八年级上册全部知识点汇总及试卷含答案

第章三角形的初步知识

复习总目

1、掌握三角形的角平分线、中线和高线

2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质

3、掌握三角形全等的判定方法

知识点概要

1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做

三角形.

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;

相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，

三角形ABC用符号表示为aABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小

写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.\

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；/\

（2）三角形是一个封闭的图形；B-

（3）ZXABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义.

2、三角形的分类：

（1）按角分类：

（直角三象形

三角形J,

锐角三角形

斜三角形《

钝角三角形

⑵按边分类：'

r等腰三角形1底边和腰不相等的等腰三角形

三角形.I等边三角形

、不等边三角形

3、三角形的主要线段的定义:

（1）三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段.

表示法：1.AD是AABC的BC上的中线.

BDC

2.BD=DC=-BC.

2

注意：①三角形的中线是线段；

②三角形三条中线全在三角形的内部；

③三角形三条中线交于三角形内部一点；

④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.

A

（2）三角形的角平分线必、

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交//y/点

之间的线段BDC

表示法：1.AD是4ABC的NBAC的平分线.

2.Z1=Z2=-ZBAC.

2

注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部；

③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；

④用量角器画三角形的角平分线.

（3）三角形的高A

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间/\

的线段.Z___\

BDC

表示法：1.AD是aABC的BC上的高线.

2.AD_LBC于D.

3.ZADB=ZADC=90°.

注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角

三角形有两条高在形外；

③三角形三条高所在直线交于一点.

4、三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；

（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.

5、三角形的角与角之间的关系:

（1）三角形三个内角的和等于180°;

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

⑷直角三角形的两个锐角互余.

6、三角形的稳定性：

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性.

注意：（1）三角形具有稳定性；

（2）四边形没有稳定性.

7、全等三角形

（1）全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。

（2）三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简

写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简

写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”

或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定

理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、

直角边”或“HL”）

（3）全等变换

只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫

做旋转变换。

中考规律盘点及预测

三角形的两边之和大于第三边的性质历年来是经常考到的填空题的类型，三

角形角度的计算也是考到的填空题的类型，三角形全等的判定是很重要的知识

点，在考试中往往会考到。

典例分析

例1如图，已知N1=N2,则不一定能使4ABD乌Z\ACD的条件是()

A、AB=ACB、BD=CDC、ZB=ZCD、ZBDA=ZCDA

考点：全等三角形的判定。

分析：利用全等三角形判定定理ASA,SAS,AAS对各个选项逐一分析即可得出答

案.

解答：证明：A、VZ1=Z2,AD为公共边，若AB=AC,则AABD组Z\ACD(SAS)；

故本选项正确，不合题意.

BsVZ1=Z2,AD为公共边，若BD=CD,不符合全等三角形判定定理，不能判定

△ABD^AACD；故本选项错误，符合题意.

C、VZ1=Z2,AD为公共边，若NB=NC,则aABD组4ACD(AAS)；故本选项正

确，不合题意.

D、VZ1=Z2,AD为公共边，若NBDA=NCDA,则△ABDgZ\ACD(ASA)；故本选

项正确，不合题意.故选B.

点评：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，

属于基础题.

例21、在AABC中，已知NB=40°,ZC=80°,则NA=60(度)

2、在AABC中，ZA=60°,ZC=50°,则NB的外角=110°

考点：1、2两题均为三角形的内角之和为180。

点评：三角形内角之和等于180°是学生必掌握的知识点，这两题是基础题

3、下列长度的三条线段能组成三角形的是（C）

A.3cm,4cm,8cmB.5cm,6cm,11cmC.5cm,6cm,10cmD.3cm,8cm,12cm

4、小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一

个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是.一11一.—16—.

考点：3、4两题是三角形的两边之和大于第三边的性质

点评：三角形两边之和大于第三边的性质是关于判定能否组成三角形的一个重要

知识点，属于基础题

例3如图，AD是aABC的角平分线，DF±AB,垂足为F,DE=DG,AADG^AAED

的面积分别为50和39,则4EDF的面积为（）

考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质。

分析：作DM=DE交AC于M,作DNJ_AC,利用角平分线的性质得到DN=DF,将三

角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求.

