高考数学第一轮复习资料(教师版)

高考数学第一轮复习资料（教师版）[1]

第一章集合

第一节集合的含义、表示及基本关系A组

1.已知A={1,2},B={xxGA},则集合A与B的关系为一

2.若。{x|x2Wa,aGR},则实数a的取值范围是______.

3.已知集合人={丫|丫=*2—2x—1,xGR},集合B={x|—2Wx<8},则集合A与B的关

系是.

4.（2009年高考广东卷改编）已知全集11=匕则正确表示集合乂={—1,0,1}和N

2={x|x+x=0}关系的韦恩（Venn）图是..5.（2010年苏、锡、常、镇四市调

查）已知集合人=仪x>5},集合B={xx>a},

若命题“xGA”是命题“xGB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.

6.（原创题）已知mWA,nGB,且集合A={x|x=2a,aeZ},B—{xx=2a+l,

aeZ）,又C={x|x=4a+l,aGZ）,判断m+n属于哪一个集合?

B组

ababl.设a,b都是非零实数，y=可能取的值组成的集合是―.|a||bab|

2.已知集合人={-1,3,2m—1},集合B={3,m2}.若BUA,则实数m=.

3.设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|aeP,bwQ},若P=

{0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是个.

4.已知集合M={x|x2=l},集合N={x|ax=l},若NM,那么a的值是_.

5.满足{1}A={1,2,3}的集合A的个数是个.

Lblcl6.已知集合A={xIx=a+,aeZ},B={xx=,beZ},C={x|x=,62326

cWZ},则A、B、C之间的关系是.

7.集合A={x||x|W4,xGR},B={x|x<a},则“A=B”是“a>5”的.

8.（2010年江苏启东模拟）设集合M={m|m=2n,nGN,且水年0},则M中所有元素的

和为.

9.(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于keA,如果k—1阵A,且k

+WA,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素

构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.

10.已知A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y),A=B,试求x,y的值.

11.已知集合A={x|x2—3x—1030},

⑴若BWA,B={x[m+lWxW2m-1},求实数m的取值范围;

(2)若AWB,B={x|m-6WxW2m-1},求实数m的取值范围；

⑶若A=B,B={x|m-6WxW2m-1},求实数m的取值范围.

12.已知集合A=仅除2—3x+2W0},B={xx2—(a+1)x+aWO}.-1-

(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；

(2)若B是A的子集，求a的取值范围；

(3)若八=13,求a的取值范围.

第二节集合的基本运算A组

1.(2009年高考浙江卷改编)设1)=&A={x|x>0},B={x|x>l},则An[UB=___.

2.(2009年高考全国卷I改编)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=

AUB,则集合(U(AC1B)中的元素共有一个.

3.已知集合M={O,1,2},N={xx=2a,aGM),则集合MAN=_______.

4.(原创题)设A,B是非空集合，定义A@)B={xxeAUB且对ACB},已知A=

{x|0WxW2},B={y|y2O},则A⑧B=.

5.(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运

动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

6.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合小=合|乂>1},集合B={xmWxWm+3}.

(1)当m=-l时，求ACB,AUB；

(2)若BWA,求m的取值范围.

B组

1.若集合M={xdR|-3<x<l},N={xdZ|—lWxW2},则MAN=.

2.已知全集U={—l,0,l,2},集合A={T,2},B={0,2},则([UA)nB=.

3.(2010年济南市高三模拟)若全集U=R,集合M={x|-2WxW2},N={x|x2一

3xW0},则MC([UN)=_______.

4.集合A={3,log2a},B={a,b},若ACB={2},贝ijAUB=.

5.(2009年高考江西卷改编)已知全集1]=人口3中有m个元素，([UA)U([UB)中有n个

元素.若ACB非空，则AC!B的元素个数为.

6.(2009年高考重庆卷)设1；={11n是小于9的正整数},A={ne(j|n是奇数},B=

{neuln是3的倍数},则]U(AUB)=.

x7.定义A®B={z|z=xy+xWA,y£B}.设集合A={0,2},B={1,2},C={1},y

则集合(A®B)®C的所有元素之和为.

