福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期入学质量抽测数学试卷（含答案）

-2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质量抽测数学试卷（考试时间：120分钟；总分：150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（）A. B. C. D.2.数学符号的使用对数学的发展影响深远，“”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”，便于不等式的表示，则命题：，，的否定为（）A.，， B.，，C.，， D.，，3.已知下列表格表示的是函数，则的值为（）01230214A. B. C.0 D.14.在罗贯中所著的《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军.第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.某校高一5班有学生50人，为迎接国庆节的到来，班级组织了两个活动，其中活动参与的人数有30人，活动参与的人数有25人，由于个人原因有5人两个活动都没有参与，则该班仅参与一个活动的人数为（）A.40 B.35 C.30 D.256.函数，若，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.7.如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.8.某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（）年份20112012201320142015201620172018201920202021年产值278309344383427475528588655729811A.924万元 B.976万元 C.1109万元 D.1231万元二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数，则（）A.的最大值为2B.函数的图象关于点对称C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数在区间上单调递增10.德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（）A.在上单调递增 B.的图象关于点对称C.当时， D.当时，11.设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（）A.（，）B.C.设函数的值域为，则的子集个数为512D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，，则________.13.为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，那么高一（1）班总共有学生人数为________.14.已知不是常数函数，且满足：，.①请写出函数的一个解析式________；②将你写出的解析式得到新的函数，若，则实数的值为________.（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知关于的不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.16.（15分）已知函数（，）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数在上的单调性，并加以证明.17.（15分）已知函数.请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.条件①：；条件②：.（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分）.（1）求实数的值；（2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；（3）设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由.18.（17分）设函数，，.（1）求函数在上的单调区间；（2）若，，使成立，求实数的取值范围；（3）求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过的最大整数，如，）.（参考数据：，）.19.（17分）有如下条件：①对，，2，，均有；②对，，2，，均有；③对，，2，3，；若，则均有；④对，，2，3，；若，则均有.（1）设函数，，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；（2）设，比较函数，，值的大小，并说明理由；（3）设函数，满足条件②，求证：的最大值.（注：导数法不予计分）2023~2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质量抽测数学试卷参考答案阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。题号12345678答案BDBBBACC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。注意：全部选对的得6分，第9题选对其中一个选项得2分，第10、11题选对其中一个选项得3分。有错选的得0分。题号91011答案ABBCDBD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.3 13.3514.（答案不唯一，形如，，是周期为的奇函数均可）；0或2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分）解：（1）因为关于的不等式的解集为，所以，是方程的两根，由韦达定理得，解得，；（2）由（1）得，则，当且仅当，即时取等号，所以取得最小值.16.（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分）解：（1）为奇函数，理由如下：的定义域为，又，故为奇函数；（2）当时，单调递减，当时，单调递增，，，且，则，因为，，且，所以，，当时，，即，故单调递减，当时，，即，故单调递增17.（本题满分15分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题5分）解：（1）令，解得，所以函数的定义域为，若选①：因为，即为奇函数，则，整理得，注意到对任意上式均成立，可得，解得；若选②：因为，即为偶函数，则，整理得，注意到对任意上式均成立，可得，解得.（2）若选①：则，可得，可知函数在区间上单调递减，证明如下：对任意，，且，则，因为，则，，，可得，即，所以函数在区间上单调递减；若选②：则，可得，可知函数在区间上单调递减，证明如下：对任意，，且，则，因为，则，，可得，即，所以函数在区间上单调递减.（3）若选①：则，则，由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增，可知在内单调递减，又因为为奇函数，则在内单调递减，且在内单调递减，可知在内单调递减，结合，，可知在内有且仅有一个零点；若选②：则，则，由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增，可知在内单调递减，又因为为偶函数，则在内单调递增，且在内单调递增，可知在内单调递增，结合，，可知在内有且仅有一个零点.18.（本题满分17分，第一小题5分，第二小题6分，第三小题6分）解：（1）令，，解得，，又，得的单调增区间是和；令，，解得，，又，得的单调减区间是和.函数在上的单调增区间是和，单调减区间是和；（2）若，，使成立，则，，的值域应为的值域的子集.由（1）知，在单调递减，的值域为，，当时，令，则，开口方向向上，对称轴是，，当时，在单调递减，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，，即，解得，所以；（3）由（1）知在上是减函数，易知在上是增函数，所以在上是减函数，又，，根据零点存在性定理知在上有唯一零点，当时，，，所以，即在上无零点，综上，在上有且只有一个零点.，，，.19.（本题满分17分，第一小题8分，第二小题4分，第三小题5分）解：（1）选①④理由：由在上递增，故①满足，②不满足；由，且，则，，，故