解答：解：作DM=DE交AC于M,作DNLAC,

VDE=DG,

.\DM=DE,

VAD是4ABC的角平分线，DF±AB,

.,.DE=DN,

.,.△DEF^ADNM,

AADG和ZXAED的面积分别为50和39,

SAMDG=SAADG-SAAMG=590-39=11,

SADNM=SZ\DEF=错误！未找到引用源。Sa»i）G=—X11错误！未找到引用源。=5.5

2

A

点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正

确的作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求.

例4如图，在下列条件中，不能证明AABD组Z\ACD的是（）

A.BD=DC,AB=ACB.ZADB=ZADC,BD=DC

C.ZB=ZC,ZBAD=ZCADD.ZB=ZC,BD=DC

考点：全等三角形的判定.

分析：两个三角形有公共边AD,可利用SSS,SAS,ASA,AAS的方法判断全等三

角形.

解答：解：VAD=AD,

A.当BD=DC,AB=AC时，利用SSS证明△ABDgZXACD,正确；

B.当NADB=NADC,BD=DC时,利用SAS证明△ABDg^ACD,正确；

C.当NB=NC,NBAD=NCAD时，利用AAS证明△ABDgZ\ACD,正确;

D.当NB=NC,BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明aABD^aACD,错误.

故选D.

点评：本题考查了全等三角形的几种判定方法.关键是根据图形条件，角与边的

位置关系是否符合判定的条件，逐一检验.

例5如图，点反F、a£在同一条直线上，点力、〃在直线切的两侧，AB//

DE,BQCE,请添加一个适当的条件：

使得AODF.

考点：全等三角形的判定与性质.

分析：要使力信加，则必须满足△/况必△侬；已知力6〃庞，正圆则可得到

/B=/E,BC=EF,从而添加/斤应即可利用SAS判定△46隹△瓦F.

解答：解：添加：AB=DE

'：AB//DE,BRCE,：.444E,B6EF,

•:A±DE,：./\ABC^/\DEF,：.AODF.

故答案为：AB^DE.

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的综合运用能力.

基础练习

一、精心选一选（每小题3分，共30分）

1、在下列各组图形中，是全等的图形是（）

AA深。

A、B、C、

2、下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）

3、如图1,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,

这样做的根据是（）

A、两点之间的线段最短；

B、三角形具有稳定性；

C、长方形是轴对称图形；

D、长方形的四个角都是直角;

4、图2中的三角形被木板遮住了一•部分，被遮住的两个角不可能是（）

A、一个锐角，一个钝角；B、两个锐角；

C、一个锐角，一个直角；D、一个直角，一个钝角；

5、以下不能构成三角形三边长的数组是（）

A、（1,73,2）B、（3,4,5）C、（32,42,52）D、（73,4,百）

6、一个三角形的两个内角分别为55°和65°,这个三角形的外角不可能是

（）

A、115°B、120°C、125°D、130°

7、小明不慎将-块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块（图中所标1、2、3、4）,

你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样僻角形玻璃？应该带

（）去/2\

A、第1块；B、第2块；/、、图3

C、第3块；D、第4块；'

8、如图4,在锐角^ABC中，CD、BE分别是一

AB、AC边上的高，且CD、BE相交于一点P,若NA=50°,

A、150°B、130°

C、120°D、100°

9、用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴

棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的

三角形的个数是（）

A、1B、2C、3D、4

10、如图5,在aABC中，D、E分别是AC、BC边上的

点，若△ADBgaEDBg/\EDC,则NC的度数为（）

A、15°B、20°C、25°D、30°

二、耐心填一填（每小题3分，共30分）

11、在4ABC中，若NA—NB=90°,则此三角形是三角形；若

NA=LZB=1NC,由此三角形是______三角形；

23

12、如图6,已知AC=BD,要使△ABCgADCB,

只需增加的一个条件是;

