北邮期中概率总结

概率论总结

想来学概率已经将近半个学期了，其中的感受颇多，刚接触概

率的时候感觉似曾相识，与高中所学的概率部分十分相似，在前九个

学时的时候感觉学起来很轻松很容易，但是到了后面部分就感觉有些

东西确实不好理解，抽象的概念，抽象的思维，确实需要花费一定的

时间去理解去记忆，现在就把所学的知识总结如下：

第一章随机事件和概率

【我眼中的重点】：

重点掌握条件概率、三个重要公式、独立性

♦试验：

试验可以在相同的条件下重复进行，试验的结果可能不止一个，

但试验前知道所有可能的全部结果，在每次试验前无法确定会出现那

个结果，具有上述特征的试验称为随机试验，简称试验。

【样本空间】：试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,

记为S。

【样本点】：样本空间的元素，即E的每一个结果称为样本点。

【随机事件】：称试验E的样本本空间S的子集为E的随机事件，

简称事件。记作A,B,C..…,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,

则称该事件发生。

【基本事件】：由一个样本点组成的单点集称为基本事件。

【不可能事件］：在任何试验中都不会出现的事件称为不可能事件。

♦随机事件间的关系及其运算：

设试验E的样本空间为S,而

,Ak（k=1,2,…）是s的子集

【事件的包含】：如果事件A发生必然导致事件B发生（A中的每个样

本点都包含在B中）则称事件B包含事件A或A含于事件Bo记

作：8=>4或4（=3

【事件的相等】:若事件A,B满足Au3且3uA

则称事件A与B相等，记作A=B,A与B包含的样本点完全相同。

【事件的合并】：若“两个事件A,B至少有一个发生〃，称这样的事件

为A与B的和（并），记作A+6或或xwB}

【事件的积（交）】：若“两个事件A与B同时发生〃也是一个事件，

则称这样的事件为A与B的积，记作=%且xe/}

【事件的差】：若事件A发生而事件B不发生，则称这样的事件为事

件A与事件B的差。记作={%]%wA且x任5}

【互不相容】：若事件A与事件B不同时发生即A3二①

【对立事件]：若事件A,B中必有一个发生且仅有一个发生。即：

则称事件A与B互为对立事件，或称互为逆事件。A的对立事件

记为：A=S—A

事件运算所满足的下述定律：

交换律：AuB=BuA,AnB=BnA

结合律：Au(BuC)=(AuB)uC

An(BnC)=(AnB)nC

分配律：Au(BnC)=(AuB)n(AuC)

An(BuC)=(AnB)o(AnC)

对偶定律：A°6=2c2

Ar\B=AuB

♦概率的性质：

性质iM①)=。

性质2(有限可加性)：若…'是两两互不相容事件，则有：

p(4u……UA")=P(A)+。(&)+…+P(A〃)

性质3若Au民则有

(可减性)P(B-A)=P(B)-P(A)

(单调性)尸⑻"⑷

性质4(加法定理)设A,B为任意两个事件，则有：

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

性质5对任意事件A有：P(A)=1-尸(A)

♦古典型随机试验(等可能概型)

一般，如果随机试验E具有：

⑴有限性：它的样本空间的元素只有有限个

⑵等可能性：在每次试验中，每个基本事件发生的可能性相同

则称随机试验E为古典型随机试验，也称等可能概型

定义：设E是古典随机试验，S是它的样本空间，5={4与广当}，

若事件A包含k个基本事件A=MJ。{ei2u{eik}

(1＜，＜，2＜.4«〃)则称

可｛'J\、_kn'包S含中的基基本本事事件件为事件人的概率

♦条件概率

尸⑷5)=尸(一)

设A,B是两个事件，则称尸(5)为在事件B发

生的条件下事件A发生的条件概率，其中P(B)大于0

尸(6|A)=尸尸(：：―))-，(尸(A)>0)

(1)P(①忸)=0

性质：(2)P(A\B)=\-P(A\B)

