湖北省武汉市江汉区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

2023～2024学年度第一学期期末质量检测九年级数学试题考试时间：120分钟试卷总分：120分一、选择题：下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑（共10小题，每小题3分，共30分）．1.有两个事件，事件（1）：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；事件（2）：射击运动员射击一次，命中靶心．下列判断正确的是（）A.（1）（2）都是随机事件 B.（1）（2）都是必然事件C.（1）是必然事件，（2）是随机事件 D.（1）是随机事件，（2）是必然事件【答案】A【解析】【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【详解】解：事件（1）是随机事件；事件（2）是随机事件；故选A．2.下列图形中是中心对称图形的是（）A.五角星 B.等边三角形 C.菱形 D.等腰梯形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】、五角星不是中心对称图形，不符合题意；、等边三角形不是中心对称图形，不符合题意；、菱形是中心对称图形，符合题意；、等腰梯形不是中心对称图形，不符合题意；故选：．3.钟表的指针在不停的旋转，经过10分钟，分针的旋转角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解决本题的关键是求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数，题目较简单．先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为，再求10分钟分针旋转的度数就简单了．【详解】解：时钟上的分针匀速旋转一周的度数为，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：，那么10分钟，分针旋转了，故选：D．4.解一元二次方程，配方后正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】题考查了用配方法解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法．配方法解一元二次方程的方法：将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方．【详解】解：，故选C．5.在平面中，已知的半径等于，点在直线上，则圆心到直线的距离（）A.等于 B.最小值为 C.最大值为 D.不等于【答案】A【解析】【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意可判断直线与相切，熟记直线与圆的位置关系是解题的关键．【详解】解：∵的半径等于，点在直线上，∴直线与相切，∴圆心到直线的距离为，故选：．6.银行经过两次降息，一年期存款的年利率由降至，设平均每次降息的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握由实际问题抽象出一元二次方程是解题的关键.【详解】解：设平均每次降息的百分率为x，列方程得，故选：B.7.下列函数中，图象与轴有两个交点的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，通过二次函数的图象的开口方向，顶点坐标即可判断其图象与轴的交点个数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】、∵的图象的顶点在第二象限，开口向上，∴图象与轴无交点，不符合题意；、∵的图象的顶点在第二象限，开口向下，∴图象与轴有两个交点，符合题意；、∵的图象的顶点在第一象限，开口向上，∴图象与轴无交点，不符合题意；、∵的图象的顶点在第四象限，开口向下，∴图象与轴无交点，不符合题意；故选：．8.正六边形的周长是12，则它的面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正多边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定．过点O作于点G，证明是等边三角形，求出，得出，根据即可求解．【详解】解：过点O作于点G，如图所示：∵六边形为正六边形，∴，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选：D．9.若函数的图象在的范围内与x轴恰好有一个公共点，则a的取值范围是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题．根据题意进行分类讨论：当该函数为二次函数时，；当该函数为一次函数时，；熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，是解题的关键．【详解】解：当该函数为二次函数时，：∵函数的图象与x轴有公共点，∴，解得：，把代入得，∴该二次函数与y轴相交于点，①当时，∵，，∴函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∵该函数图象经过点，在的范围内与x轴恰好有一个公共点，∴当时，，当时，，∴；②当时，∵，，∴函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∵该函数图象经过点，在的范围内与x轴恰好有一个公共点，∴当时，，当时，，∴，不符合题意，舍去；③当时，，当时，，解得：，不符合题意，舍去；当该函数为一次函数时，，，当时，，解得：，不符合题意，舍去；综上：a的取值范围为，故选：B．10.如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为概率．【详解】解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，，∴，解得：，，∴M部分面积与整个圆面积的比：，∴等于，故选A．