13、设AABC的三边为a、b、c,化简

la-b-cl+lb-c-al+lc-a-bl=

14、已知三角形的两边长分别是3cm和7cm,第三边长是偶数，则这个三角形的

周长为cm；

15、如图7,在AABC中，已知AD=DE,AB=BE,ZA=80°,则NCED=

16、如图8,把矩形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，如果AD=56cm,

DM=5cm,ZDAM=30°,则AN=____cm,NM=cm,

ZBNA=_________度；

17、如图9,AABC中，AB=AC,BD、CE分别是AC、AB边上的高，BD、CE交于点

0,且AD=AE,连结AO,则图中共有________对全等三角形；

18、如图10,已知NB=NC,AD=AE,则AB=AC,请说明理由（填空）

B

解：在aABC和4ACD中，

fZB=Z（）

ZA=Z

/.△ABE^AACD

/.AB=AC

19、如图11所，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=；

20、用一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、

90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角,

如75°、120°等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼

还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是：

C图11D

三、细心做一做（共60分）

21、（8分）七年级某班的篮球啦啦队同学，为了在明天比赛中给同学加油助威，

提前制作了同一规格的彩旗。小明在放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，

他想用彩纸重新制作一面彩旗（如图12所示），请你帮助小明，用直尺和圆规在

彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形，并解释你作图的理由。

理由:

22、（9分）如图13,四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点0

（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；

（2）任选（1）中的一对三角形对其全等加以说明；

图13

23>（10分）小明做了一个如图14所示的风筝，他想去验证NBAC与NDAC是否

相等，手头只有一把（足够长）尺子，你能帮助他想个方法吗？说明你这样做的理

图14

24、(8分)某产品的商标如图15所示，0是线段AC、DB的交点，且AC=BD,AB=DC,

小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：

VAC=DB,ZAOB=ZDOC,AB=AC,

.,.△ABO^ADCO

你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用

的是判别三角形全等的哪个条件，如果不正确，

写出你的思考过程。

25、(12分)没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下

面是小彬的做法，他的画法正确吗？请说明理由。

如图16,角平分线的刻度尺画法：0

(1)利用刻度尺在NA0B的两边上，分别取OD=OC；

⑵连结CD,利用刻度尺画出CD的中点E；

(3)画射线OEB

所以射线0E为NA0B的角平分线;图16

26、(13分)如图17,C在直线BE上，NABC与NACE的角平分线交于点A“

(1)若NA=60°,求NAi的度数；

(2)若NA=m,求NAi的度数；

(3)在(2)的条件下，若再作NABE、NACE的平分线，交于点A?；再作N&BE、

NA/CE的平分线，交于点A：,；……；依次类推，则NA?,ZA:i,……，NA”分别

为多e度?

Ai

A?

E

B

C

图17

参考答案

一、1、C2、D3、B4、D5、C6、D7、B8、B9、C10、D

二、11、钝角，直角12、/ACB=NDBC或AB=CD13、a+b+c

14、16或1815、100°16>5VL5,60°

17、ZC,已知，ZA,公共角，AD,已知，AAS,

全等三角形的对应边相等；

18、519、180°

20、15°、105°、135°、150°、165°（写出三个即可）

三、21、画图略，理由：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等;

22、（1）三对全等三角形：Z\ABC乌/XADC、AABO^AADO.

