九年级数学下册第13课 锐角三角函数单元检测（教师版）

第13课锐角三角函数单元检测一、单选题1．已知，则锐角的度数是（）A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】D【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解即可．【详解】∵A为锐角，且sinA=，∴∠A=30.故选D.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值.2．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为()A．3.5sin29°B．3.5cos29°C．3.5tan29°D．3.5【答案】A【解析】【分析】由sin∠ACB=ABBC【详解】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB=ABBC，

∴AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°，

【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．3．如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】延长BA，过C作CD⊥BA的延长线于点D，再根据补角的定义求出∠DAC的度数，由锐角三角函数的定义可求出CD的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积．【详解】解：延长BA，过C作CD⊥BA的延长线于点D，

∵∠BAC=120°，

∴∠DAC=180°-120°=60°，

∵AC=20m，

∴CD=AC•sin60°=20×=10（m），

∴S△ABC=AB•CD=×30×10=150（m2）．

故选B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cos∠BCD的值为()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角的余角相等得∠BCD=∠A,利用三角函数即可解题.【详解】解：在中，∵，,是斜边上的高，∴∠BCD=∠A（同角的余角相等）,∴===,故选B.【点睛】本题考查了三角函数的余弦值,属于简单题,利用同角的余角相等得∠BCD=∠A是解题关键.5．将如图所示三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的正弦值为（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据斜边CD∥AB得到相关角的大小关系，即可求得∠α的正弦值.【详解】CD∥ABsinα＝故选B【点睛】此题重点考察学生对三角函数值的应用，熟悉两直线平行的性质是解题的关键.6．如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．【详解】设这个斜坡的坡角为α，由题意得：tanα=1:.=，∴α=30°；故选A.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝40°，AB＝7，则AC的长为()A． B． C．7cos40° D．【答案】D【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用余弦函数的定义可得cos∠BAC=，即AC=，将数值代入即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，

∴cos∠BAC=，即AC=，

∵∠BAC=40°，AB=7，

∴AC=．

故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形要用到的关系（在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）：

①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；

②三边之间的关系：a2+b2=c2；

③边角之间的关系：sinA=∠A的对边：斜边=a：c，cosA=∠A的邻边：斜边=b：c，tanA=∠A的对边：∠A的邻边=a：b．8．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为()A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′ C．3sinA＝sinA′ D．不能确定【答案】B【分析】根据相似三角形的性质，可得∠A=∠A′，根据锐角三角函数的定义，可得答案．【详解】解：由Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，得

Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，

∠A=∠A′，sinA=sinA′

故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用相似三角形的性质得出∠A=∠A′是解题关键．9．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且，则关于△ABC的形状的说法错误的是（）A．它不是直角三角形 B．它是钝角三角形C．它是锐角三角形 D．它是等腰三角形【答案】C【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【详解】∵△ABC中,∠A、∠B都是锐角,sinA＝,cosB＝，∴∠A＝∠B＝30°.∴∠C＝180°−∠A−∠B＝180−30°−30°＝120°.故选C.【点睛】本题主要考查特殊角三角函数值，熟悉掌握是关键．10．如图所示，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为α，AC⊥BM于C，下列式子：①i＝AC∶AB；②i＝(AC－DE)∶EC；③i＝tanα＝；④AC＝i·BC.其中正确的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】根据坡度的定义i=tanα==解答即可．【详解】AC⊥BM于点C，DE⊥BC于E，∴i=tanα===∴AC=iBC，DE=iBE，∴AC−DE=iBC−iBE=CEi，∴i=∴②③④正确，故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度的定义是解题的关键.二、填空题11．中，，，，则________度．【答案】【分析】先根据勾股定理求出b的值，再根据三角形的三边关系判断出其形状，进而求出∠B的度数．【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴b==20，∴Rt△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°.故答案为45.【点睛】本题考查解直角三角形，根据勾股定理求边长作对比是解题的关键.12．如图，为了测量河对岸的旗杆的高度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，沿方向前进米到达处，在处测得旗杆顶端的仰角为，则旗杆的高度是________米．【答案】【分析】利用AB表示出BC，BD．让BC减去BD等于5即可求得AB长．【详解】设AB=x.∴BC=AB÷tan∠ACB=x，BD=AB÷tan∠ADB=x.∴CD=BC−BD=(−1)x=5.解可得：x=.故答案为.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.13．如图，为了测量铁塔AB高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=________米．【答案】20【分析】在Rt△ABC中,直接利用tan∠ACB=tan30°==即可.【详解】在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan30°==,BC=60，解得AB=20.故答案为20.【点睛】本题考查的知识点是解三角形的实际应用，解题的关键是熟练的掌握解三角形的实际应用.14．青岛位于北纬，在冬至日的正午时分，太阳的入射角为，因此在规划建设楼高为米的小区时，两楼间的最小间距为________米，才能保证不挡光．【答案】【解析】【分析】本题就是已知直角三角形的一个锐角和一边，求另一边的问题．【详解】设楼间距最小为x米，∴cot3030′=，∴x=20cot3030′.故答案为.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题.15．王小勇操纵一辆遥控汽车从处沿北偏西方向走到处，再从处向正南方走到处，此时遥控汽车离处________．【答案】【分析】首先根据题意画出图形，在Rt△ABD中，利用三角函数的知识即可求得AD与BD的长，继而求得CD的长，然后由勾股定理求得答案．【详解】如图所示：根据题意得：∠B=60°，AB=10m，BC=20m，∴在Rt△ABD中,AD=AB⋅sin60°=5(m),BD=AB⋅cos60°=5(m)，∴CD=BC−BD=15(m).∴在Rt△CDA中,AC==10(m).故答案为10.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.16．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动、已知细绳的长度为厘米，当小球摆动到最高位置时，细绳偏转的角度为，那么小球在最高位置与最低位置时的高度差为________厘米（用所给数据表示即可）．【答案】【解析】【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．【详解】解：如图：过A作AB⊥OC于B．