(3)P(A,uA2\B)=P(Ar\B)+P(A2\B)-PiA.A^B)

条件概率的计算

尸(AB)

P(AIB)=

P(B)

定理工设P(B)>0或P(A)>0,则：)=P(B)P(A\B)=P(A)P(B|A)

(1)P(ABC)=P(A)P(B\A)P(C\AB)

⑵p(A&…A,)=尸(4>P(&|A)•尸(4%4)•

尸闻A&……A,』)

♦独立性

【定义。

设A,B是两个事件，如果具有等式：P(A^=P(A)P(5)

则称A,B为相互独立的事件。

【定义2(两两独立)】

设A,B,C三个事件，如果具有如下等式:

P(AB)=P(A)P(B)

<P(BC)=P(B)P(C)

P(AQ=P(A)P(Q

则称A,B,C两两独立。

注：若A,B,C两两独立，尸(A3C)=P(A)P(3)P(C)不一定成立。

【定义3】

设A,B,C是三个事件，如果具有等式：

P(AB)=P(A)P(b)

尸(3C)=P(b)P(C)

尸(AC)=P(A)P(C)

P(ABC)=P(A)P(3)P(C)

则称事件A,B,C为相互独立的事件。

具有等式尸(44…&)=P(&)P(&)…P(&)

则称…A”为相互独立的事件。

【相互独立与两两独立的关系】：

两两独立-------n个事件任何两个彼此独立

相互独立n个事件任意k个~")都是独立

的。故相互独立=两两独立，反之则不真

n个独立事件和的概率公式：设事件A1,A2.......相互独立，则

P0i+...Mn)=1一尸(4+42+…+A)

=1—尸(A)…耳)

=I-P(4)P(&A,P(4)

定理：设A,B是两事件，且P(A)>0,若A,B相互独立则：

尸⑵4)=尸⑻反之亦然。

第二章随机变量及其分布

4-基本概念

【随机变量的定义】：

设随机试验E的样本空间§={e},如果对讦每一个渚B有一

个实数X(e)与之对应，这样得到了一个定义在S上的单值函数X(e),

称*=X(e)为随机变量。

【性质】：

(1).pk>0,4=0,L2…

⑵.冗Pk=l

4=0

上常见分布

L(0—1)分布］：

若随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律为

P(X=k)=pk(l-pf-k)A;=0,1.0<p<l

则称X服从(0-1)分布,记为：X〜(0,1)

【贝努力概型】：

设随机试验E只有两种可能的结果，且在每次试验中A与氏

出现的概率为：只4)=〃，P(A)=l-p=^(0<p<l)

则称这样的n次重复独立试验概型为：n重贝努利概型.

定理：设一次试验中事件A发生的概率为p,(0<p<l)

则在n次贝努利试验中事件A恰发生k次概率为：

P网=(牙。一位依=以2…我

【二项分布】:

若用X表示n重贝努利概型中事件A发生的次数，它的分布律为：

P“(k)=Cpk(l—prk4=0,1,2…〃

则称X服从参数为n,p(0<p<l)的二项分布，记为：X~B(n,p)

【泊松分

若随机变量X的所有可能取值为：°，1，2,一・

Ake~x,_,_

而它的分布律(它所取值的各个概率)为：尸('=幻=~—A=04,2,…

K・

其中;1>0是常数.

则称X服从参数为X的泊松分布，记为X~尸(丸)

4-随机变量的分布函数

【定义】：

尸(x)=J0(XWx)(-00<x<4-00)

设X是一个随机变量，称:

为X的分布函数.记作：X〜F(x)或Fx(x).

