重难点05解析几何（原卷版）-2022年高考数学【热点·重点·难点】（新高考专用）

重难点05解析几何

命题趋势

解析几何在新高考中一般为两道选择，一道填空，一道解答题。选择部分：一道圆锥曲线相关

的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一

般难度中等。填空题目也是综合题目，难度中等。大题部分一般是以椭圆、抛物线性质为主，加之

直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等。双

曲线很少出现在解答题中，一般出现在小题中。复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主。

满分技巧

1、将圆锥曲线几何性质与向量数量积、不等式等交汇是高考解析几何命题的一种新常态，问题解决过程中

渗透数学的转化化归，函数与方程和数形结合等的数学思想方法。

2、“定义型’,的试题是高考的一个热点。这种题目设问新颖，层次分明，贯穿解析几何的核心内容，解题的

思路和策略常规常见，通性通法，直线与圆锥曲线的位置关系的解法和基本在此呈现，正确快速的多字母

化简计算是解析几何解题的一道坎。

3、定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题

目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点。

算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤。利用结果写过程的形式。先求结果一般会也是采用满足条件

的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点），所得答案即是要求的定值，然后再利用答案,

写出一般情况下的过程即可。注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案

上凑即可。

4、最值与取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解,一般利用边界点进行求解，

答案即是在边界点范围内。知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写。一般情况下的步骤对于复杂

的计算可以不算。

5、特殊值发：在证明问题中，一些特殊点往往很重要，决定了命题成立于否，因此，恰当地带入一些特殊

点，心里有个大致的结论后再去证明，会更有方向性，效率会提高。记住一些特殊方程的基本特征，会在

求解过程中省掉很多的麻烦，即使有些结论不能直接用，自己也知道是如何证明得来的，就能快速解决问

题了。

6、形结合的思想：解析几何，很显然，解析是数字的，公式的，而几何是图形的，图形一目了然，给人直

观的感受，而公式抽象，能准确的描述图像的特征，结合之后一定会对解题有很大的帮助。并且解析几何

想比较其他题型的优点在于，它可以带回试题中检验，如果算出答案后有时间，建议同学们花一两分钟检

验一下你的答案，这样也有利于你对算出来的答案更有信心，提高准确率。

［热点解读

热点1.求离心率（范围）

热点2.求轨迹方程

热点3.直线与圆锥曲线的综合应用问题

限时检测

A卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1.（2021•河北邯郸•高三期末）已知直线/:◎+勿-,由=0（a>0,。>0）与》轴，y轴分别交于A,8两点，且

直线/与圆O：x2+y2=l相切，则的面积的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

2、,2

2.（2021•天津市第一零二中学高三期中）已知双曲线r会-左=1（a>0力>0）和抛物线丁=2Pxm0）有相

同的焦点片（1,0）,两曲线相交于民C两点，若ABCFi为双曲线的左焦点）为直角三角形，则双曲线的

离心率为（）

A.72B.72+1C.6D.73+1

3.（2021•全国•高三期中）在平面直角坐标系中，坐标原点为。，定点动点P（x,y）满足

\PO\=y/2\PM\,P的轨迹C1与圆C2：x2+y2-3x+3y+4+a=0有两个公共点A,8,若在a上至多有3个

不同的点到直线A8距离为夜，则”的取值范围为（)

A.（-oo,-2-2a]u[-6+2应,+oo）B.卜4-2a,-2-2垃]

C.[-6-2夜,-4-20”（-4+20,-2+2应]D.（-4-2&,-2-2a]u[-6+20,-4+2后）

4.（2021•天津市实验中学滨海学校高三期中）已知F是椭圆E：=+2=1（a>6>0）的左焦点，经过原点

ab~

的直线/与椭圆E交于只Q两点，若归尸|=2|。耳，且/PfQ=120。，则椭圆E的离心率为（）

A.3B.1C.|D.叵

5.（2021•吉林白山•高三期末）已知双曲线C：二-4=1（。>0/>0）与直线y=近交于A,8两点，点尸为C

crZr

上一动点，记直线F4,尸B的斜率分别为原入，L，C的左、右焦点分别为耳，B.若噎•嗫=：,且C的

焦点到渐近线的距离为1,则（）

A.a=4B.C的离心率为必

2

C.若则居的面积为2D.若ap6鸟的面积为2石，则△PEE为钝角三角形

6.（2021•四川成都•模拟预测）设抛物线V=2px（p>0）的焦点为尸，准线为/,过抛物线上一点A作/的垂

线，垂足为8,设C（2p,0）,A尸与8c相交于点。.若ICFHAF|,且乙48的面积为2&,则点尸到准

线/的距离是（）

A.y/2B.y/3C.殍D.竽

2

7.（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线--（=1的右焦点为F,M（4,3石），直线MF与y轴交于点N,

