人教版初中数学九年级上册 圆周角的概念和圆周角定理

圆周角的概念和圆周角定理

复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？oAB顶点在圆心的角叫圆心角。oABC考考你：你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB这样的角下个定义吗？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？oABoABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC图1图2图3图4图5图6图7图8图9圆外角圆内角2．探究CAOB（1）在圆上任取

，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，测量它们的度数，你能发现什么？BC2．探究（1）在圆上任取

，画出圆心角∠BOC，圆心O与圆周角有几种位置关系？BCBCOA圆心在∠BAC的一边上BCOA圆心在∠BAC的内部BCOA圆心在∠BAC的外部.

证明你的猜想:（1）圆心在∠BAC的一边上.

AOBC由于OA=OC因此∠C=∠BAC而∠BOC=∠BAC+∠C所以∠BAC=∠BOC12（2）圆心在∠BAC的内部.OABCD作直径AD.由于∠BAD=∠BOD121∠DAC=∠DOC，2所以∠BAD+∠DAC=

（∠BOD+∠DOC）121即∠BAC=∠BOC2（3）圆心在∠BAC的外部.OABCD作直径AD.1由于∠DAB=∠DOB2∠DAC=∠DOC，12即∠BAC=∠BOC12所以∠DAC-∠DAB=12（∠DOC-∠DOB）结论1：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆周角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧与劣弧分别相等．

同圆或等圆

中，两个圆心角、

两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．结论1：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆周角定理：推论：同弧或等弧所对的圆周角相等注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了相等的圆周角所对弧相等归纳：归纳：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两个圆周角③两条弧,

④两条弦,

⑤两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.注意：同弦所对的弧有优弧和劣弧，所对的角相等或互补

如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠3=∠6利用同弧所对的圆周角的相等练习

ABCD12345678如图23.1.9，

线段AB是⊙O的直径，

点C是⊙O上任意一点（除点A、B），

那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.

想想看，∠ACB会是怎么样的角？

思考1我们可以看到，

OA＝OB＝OC，

所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，

因而∠OAC＝∠OCA，

∠OBC＝∠OCB.又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以

∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.

如图：

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径。结论2:练一练1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A、50°；B、80°；C、90°；D、100°ACBOD2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（）A、30°；B、60°；C、90°；D、45°CABPB例1如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．四边形ACBD的面积.又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.∴AD=BD.⌒⌒例题讲解:(1)一个概念（圆周角）

内容小结：(2)一个定理：

(3)三个推论：同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.

半圆或直径所对的圆周角是直角；

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等且等于该弧所对的圆心角的一半；90°的圆周角所对的弦是直径。1.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D

为半圆上的