△CBO^ACDO；（2）略；

23、用尺子量出AB、AD、BC、CD的长度，若AB=AD,BC=CD,

则NBAC=NDAC,因为当AB=AD,BC=CDII寸，另有AC=AC,

则AABC组aADC,由此可得NBAC=NDAC；

24、小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边；

正确的解答是：连结BC

在AABC和4DBC中，

VAB=CD,AC=BD,BC=BC,

.,.△ABC^ADBC

...ZA=ZD,

在AAOB和aDOC中，

VZA=ZD,ZA0B=ZD0C,AB=CD,

/.△AOB^ADOB

25、小彬的画法正确，因为由画法知：OD=OC,CE=DE,而OE=OE,所以

^△DOE,/.ZA0E=ZB0E,，0E就是NA0B的角平分线;

26、VZA^ZAiCE-ZA^C

=-ZACE--ZABC

22

=-(ZACE-ZABC)

2

，⑴当NA=60。时,4=30°；

(2)当NA=m时，ZAi=—m；

2

n

(3)依次类推NA2=！m,ZA:i=-m,-,ZA„=(-)m

482

第二章特殊三角形

复习总目

1、掌握等腰三角形的性质及判定定理

2、了解直角三角形的基本性质

2、掌握勾股定理的计算方法

知识点概要

1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两

个图形是全等图形

2、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的

顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

3、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

4、直角三角形的性质

(1)直角三角形的两个锐角互余

(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

(4)勾股定理：直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即

a2+b2=c2

(5)摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的

比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

NACB=90、rCD2=AD»BD

»*AC'=AD•AB

CD±ABJ〔BC2=BD»AB

(6)常用关系式

由三角形面积公式可得：AB.CD=AC.BC

中考规律盘点及预测

特殊三角形中的等腰三角形与第一章的全等三角形的证明结合起来这种题

型会常出现，等腰三角形的性质是基础知识，必须得掌握并灵活的运用到各类题

型中去，这类题型中考也是必考的。

典例分析

例1在aABC中，AB=AC,Zl=—ZABC,Z2=—ZACB,BD与CE相交于点0,

22

如图，NBOC的大小与NA的大小有什么关系？BA⑷----〜

若N1=』NABC,Z2=-ZACB,则NBOC与NA大小关系如何？

33

若N1=」NABC,Z2=-ZACB,则NBOC与NA大小关系如何？

nn

考点：等腰三角形

分析：在上述条件由特殊到一般的变化过程中，

根据等腰三角形的性质，Z1=Z2,ZABD=ZACE,

即可得到N1=LNABC,N2=L/ACB时，ZB0C=90°+—ZA；

222

Zl=-ZABC,N2=1NACB时，ZB0C=120°+-ZA；

333

Z1=-ZABC,N2=L/ACB时，ZBOC=—-180°+ZA.

nnn

例2如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC,以BP为边作N

PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.

(2)若PA：PB：PC=3：4：5,连结PQ,试判断

△PQC的形状，并说明理由.

分析(1)把ZXABP绕点B顺时针旋转60°即可得

到△CBQ.利用等边三角形的性质证△ABPg△CBQ,

得到AP=CQ.(2)连接PQ,则aPEQ是等边三角

形.PQ=PB,AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5,.•.△PQC是直角三角形.

点评利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识

点完成此题的证明.

例3已知：在中，AB=AC,BD=BC,AD=DB=BE,求，的

度数.

分析由条件易得=,ZA=ZDfiA,ZG=ZCZM,

且ZD£A=/L8BD+Z£DB=2

I3

ZEBD=-ZAZC=Z£tDC=ZA4-Z«fi!O=-ZA

二2,又2

3

2-^A+^A=l90°

:.2.2=45。

点评这题运用到等腰三角形的等角对等边的性质，像这类的求角度的题是会经

常出现的类型，应熟练掌握这类题型的解题方法

例4如图，已知：在&场C中，AB=AC,BB=CD,Zfi=70°,BD=CF.

求：£EDP的度数.

分析由已知条件易证必皿三..•.NaKDnNODP

:.NSBie+NSf=4!M+ZaS!D=1800-NJ=110°

.-.ZtfDf=180°-110°=70°

点评这题运用到全等三角形的证明与等腰三角形知识的结合，比较灵活，要求

学生能灵活的将两类知识结合起来运用，这类题型在考试中也是比较常见的

基础练习

一、填空题

1.已知等腰三角形个内角的度数为30°,那么它的底角的度数是

2.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是.

3.等腰三角形的两边长分别为3厘米和6厘米，这个三角形的周长为

4.如图，在中，.加平分NftIC.RTOan.AD.