点尸为双曲线上一动点，且同<3石，直线MP与以MN为直径的圆交于点MQ,则归根卜|叫的最大值

为（）

A.48B.49C.50D.42

8.（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆E：=1上有三点A,B,C,线段AB,BC,AC的中点

分别为。，E,尸，。为坐标原点，直线OD,OE,OF的斜率都存在，分别记为用，凝，&,且勺+&+%=26,

直线AB,BC,AC的斜率都存在，分别记为砥3，kBC,kAC,则；+；+；=（）

KABKBC«AC

A.—B.-随C.-2>/3D.-1

33

二、多选题

9.（2。21•河北衡水中学模拟预测）已知双曲线弓4=3。6。）的左、右焦点分别为小居，过K的

直线与双曲线的右支交于A,8两点，若卜耳|=忸段=2|4用，则（）

A.44耳8=/耳48B.双曲线的离心率e=33

3

C.双曲线的渐近线方程为y=±gxD.原点。在以人为圆心，|A同为半径的圆上

10.（2021•全国•模拟预测）已知曲线C：X2+/+2XCOS。-2ysin，=1,直线/经过坐标原点O,则下列结

论正确的是（）

A.曲线C是半径为1的圆B.点。一定不在曲线C上

C.对任意的。，必存在直线/与曲线C相切D.若直线/与曲线C交于4,8两点，贝的最小值为2

11.（2022•全国•高三专题练习）已知抛物线y=2V的焦点为尸，M（x,，x）,N（z，%）是抛物线上两点，

则下列结论正确的是（）

A.点尸的坐标为B.若直线MN过点F,则痞=二

）16

C.若标=2而，则|MN|的最小值为5D.若阿尸|+|距|=与，则线段MN的中点尸到X轴的距离为之

N2O

9

12.（2021•广东•模拟预测）己知A,B分别是椭圆与+丁=1（«>1）的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内

a-

一点，且满足NP84=2NE43,设直线B4,P8的斜率分别为人，的,则（）

2

A.ktk2=-aB.若归川=华|啊，则椭圆的方程为半+/=1

C.若椭圆的离心率0=当，则&=-（匕D.△PAB的面积随占的增大而减小

三、填空题

13.（2021•天津市第一零二中学高三期中）已知过点尸（-2,-2）的直线与圆Y+（y+］）2=5相切，且与直线

x+ay+l=O垂直，则。=

14.（2021•江苏省前黄高级中学模拟预测）已知抛物线C：y2=4x的焦点为尸，P为抛物线C在第一象限内

的一点，抛物线C在点P处的切线与圆尸相切（切点为M）且交x轴于点Q,过点户作圆厂的另一条

PN（切点为N）交x轴于点7,若IH2RQI,则/乃的最小值为.

15.（2022•浙江•模拟预测）己知椭圆G：二+《=1,双曲线G：X-《=1；

（1）若椭圆的上顶点为C,椭圆上有4,8两点，“08和AAC8是分别以。（原点）、C为直角顶点的等

腰直角三角形，则椭圆C1的离心率是；（2）当G与G没有交点时，m,〃应满足.

16.（2021•广东中山•模拟预测）尸为抛物线C:y?=2px的焦点，P（4,2）为抛物线C内一点，”为C上的任

意一点，|“|+|例耳的最小值为5,则片,直线/过点尸，与抛物线交于48两点，且P为线段A5

的中点，过A8分别作抛物线C的切线，两切线相交于点。，则AQ4B的面积为.

四、解答题

17.（2021•辽宁•模拟预测）已知抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为尸，点M（x°,4）在C上，且|〃日=”.

（1）求点M的坐标及C的方程；（2）设动直线/与C相交于A,8两点，且直线M4与MB的斜率互为倒数，

试问直线/是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由.