8.若集合{(x,y)x+y—2=0且x—2y+4=0}{(x,y)|y=3x+b},贝Ub=,

29.设全集I={2,3,a+2a-3},A={2,|a+l|},[lA={5},M={x|x=log2|a|),

则集合M的所有子集是_

10.设集合A={x|x2—3x+2=0},B={x|x2+2(a+l)x+(a2—5)=0}.

(1)若ACB={2},求实数a的值；

(2)若AUB=A,求实数a的取值范围.

611.已知函数f(x)=—1的定义域为集合A,函数g(x)=lg(—x2+2x+m)x+l

的定义域为集合B.

(1)当m=3时，求AC((RB)；

(2)若ACB={x—Kx<4},求实数m的值.

12.已知集合A={xWR：ax2—3x+2=0}.

(1)若A=。，求实数a的取值范围；

(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；

(3)求集合M={adR|A#。}.-2-

第二章函数

第一节对函数的进一步认识A组

—x—3x+41.(2009年高考江西卷改编)函数y=的定义域为.x

2.(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f(x)的图象是曲线段0AB,其中点0,A,

1B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f(的值等于—.f(3)

x3,xWl,3.(2009年高考北京卷)已知函数f(x)=若f(x)=2,贝ljx=

.—X,X>1.

4.(2010年黄冈市高三质检)函数f：{12}f{l,2}满足f[f(x)]>l的这样的函数个数

有个.

5.(原创题)由等式x3+alx2+a2x+a3=(x+l)3+bl(x+l)2+b2(x+l)+b3定义一

个映射f(al,a2,a3)=(bl,b2,b3),则f(2,1,-1)=.

6.已知函数f(x)=x+1(—IWxWl),2x+3(x<—1).211+(x>l),x(1)

求-f{f[f(-2)]}的值；2—1

3(2)求f(3x-l)；(3)若f(a)=,求a.2

B组

11.(2010年广东江门质检)函数y=+lg(2x-l)的定义域是—.3x-2

-2x+l,(x〈一1),2.(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)=-3,(-lWx<2),

2x-l,(x>2),3则f(f(f)+5))=_.2

3.定义在区间(一1,1)上的函数f(x)满足2f(x)—f(—x)=lg(x+l),则f(x)的解析式

为•

4.设函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+1,则函数y=f(x)与y=x图象交点的个数可

能是个.

2(x>0)5.设函数f(x)=2,若f(—4)=f(0),f(―2)=—2,则f(x)x+

bx+c(xWO)

的解析式为f(x)=,关于X的方程f(x)=x的解的个数为个.

6.设函数f(x)=logax(a>0,aWl),函数g(x)=—x2+bx+c,若f(2+2)—f(2

l+l)g(x)的图象过点A(4,-5)及B(—2,—5),则a=,函数f[g(x)]2-

3-

的定义域为一

2x—4x+6,x207.(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)=，则不等式

f(x)>f(1)x+6,x<0

的解集是.

8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(4-x),xWO,

则f(3)的值为.f(x-l)-f(x-2),x>0,

9.有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5

分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水

量y之间关系如图.再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x220),y

与x之间函数的函数关系是.

10.函数f(x)(1—a)x+3(l—a)x+6.

(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的定义域为[―2,1],求实数a的值.

11.已知f(x+2)=f(x)(xGR),并且当xG[―1,1]时,f(x)=-x2+l,求当xG[2k

一l,2k+l](kGZ)时、f(x)的解析式.

12.在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接

到了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零

部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时

能加工6个C型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工•

种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g(x),其余工人

加工完H型装置所需时间为h(x).(单位：h,时间可不为整数)

(1)写出g(x),h(x)的解析式；

(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；

(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？第二节函数的单调性

A组

1.(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满足“对任意xl,x2e(0,+~),当

xl<x2时，都有f(xl)>f(x2)”的是.

1①f(x)=②f(x)=(x—1)2③f(x)=ex④f(x)=ln(x+l)x-4-

2.函数f(x)(xGR)的图象如右图所示，则函数g(x)=

f(logax)(0〈a〈l)的单调减区间是.