二、填空题：下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定的位置（共6小题，每小题3分，共18分）．11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．【答案】【解析】【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【详解】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称则两点横、纵坐标互为相反数，点关于原点对称的点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12.某植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小支干，主干、支干和小支干的总数是73，则主干长出的支干的数目是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．【详解】解：设主干长出的支干的数目是个，根据题意列方程得：，故答案为：．13.四边形是的外切四边形，若，则的度数是______．【答案】##102度【解析】【分析】本题主要考查了切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理及其推论．令四边形与分别相切于点E、F、G、H，连接，通过证明，即可求解．【详解】解：令四边形与分别相切于点E、F、G、H，连接，∵是外切四边形，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∵，∴，∴，∴，故答案为：．14.三辆汽车经过丁字路口，可能向左转，也可能向右转，如果这两种可能性大小相同，那么这三辆汽车都朝一个方向转的概率是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出三辆汽车都朝一个方向转的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】画树状图为：共有种等可能的结果数，其中三辆汽车都朝一个方向转的结果数为，所以至少有两辆车向右转的概率为，故答案为：．15.二次函数（，，为常数，）中的与的部分对应值如下表：下列结论：①；②若，则该函数的图象与轴没有公共点；③当时，若，则的值随值的增大而增大；④当时，关于的一元二次方程的解是，．其中正确的是______（填写序号）．【答案】①②③④【解析】【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数图像的性质，对称轴，判别式，抛物线与轴的交点，是解答本题的关键．根据题意，可以得到；再利用判别式时，二次函数没有实数根，即函数的图象与轴没有公共点，由此得到；当时，抛物线开口向上，故在对称轴的右侧，的值随值的增大而增大；通过将关于的一元二次方程变形为：，探讨一次函数与二次函数图像交点的情况，得到关于的一元二次方程的解是，，由此得到答案．【详解】解：由已知条件得：①当时，，故①正确，符合题意；②根据题意，函数的对称轴为直线，即，，该函数的图象与轴没有公共点，根据二次函数图像性质，当时，；时，，只有抛物线开口向下时，该函数的图象与轴没有公共点，即，时，二次函数没有实数根，即函数的图象与轴没有公共点，，又，，即，当时，，时，函数的图象与轴没有公共点，故②正确，符合题意；③当时，抛物线开口向上，故在对称轴的右侧，的值随值的增大而增大，若，则的值随值的增大而增大，故③正确，符合题意；④关于的一元二次方程变形为：，即探讨一次函数与二次函数图像交点的情况，当时，即，二次函数，一次函数，当时，二次函数，一次函数，即，为一次函数与二次函数图像的两个交点，关于的一元二次方程的解是，，故④正确，符合题意，综上，①②③④正确，故答案为：①②③④．16.贴春联是中国传统习俗，晓红老家有个圆形拱门，每年都会贴上长长的春联，看上去非常喜庆．晓红用圆弧近似模拟拱门，经测量发现、的拱高和其所对的弦都是2m，所对的圆心角是，弦与春联的底端平齐，E点正好是春联外侧最高点，则春联的外侧长度大约是______m．（参考数据；结果按四舍五入法精确到0.1）【答案】1.9【解析】【分析】过点E作于G，延长交于F，过点F作于H，如图，先利用垂径定理与勾股定理，求得圆的半径为，，在中，设，则，则，，再证明，得，解得：，求得，则，然后证明，得，即，求得的长，即可求解．【详解】解：过点E作于G，延长交于F，过点F作于H，如图，∵的拱高和其所对的弦都是2m，∴，，设圆的半径为，则，由勾股定理，得，解得：，∴圆的半径为，，∵所对的圆心角是，即，∴，∴在中，设，则，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴春联的外侧长度大约是．故答案为：1.9．【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．此题属圆的综合题目，正确作出辅助线，构造特殊直角三角形与相似三角形是解题的关键．三、解答题：下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形（共8小题，共72分）．17.关于x的一元二次方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根．【答案】m的值为，另一根为【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握的两根为，，则有，是解题的关键．【详解】解：设另一根为a，则，解得：，∴m的值为，另一根为．18.如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，延长交于点F．（1）直接写出的度数；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转前后对应边相等，对应角相等，正确画出辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．（1）根据旋转性质得出，结合得出，即可得出结论；（2）连接，根据旋转的性质得出，，则，进而得出，则，根据三线合一得出，即可求证．