专题04 指数与指数函数（重难点突破）（教师用）-秋季高一数学上学期讲义（人教A版）

专题04指数与指数函数考情分析考点梳理重难点一根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))重难点二分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.重难点三指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数题型突破重难点突破1指数与指数运算例1．（1）（2021·全国高一单元测试）若，，则的值为（）A．7 B．10 C．12 D．34【答案】C【分析】根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选：C（2）．（2021·全国高一课时练习）下列式子中，错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】结合指数的运算公式逐项计算即可判断正误.【详解】对于A，原式，A正确；对于B，原式，B正确；对于C，原式,C错误；对于D，原式，D正确.故选：C.（3）．（2021·全国高一课时练习）计算或化简：（1）－10＋；（2）·.【答案】（1）－；（2）【分析】（1）结合指数的运算公式化简整理即可；（2）根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算公式即可求出结果.【详解】（1）原式;（2）原式.【变式训练1-1】．（2021·全国）化简·的结果为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合指数幂的运算性质，可求出答案.【详解】由题意，可知，∴·.故选：A.【变式训练1-2】．（2021·全国高一课时练习）化简(a>0，b>0)的结果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.【详解】故选：B【变式训练1-3】．（2021·全国高一课时练习）化简：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用根式与分数指数幂互化及分数指数幂的四则运算可得答案；（2）利用分数指数幂的四则运算可得答案；.【详解】（1）原式；（2）原式．重难点突破2指数函数的图像与性质例2．（1）（2021·全国高一课时练习）函数的图像恒过点___________；【答案】【分析】当时，是定值，从而可求出函数图像恒过的定点【详解】当时，是定值，此时，，所以函数的图像恒过点，故答案为：（2）．（2021·全国高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A（3）．（2021·全国高一课时练习）已知函数(其中)的图象如图所示，则函数的图像是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.【详解】由图象可知：，因为，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合，故选：A【变式训练2-1】．（2021·山东高二期末）函数的图象可能为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性可排除选项C和D，再对比余下选项，只需考虑（1）与0的大小关系，即可得解．【详解】因为，所以为奇函数，排除选项C和D，又（1），排除选项B，故选：A【变式训练2-2】．（2021·四川高二期末（文））设函数，若，则（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的分段函数求出的值，列出关于a的方程即可得解.【详解】依题意，，则，于是得，解得或(不符合题意，舍去)，所以.故选：A重难点突破3指数函数的单调性与最值（比较大小）例3．（1）（2021·北京师范大学沧州渤海新区附属学校）函数的单调递增区间为________．【答案】【分析】先换元，结合复合函数单调性“同增异减”的原则进行求解.【详解】设，则，由于，所以为减函数；所以函数的单调递增区间就是的单调递减区间，易求的单调递减区间为，故答案为：.（2）．（2021·内蒙古高二期末（理））已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若的值域是，求的值.【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2）.【分析】（1）当时，得到根据复合函数的单调性的判定方法，即可求得函数的单调区间；（2）令，要使得函数的值域为，的，结合一次、二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）当时，令，由在上单调递增，在上单调递减，又由在上单调递减，根据复合函数的单调性的判定方法，可得在上递减，在上递增，即函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）令，由指数函数的性质知，要使的值域为，应使的值域为，当时，，此时，符合题意；当时，函数为二次函数其值域不可能为，不符合题意，综上可得，实数的值为.【变式训练3-1】．（2021·全国高一课时练习）已知，求函数的最大值．【答案】2【分析】令，，结合，可得最值.【详解】因为，令，则，因为，所以，即，又因为对称轴，所以当，即时，．【变式训练3-2】．（2021·浙江高一期末）已知函数（1）若，求a的值（2）记在区间上的最小值为①求的解析式②若对于恒成立，求k的范围【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）解方程即得解；（2）①对分三种情况讨论得解；②从函数的图象和解析式可以看出函数单调递减，等价于，即得解.【详解】（1）所以；（2）①，令，所以，令或.当时，；当时，；当时，.所以.②函数的图象如图所示，从函数的图象和解析式可以看出函数单调递减，因为对于恒成立，所以，所以.所以.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第2问，其关键是发现函数单调递减.【变式训练3-3】．（2021·全国高一课时练习）已知函数，则f(x)的单调递增区间是___________.