3.函数yx—415—3x的值域是.

a4.已知函数f(x)=|ex+|(aGR)在区间［0,1］上单调递增，则实数a的取值范围

e5.(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x,都有f(x)2M(M为常数)，称M

为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函

数是.

1(x>0)①f(x)=sinx；②f(x)=lgx；③f(x)=ex；④f(x)=0(x=0)—1

(x<—1)

6.已知函数f(x)=x2,g(x)=x-l.

(1)若存在xGR使f(x)<b•g(x),求实数b的取值范围；

(2)设F(x)=f(x)—mg(x)+l—m—m2,且|F(x)|在［0,1］上单调递增,求实数m的取值

范围.

B组

1.(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(一8,0］的是.

1①y=—②y=—(x—1)③y=x2—2④y=一|x|x

2.若函数f(x)=log2(x2—ax+3a)在区间［2,+8)上是增函数，则实数a的取值范围

是.

a33.若函数£&)=*+@〉0)在(，+8)上是单调增函数，则实数a的取值范围_.x4

4.(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x),对任意xl,x2G［0,+

f(x)—f(x)8)(xlWx2),有<0,则下列结论正确的是.x2—xl

①f(3)〈f(一2)〈f(1)(2)f(l)<f(-2)<f(3)

③f(一2)<f(l)<f(3)©f(3)<f(l)<f(-2)

xa(x<0),5.(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)=满足对任意(a-3)x+

4a(x20)

f(xl)—f(x2)xlWx2成立，则a的取值范围是.xl—x2

6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图

-5-

所示的折线段0AB,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,0),定义函数晨x)=

f(x)•(x-1),则函数g(x)的最大值为.

7.(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数y=f(x)的值域为[—2,0],

则函数y=fx)的值域是.

8.已知f(x)=log3x+2,xG[l,9],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是

19.若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a#l)在区间(0,)内恒有f(x)>0,则f(x)的单

2

调递增区间为.

1110.试讨论函数y=2(logx)2—21ogx+l的单调性.22

xll.(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+8)上的函数f(x)满足f(=f(xl)x2

—f(x2),且当x>l时,f(x)<0.

⑴求求D的值;(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

x2+ax+bl2.已知：f(x)=log3,xG(0,+°°),是否存在实数a,b,使f(x)同时x

满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1,+8)上是增函数，(3)f(x)的

最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由.

第三节函数的性质

A组

1.设偶函数数x)=logax-b|在(一8,0)上单调递增,则f(a+l)与f(b+2)的大小

关系为________.

2.(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函

数，则£(1)+六4)+六7)等于

3.(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x—4)=—f(x),且

在区间［0,2］上是增函数，则f(-25)、f(ll)、f(80)的大小关系为.

4.(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间［0,+8)上单调增加，则满

1足f(2x-l)<f()的x取值范围是________.3

5.(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对xGR,f(2+x)=f(2—x),当

f(—3)=-2时，f(2011)的值为.

6.已知函数y=f(x)是定义在R匕的周期函数，周期T=5,函数y=f(x)(―IWxWl)

是奇函数，又知y=f(x)在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x=2时函数

取得最小值-5.(1)证明:f⑴+f(4)=0；⑵求y=f(x),xG［l,4］的解析式;

(3)求y=f(x)在［4,9］上的解析式.

B组

1.(2009年高考全国卷I改编)函数f(x)的定义域为R,若f(x+l)与f(x—l)都是奇函

数，则下列结论正确的是.

①f(x)是偶函数②f(x)是奇函数③f(x)=f(x+2)

④f(x+3)是奇函数-6-

32.已知定义在R上的函数的x)满足f(x)=-f(x+),且f(-2)=f(—1)=-1,

f(0)2

=2,f(l)+f(2)+„+f(2009)+f(2010)=___...

3.(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,若将f(x)的

图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象，则f(l)+f(2)+f(3)+„+f(2010)=

4.(2010年湖南郴州质检)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0,+8)上有

f'(x)〉0,若f(—1)=0,那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是.

5.(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(-8,+8)上的偶函数，若对于x20,

都有f(x+2)=f(x),且当xw［0,2)时,f(x)=log2(x+l),则f(一2009)+f(2010)的值

为.

