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第22章相似形（通用）例题（课本P88例1）一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高线AD=60cm，要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2:1，且矩形长的一边位于BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长.

高线AD与PQ相交于点E.PQ//BC=>△APQ∽△ABC

解得：x=24，2x=48.答：这个矩形零件长为48cm和24cm.=>解：设加工成的矩形PSRQ较短边为PS=xcm,则边SR的长为2xcm,点P、Q分在AB、AC上，则分析：本题可根据三角形平行相似，然后再利用相似三角形性质得出比例关系，从而列出方程来求解．拓展1：当AE为多少时？矩形PSRQ的面积最大，最大面积为多少？解：设AE为xcm，矩形PSRQ的面积为Scm2

∵PQ//BC

=>△APQ∽△ABC=>即PQ=x∴S=PQ·ED=x（60-x）=-x2+80x∴S=-（x-30）2+1200∵-＜0∴S有最大值

,当x=30(在0＜x＜60范围内）时，S最大值=1200即当AE为30cm时，矩形PSRQ的面积最大，最大面积为1200cm2

(0＜x＜80)x:60=PQ:80分析：本题仍可利用例题解答方法,根据相似三角形形性质得出对应的比例方程，从而将矩形的长和宽用x的代数式表示，然后再根据矩形的面积公式把该矩形的面积用关于x的二次函数关系式表示，最后再用二次函数的最值求解拓展2：如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，当矩形PQMN与△ABC的面积之比为3∶8时，求矩形PQMN的周长.解：由拓展1可知:矩形面积S=-x2+120x（其中x是AE的长），S△ABC=BC·AD=×120×80=4800

∴得：x2-80x+120=0∴（x-20）（x-60）=0∴x1=20，x2=60当x1=20时，即AE=20，ED=PQ=80-20=60,又由相似三角形性质可知PN=1.5x=30∴矩形PQMN周长为=2（PQ+PN）=180（mm）分析：可利用上述解法，仍设AE为xmm而得出矩形面积为S=-x2+120x.然后再利用已知条件进行求解拓展3：若设此题图中BC=a,高AD=b,正方形PSRQ边为,求证：分析：本题结论可演变为根据这种形式容易联想到面积公式，因此我们不妨用等面积法试证.证明：连接DP、DQ∵SΔABC=SΔBPD＋SΔDQC＋S四边形ＡＰＤＱ∵正方形PSRQ∴PS＝QR∵，∴∴∴答：矩形PQMN的周长为180mm或220mm。∴矩形PQMN的周长为2（PQ+PN）=220（mm）当x=60时

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