则D点到AB的距离为

5.如图，在&的中，^C-VT.AD平分NiMC.a&l血，若

ZZMD-30",ijiijZfl-,D8-

6.如图，^wa-7(r.zA-5(r,4?的垂直平分线交力0于〃则

ZMC-

7.如图，&1AC7中，庞垂直平分的周长为13,那么&的

的周长为

A

D

8.如图，如果点"在的平分线上且"-6厘米，则3M

你的理由是.

9.如图，已知树边的垂直平分线交皿于点

D,B,BE~6,则AflC阳的周长为.

二、解答题

1.如图，^ABC中，ZC-2Z5.Z1-Z2,试说明：AB-AC+CD.

2.如图，求作一点尸，使核，并且使点尸到乙48的两边的距离

相等，并说明你的理由.

3.老师正叙述这样一道题：请同学们画出一个山皿，然后画出/3./C的

中垂线，且交于点P.请同学们想一下点尸到三角形三个顶点4及C的距离如

何？小明马上就说：‘‘相等."他是随便说的吗？你同意他的说法吗？请说明你

的理由.

4.如图，已知&4A7中，龙垂直平分AC,交C于点E,交加'于点D,&ABD

的周长是20厘米，4。长为8厘米，你能判断出&VC的周长吗？试试看.

5.有一个三角形的支架如图所示，AB-AC，小明过点力和a'边的中点

〃又架了一个细木条，经测量〃■",你在不用任何测量工具的前提下，能

得到和乙3的度数吗？

BDC

6.请你在纸上画一个等腰三角形/a'（如图），使得.

（1）请你判断一下N6与NC有什么大小关系呢？你的依据是什么？

（2）请你再深入地思考一个问题：若只知道与NC相等，请你判断一

下这个三角形是什么形状的呢？并说明你的探索思路.

（3）由第（2）你会得到一个什么结论呢？请用一句话概括出来.

（4）现在给出两个三角形（如图），请你把图（1）分割成两个等腰三角形,

把图（2）分割成三个等腰三角形.动动脑筋呀！

参考答案：

一、1.30°或75°2.120°3.15厘

米4.45.30°,DC

6.2007.198.6cm,角平分线上的点到角两边的距离相

等9.22.

二、L提示：在48上截取迎,易说明&SDg&iCD,从而可

说明RD=CD=3S,所以AB=/C♦CD

2.提示：作线段切的垂直平分线和右蚊》的角平分线，两线交点即为所

求点.

3.我同意小明的说法.如图，•.•点。是18的中垂线上一点，...而・产《•

点尸是是ZC中垂线上一点，.•・痴.：.PA-PB-PC.

X

J

£

4."DR垂直平分/aZX™的周长是20厘米，I.

AB^BD^AD-20.：.AB+BD+DC・■20即加+纪・20.又,

;.AB+KT+AC-2S厘米.

5.--M-AC.D为切边的中点，.../〃又是6。边的高线和的角平

分线：^ADCZ&W-W.

6.(1)相等、依据，等腰三角形两底角相等.

(2)等腰三角形.如图，证明：过点A作血,在A3。和41ZX7

中•：NB-4C.4ADB・4MXT・9b.£D・AD,A^D^tsADC,

A3=AC

(3)两个底角相等的三角形是等腰三角形.

(4)如图.

第三章一元一次不等式

复习总目

1、理解不等式的三个基本性质

2、会用不等式的基本性质解一元一次不等式并掌握不等式的解题步骤

3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组

知识点概要

一、不等式的概念

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的

未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集

合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法

二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或

乘的运算改变。②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中，

要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，

那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立；

三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次

数是1,且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并

同类项（5）将x项的系数化为1

四、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念：儿个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一