6.(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x,

1满足f(x+2)=-2<x<3时，f(x)=x,则f(2009.5)=.f(x)

7.(2010年安徽黄山质检)定义在R上的函数f(x)在(一8,a］上是增函数，函数y=

f(x+a)是偶函数，当xl<a,x2>a,且|xl—a|<x2—a|时，则f(2a—xl)与f(x2)的大小

关系为.

8.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x20时，f(x)=x(x+l).若f(a)=-2,则实

数a=.

9.(2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=­f(x),且在区

间［0,2］上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根xLx2,

x3,x4,贝ijxl+x2+x3+x4=.

10.已知f(x)是R上的奇函数，且当xG(—8,0)时,f(x)=-xlg(2—x),求f(x)的

解析式.

11.已知函数f(x),当x,yGR时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇

1+函数；(2)如果xeR,f(x)<0,并且f(l)=一,试求f(x)在区间［—2,6］上的最

值.2

12.已知函数f(函的定义域为R,且满足f(x+2)=-f的).

(1)求证：f(x)是周期函数；

11(2)若f(x)为奇函数，且当OWxWl时，f(x)x,求使f(x)=-［O,2010］上22

的所有x的个数.

第三章指数函数和对数函数

第一节指数函数

A组

一—1.(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>l,b<0,且ab+ab=2,则ab—ab的值

等于________.

-----解析：Va>l,b<0,.,.0<ab<l,ab>l.又：(ab+ab)2=a2b+a2b+2=8,：.a2b

---------Fa2b=6,(ab—ab)2=a2b+a2b—2=4,/.ab—ab=-2.答案：一2

2.已知f(x)=ax+b的图象如图所示，则f(3)=________.

解析：由图象知f(O)=l+b=—2,3.又f⑵

=a2—3=0,...a=3,则f(3)=3)3—3=3—3.

-7-

答案：3-3

1-23.函数y=(2xx的值域是.2

解析：•；2x—x2=—(x—D2+1W1,

(2xx》.答案：)222

4.(2009年高考山东卷)若函数f(x)=ax-x—a(a>0,且a#l)有两个零点，则实数a

的取值范围是_______.

解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数，由函数的图

象可知a>l时两函数图象有两个交点，0<a〈l时两函数图象有惟一交点，故a>L答案：

(1,+8)

5.(原创题)若函数f(x)=a—l(a>0,aW1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a

等于________.

0<a<la>lx20解析：由题意知a—1=0无解或a-l=0>a3.答案：3

a0—1—2a2—1—2

—2x+b6.已知定义域为R的函数f(x)=+(1)求a,b的值；2+a

(2)若对任意的tGR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围.

-1+b解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0,即=0,解得b=l.2+a

11x2-2+1—2+1从而有f(x)=+又由f(1)=—f(―1)知，解得a=2.2+a4+al+a

一2x+lll(2)法一：由(1)知f(x)+,22+12+2

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2

-k)<0of(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).

因f(x)是R上的减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.

1即对一切tGR有3t2—2t-k>0,从而△=4+12k<0,解得k〈一.3

—2x+1—2t—2t+1—22tk+l法：：由(1)知f(x)=+,又由题设条件得t2t+12t—k

+K02+22一~I-22+2

即(22tkl+2)(—2t2t+1)+(2t2tl+2)(—22tk+1)<0

2——整理得23t2tk>l,因底数2>1,故3t2-2t-k>0++22-2-2-2-2-8-

1上式对一切teR均成立，从而判别式△=4+12k〈0,解得k〈一.

3

B组

1.如果函数f(x)=ax+b-l(a〉0且aWl)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三

象限，那么一定有—.

①0<a〈l且b>0②0〈a〈l且0<b<l③a>l且b<0④a>l且b>0

解析：当0<a〈l时，把指数函数f(x)=ax的图象向下平移，观察可知一l〈b—即

0<b〈l.答案:②

-2.(2010年保定模拟)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)保在区间［1,2］上都是减

函数，则a的取值范围是一...

