初中数学易错题26

26.1反比例函数

一.选择题(共8小题)

1.在同一直角坐标系中，函数y=k和y=kx+k的大致图象是()

【分析】根据k的取值范围，分别讨论k>0和k<0时的情况，然后根据一次函

数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案.

【解答】解：①当k>0时，

一次函数y=kx-k经过一、二、三象限，

反比例函数的y=k(kWO)的图象经过一、三象限，

X

故D选项的图象符合要求；

②当kVO时，

一次函数丫=1«-k经过二、三、四象限，

反比例函数的y=k(kWO)的图象经过二、四象限，

X

没有符合该条件的选项.

故选：D.

【点评】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次

函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次

函数的常数项相关.

2.若二次函数y=-x2+x+c的图象与x轴没有交点，则二次函数y=-x2+x+c的图

象与反比例函数y=£的图象的交点在()

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】若二次函数y=-x2+x+c的图象与x轴没有交点，则一元二次方程-

x2+x+c=0的判别式小于0,从而求得c的取值范围，即可得到二次函数y=-

x2+x+c的图象与反比例函数y=q的图象的交点位置.

X

【解答】解：•.•二次函数y=-x2+x+c的图象与X轴没有交点，

...令y=0时，-x2+x+c=0的判别式△<(),

即b2-4ac=l+4c<0,

解得c<-L

4

二反比例函数y=£的图象分别在第二，四象限，

X

又•.•二次函数y=-x2+x+c的图象经过第三，四象限，

...二次函数y=-x2+x+c的图象与反比例函数y=£的图象的交点在第四象限，

X

故选：D.

【点评】本题考查了抛物线与X轴的交点问题，当抛物线丫=2*2+6*+。与轴有两个

交点时，△>()；当抛物线y=ax2+bx+c与轴有一个交点时，△=()；当抛物线

y=ax?+bx+c与轴无交点时，△V0.

3.已知反比例函数y=-丝，利用图象可知当yW4时自变量x的取值范围是

x

()

A.x<-3B.x2-3C.*<-3或*>0口.x»3或x<0

【分析】根据函数解析式中的系数推知函数图象经过第二、四象限，结合函数图

象求得当yW4时自变量x的取值范围.

【解答】解：•.•反比例函数y=-」2的大致图象如图所示，

当yW4时自变量x的取值范围是xW-3或x>0.

故选：C.

【点评】考查了反比例函数的性质，解题时，要注意自变量x的取值范围有两部

分组成.

4.如图所示，反比例函数y=k(kWO,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线

AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为()

B.2aC.1D.2疾

【分析】过D作DE_LOA于E,设D(a,X),于是得到OA=2a,OC=&,根据

矩形的面积列方程即可得到结论.

【解答】解：如图，过D作DE_LOA于E,

设D(a,—

a

/.OE=a.DE=K,

•点D是矩形OABC的对角线AC的中点,

/.0A=2a,OC=A,

a

•••矩形OABC的面积为8,

.••OA・OC=2a・&=8,

a

/.k=2,

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面

积列出方程是解题的关键.

5.如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在第二象限和第一象限，AB与x

函数y=2L(x<0)和y="(x>0)的

轴平行，ZAOB=90°,0A=3,0B=4,

XX

D-槌

【分析】先判定△AOHS^OBH,依据相似三角形的性质即可得到

CIk1IL.

也也1=（蛇）2,即^-----=J_,进而得出上

2ABOHOB1-||k216

【解答】解：•••AB与x轴平行，

，AB，y轴，即NAHO=NOHB=90。，

VZAOB=90°,

ZAOH+ZBOH=ZAOH+ZOAH=90°,

/.ZOAH=ZBOH,

.,.△AOH^AOBH,

q"o'IkiI

・•.也迎gp2_l_=_9_,

S16

AB0HOBy|k2|

又•.•匕＜0,

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数系数k的几何意

义，依据相似三角形的性质得到也邈=(旭•)2是解题的关键.

^ABOH°B

6.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(0,4)、(4,0),点C

在第一象限内，ZBAC=90°,AB=2AC,函数y=k(x>0)的图象经过点C,将

X

△ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y=K(x

X

>0)的图象上，则m的值为()

A.2A/2B-fC.3

【分析】作CH_Ly轴于H.由相似三角形的性质求出点C坐标，进而求出k的值,

依据反比例函数图象上点的坐标特征即可解决问题；

【解答】解：如图，作CHj_y轴于H.

VA(0,4)、B(4,0),

/.OA=OB=4,

VZABO+ZOAB=90°,ZOAB+ZCAH=90°,

ZABO=ZCAH,

又ZAOB=ZAHC=90°,

/.△ABO^ACAH,

•0A_0B_AB_7

CHHACA

，CH=AH=2,

AC(2,6),

•.•点C在y=K的图象上,

x

,k=2X6=12,

••・vy,-1--2--,

x

当y=4时,x=3,

•.•将4ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y=K(x

X

>0)的图象上，

m=3,

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，相似三角形的判定和性质、平

移变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问

题.

