北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题6.14 反比例函数与几何综合（基础篇）（专项练习）

专题6.14反比例函数与几何综合（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数（）的图象上，轴，则△OAB的面积等于（

）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，一次函数、为常数，与反比例函数的图象交于A（1，m），B（n，2）两点，与坐标轴分别交于，两点．则△AOB的面积为(

)A．3 B．6 C．8 D．123．如图，平行四边形OABC的对角线AC、OB交于点P，点P的坐标为（，1），AC∥x轴，若函数y（x＜0）的图像经过平行四边形OABC的顶点C，则点A的坐标为（）A．（3，1） B．（4，1） C．（4.5，1） D．（3.5，1）4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴正半轴上，点A，D在第一象限内．反比例函数在第一象限内的图象经过点A交DC边于点E，且CE=AB．若点B的坐标为（1，0），则k的值为（）A．2 B． C． D．35．如图，菱形OABC的边OC在x轴上，点B的坐标为，反比例函数经过点A，则k的值为（

）A．12 B．15 C．16 D．206．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣227．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴的正半轴上，边轴于点C，对角线．函数的图象经过点A、点D．若，则的长为（

）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图像上，且，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象与边长是4的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为6．则k的值是（）A．4 B．6 C．8 D．1010．如图，A、B两点在反比例函数（）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB=2BC，则△AOC的面积是（