解析:f(x)=-x2+2ax=—(x—a)2+a2,所以f(x)在［a,+8)上为减函数，

aWl又f(x),g(x)都在［1,2］上为减函数，所以需今0〈aWl.答案：(0,1］a+

1>1

3.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f(x)=ax・g(x)(a>0,

f(l)f(―l)5a^l)；②g(x)W0：若+=,则a等于.g(l)g(—1)2

f(x)f(l)f(—1)55—解析：Ehf(x)=ax•g(x)^=ax,所以+=>a+al=,解得

ag(x)g(l)g(—1)22

11=2或.答案：2或22

一4.(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)=ax(a>0且a#l),其反函数为fl(x).若

—If(2)=9,则fl()+f(l)的值是.3

1解析:因为f(2)=a2=9,且a>0,.*.a=3,则f(x)=3x=,.\x=-1,3

一1一1故故0=-1.又f(l)=3,所以fl()+f(1)=2.答案：233

15.(2010年山东青岛质检)已知f(x)=()x,若f(x)的图象关于直线x=l对称的图3

象对应的函数为g(x),则g(x)的表达式为________.

解析：设y=g(x)上任意一点P(x,y),P(x,y)关于x=l的对称点P'(2—x,

11-----y)在f(x)=()x上，.,.y=()2x=3x2.答案：y=3x2(xWR)33

—ex+ex

6.(2009年高考山东卷改编)函数y=x-x的图象大致为.e—e

—xe+ee+e解析:Vf(―x)==—f(x),为奇函数,排除④.e—ee—e—xxx-

9-

ex+exe2x+le2x—1+22又—==1+在(-00,0)、(0,+8)上都e—ee—le一

le-1

是减函数，排除②、③.答案：①

17.(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x》4时,f(x)=()x；当x<42

时,f(x)=f(x+1),则f(2+log23)=.

解析:V2<3<4=22,/.Klog23<2./.3<2+log23<4,Af(2+log23)

Illl-=f(3+log23)=f(log224)=)log224=21og224=21og22242424

8.(2009年高考湖南卷改编)设函数y=f(x)在(一8,十8)内有定义，对于给定

f(x),f(x)WK,1一的正数K,定义函数fK(x)=取函数f(x)=2x|,当仁

时，函2K,f(x)>K.-

数fK(x)的单调递增区间为

2,x2l或xW—1,1—解析：由f(x)=2|x,W得x2l或xW—1,fK(x)=1

2,-Kx<l,2

则单调增区间为(-8,-1].答案：(-8,-1]

9.函数y=21x的定义域为[a,b],值域为[1,16],当a变动时，函数b=g(a)的图象

可以是.

—|x|

解析：函数y=2|x|的图象如图.

当a=-4时，0Wb<4,

当b=4时，一4<aW0,答案：②

10.(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)=a2x+2ax—

l(a>0,且aWl)在区间[-1,1]上的最大值为14,求实

数a的值.

解:f(x)=a2x+2ax—1=(ax+l)2—2,*.*x£[—1,1],

11(1)当0<a〈l时,aWaxW.,.当ax时，f(x)取得最大值.aa

111(1)2—2=14,.*.=3,.*.a=.aa3

1(2)当a>laxWa,.,.当ax=a时，，f(x)取得最大值.a

1二(a+l)2—2=14,；.a=3.综上可知，实数a的值为或3.3

-211.已知函数f(x)=求证：f(x)的图象关于点M(a,-1)对称；2+1

(2)若f(x)》一2x在x2a上恒成立，求实数a的取值范围.

-10-

2解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x,y),则丫=一，2+1

P(x,y)关于点M(a,-1)的对称点为P'(2a—x,一2一y).

——2•2xa-2-22.\-2-y=-2+-=---------=——2+12+11+22+1

-2说明点P'(2a—x,—2—y)也在函数丫=由点P的任意性2+1

知,f(x)的图象关于点M(a,-1)对称.