18.（2021•辽宁•大连市第一中学高三期中）在平面直角坐标系x0y中，点、D,E的坐标分别为（-2,0）,（2,0）,

P是动点，且直线DP与EP的斜率之积等于（1）求动点尸的轨迹C的方程；（2）已知直线丫=a+机与

4

r2

椭圆二+丁=1相交于A,4两点，与y轴交于点若存在加使得丽+3而=4加，求”的取值范围.

4

19.（2021•重庆一中高三期中）如图，在直角坐标系中，以M（0,l）为圆心的圆M与抛物线y=/依次交于A,

B,C,。四点.（1）求圆M的半径r的取值范围；（2）求四边形ABC。面积的最大值，并求此时圆的半径.

20.（2021•上海闵行•一模）如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线八/一9=2的左、右焦点，

点。为线段写。的中点，直线MN过点工且与双曲线右支交于“（不乂）,%（々,%）两点，延长MD、ND,分

别与双曲线「交于P、Q两点.（1）已知点M（3,近），求点。到直线MN的距离;（2）求证：与%—毛乂=2（%-%）；

（3）若直线MMPQ的斜率都存在，且依次设为左、依•试判断》是否为定值，如果是，请求出些的值；如

果不是，请说明理由.

21.（2021•广西玉林•模拟预测）设椭圆氏1+m=1（a>6>0）过历1,'（6两点,

。为坐标原

点.（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交

点A,B,且方，而？若存在，写出该圆的方程，并求|A8|的取值范围；若不存在，说明理由.

22.（2021•上海杨浦•一模）如图，椭圆C：m+以=l（a>6>0）的左、右焦点分别为死、鸟，过右焦点尸2与x

轴垂直的直线交椭圆于例、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆C上.已知山丹|=2,耳的周长为

4人.（1）求椭圆C的方程；（2）若线段P。的中点在y轴上，求三角形石。尸的面积；（3）是否存在以五卫

、丹尸为邻边的矩形月PE。，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在,

说明理由.

B卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1.（2021•江苏•南京师大附中高三期中）已知直线x+y-k=0（k>0）与圆*2+产=4交于不同的两点A、B,

O是坐标原点，且有|0“+。画2中|,月|,那么人的取值范围是（）

A.（省,+oo）B.[V2,-H»）C.[V2,2V2）D.[5/3,2^]

2.（2021•吉林四平•高三期末）如图，耳、尸2分别是双曲线C：与一1=1（。>0,/7>0）的左、右焦点，

过6的直线I与C的左、右两支分别交于点A、8.若AA8鸟为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）

2石

D.上

亍

3.（2021•浙江省诸暨市第二高级中学高三期中）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262790年）的著

作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常

数%（左>0次/1）的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点4（-2,0）、8（2,0）,动点C满

足|AC|=2忸C|,则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P,己知点。在圆P上（点/）在第一象

限），AD交圆尸于点E,连接EB并延长交圆尸于点尸，连接QF,当NDFE=30时，直线AD的斜率为（）

A・噜B.叵「73D.叵

--

1344

22

4.（2021•浙江•高三期末）设双曲线=的左右焦点分别为6,巴.过左焦点£的直线与双曲

ab

线的左支交于点尸，交双曲线的右支于点。，若满足归国=2|。用=忻用，则该双曲线的离心率的取值范围

是（）

A.(1,2)B.(1,72)C.(也2)D.(6+8)