）A．12 B．6 C．8 D．10二、填空题11．在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数（x＞0）的图像经过A和B两点其中A（2，m），且点B的纵坐标为n，则n＝______．12．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，点C是y轴上一个动点，若轴，则的面积是______．13．矩形中，点的坐标是，动点从点出发，沿着方向向点运动，动点从点出发，沿着方向向点运动，、两点同时运动且速度相同，连接与相交于点，有一双曲线（）经过点，则______．14．如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且点B(5，4)，反比例函数的图象与BC交于点D(1，4)，与AB交于点E，则E点的坐标是_______．15．如图，、两点在反比例函数的图像上，它们的横坐标分别为，，过点作轴于点，若的面积为1，则_________16．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝kx﹣2k（k＜0）交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，若BC平分∠ABO交OA于点C，AC＝2OC，则k的值为____．17．如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为______．18．如图，点B为反比例函数y=(k<0，x<0)上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C，若点C恰好也在反比例y=的图象上，已知B、C纵坐标分别为3，1，则k=______________．三、解答题19．如图，已知平行四边形ABCD的顶点A、C在反比例函数的图象上，顶点B、D在轴上．已知点、．(1)直接写出点C、D的坐标；(2)求反比例函数的解析式；(3)求平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长；(4)求平行四边形ABCD的面积S．20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，AB．(1)求k的值．(2)若CD＝2OD，求四边形OABC的面积．21．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和两点．(1)求反比例函数的表达式．(2)在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量x的取值范围(3)求△AOB面积．22．如图，A，B是双曲线y=(x>0)上任意两点，点P在△OAB内，且PB∥y轴，PA∥x，若△BOP的面积为4．(1)求△AOP的面积；(2)求△ABP的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于A，两点，其中点A的横坐标为1．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)将一次函数向下平移8个单位长度后，与x轴交于点C，连接CA，CB，求△ABC的面积；(3)请结合图象，直接写出不等式的解集．24．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（m，2），B（﹣1，4），与y轴交于点C，连接OA，OB．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△OAB的面积；(3)若点P在y轴上，且BPOA，请直接写出点P的坐标．参考答案A【分析】延长BA交y轴于点M，根据反比例函数的k的意义得出，，结合图形求解即可．解：延长BA交y轴于点M，∵轴，点A在上，点B在上，∴，，∴，故选：A．【点拨】题目主要考查反比例函数与三角形的面积关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．A【分析】把A（1，m），B（n，2）分别代入y=即可求出m，n，即可得到A、B的坐标，把A，B的坐标代入y=kx+b求得一次函数的解析式，进一步M点的坐标，利用S△BOM-S△AOM求得△AOB的面积．解：把A（1，m），B（n，2）分别代入y=，得m=4，n=2，∴A（1，4），B（2，2），将点A（1，4）和B（2，2）代入一次函数y=kx+b，得，解得．∴一次函数的表达式y=-2x+6，令x=0，则y=-2x+6=6，∴M（0，6），∴S△AOB=S△BOM-S△AOM=×6×2-×6×1=3，故选：A．【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标图象，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．A【分析】点C纵坐标与点P纵坐标相等，将y＝1代入解析式可得点C坐标，再根据中点坐标公式求解．解：∵AC∥x轴，点P的坐标为（，1），∴点C纵坐标与点P纵坐标相等为1，将y＝1代入y中得：x＝﹣2，即点C坐标为（﹣2，1），∵平行四边形OABC的对角线AC、OB交于点P，∴点P为AC中点，∴,∴,点A坐标为（3，1）．故选：A．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．A【分析】设正方形的边长为，则，从而可得点的坐标，再将它们代入反比例函数的解析式即可得．解：由题意，设正方形的边长为，则，，，，将点代入反比例函数得：，解得或（不符题意，舍去），则，故选：A．【点拨】本题考查了反比例函数的几何应用、正方形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．A【分析】延长BA交y轴于点D，设，则，利用勾股定理可知，由此可求得点A的坐标是，可知．解：延长BA交y轴于点D，设，则，∴在中，由勾股定理得，解得，故点A的坐标是，得，故选：A．【点拨】本题主要考查反比例函数与菱形的综合，结合勾股定理求得A点坐标是解题的关键．D【分析】设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，则PQ＝PM+MQ＝，再根据ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可．解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，∴PQ＝PM+MQ＝．∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴ab＝8．∵S△POQ＝15，∴PQ•OM＝15，∴a（b﹣）＝15．∴ab﹣k＝30．∴8﹣k＝30，解得：k＝﹣22．故选：D．【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．B【分析】延长AB交x轴于点E，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD=1，再根据四边形CDBE是矩形，可得BE=CD=1，从而得到AE=2，进而得到点A（4，2），D（8，1），即可求解．解：如图，延长AB交x轴于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD=1，∵轴，∴AB⊥x轴，∵，∴∠BEC=∠DCE=∠BDC=90°，∴四边形CDBE是矩形，∴BE=CD=1，∴AE=2，∵函数的图象经过点A、点D．∴当y=2时，x=4，；当y=1时，x=8，∴点A（4，2），D（8，1），∴点B（4，1），∴BD=8-4=4．故选：B【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．A【分析】过点A作AC⊥y轴，作BD⊥y轴，设点，，再分别表示出AC，CO，BD，DO，然后证明，可得关于a，b的关系式，可得答案．解：过点A作AC⊥y轴，作BD⊥y轴，设点，，∴AC=a，，BD=b，．∵∠AOC+∠CAO=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∴∠CAO=∠BOD．∵∠ACO=∠BDO，∴，∴，即，解得ab=2，∴．故选：A．【点拨】这是一道关于反比例函数和几何图形的综合问题，构造直角三角形是解题的关键．C【分析】由正方形OABC的边长是4，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为4，求得M（4，），N（，4），根据三角形的面积列方程得到M、N的坐标，然后利用待定系数法确定函数解析式．解：∵正方形OABC的边长是4，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为4，∴M（4，），N（，4），∴BN＝4﹣，BM＝4﹣，∵△OMN的面积为6，∴4×4﹣×4×﹣×4×﹣×（4﹣）2＝6，∴k＝8，（负根舍去）故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，由三角形的面积公式列出方程并解答是解题的关键．A【分析】过点A作AH⊥OC于点H，过点B作BG⊥OC于点G，设，根据△BCG∽△ACH，可得，从而得到点B的坐标为，从而得到，即可求解．