1.4.2用空间向量研究距离夹角问题课件-高二上学期数学人教A版2019选择性2

课时11用空间向量研究距离、夹角问题新授课1.理解直线的方向向量、平面法向量的关系，能用向量方法求解异面直线所成角、线面角和面面角.任务1：探索利用空间向量数量积求解直线与直线所成角问题.目标：理解直线的方向向量、平面法向量的关系，能用向量方法求解异面直线所成角、线面角和面面角.如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.(1)这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，AM和CN是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题；途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底.(2)根据途径1，结合已知条件，思考建立什么基底能便于计算向量，的数量积？由已知条件可知，向量的模长已知，且它们之间的夹角也已知，故选择为基底并表示向量，便于计算数量积.(3)通过向量运算求出向量，夹角的余弦值，进而求出直线AM和CN夹角的余弦值.解：化为向量问题：以为基底，则，设向量和

的夹角为θ，则直线AM和CN夹角的余弦值为.进行向量运算：又△ABC和△ACD均为等边三角形，所以所以回到图形问题：所以直线AM与CN夹角的余弦值等于思考：回顾求解过程，归纳利用向量求空间直线l1,l2夹角θ的余弦值的步骤.归纳总结用空间向量求两条直线l1,l2夹角θ的步骤与方法：化为向量问题进行向量运算回到图形问题两条直线l1,l2夹角θ的余弦值cosθ=|cos<u,v>|转化为求两直线l1,l2的方向向量u,v的夹角计算的值任务2：探索空间向量求解直线与平面所成角的方法.如图所示，设直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则由此讨论如何用向量u和n求解直线AB与平面α的夹角θ的正弦值？A

BCnuθ归纳总结直线与平面所成角的一般表达式：,其中，u为直线的方向向量，n为平面的法向量.任务3：探索空间向量求解平面与平面所成角的方法.如图所示，类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？αβn1n2

类似两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，

则归纳总结思考：(1)如何求平面的法向量？(2)平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗？(1)在平面内找两个不共线的向量a和b，设平面的法向量n=(x,y,z)，则根据这个不定方程组，可以求得一个法向n0=(x0,y0,z0)

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(2)二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角θ的大小来定义，它的取值范围是0≤θ≤π；平面α与平面β的夹角是指平面α与平面β相交，形成的四个二面角中不大于90°的二面角.任务4：利用空间向量求解线面角，并归纳空间向量解决立体几何问题的方法.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1，求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.解：转化为向量问题：以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角.进行向量运算：因为C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一个法向量为n1=(0,0,1).因为P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1)，所以设n2=(x,y,z),则所以所以取n2=(3,4,2),则回到图形问题：设平面PQR与平面A1B1C1的夹角为θ，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为思考：结合上述解题过程，空间向量