【答案】(﹣∞，1)【分析】化简函数，利用指数函数的性质可得单调递增区间．【详解】；∴f(x)在(﹣∞，1)上单调递增；即f(x)的单调递增区间为(﹣∞，1).故答案为：(﹣∞，1).重难点突破4指数型复合函数的应用例4．（2021·山西高一期末）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先将函数解析式变形为，再根据指数函数的性质解不等式即可；（2）依题意有解，令，则在上有解，参变分离得到，根据二次函数的性质求出的取值范围；【详解】解：（1）当时因为，即，因为恒成立，所以，即，解得，即原不等式的解集为（2）因为有零点，即有解，令，故在上有解，即在上有解，因为，在上的值域为所以例5．（2021·东莞市光明中学高一开学考试）已知函数．（1）求满足的实数的值；（2）求时函数的值域．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）把函数中的看作一个整体，则即为关于的一元二次函数，从而求得方程的根；（2）令，根据x的范围有，则可以求得的值域即可.【详解】解：（1）∵∴，∴∴或（舍），∴，∴（2）令，则，∵，∴当时，；当时，所以的值域为例6．（2021·四川高一期末）已知函数是定义在上的奇函数.（1）求、的值；（2）对任意的，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由可求得的值，再由奇函数的定义可求得的值；（2）分析出函数为上的奇函数且为增函数，将所求不等式变形为，可出关于的不等式对任意的恒成立，可得出，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）由题意知：是定义在上的奇函数，，，即，所以，，即对任意的恒成立，.故：，；（2）由（1）知，因此在上是增函数，对任意的，恒成立，可转化，根据在上是奇函数可知恒成立.恒成立，即恒成立，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.例7．（2020·广西高一期中）已知函数（1）判断的奇偶性并证明；（2）用定义法证明：是上的减函数.【答案】（1）为奇函数，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）化简计算，根据奇偶性的定义可判断；（2）任取，化简计算判断正负即可.【详解】（1）解为奇函数.证明如下：由题知的定义域为关于原点对称.因为，所以为奇函数；（2）证明：任取令，则因为所以即又因为所以即，故是上的减函数.四、定时训练（30分钟）1．（2021·山西实验中学）化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意结合分数指数幂的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由分数指数幂的运算法则可得：原式.故选:C.2．（2021·福建高二期末）函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先判断出函数为奇函数，再取时，即可得出选项.【详解】函数定义域为，关于原点对称，，所以函数为奇函数，排除A、C；当时，，排除B.故选：D3．（2020·河北祖冲之中学高二期末）已知函数若，则的值为______．【答案】4【分析】根据自变量所属的区间，代入相应段的解析式求值即可.【详解】由题意可知，，解得，故答案为：4．4．（2020·浙江高一期末）设常数，函数为奇函数.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由于函数为奇函数可得，求出，再验证即可；（2）当时，恒成立，转化为，令，则有，而函数在上为增函数，从而可得，进而可求出实数的取值范围.【详解】解：（1）及可得，，此时，满足，∴为奇函数.（2）由可得，，.当时，令，则有，因为函数在上为增函数，，，故实数的取值范围为为【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数的性质的应用，考查不等式恒成立问题，考查数学转化思想，解题的关键是把当时，恒成立，转化为，再换元令，则，再由函数的单调性可求出的取值范围，属于中档题5．（2021·湖南高一期末）已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)把代入函数解析式，求解关于的一元二次不等式，进一步求解指数不等式得答案；(2)不等式恒成立，等价于恒成立，求出时的范围，可得，即可求出的取值范围．【详解】解：（1）当时，即：，则不等式的解集为．（2）∵由条件：∴∴恒成立∵．即的取值范围是．【点睛】解不等式的常见类型：(1)一一二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性．6．（2021·全国高一专题练习）已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求的值；（2）判断单调性并证明；（3）若，不等式恒成立，求k的取值范围．【答案】（1）；（2）在上单调递减，证明见解析；（3）【分析】（1）由为上的奇函数可知，由此求解出的值，再将的值代入进行检验即可；（2）利用定义法证明的单调性，先任取，然后通过计算的值与比较大小，由此可得的大小关系，则单调性可知；（3）先根据函数的奇偶性和单调性将问题转化为“对恒成立”，然后对进行分类讨论：，再通过分离参数并结合基本不等式求解出关于的式子的最值，从而求解出的取值范围.【详解】解：由于定义域为的函数是奇函数，则即，解得，即有，下面检验：，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合；在上是减函数.证明：设任意，，由于，则，即有，则有，故在上是减函数；不等式，由奇函数得到，，再由在上是减函数，则，即有对恒成立，当时，，显然成立；当时，，，当且仅当时，取得等号，则；当时，，又，当且仅当时，取得等号，则；综上可得的范围是7．（2021·江苏）已知函数为奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于的不等式【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（