【小问1详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】证明：连接，∵绕点C顺时针旋转得到，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．19.学校为增加节日气氛，在新年来临之际举行一次抽奖活动；如图是一个可以自由转动、质地均匀的转盘，每位学生都有一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：转动转盘的次数落在“铅笔”的次数落在“铅笔”的频率（1）直接写出转动该转盘一次，获得铅笔的概率（结果保留小数点后两位），并直接写出饮料所在扇形的圆周角的度数（结果精确到）；（2）小明同学设计了一个摸球试验，在口袋中放一个白球和若干个红球，从中随机摸出一球，如果是白球，就获得饮料，如果是红球，就获得铅笔．并且这个试验中获得铅笔概率跟学校抽奖活动的结果是一样的．直接写出红球的个数；直接写出两次摸球都获得饮料的概率．【答案】（1），；（2）个；．【解析】【分析】（）根据图表中的频率去估计概率及用即可；（）利用概率公式，摸到白球的概率为，摸到红球的概率为即可求解；画树状图，然后利用概率公式求解；本题考查了利用频率估计概率和列表法与树状图法求概率，解题的关键是灵活运用知识点的应用．【小问1详解】根据表格可知：转动该转盘一次，获得铅笔的概率为，饮料所在扇形的圆周角的度数；【小问2详解】设红球的个数有个，由（）得，铅笔的概率为，，解得：，经检验：是分式方程的解，∴红球的个数有个；列表如下：白红红红白白、白红、白红、白红、白红白、红红、红红、红红、红红白、红红、红红、红红、红红白、红红、红红、红红、红共有种等可能的结果数，其中两人都获得“饮料”的结果数为，∴两人都获得“饮料”的概率为．20.如图，在矩形中，经过点A，与矩形的两边相切，切点分别为E，F，与边相交于点G．连并延长交边于点P．（1）求证：；（2）若，直接写出的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的定义，矩形的性质，正方形的判定和性质，正确画出辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）连接，通过证明，四边形是正方形，即可求证；（2）连接，过点O作，则，通过证明四边形是矩形，得出，再根据勾股定理得出，易得，最后根据，即可求解．【小问1详解】证明：连接，∵与相切，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∴；【小问2详解】解：连接，过点O作，∵，四边形是正方形，∴，∵，，，∴四边形是矩形，∴，根据勾股定理可得：，∵，，∴，∴．21.如图，矩形内接于．请仅用无刻度的直尺完成画图，并回答问题．（1）如图（1），画出圆心O；（2）如图（2），E为上一点，，画出弧的中点P；（3）如图（3），E为上一点，四边形是菱形．①试判断直线是否经过点O，并简要说明理由；②与相交于点G，在上画点M，使．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）连接，的交点即为圆心O；（2）连接交于点Q，连接并延长交圆O于点P，点P即为所作；（3）①根据垂径定理的推论即可解题；②延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所作．【小问1详解】解：连接，的交点即为圆心O；【小问2详解】解：连接交于点Q，连接并延长交圆O于点P，点P即为所作；连接，∵，，，∴，∴，∴垂直平分，∴，又∵，∴，∴；【小问3详解】①直线必经过点O，理由为：连接，，∵四边形是菱形，∴垂直平分，∴直线必经过点O；②延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所作．则，为矩形，∴，，，∴，∵为矩形，∴，，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查无刻度直尺作图，掌握角所对的弦是直径，圆的轴对称性，矩形的中心对称，垂径定理的推论，掌握几何图形的对称性是解题的关键．22.某商店销售一种水产品，市场调查得数据如下表：销售价格x（单位：元/千克）45505358月销售量y（单位：千克）550500470420月销售成本m（单位：元）22000200001880016800月销售利润w（单位；元）2750500061107560通过分析，发现该水产品每千克的销售成本是一个常数，月销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足一次函数关系．（1）直接写出该产品每千克的销售成本，并直接写出月销售量y与销售价格x之间的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；（2）要确保该产品月销售利润达到8000元，并控制月销售成本不超过12000元，销售价格应定为多少元/千克？（3）当该产品销售价格为多少元/千克时月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？【答案】（1）该产品每千克的销售成本为40元，月销售量y与销售价格x之间的函数关系式为（2）销售价格应定为80元/千克（3）当该产品销售价格为70元/千克时月销售利润最大，最大月销售利润是9000元【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出函数关系式和方程是解题的关键．（1）根据题意即可求出每千克销售成本，设月销售量y与销售价格x之间的函数关系式为，把代入，求出k和b的值，即可得出函数关系式；（2）根据“月销售成本不超过12000元”列出不等式，求出x的取值范围，再根据总利润=单件利润×销售量，列出方程，求解即可；（3）根据总利润=单件利润×销售量，列出w关于x函数关系式，结合二次函数的增减性，即可解答．【小问1详解】解：根据题意可得：该产品每千克的销售成本（元），设月销售量y与销售价格x之间的函数关系式为，把代入得：，解得：，∴月销售量y与销售价格x之间的函数关系式为；【小问2详解】解：∵月销售成本不超过12000元，∴，解得：，，整理得：，解得：（舍去），，答：销售价格应定为80元/千克；【小问3详解】解：根据题意可得：，∵，∴当时，w有最大值9000，即当该产品销售价格为70元/千克时月销售利润最大，最大月销售利润是