—22—(2)由f(x)2—2x得一2x,则2x,化为2xa♦2x+2x—220,2+12+1

则有(2x)2+2a・2x—2♦2a'0在xea上恒成立.令g(t)=t2+2a•t-2•2a,则有

g(t)20在t22a上恒成立.：g(t)的对称轴在t=0的左侧，，晨t)在t任2a上为增函

数.；.g(2a)，0.，(2a)2+(2a)2-2•2a20,/.2a(2a-1)>0,则a与0.即实数a的取

值范围为a20.

——12.(2008年高考江苏)若fl(x)=31xplI，f2(x)=2•3|xp2|,x6R,pl、p2为常

数，且

fl(x),fl(x)Wf2(x),f(x)=(1)求f(x)=fl(x)对所有实数x成立的充要条件

(用f(x),f(x)>f(x).212

pl、p2表示)；(2)设a,b是两个实数，满足a<b,且pl、p26(a,b).若f(a)=

f(b),

b-a求证：函数f(x)在区间［a,b］上的单调增区间的长度之和为(闭区间［m,n］的2

长度定义为n—m).

----------解：(Df(x)=fl(x)恒成立

0fl.(x)Wf2(x)o31xpl|W2,31xp2031xpl||xp21W2

o|x—pl|一|x—p21Wlog32.(*)若pl=p2,则(*)oOWlog32,显然成立;若

plWp2,

pl—p2,x<p2,记g(x)=|x—pl|一|x—p2|,当pl>p2时，g(x)=—2x+pl+

p2,p2WxWpl,

p2—pl,x>pl.

所以g(x)max=pl—p2,故只需pl—p2Wlog32.

pl—p2,x<pl；当pl〈p2时，g(x)=2x—pl—p2,plWxWp2；

p2—pl,x>p2.所以g(x)max=p2—pl,故只

需p2—plWlog32.

综上所述，f(x)=fl(x)对所有实数x成立的充要条件是Ipl-p2|^log32.

(2)证明：分两种情形讨论.

①当|pl-p2|Wlog32时,由⑴知f(x)=fl(x)(对所有实数xe［a,b］),则由f(a)

pl—x,x<pl,3a+b=f(b)及a〈pl<b易知pl=再由fl(x)=x—pl的单调性可

知,f(x)23,x2pl,

a+bb-a在区间［a,b］上的单调增区间的长度为b—.22

②当|pl—p2|>log32时,不妨设p!Xp2,则p2—pl>log32.于是，当xWpl时，有

---fl(x)=3plx<3p2x<f2(x),从而f(x)=fl(x).

-----当x2p2时,fl(x)=3xpl=3p2pl•3xp2>31og32•3xp2=f2(x),从而f(x)=

f2(x).-11-

及f2(x)=2•3p2x,由方程3x0pl=2•3p2x0,解得fl(x)

pl+p21与f2(x)图象交点的横坐标为x032.①22

1显然pl<x0=p2—［(p2—pl)—Iog32］<p2,这表明xO在pl与p2之间.2

fl(x),plWxWxO,由①易知f(x)=f2(x),x(KxWp2.-----当pl〈x<p2

时,fl(x)=3x-pl

fl(x),aWx<xO,综上可知，在区间［a,b］上，f(x)=f2(x),xO〈xWb.

故由函数fl(x)与f2(x)的单调性可知,f(x)在区间［a,b］上的单调增区间的长度

-pl—a之和为(xO—pl)+(b—p2),由于f(a)=f(b),即3=2•3bp2,得

pl+p2=a+b+log32.②

b—al故由①②得(xO—pl)+(b—p2)=b—(pl+p2—log32).22

b—a综合①、②可知，f(x)在区间［a,b］上单调增区间的长度之和为2

第二节对数函数

A组

1.(2009年高考广东卷改编)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且aWl)的反函数，其

图象经过点a,a),则f(x)=.

