大学文科数学课件：随机变量的数字特征

随机变量的数字特征12.1数学期望12.2方差12.1数学期望

12.1.1离散型随机变量的数学期望

定义12.1.1

设离散型随机变量X的分布律为

pk=P{X=xk}(k=1,2,…)

若则称为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为E(X)．即(12.1.1)期望公式（12.1.1）实际上是随机变量X的取值以概率为权的加权平均，其物理意义为：质量为单位1的一根金属细棒，其质量散布在坐标为x1,x2,…的质点M1,M2,…上.

例12.1.1

设X服从参数为p的0-1分布，求E(X)．

解

X的分布律为

pk=P{X=k}=pk(1－p)1－k(k=0,1;0<p<1)

由公式（12.1.1）得

E(X)=0×(1－p)+1×p=p

例12.1.2

甲、乙两人进行打靶，所得环数分别记为X1、X2，它们的分布律分别为试评定他们的成绩的好坏．解由公式（12.1.1）得

E(X1)=7×0.2+8×0.2+9×0.2+10×0.4=8.8（环）

这意味着，如果甲进行多次射击，则所得环数的平均值就接近于8.8．类似得

E(X2)=7×0.1+8×0.3+9×0.5+10×0.1=8.6(环)

显然，乙的成绩不如甲的成绩．

例12.1.3

设X~B(n,p)，求E(X)．

解X的分布律为由公式（12.1.1）得（令l=k－1）

例12.1.4

设X~π(λ)，求E(X)．

解X的分布律为由公式（12.1.1）得12.1.2连续型随机变量的数学期望

定义12.1.2

设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，若则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)．即(12.1.2)

例12.1.5

设X~U(a,b)，求E(X)．

解

X的密度函数为由公式（12.1.2）得例12.1.6

设X~N(μ,σ2)，求E(X)．

解

X的密度函数为由公式（12.1.2）得12.1.3数学期望的几个重要性质

(1)设C是常数，则有E(C)=C；

(2)设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)；

(3)设X、Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y),这一性质可以推广到任意有限多个随机变量之和的情况;

(4)设X、Y是两个相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y),这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情况;（5）若Y=g(X)，则当X为离散型随机变量时，(12.1.3)当X为连续型随机变量时，(12.1.4)

例12.1.7

将n个球随机地放入m个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望．

解记

则由题意知，任一个球不落入第i个盒子的概率为

1－1／m，因此n个球都不落入第i个盒子的概率为从而(i=1,2,…,m)于是(i=1,2,…,m)由数学期望的性质（3），可得

12.2方差

12.2.1方差与标准差

定义12.2.1

设X是一随机变量，若E{［X－E(X)］2}存在，则称E{［X－E(X)］2}为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即

(12.2.1)

由定义知，方差实际上就是随机变量X的函数g(X)=［X－E(X)］2的数学期望．于是对于离散型随机变量X，若其分布律为pk=P{X=xk},k=1,2,…，按式（12.1.3），则有(12.2.2)对于连续型随机变量X，若其密度函数为f(x)，按式（12.1.4），则有(12.2.3)利用期望的性质，容易得到计算方差的简化公式：(12.2.4)

例12.2.3

设X~π(λ)，求D(X)．

解X的分布律为例12.1.4已经算得E(X)=λ，而

例12.2.4

设X~U(a,b)，求D(X)．

解X的密度函数为例12.1.5已经算得．故由式（12.2.4）得

例12.2.5

设随机变量X服从指数分布，其密度函数为求E(X)和D(X)．解于是由式（12.2.4）得即有，12.2.2方差的性质

（1）设C是常数，则D(C)=0;

（2）设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)=C2D(X);

（3）设X、

Y是两个随机变量，则有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{［X－E(X)］［Y－E(Y)］}

(12.2.5)特别地，若X、Y相互独立，则有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

(12.2.6)

这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况;

（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数C，即

P{X=C}=1

显然，这里C=E(X)．

例12.2.6

设X~B(n,p)，求E(X)和D(X)．

解由二项分布的定义知，随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数，且在每次试验中事件A发生的概率为p．设Xk为第k次试验中事件A发生的次数（k=1,2,…,n），则Xk服从参数为p的0-1分布，且相互独立，并有由例12.2.2知，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1－p)，k=1,2,…,n．

故知又由方差性质（3），可得即

E(X)=np，D(X)=np(1－p)

例12.2.7

设随机变量X的密度函数为已知E(X)=0.5,D(X)=0.15，求常数a、b、c．解由E(X)=0.5，E(X2)=D(X)+［E(X)］2=0.4得关于a、b、c的方程组解得a=12,b=