Rt△OAB中，OA=20厘米，∠AOB=28°，

∴OB=OA•cos28°=20×cos28°．

∴BC=OC-OB=20-20×cos28°=20（1-cos28°）．故答案为：【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题是解题的关键．17．已知∠B是△ABC中最小的内角，则tanB的取值范围是_______．【答案】0＜tanB≤【解析】【分析】在三角形中，最小的内角应不大于60度，找到相应的正切值即可，再根据tan60°=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．【详解】解：根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°．

根据题意，知：

0°＜∠B≤60°．

又tan60°=，

∴0＜tanB≤．故答案为:0＜tanB≤【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律，得出0°＜∠B≤60°是解题关键．18．如图所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，则AB的长为________．【答案】【分析】作,把三角形分解成两个直角三角形.在中求CD的长,进而求出BD;在中利用的正切求出AD的长.即可求解.【详解】作于D.

设,根据题意.

解得x＝1.

.

,

.

.【点睛】此题主要考查了解直角三角形，涉及的知识有:锐角三角函数定义，勾股定理，利用了转化及方程的思想，作出相应的辅助线是本题的突破点19．如图：为了测量河对岸旗杆的高度，在点处测得顶端的仰角为，沿方向前进达到处，在点测得旗杆顶端的仰角为，则旗杆的高度为________．(精确到)【答案】【解析】【分析】利用AB表示出BC，BD，根据BC减去BD等于20，即可求得AB长．【详解】解：设AB=xm，

∵在点C处测得顶端A的仰角为30°，

∴AC=2xm，则BC=x，

∵在D点测得旗杆顶端A的仰角为45°，

∴AB=BD=xm，

∴CD=BC-BD=（-1）x=20．

解得：x==10（+1）≈27.3（米）．

故答案为：27.3米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．20．如图，把一台电视机（底面为矩形）放置于墙角的电视柜（其桌面为矩形）上，若，电视机长厘米，则的长为________厘米．【答案】【分析】根据矩形的性质得出∠DAG=60°进而利用锐角三角函数关系得出DG的长．【详解】∵矩形ABCD，∠BAF=30°，∴∠DAG=60°，∵AD=62厘米，∴DG的长为：DG=ADsin60°=62×=31（cm）．故答案为31．【点睛】此题主要考查了解直角三角形，得出DG=ADsin60°是解题关键．三、解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，解这个直角三角形．【答案】c＝2；∠A＝60°；∠B＝30°.【解析】【分析】由直角三角形中，两直角边a与b的长，利用勾股定理求出斜边c的长，然后利用锐角三角函数定义求出sinA和sinB的值，由∠A和∠B都为锐角，利用特殊角的三角函数求出∠A和∠B的度数即可．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，∴根据勾股定理，得c＝＝2，∴sinA＝，sinB＝，又∵∠A和∠B都为锐角，∴∠A＝60°，∠B＝30°.故答案为:c＝2；∠A＝60°；∠B＝30°.【点睛】此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握勾股定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．22．求值：(1)；已知，求的值．【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．【详解】（1）原式（）2﹣11=0；（2）∵tanA=2，∴=2，∴sinA=2cosA，∴原式===．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．23．如图是某一过街天桥的示意图，天桥高为米，坡道倾斜角为，在距点米处有一建筑物．为方便行人上下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但要求建筑物与新坡角处之间地面要留出不少于米宽的人行道．若将倾斜角改建为（即），则建筑物是否要拆除？（

