初中数学八年级下册2 勾股定理的逆定理（区一等奖）

17.2勾股定理的逆定理回忆直角三角形有哪些性质?（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余；（

3）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半;（4）两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．题设（条件）：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c．结论：a2+b2=c2．问题1回忆勾股定理的内容．形数温故而知新正反思考

思考:如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是否是直角三角形？正反思考

据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13

个结，然后以3

个结间距，4

个结间距、5

个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形。

（1）画一画：下列这组数中的最小两数平方和等于最大数的平方，以这组数为边长画出三角形（单位：cm），它是直角三角形吗？2.5，6，6.5．（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．（3）想一想：请判断这个三角形的形状，并提出猜想．如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

实验与猜想问题1:如图（1），在△A′B′C′中，B′C′=3，A′C′=4，

A′B′=5，△ABC是

_____三角形。问题2：如图（2），在Rt△ABC中，

∠C=900，BC=3，AC=4，则AB=_____。问题3：由问题1与问题2，A′B′与AB有怎样的数量关系?你能说出问题1中的△ABC是怎样的三角形了吗？为什么？(1)354A‵B‵C‵34BAC(2)?思考

A1

B1

C1

已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．？三角形全等推理证明

∠C是直角

△ABC是直角三角形

A

B

C

abca命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

证明：画Rt△A′B′C′使B′C′=a，

∠C′=900，A′C′=b，

(如图)，acbABC(1)abB′A′C′(2)根据勾股定理，得A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2,∵a2+b2=c2∴A′B′=c.在△ABC与△A′B′C′中，BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C=∠C′＝900(全等三角形的对应边).∴△ABC是直角三角形

作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．形成定理

定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a=15，b=17，c=8；

（2）a=13，b=15，c=14；

（3）a=，b=4，c=5．知识运用分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．解：（1）∵152+82=225+64=289，

172=289，∴152+82=172.∴以15，8，17为边长的三角形是直角三角形．例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a=15，b=17，c=8；

（2）a=13，b=15，c=14；

（3）a=，b=4，c=5．知识运用

像15，17，8这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．练习一：下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900(3)a=1b=2c=_________;到直接运用巩固知识

勾股定理的逆定理：定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．阶段小结勾股定理的逆命题：勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．练习二：2、已知：如图,四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积ABCD直接运用巩固知识

解：连接AC，在Rt△ABC中，AC2=AB2＋BC2=32＋42=25，∴AC=5.∴在△ACD中，AC2＋CD2=25＋122=169，而AB2=132=169，∴AC2＋CD2=AB2，∴∠ACD=90°．∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD

=

AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5