)B

涓(-3),去戕),-

(a3,3+5,求0皿a

例2.己知

414„)=5sin(4(3)13

+B)的值.

3

解：/a—++B=a+B+

44

里工+0—2

四4'：)pe(0,gsin1_

一

1―x-)a

3

.•.a-的)B+

4244

a—Pa

.-.sin(a-)=icos(3)=-12

45413

/.sin(a+p)=­cos[*+即

=—cos[(a—)+j)]56

65

4

4

12TTTT

变式舜：勋S（一）=-,sin(-

3k<<TT,0

9p)=2

<P<

2

求COS(+P)2

2

TTTTTT«TTTT

解:<<<<<

a2TT,42m

TT,0<2

P<2

24

10

„P1

故由cosa一,得sin)

()=-9(a2

29

aaa+Bp

:得5a

由sin(——£)=cos=cos）马3）丁

226)3.".cos2[(-2-2

(

PaRP—1-P5一乂匚+

=cos(a)cos(P)+sinot-----—X

）吗

2«

a

75275239

27cos+B)=2ros27729

2

510

例3.若sinA=,sinB=，出A,B均;角,求A+B的值.

510—

解•:A、均为钝角且_sin4_：6inB=10

10

c3=-310

cosBD=-B,

⑷工rL

.,.^os(A+B)=(^psAcosB-sinAsinB

2冗531071.510=2

—Kc—X7T

5105102

又「

<A<,<B<,

22

/.<A+B<2②

7.

由①②知UA±B=_

4

满足2ACcos2B=[求角

变式训练-3：存4ABC中，角A、BC4sin2-B的度数.

解在^ABC中，A+B+C=180,

由4sin2Ac-cos2B=7,

徂1cos(AC-2cos7,

件A&2料1=°P

aP

22

2

所以4cosB-4COSB+1=0.

于是cosBq；5=60p.§一

aaP

例他简2fi21cos2ocos2

4.sinBsi徉+cosPcos-Pa

解方法一(复角一单角，从“角”入手)

E22122

原2•cos,(2cos--1)

式.sin1)•(2cos

二sin+cos

.22|2222

—sin;.cos■(4coscos--+1)

•sin22cos2cos

+COS

11

=sina.sin。-cosa.cos。+cosa+cosP--

二sina.sin°+cosa.sin°+cosB・6

=Si.n2©P+COS2

222

方法二（从“名”入手，异名化同名）

22221cos2•cos2

原式二sin°+(1-sincosP-P

a.sina).2a

22Hsin2cos2cos2p

=cosB-sina(cosp)-a

221co|§2

=cosB-sina.cos20--a•cos2

2

=cospp2a/a

-cos2cos2

psin-

p

1cos2aj

22

+2。-cos2(12sin)

Psin

2

1cos2

=12=1.

cos_2Pa+P

2—a

方法三（从“幕”入手,利用降暴公式先降次）

PaaPaP

原式二cos211cos211

22cos2cos2•cos2

aPcos2-2

2

2

1(1+cos2•cos2-cos2i1

(1+cos2•cos2cos

a-cos2P)+a4a+cos2P)-a2aB

4

2•cos21.

=aL2aP-a

方法四(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方）

。一aPcos-1cos2-cos2

原式二（sin•sin-cos•cos)2+2sin-sincos

2

a

2(1飞in2•sin*cos2一・cos2

=cos2/2

.«白一)「白一

1

2(+)--cos(2+2j,

=cos2

1

+)-1]=2，

变式训练4：化简：(卜)2sinX+6COSr

25

(2)cosL.

2

2tansin

4

4

13

(1)原式=22xx

sincos

2424

12

=22cosx=22cos(x-).

64_________a1?__________a

-aJ(n.n_____a_+

(2)原式=+aJ1082?ajj=+即2=1.

--------------------1tan彳cos2(1sin2)

1tan21cos2

----------------------sin2

小结归

1.三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是

分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、

函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，

要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计

算，如：2a+0=a+(a+B)等.

2.