【性质1

即若则XX

性质1F(x)是一个不减函数,“1<”2,F(,)-F(2)<0

性质2F(-od)=limF(x)=0

尸(+(动=hmb(x)=l

IX-H-co

性质3/(*)是右连续的函数，即limF(x)=F(x0)

XfX。

上连续型随机变量的概率密度

【定义】:

若对于随机变量X的分布函数,存在非负函数f(x),使得对于任

意实数x有：尸(%)=1/«)力(=P(X<x))

则称X为连续型变量，f(x)为X的概率密度函数。

【性质】:

性质1

性质2

性质3P(X1<X<X2)=F(X2)-F(X1)=£/(x)dr

性质4若/(X)在点X处连续，则有尸'(x)=/(x)

4-连续型随机变量的分布函数

【定义】：

若定义在(—8，+8)上的可积函数/(X)满足:

(1)./(x)>0

(2).「/(x)血=1

^-00

则称F(x)=f于(x)dx

J-00

为连续型随机变量的分布函数

【常见分布】：

>均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为:

17

——a<x<b

/(x)=\b-a

、0其它

则称X在区间(a,b)上服从均匀分布(或等概率分布)

>指数分布rx

—€。x>0

若连续型随机变量x具有概率密度f(x)为：

o其它

其中。>。为常数，则称x为服从参数e的指数分布

»正态分布

若随机变量X的概率密度为："")=瓯'

则称X服从参数为〃和b,的正态分布，记作

X-N"w"(x)所确定的曲线叫作正态曲线

>标准正态分布

称〃=0,b=1的正态分布为标准正态分布。其密度函数和分布

函数常用9(x)和①(")表示：

1上

(P(x)=e2,-oo<x<oo

4-随机变量的函数的定义

设g(x)是定义在随机变量X的一切可能取值x的集合上的函数,

如果对于X的每一个可能取值x,有另一个随机变量y的相应取值y

=g(x),则称y为x的函数，记为y=g(x).

定理：设随机变量X具有概率密度fx(%)(-8<“<+8),

又设函数g(x)处处可导，且有g'(")>°(或g'(x)>°)

则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为：

J-)>|"U)|a<y<P

人3)=[o其它

第三章多维随机变量及其分布

上二维随机变量及分布函数的概念

【定义1】：设S=｛e｝是随机试验E的样本空间，

X=X（e）,Y=Y（e）是定义在s上的随机变量，由它们构成

的向量（X,丫）称为二维随机变量或二维随机向量.

【定义2】（二维随机变量的分布函数）

设（X，丫）是二维随机变量，对于任意的实数了

二元函数F（x,y）=尸｛（X<x）n（y<j）｝=RX<x,Y<y）

称为二维随机变量（X,Y）的分布函数或称为（X,Y）的联合分布函

数。

【二维离散型随机变量的定义】：如果随机变量X,Y的取值（x,y）只能是

有限对或可列无限多对，则称（X,Y）为二维离散型随机变量.

【二维离散型随机变量的分布律】：

设二维离散型随机变量（X,Y）的所有可能取的值为

（不”）工j=L2.........

则：其相应的概率与=/睛>与¥=%）

为二维离散型随机变量（X,Y）的概率分布或分布律，或称为联合分布律.

【二维连续型随机变量的定义】：

如果随机变量（X,Y）的取值不能——列出，而是连续的，则称（X,Y）

为连续型随机变量。

【二维连续型随机变量的（联合）概率密度与分布函数】

若存在非负的二元函数/O,对任意的有：

F(x,y)=iIf(u,v)dudv

J—00J—00

则称（X,Y）是连续型的二维随机变量，/（x，7）为（X,Y）的联合概率密

度；/（X，y）为（X,Y）的联合分布函数.

f（x,y）的性质：

性质1/（x,j）＞0

性质2CCf（x,y）dxdy=l

J-ooJ-oo

性质3若f（x,y）在点（x,y）处连续，则（工"）=f（x,y）

dxdy

性质4设G是XOY平面上的一个区域，则点（x,y）落在G内的概

率为：P{（x,j）eG}=dxdy

1ax<x<b1

1°若/(”)=•

（4一％）电一“2）a2<x<b2

0

则称（X,Y）服从均匀分布

犷(，+y)x>0,j>0

2°若/(%,[)=

0

2

则称（X,Y）服从参数为人的指数分布

3°若/(x,y)