7.如图，在平面直角坐标系中，53ABC的对角线0B在y轴正半轴上，点A,C

分别在函数y=2L(x>0),丫=乜(x<0)的图象上，分别过点A,C作AD_L

XX

x轴于点D,CE_Lx轴于点E,若kil：|k2|=9：4,则AD：CE的值为()

A.2：3B.3：2C.4：9D.9：4

【分析】依据SMOB=SMOB，可得EO=DO,依据反比例函数系数k的几何意义，

可得S,、AOD=Lki,SAcoE=l|k2|,依据ki|：|k2|=9：4,即可得至UAD：CE的

22

值.

【解答】解：..FOABC的对角线OB在y轴正半轴上，

••SAAOB=SACOB,

又〈AD^x轴于点D,CE_Lx轴于点E,

・・・CE〃BO〃AD,

/.EO=DO,

•••点A,C分别在函数y=&_(x>0),丫=空(x<0)的图象上，

XX

••SAAOD=—kiI,SACOE=—I卜2,

22

SeIkKI7-ADXOD

.­.^AOD=.jlgp2------------0

SAC0Elk2।-1<EX0E4

•••AD,一9,

CE4

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、三角

形面积的计算；熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键.

8.点A（xi，yi）,B（X2，y2）,C（x3,73）在反比例函数yJ■的图象上，若xi

x

<x2<O<x3,则yi，y2,丫3的大小关系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<y3<yiC.y3<y2<yiD.y2<yi<y3

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据X1VX2

V0VX3,判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论.

【解答】解：•反比例函数y=L中,k=l>0,

X

，此函数图象的两个分支在一、三象限，

VX1<X2<0<X3J

・・・A、B在第三象限，点C在第一象限，

Ayi<0,y2V0，y3>0,

•.•在第三象限y随x的增大而减小，

•*.yi>y2»

:.y2<yi<y3.

故选：D.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数

图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键.

二.填空题（共3小题）

9.如图，直线y=«x-8交x轴于点A,交y轴于点B,点C是反比例函数y=K（x〉0）

X

的图象上位于直线AB上方的一点，CD〃/x轴交AB于点D,CE_LCD交AB于

点E,若AD・BE=4,则k的值为-神.

【分析】过D作DFLAO于F,过EGLOB于G,贝UDF〃OB,GE〃AO,设C(x,

y),则GE=x,DF=-y,由△ADFS/\AB0,可得AD=-_|^y,由ABEGs4

BAO,可得BE=2x,再根据AD・BE=4,即可得到k=xy=^.

【解答】解：如图，过D作DFJ_A。于F,过EGLOB于G,则DF〃OB,GE〃AO,

由直线y=@-8,可得A（&反，0），B（0,-8),

/.A0=-1^,B0=8,AB=

o

设C(x,y),则GE=x,DF=-y,

由△ADFS4ABO,可得AD=DF,

ABBO

由△BEGs△BAO,可得BE=GE,

BA-OA

；.BE=2x,

：AD・BE=4,

X2x=4,

xy=-V3,

，k=xy=-

故答案为：-V3-

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是作辅助线构

造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求出AD、BE.

10.如图，等边AOBA和等边AAFE的一边都在x轴上，双曲线y=K(k>o)经

x

过0B的中点C和AE的中点D,已知0B=16,则点F的坐标为(16亚-16,

0).

【分析】过点C作CG1OA于点G,根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度,

从而得到点C的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式；过点D作DH

LAF于点H,设AH=a,根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示

出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值,

从而得解.

【解答】解：过点C作CG_LOA于点G,过点D作DH_LAF于点H,

•••点C是等边AOAB的边0B的中点，

/.0C=8,ZAOB=60°,

0G=4,CG=OG«tan60°=4'/3>

.•.点C的坐标是（4,4加），

k=4X4«=16«,

,该双曲线所表示的函数解析式为丫=竺近,

X

设AH=a,则DH=J^a.

点D的坐标为（16+a,后）,

•.•点D是双曲线y=至返上的点，

X

，小义（16+a）=16«,

即：a2+16a-16=0,

解得：ai=-8+4泥，a2=-8-4-\/5（舍去），

；.AD=2AH=-16+8旄，

，AF=2AD=-32+16或,

.*.OF=AO+AF=16-32+16旄=16泥-16,

即点F的坐标为（16遥-16,0）.

故答案为：（16\日-16,0）.

【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例

函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程的综合运用，作出辅助线,

表示出点C、D的坐标是解题的关键.

11.一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=2•的图象交于点A（-1,m）,B

X

（n,-1）两点，则使kx+b＞心的x的取值范围是xV-l或0VxV2.

X

【分析】坐标为（-1,m）和（n,-1）的两点在双曲线上，联立并解可得m、

n的值；设一次函数的解析式为：y=kx+b,代入数据，解可得一次函数的解析

式；画出函数图象，根据函数的图象，可得答案.