）若不拆除建筑物，则倾斜角最小能改到多少度（精确到）？【答案】（1）建筑物要拆除；（2）倾斜角最小能改到．【解析】【分析】（1）分别在△CAO和△CBO中，求出AO、BO的长度，最后比较AO＋3与OE的长度，进行判断；（2）若不拆除建筑物DE，则OA最长可以是11−3＝8m，在Rt△CAO中，求出∠CAO的度数．【详解】解：当时，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∵，因此建筑物要拆除；若不拆除建筑物，则最长可以是，在中，∵，，∴，因此倾斜角最小能改到．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．24．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23.求AB的长．【答案】3+3【解析】【分析】如图，过点C作CD⊥AB于D，根据勾股定理，在Rt△CDB中求得CD，AD的长，然后在Rt△CDB中求得BD的长即可得到答案.【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A=30°，AC=23，∴CD=3，∵AD²+CD²=AC²，∴AD²=AC²-CD²=(23)²-(3)²=9，∴AD=3，在Rt△CDB中，∵∠B=45°，∴CD=BD=3，∴AB=AD+BD=3+3.【点睛】本题考点：解直角三角形，勾股定理.25．如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，请你计算车位所占的宽度约为多少米？（，结果保留两位小数）【答案】车位所占的宽度约为米．【解析】【分析】根据题意得出各角度数，再利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】由题意可得：∠BCE=60，故EC=BCcos60=1(m),FC=DCcos30=5×=，则EF=EC+FC=1+≈5.33(m).答：车位所占的宽度EF约为5.33米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用.26．如图，某船以每小时海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，航行半小时后到达点测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围海里内有暗礁．说明点是否在暗礁区域内；若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由．【答案】(1)点不在暗礁区域内；(2)若继续向东航行船有触礁的危险．【分析】（1）求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于点D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长；

（2）本题实际上是问，C到AB的距离即CD是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD的值，（1）已经求出，只要进行比较即可．【详解】解：作于点，

设为，

在中，

∴．

．

在中，

∴．

∴．

∴点不在暗礁区域内；∵，

∵，

∴若继续向东航行船有触礁的危险．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，构造直角三角形是解题的关键.27．如图，一勘测人员从点出发，沿坡角为的坡面以千米/时的速度行至点，用了分钟，然后沿坡角为的坡面以千米/时的速度到达山顶点，用了分钟．求山高（即的长度）及、两点的水平距离（即的长度）（精确到千米）．【答案】山高为千米，、两点的水平距离为千米．【解析】【分析】过D作DF⊥BC于F，分别利用坡角及三角函数求出BF，DE，AE，DF的值即可求得AC，BC的长．【详解】解：过D作DF⊥BC于F．则四边形DFCE为矩形，∴BC=BF+FC=BF+DE=BD•cos15°+AD•cos20°=5××0.9659+3××0.9397≈1.44（千米）．

AC=AE+EC=AE+DF=AD•sin20°+BD•sin15°=3××0.3420+5××0.2588≈0.43（千米）．

答：山高为0.43千米，A、B两点的水平距离为1.44千米．【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及三角函数的综合运用能力，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．28．地震后，全国各地纷纷捐款捐物，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空时，为了能准确空投救援物资，在A处测得空投动点C的俯角α=60°，测得地面指挥台的俯角β=30°，如果B、C两地间的距离是2000米，则此时飞机距地面的高度是多少米？（结果保留根号）【答案】此时飞机距地面的高度是1000米．【分析】作AH⊥BC交BC的延长线于H，根据三角形的外角的性质得到∠BAC=30°，得到AC=BC=2000米，根据正弦的定义计算即可．【详解】作AH⊥BC交BC的延长线于H，由题意得，∠ACH=60°，∠ABC=30°，∴∠BAC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴AC=BC=2000米，∴AH=AC•sin∠ACH=1000米，答：此时飞机距地面的高度是1000米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．29．在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：（1）sinB的值；（2）tanC的值．【答案】【分析】(1)过A作AD⊥BC于点D,利用面积公式求出高AD的长,即可求得sinB值；再从而求出BD、CD、A