解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点B作BG⊥OC于点G，∵A、B两点在反比例函数（）的图象上，∴设，∵AH⊥OC，BG⊥OC，∴△BCG∽△ACH，∴，∵AB=2BC，∴，∴点B的纵坐标为，∴点B的坐标为，∴，∴，∴．故选：A.【点拨】本题主要考查反比例函数的几何意义和相似三角形的判定和性质，熟练的将解析式，点坐标、线段长进行灵活转换才是解题的关键．-2##-2+【分析】过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，通过证△AOC≌△ABD可得：OC＝AD＝m，AC＝BD＝2，即可求得B点的纵坐标．解：如图：过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，∵∠BAO＝90°，∴∠OAC+∠BAD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAO，∵∠D＝∠ACO＝90°，AO＝AB，∴△ACO≌△DAB（AAS），∴AD＝CO，BD＝AC，∵A（2，m），∴OC＝AD＝m，AC＝BD＝2．∴点B坐标为∴∴解得（舍去）∴n＝m﹣2＝-2，故答案为：-2．【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，关键是求得BD的长．##0.5【分析】设A(m，)，B(m，)，则AB=-，△ABC的高为m，根据三角形面积公式计算即可得答案．解：∵A、B分别为、图象上的点，AB//y轴，∴设A(m，)，B(m，)，∴S△ABC=（-）m=，故答案为：【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上点的坐标都满足反比例函数的解析式是解题关键．13．2【分析】证得四边形OPBQ是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OD=BD，即可求得D的坐标，代入（k≠0）即可求得k的值．解：连接OQ、PB，由题意可知OP=BQ，∵OABC，∴四边形OPBQ是平行四边形，∴OD=BD，∵点B的坐标是（4，2），∴D（2，1），∵双曲线（k≠0）经过点D，∴k=2×1=2，故答案为：2．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平行四边形的判断和性质，求得D的坐标是解题的关键．【分析】由点D(1，4)，在反比例函数的图象上，可得，则根据的坐标求得．解：∵矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且点B(5，4)，∴的横坐标为5，由点D(1，4)，在反比例函数的图象上，可得，反比例函数，在反比例函数图象上．故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形，掌握矩形的性质，反比例函数的性质是解题的关键．【分析】过点B作BD垂直于x轴于点D，由已知可知根据三角形的面积，即可得解出即可得出结果．解：如图所示：过点B作BD垂直于x轴于点D，∵点A，B的横坐标分别为a，b，都在反比例函数的图像上，故答案为：【点拨】本题主要考查了点在反比例函数图象上与坐标轴围成的图形面积，熟练掌握点在函数图象上的关系是解此题的关键．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则OC=CD，利用面积法结合AB=2OC，可得出AB=2OA，利用勾股定理可得出，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA，OB的长，结合可求出k值．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵BC平分∠ABO，∴OC=CD，∵，，∴，∴AB=2OB，∴，当x=0时，y=2k，当y=0时，，∴，，∴，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积、勾股定理以及一次函数图象上点的坐标特征，利用面积法找出是解题的关键．【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于E，根据S△AOE=S△AOC=S△AOD，再根据反比例函数k的几何意义得出k值即可．解：连接AC，过点A作AE⊥OC于E，∵四边形ABCO是菱形，∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，∴S△AOE=S△AOC，∵OA∥BC，∴S△OAD=S△OAC=，∴S△AOE=S△AOC==，∴k=，故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数与菱形性质的综合应用，运用平行线的性质和反比例函数k的几何意义是解决本题的关键．-6【分析】如图过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，求得∠BAF+∠ABF=90°，根据旋转的性质得到AB=AC，∠BAC=90°，根据全等三角形的性质得到AF=CE，BF=AE，设B（x，3）则C（x-4，1），根据点B、点C在反比例函数y=的图象上，得到3x=x-4，于是得到结论．解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，∴∠AEC=∠BFA=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，由旋转知，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠CAE，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴AF=CE，BF=AE，∵B、C的纵坐标分别为3、1，∴CE=1，BF=3，∴AF=1，AE=3，设B（x，3）则C（x-4，1），∵点B、点C在反比例函数y=的图象上，∴3x=x-4，∴x=-2，∴B（-2，3），∴k=-6，故答案为：-6．【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，构造出△ABF≌△CAE是解本题的关键．19．(1)C(3，-2)；D（5，0）(2)(3)；(4)【分析】（1）由题意，点A、C，点B、D关于原点对称，即可得出答案；（2）直接将点代入反比例函数，即可求出解析式；（3）直接根据B、D的坐标得到BD的长，过点A作AE⊥x轴于E，有勾股定理可求出OA的长，即可得出AC的长；（4）由，即可求解．（1）解：由题意点A、C，点B、D关于原点对称，且、，∴C(3，-2)；D（5，0）．（2）∵反比例函数图象经过点（-3，2），∴反比例函数的解析式为．（3）；过点A作AE⊥x轴于E，在Rt△AEO中，，∴．（4）．【点拨】本题考查反比例函数，平行四边形，熟练运用反比例函数的对称性是解题的关键．20．(1)8(2)【分析】（1）将点A的坐标（2，4）代入，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．(1)解：将点A的坐标（2，4）代入，可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；(2)∵k的值为8，∴函数的解析式为，∵CD＝2OD，OD＝2，∴CD＝4，∴OC＝6，∴点B的横坐标为6，将x＝6代入，得，∴点B的坐标为（6，），∴S四边形OABC＝S△AOD＋S梯形ABCD＝×2×4＋×(＋4)×4＝．【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键．21．(1)．(2)1﹤x﹤3．(3)4．【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析式可求得k，即可得出反比例函数的表达式；（2）根据A，B点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x的取值范围；（3）设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用可求得的面积．（1）解：（1）∵点A在一次函数图象上，∴n=-1+4=3，∴A（1，3），∵点A在反比例函数图象上，∴k=3×1=3，∴反比例函数的表达式为（2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜3．（3）如图，设一次函数与x轴交于点C，在y=-x+4中，令y=0可求得x=4，∴C（4，0），即OC=4，将B（3，m）代入y=-x+4，得m=1，∴点B的坐标为（3，1）．故△AOB的面积为4．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．22．(1)4(2)8【分析】（1）设B(m，)，A(n，)，则P(m，)，由△BOP的面积为4推出n=3m，利用三角形面积公式即可求解；（2）同理，利用三角形面积公式即可求解．(1)解：∵A，B是双曲线y=(x>0)上任意两点，∴设B(m，)，A(n，)，则P(m，)，∴AP=n-m，BP=-，∵△BOP的面积为4．∴BP•xP=(-)•m=4，∴n=3m，∴△AOP的面积=AP•yP=(n-m)•=4；(2)解：同（1）△ABP的面积=AP•BP=(n-m)•(-)=(3m-m