【解答】解：把A(-l,m),B(n,-1)分别代入y=W,

x

得-m=-2,-n=-2,

解得m=2,n=2,

所以A点坐标为(-1,2),B点坐标为(2,

把A(-1,2),B(2,-1)代入y=kx+b得

(-k+b=2,

12k+b=-l'

解得

所以这个一次函数的表达式为y=-x+1,

x的取值范围是x<-1或0<x<2.

x

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数

图象的交点坐标满足两函数解析式.注意结合题意，结合图象选用合适的方

法解题.

三.解答题(共5小题)

12.如图，在直角坐标系中，函数丫k且与函数y2=x的图象交于点A、B.

X

(1)点A、B的坐标分别是(2,2)、(-2,-2)；

(2)在同一直角坐标系中，画出函数丫3=-9的图象；

X

(3)垂直于y轴的直线I与函数皿、丫2、丫3的图象分别交于点P(xi，yi)、Q(x2,

丫2）、N（X3,丫3），若XlVx2VX3，结合函数的图象，直接写出X1+X2+X3的取值

范围.

【分析】本题根据图象解答，在（3）中，函数yi、y3的图象关于y轴对称，则

X1+X2+X3的取值范围即为X2的取值范围.

【解答】解：（1）由图象得到点A、B坐标

故答案为：（2,2）、（-2,-2）

（2）图象如图

（3）由图象可知，若XlVx2VX3，

垂直于y轴的直线I在X轴与直线y=-2之间

•••函数yi=2与函数y3=-2的图象关于y轴对称

XX

X1+X3=O

由图象-2Vx2Vo

:.-2<Xi+X2+X3<0

【点评】本题考查了正比例函数和反比例函数图象，解答过程中要注意数形结合.

13.如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a,6）,AB_Lx轴于点B,cos

Z0AB-1,反比例函数y=K的图象的一支分别交AO、AB于点C、D.延长

5x

A0交反比例函数的图象的另一支于点E.已知点D的纵坐标为W.

2

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求直线EB的解析式；

（3）求SAOEB.

【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式；

（2）根据点A的坐标可求得直线0A的解析式，联立直线0A和反比例函数解析

式列方程组可得点E的坐标，再利用待定系数法求BE的解析式；

（3）根据三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：（1）〈A点的坐标为（a,6）,AB_Lx轴，

，AB=6,

VcosZOAB=—=—,

5OA

•••6―3,

0A~5

/.OA=10,

由勾股定理得：0B=8,

AA（8,6）,

AD（8,2）,

2

•.•点D在反比例函数的图象上，

k=8xW=12,

2

二反比例函数的解析式为：y=理；

X

(2)设直线0A的解析式为：y=bx,

VA(8,6),

8b=6,b=—,

4

直线0A的解析式为：y=」x,

4

则丝①

x4

x=±4,

二.E(-4,-3),

设直线BE的解式为：y=mx+n,

把B(8,0),E(-4,-3)代入得：户..，

[-4in+n=-3

解得：崂，

n=-2

二直线BE的解式为:y=lx-2；

4

(3)SAOEB=^-OB«yEI=1X8X3=12.

22

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例

函数的解析式及计算图形面积的问题.解题的关键是：确定交点的坐标.

14.在平面直角坐标系xOy中，函数y=K(x>0)的图象G经过点A(4,1),

X

直线I：y=Lx+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.

4

(1)求k的值；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线

段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为w.

①当b=-l时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围.

【分析】（1）把A（4,1）代入y=k中可得k的值；

X

（2）直线0A的解析式为：y=lx,可知直线I与0A平行，

4

①将b=-l时代入可得：直线解析式为y=Lx-l,画图可得整点的个数;

4

②分两种情况：直线I在0A的下方和上方，

画图计算边界时点b的值，可得b的取值.

【解答】解：（1）把A（4,1）代入y=k得k=4Xl=4；

X

（2）①当b=-1时，直线解析式为y=lx-1,

4

解方程9」x-1得Xi=2-2遍（舍去），X2=2+2庭，则B（2+2娓，

x42

而C（0,-1）,

如图1所示，区域W内的整点有（1,0）,（2,0）,（3,0）,有3个；

②如图2,直线I在OA的下方时，当直线I：y=1x+b过（1，T）时，b=-互,

44

且经过（5,0）,

区域W内恰有4个整点，b的取值范围是一旦WbV-1.

4

如图3,直线I在OA的上方时，

•.•点（2,2）在函数y=k（x>0）的图象G,

X

当直线I：y=±x+b过（1，2）时，b=工，

44

当直线I：y=Lx+b过（1，3）时，b=Ak,

44

区域W内恰有4个整点，b的取值范围是工VbWlL

44

综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是-"WbV-1或工VbWlk

444

【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数

与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整

点的定义是关键，并利用数形结合的思想.

15.已知反比例函数y=K的图象过点A(1,3).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)若一次函数y=mx+6(mWO)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，

求m的值.

【分析】(1)把A(1,3)代入反比例函数y=k即可得到结论；

X

(2)利用函数解析式，可得mx2+6x-3=0,根据题意得到△=36+12m=0,解方程

即可得到结论.

【解答】解：(1)•.♦反比例函数y=k的图象过点A(3,1),

X

k=3,

...反比