11解析：由题意f(x)=logax,Aa=loga2=,(x)=lx.答案:logl222

2.(2009年高考全国卷H)设a=log3兀，b=log2,c=log,则a、b、c的大小关系是

1111解析：a=log3n>1,b=log31og23G(,1),c=log32=log32^(0,2222

故有a>b>c.答案:a>b>c

1x

,x[1,0)3.若函数f(x)=4,则f(log43)=.

x4,x[0,1]

解析：0<log43<l,，f(log43)=41og43=3.答案：3

4.如图所示，若函数f(x)=ax

象是.—11的图象经过点(4,2),则函数g(x)=loga的图x+1-12-

-解析：由已知将点(4,2)代入y=axl,，2=a41,即a=23>l.llg(x)递减且过

(0,0)点，.•.④正确.答案：④x+1

15.(原创题)已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2,且f(=4,则f(2010)的值为

2010

111解析：设F(x)=f(x)—2,即F(x)=alog2x+blog3x,则F()=alog2+blog3=xxx

11-(alog2x+blog3x)=-F(x),.,.F(2010)=-F(=-[f(-2]=-2,20102010

即f(2010)—2=—2,故f(2010)=0.答案：0

6.若f(x)=x2—x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0且aWl).⑴求f(log2x)

的最小值及相应x的值;(2)若f(log2x)〉f(l)且log2f(x)<f(l),求x的取值范围.

解：(1)Vf(x)=x2—x+b,...f(log2a)=(log2a)2—log2a+b=b,...log2a=1,/.a

=2.又,.Tog2f(a)=2,.,.f(a)=4.，a2—a+b=4,.\b=2.f(x)=x2—x+2.

17.\f(log2x)-(log2x)2-log2x+2=(log2x)2+.24

17,当Iog2xx2时，f(log2x)有最小值.24

2(log2x)-log2x+2>2,log2x〈0或log2x>l,(2)由题意知二

22log2(x-x+2)<2.0<x-x+2<4.又

0<x<l或x>2,/.0<x<l.-Kx<2.

B组

x+31.(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lgxl0

的图象上所有的点.

x+3解析：•；y==lg(x+3)—1,.,.将y=lgx的图象上的点向左平移3个10

单位长度得到y=lg(x+3)的图象，再招y=lg(x+3)的图象上的点向下平移1个单位

长度得到y=lg(x+3)-l的图象.

答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

2.(2010年安徽黄山质检)对于函数f(x)=lgx定义域中任意xl,x2(xl#x2)有如下

f(xl)—f(x2)结论：①f(xl+x2)=f(xl)+f(x2)；②f(xl•x2)=f(xl)+f(x2)；

③〉0；xl—x2

xl+x2f(xl)+f(x2)④f(.上述结论中正确结论的序号是.22

解析:由运算律f(xl)+f(x2)=lgxl+lgx2=lgxlx2=f(xlx2),所以②对；因为

f(x)-13-

x

l+x2xl+x2f(xl)+f(x2)lgxl+lgx2是定义域内的增函数，所以③正确；f()=lg,=

=2222

xl+x2xl+x21gxlx2,,.,2x1x2,且xlWx2,Ig>lgxlx2,所以④错误.22

答案：②③

3.(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a、b,定义运算“*”如下：

a(aWb)a*b=,则函数f(x)=logl(3x—2)*log2x的值域为

.b(a>b)2

1解析：在同一直角坐标系中画出y=log(3x—2)和y=log2x两个函数的图象，2

由图象可得

logx(0〈xWl)2

f(x)=1log2x—2)(x>l)

4.已知函数y=f6)与y=ex互为反函数，函数y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于

x轴对称，若g(a)=l,则实数a的值为.

解析：由y=f6)与y=ex互为反函数，得f(x)=lnx,因为y=g(x)的图象与y

l=f(x)的图象关于x轴对称，故有g(x)=—Inx,g(a)=10lna=—1,所以a=e

1答案：e

25.已知函数f(x)满足f=log2x,x|,则f(x)的解析式是.x+【x

21解析:由log2x|x|有意义可得x>0,所以，f()=f(,logx|x|=log2x,xx+|x|

11即有f()=log2x,故f(x)=log2=—log2x.答案:f(x)=—log2x,(x>0)xx

6.(2009年高考辽宁卷改编)若xl满足2x+2x=5,x2满足2x+21og2(x—1)=5,则

x1+x2=.