元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式

组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为

空集。

5、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组

不等式：①用符号〉，=,〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或

减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个

正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号

方向相反。

7、不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式

中考规律盘点及预测

一元一次不等式(组)的解法及其应用，在初中代数中有比较重要的地位，

它是继一元一次方程、二元一次方程的学习之后，又一次数学建模思想的学习，

是培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，在近儿年来的考试中会出现此

类型的题目

典型分析

4*2x>x<-3..........(0

例1解不等式组,7+2x2&.……(2)

4*-1>”一支….…0)

分析解不等式⑴得x>T,

解不等式⑵得xWl,0"°

图⑴

解不等式(3)得x<2,

X>-II

-A-1>

・・•在数轴上表示出各个解为：-1o1

广<2图⑵

，原不等式组解集为T〈xWl

注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由

小到大排列，解集不包括T而包括1在内，找公共解的图为图（1）,若标出解

集应按图（2）来画。

点评这类题型是常见的解一元一次不等式组，并结合数轴解题，在解题过程中

要注意运算的准确性及数轴的表示法

3x-2>4x-5

例2求不等式组<的正整数解。

分析解不等式3x-2>4x-5得：x<3,

解不等式立得xW2,1、先求出不等式组的解集。

3

■<3

一J1----->2、在解集中找出它所要求的特殊

0123

解，正整数解。

...原不等式组解集为x<2,

•••这个不等式组的正整数解为x=l或x=2

点评此类题型关键是正整数解，这要结合数轴将其正整数解出来，在运算过程

中要注意正负数的运算，这在考试中是会经常出现的题型

例3m为何整数时，方程组I：'二二多的解是非负数？

13-3te

~2~

分析解方程组得《

5x+3^-13513

y-2~

：方程组J：?.，的解是非负数，p>0

&2Q

(13-%-.13

MS一

即,解不等式组.3，此不等式组解集为，Wm

、13

M2一

25

・石

又,.丁为整数，，m=3或m=4。

点评本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即I”;：。先

卜20

解方程组用m的代数式表示x,y,再运用“转化思想”，依据方程组的

解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定

m的整数值。

例4解不等式-3W3x-l<5。

分析解法(1)：原不等式相当于不等式组L(3x-12-3

131T<5

解不等式组得<x<2,・・・原不等式解集为-2Wx<2。

二二

解法(2):将原不等式的两边和中间都加上1,得-2W3x<6,

将这个不等式的两边和中间都除以3得，

...原不等式解集为-：<x<2。

点评这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组，做题很灵活，解法有

两种，在解题过程中要注意正负数移项时的符号

例5有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2,如果这个两位数大于

20并且小于40,求这个两位数。

分析解法(1):设十位上的数为x,则个位上的数为(x+2),原两位数为

10x+(x+2),

由题意可得：20<10x+(x+2)<40,

解这个不等式得，17(6<3看S，

•••x为正整数，.•.1A<X〈3S的整数为x=2或x=3,

.,.当x=2时,.\10x+(x+2)=24,

当x=3时，，10x+(x+2)=35,

答：这个两位数为24或35。

解法（2）:设十位上的数为x,个位上的数为y,则两位数为10x+y,

CD

由题意可得卜…..（这是由一个方程和一个不等式构成的

[20<10x+jr<40.....(2)

整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。

将⑴代入⑵得,20<llx+2<40,

解不等式得：7帝5

•.'X为正整数，1热76<3点5的整数为x=2或x=3,

当x=2时，y=4,1.10x+y=24,

当x=3时，y=5,10x+y=35o

答：这个两位数为24或35。

解法（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小

于40,所以它十位上的数只能是2和3。当十位数为2时，个位数为4,

当十位数为3时，个位数为5,所以原两位数分别为24或35。

点评这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运

用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数------十位上的数字与

个位上的数；一个相等关系：个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系:

20〈原两位数（40。

基础练习

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、a、b、c在数轴上的对应点的位置如图1所示，下列式子中正确的有（）

图1

①b+c>0,©a+b〉a+c,（3）bc>ac,（4）ab>ac

A.1个；B.2个；C.3个；D.4个.

