4-1第四章-常微分方程课件

第四章常微分方程1、微分方程的基本概念2、一阶微分方程3、二阶线次微分方程1精选2021版课件第一节常微分方程

O、背景

一、引例

二、概念和公式导出

三、案例2精选2021版课件

函数是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系，寻求函数关系在实践中具有重要意义。许多实际问题，往往不能直接找出需要的函数关系，却比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变量之间关系的等式．这样的等式就是微分方程．1676年詹姆士．贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世界的重要工具．1846年,数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了一颗有名的新星—­­—­­海王星．1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例还有很多．在微分方程的发展史中，数学家牛顿、莱布尼兹、贝努利家族、拉格朗日、欧拉、拉普拉斯等等都做出了卓越的贡献．背景

3精选2021版课件一、引例[曲线方程]一平面曲线上任一点的切线斜率等于该点横坐标的二倍，试建立该曲线满足的方程式．解设所求曲线为由导数的几何意义知，曲线上任一点处的切线斜率为根据题意有即4精选2021版课件二、概念和公式的引出凡含有未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程．微分方程有时也简称为方程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.任何满足微分方程的函数都称作微分方程的解．如果微分方程中含有任意常数，且独立变化的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称作微分方程的通解．不含任意常数的解称作微分方程的特解．5精选2021版课件三、案例案例1[死亡年代的测定]

遗体死亡之后，体内碳的含量就不断减少，已知碳的衰变速度与当时体内碳的含量成正比，试建立解设时刻遗体内碳的含量为,根据题意有常数等式右端的负号是由于随时间的增加而减少．含量应满足的方程．任意时刻遗体内碳研究6精选2021版课件案例2[自由落体运动]

一质量为的质点,在重力作用下自由下落,求其运动方程.解建立坐标系如图，坐标原点取在水平地面,轴铅直向上,设在时刻故由牛顿第二定律得质点满足的方程为或通过积分容易得出其中是两个独立变化的任意常数．质点的位置是,由于质点只受重力作用,且力的方向与轴正向相反，7精选2021版课件

贝努利（JacobBernoulli1654-1705），著名数学家。

他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。雅可布在《学艺》上发表了一系列重要的论文，微分方程中的“伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结果还是对数螺线。8精选2021版课件

约翰.伯努利（JohannBernoulli1667-1748），

雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、莱布尼茨和牛顿都得到了解答。9精选2021版课件

丹尼尔.伯努利（DanielBernoulli1700-1782），起初也像他父亲弟约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次之多，其中就包括那项惹他父亲恼怒的奖。２５