解析：由题意2xl+2xl=5,①2x2+21og2(x2—1)=5,②所以2x1=5—2x1,xl=

log2(5-2xl),BP2x1=21og2(5-2x1).令2xl=7—2t,代入上式得7-2t=21og2(2t-

2)=2+21og2(t—1),.,行-2t=21og2(t—1)与②式比较得t=x2,于是2xl=7—

T72x2..,.xl+x2=.答案：22

7.当xw[n,n+1),(n7N)时,f(x)=n-2,则方

程f(x)=log2x根的个数是.

解析：当n=0时，xe[0,1),f(x)=-2；

-14-,值域为(-8,0].答案：(一8,0]当n=l时，xe[l,2),f(x)=-l；

当n=2时，xG[2,3),f(x)=0；

当n=3时,xG[3,4),f(x)=1；

当n=4时,xG[4,5),f(x)=2；

当n=5时,xG[5,6),f(x)=3.答案：2

8.(2010年福建厦门模拟)已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx

的图象可能是.

llx一解析:由题知，af(x)=()=bx,g(x)=—logbx,当0〈b〈l时,f(x)bb

单调递增，g(x)单调递增，②正确；当b>l时，f(x)单调递减，g(x)单调递减.

答案：②

9.已知曲线C：x2+y2=9(x?0,y20)与函数y=log3x及函数y=3x的图象分别交于

点A(xl,yl),B(x2,y2),则xl2+x22的值为.

解析：,；y=log3x与y=3x互为反函数，所以A与B两点关于y=x对称，所以xl=

y2,yl=x2,；.xl2+x22=xl2+yl2=9.答案：9

kx-110.已知函数f(x)=lg(k£R且k>0).(1)求函数f(x)的定义域；x-1

(2)若函数f(x)在［10,+8)上是单调增函数，求k的取值范围.

lx—kkx—11解：(1)由>0及k>0,HP(xx—1)>0.kx—lx—1

11①当0〈k〈l时，x〈l或x②当k=l时，x£R且xWl；③当k>l时，x<kk

1或x>l.综上可得当0<k<l时，函数的定义域为(-8,i)u(,+8)；k

1当k2l时，函数的定义域为(-8,)U(1,+8).k

10k—ll(2)・・・f(x)在［10,+8)上是增函数，・・・>o,.,.k.1010-1

kx—lk—1又f(x)=lglg(k,故对任意的xl,x2,当10Wxl〈x2时,恒有x—lx—1

k-lk-lk-lk-llf(xl)<f(x2),即lg(k+)〈lg(k+),/.<,/.(k-(-xl-lx2-lxl

-1x2-1x1—1

1111X0,又•・・>,Ak-l<0,,・・k<l.综上可知k£(,1).10x2-1x1-1x2-1

1+xll.(2010年天津和平质检)已知f(x)=loga>0,aHl).(1)求f(x)的定义域；1

-x

(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围,-15-

1+x解：⑴由>0,解得x£(—1,1).1—x

1—x(2)f(―x)=loga=—f(x),且x—(―1,1),・••函数y=f(x)是奇函数.1+x

l+xl+x(3)若a>Lf(x)>0,则，解得0<x<l；若OQG,f(x)>0,则0<<1,1-xl-x

解得一l〈x〈O.

a—12.已知函数f(x)满足f(logax)=x—xl),其中a〉0且aWLa—1

(D对于函数f(x),当x£(—1,1)时,f(1—m)+f(1—m2)<0,求实数m的集合;

(2)x£(—8,2)时，f(x)—4的值恒为负数，求a的取值范围.

a一解：令logax=t(t£R),贝ljx=at,.\f(t)=at—at),a—1

aa-----Af(x)=ax—ax).Vf(—x)=(ax—ax)=-f(x),a—la—1

・・・f(x)是R上的奇函数.

a一当a>l,ax是增函数，一ax是增函数，.'f(x)是R上的增函数；a-l

a一当O〈a〈l,ax是减函数，一ax是减函数，,f(x)是R上的增函数.a—1

综上所述，a>0且aWl时，f(x)是R上的增函数.

⑴由f(1—m)+f(1—m2)<0有f(1—m)<—f(1—m2)=f(m2—1),

1—m<m—1,/.