2、不等式2x—5W0的正整数解有（）

A.1个；B.2个；C.3个；D.0个.

x<-2

3、如图2,能表示不等式组解集的是（）

〃〃八」「〃〃心一一

-2-144

4、如图3,不等式组［2》一4<0,的解集在数轴上表示正确的是（）

x+120

-102-102

Jx—2W0

不等式组x+l>0的解是（

A、xW2B、x22C、一lVx<2D>x>—1

6、下面不等式组无解的是（）

x—1<0Jx—1<0、Jx—1>0Jx-1>0

x+2<0'Ix+2>0*，，+2<0，D，jx+2>0

7、已知。、b为实数，且他=1,设知=」一+T<，N=-^-+-^-,则“、N的

a+1/?+1

大小关系是（）

A.M>NB.M=Nc.MYND.不确定

x<2

8、已知关于x的不等式组卜〉-l无解，则a的取值范围是（）

x>a

A.aW—1B.a22C.—l<a<2D.a<—1,或a>2

9、小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢

笔5元，那么小明最多能买钢笔（）.

A.12支；B.13支；C.14支；D.15支.

10、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷

板的一端；体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时，爸爸

的那一端仍然着地.请你猜一猜小芳的体重应小于（）

A.49千克B.50千克C.24千克D.25千克

二、填空题（每小题3分，共30分）

_a_b

H、若a>b,则-5~2.

12、如果->0,那么xy_0.

13>不等式5*—9W3（x+1）的解集是.

2x+440

14、不等式组」工+2〉0的整数解为______.

15、已知上士则x的最大整数值为.

2-34

X]+x2=a,

16、在关于X”X2,X3的方程组<%+%3=%中，已知。1>42>。3，那么将X”

x3+Xj=a3

X2,X3从大到小排起来应该是.

17、对于整数a,b,c,d,符号"”表示运算ac-bd,已知1<1“<3,贝Ub+d

dcd4

的值是.

5-2x>-1

18、已知关于x的不等式组；无解，则a的取值范围是_____.

x-a>0

19>已知不等式4x—aW0的正整数解是1,2,则a的取值范围是.

20、为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小

交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩

序.若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最

后一个路口不足8人，但不少于4人.则这个中学共选派值勤学生_____人，共

有个交通路口安排值勤.

三、解答题(每小题7分，共35分)

10-4(x-3)>2(x-l)①

21、解不等式组,l-2x6，并写出此不等式组的整数解.

x-l>----②

I3

22、已知关于x、y的方程组[尤―)'="+3的解满足x>y>o,化简g|+|3—a].

2x+y=5a

23、有一个两位数，其中十位上的数字比个位上的数字小2,如果这个两位数大

于20而小于40,求这个两位数.

24、慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖4人，二等奖6人，三等奖

20人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次的奖品相同.

(1)若一等奖，二等奖、三等奖的奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三

种奖品共计花费113元，其中购买喷壶的总钱数比购买口罩的总钱数多9元，而

口罩的单价比温度计的单价多2元，求喷壶、口罩和温度计的单价各是多少元？

(2)若三种奖品的单价都是整数，且要求一等奖的单价是二等奖单价的2倍，

二等奖的单价是三等奖单价的2倍，在总费用不少于90元而不足150元的前提

下，购买一、二、三等奖奖品时它们的单价有几种情况，分别求出每种情况中一、

二、三等奖奖品的单价？

25、某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评.A、

B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学

参与了民主测评.结果如下表所示：

表1演讲答辩得分表(单位：分)

ABCDE

甲9092949588

乙8986879491

表2民主测评票数统计表(单位：张)

“好”票数“较好”票数“一般”票数

甲4073

乙4244

规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和•个最低分再算平均分”的方法

确定;

民主测评得分=“好”票数X2分+“较好”票数XI分+“一般”票数X0

分；

综合得分=演讲答辩得分x(1-a)+民主测评得分Xa(0.5<aW0.8).

⑴当a=0.6时，甲的综合得分是多少?

⑵a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高?

四、探索题(第26、27小题，每小题8分，第28小题9