5.（2022•全国•高三专题练习）2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的

（m2

形象.已知抛物线Z:/=4），的焦点为尸，圆尸：x2+（y-l）2=4与抛物线Z在第一象限的交点为尸九7,

\41

直线=与抛物线Z的交点为A,直线/与圆F在第一象限的交点为8,则周长的取值

范围为（）

A.（3,5）B.（4,6）C.（5,7）D.（6,8）

6.（2021•浙江•宁波市北仑中学高三期中）已知动直线/与圆V+y2=4相交于A,B两点，且满足|钻|=2,

点C为直线/上一点，且满足屈=|瓦，若”为线段A8的中点，。为坐标原点，则反.诉的值为（）

A.3B.20C.2D.-3

7.（2021・新疆师范大学附属中学高三阶段练习）已知点尸是椭圆工+4=1上异于顶点的动点，片、*为

6448

椭圆的左、右焦点，。为坐标原点，若M是/耳夕巴平分线上的一点，且丽•标=0,则|。府|的取值范

围是（）

A.（0,2）B.（0,百）C.（0,4）D.（2,2石）

y22

8.（2021•江苏•南京师范大学附属中学秦淮科技高中高三开学考试）已知双曲线C:*■v-齐=1（。>0是>0）的

离心率为萼,双曲线上的点到焦点的最小距离为布-3,则双曲线上的点到点4（5,0）的最小距离为（）

A.1B.如C.2D.卡

2

二、多选题

9.（2021•广东佛山•模拟预测）已知圆G：/+丫2=/，圆C?：（x-a）2+（y-4=/，（r>0,且a,6不同时

为0）交于不同的两点4（4,y）,3（々,必），下列结论正确的是（）

22

A.2axx+2by}=a+bB.一%）+6（乂一%）=°C.x}+x2=a,）\+y2=b

D.M,N为圆。2上的两动点，且I历N|=6r,则|丽+丽|的最大值为J”?+4+广

22

10.（2021•江苏南通•模拟预测）已知双曲线C:1-A=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为的、K,那么下

b

列说法中正确的有（）

A.若点P在双曲线C上，则怎B.双曲线的焦点均在以G用为直径的圆上

C.双曲线C上存在点尸，使得归用+归段=2aD,双曲线C上有8个点P,使得△P£得是直角三角形

11.（2021•全国•模拟预测）已知片（TO）,月（1,0）分别是椭圆C：|y+%=l（a>b>0）的左、右焦点，P在

C上，。为坐标原点，若|O"=1,△P4用的面积为1,贝IJ（）

A.椭圆C的离心率为qB.点。卜一日）在椭圆C上

C.△尸打鸟的内切圆半径为e-1D.椭圆C上的点到直线P片的距离小于2

12.（2021•江苏连云港•高三期中）在平面直角坐标系xOy中，己知F为抛物线V=x的焦点，点

AG，%）,*%,%）在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB=2）则（）

A.X}X2=6B.直线AB过点（2,0）

C.AABO的面积最小值是20D.AABO与VAFO面积之和的最小值是3

三、填空题

22

13.（2021•浙江•模拟预测）已知椭圆C:[+M=l（a>6>0）,A（0,给），若C上任意一点户都满足I%饪功,

ab-

则C的离心率的取值范围为.

14.（2021•重庆・模拟预测）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交

河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，

先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点A（3,0）处出发，

河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.若军营所在区域为

。:W+2|y|42,则“将军饮马”的最短总路程是.

15.（2021•四川南充•一模）已知。为坐标原点，抛物线C：丁=20田5>0）上一点4到焦点尸的距离为%

设点M为抛物线C准线/上的动点，给出以下命题:①若为正三角形时，则抛物线C方程为丁=4x；

②若4V/JJ于例，则抛物线在A点处的切线平分NM4尸；③若而=3丽，则抛物线C方程为丁=6x；

④若|0W|+|M4|的最小值为2旧，则抛物线C方程为/=8x.其中所有正确的命题序号是.

->2

16.（2021•浙江•模拟预测）已知直线l:y=kx+m与离心率为e的椭圆c:=+马=1（。>匕>0）交于A,8两点，

ab

且直线/与X轴，y轴分别交于点CO.若点CD三等分线段AB,则*2+e?=；4=.

m

四、解答题

m（2021・浙江丽水•高三期中）如图，己知抛物线G:产优椭圆C2：丁）.过点EM0）作椭

圆C2的切线交抛物线Cl于A、B两点（其中在X轴上取点G使得NAGE=ZBGE.

（1）求椭圆C2的右焦点到抛物线Ci准线的距离；（2）当AABG的面积为24贬时，求直线AB的方程.

22

18.（2021•江苏如东•高三期中）如图，抛物线£：V=2px（p>0）的焦点为椭圆c?：§+与=1的的右焦

点,A为椭圆的右顶点，。为坐标原点.过A的直线/交抛物线C于C,。两点，射线。C,。。分别交椭圆

G于E,尸两点.（1）求抛物线C的方程，并证明。点在以EF为直径的圆的内部