1"-“I)2、(X-〃i)(y-〃2)(y-〃2)2

2]

1-2---(-l----p--2H)-----c--r-ij---------P----------5%+-------5—

2g；一P1

其中Nl，N2，b1，。2，P

为5个常数，则称(X,Y)服从，〃2，6，，夕的正态分布

*边缘分布的定义

【定义】：

设尸(x,y)为x,Y的联合分布函数，则

Fx(%)=F(X,+OO),FF(J)=F(+oo,j)

分别称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.

1.当(X,Y)为离散型随机变量

已知尸(x=Xi,Y=力)=PU为(*，y)的联合分布律，财

00

X——边缘分布函数，4.=尸。=七)=£/i=l,23

；=100

X——边缘分布律，FX(X)=F(X,4OO)=£^.

XjWxj=l

00

Y一一边缘分布函数，4(7)=尸(+8,y)=ZZ%

力Myi=l

Y--边缘分布律，号=”=匕)=力〃J=1,2...

2.当(X,Y)为连续型随机变量，=1

已知连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度及联合分

布函数下(“，》)

则X的边缘分布函数Fx(x)=F(x,4<»)=r[P/(x,j>Zy]6Z¥

•F-CO«F-00

x的边缘概率密度fx(x)=^f(x,y)dy

Y的边缘分布函数Fr(j)=F(+oo,j)=£[|T/(x,j)rfx]Jy

J-ooJ-oo

丫的边缘概率密度人。0=，/(匹了)成

L条件分布

1.离散型随机变量的条件分布

若(X,Y)是二维随机变量，其联合分布律为6*=/丫寸)=与，iJ=lZr

(X,Y)关于X和Y的边缘分布律为P｛X=Xi)=Pi,

昨初二与,班〉(居〉0''

则在事件｛，=已发生的条件下事件｛x=%•｝发生的概率

为:P(X=xY=y.)P

HX=%y=y.)i9=-:上i=L2-

'“十=功Pj

亦称为x在t，一)下的条件分布律.

同理y在条件X天下的条件分布律为:

HX=E，y=RP

P(Y=y.X=)=--二上厂1，2,…

JXi'A

【性质】：

1°Pix=Xiy=jy)>o

00

00811

2。£尸("=毛,=")=£一=可学广可号=1

1=11=1,

00

3°.%丫=出=巧)=1

7=1

2.连续型随机变量的条件分布

【定义1】：

给定y,设对于任意的正数£〉0,P｛y-£<y《y+£)>0

且对任意实数x：

极限liiq尸(X«x|y_£<y«y+£)二则.(X«x,y£<yWy+£)存在

则称此极限为在条件y=y下,x的条件分布函数。记为：

尸X|y（小）=P（X<x\Y=y）

同理/y|x（小）=尸。"y\x="）为条件X=x下Y的

条件分布函数。

【定义2】：若在点（""）处/（孙7）连续，边缘概率密度九㈠）连

续，且打（））>。/邓（邛）=

JyVJ7/

在条件y=丁下x的条件密度函数

同理人戌3%）=4鬻

/x（%）

为在条件X=X下Y的条件密度函数

*随机变量相互独立的定义

【定义】：

设（X,Y）的联合分布函数及边缘分布函数为F（x,y）

及FX（x）,FY（y）,若对任意的x,y都有：

P（X<x,y<j）=P（X<x）P（y<j）即F（x,y）=Fx（xyFY（y）

则称随机变量X和Y是相互独立的.

1.当（X,Y）为离散型随机变量

x和Y相互独立Hx=&y=乃）=HX弓）

（与，儿•）是（X,y）的所有可能的取值。

2.当（X,Y）为连续型随机变量

X和丫相互独立・"f（x,y）=fx（x）-fY（y）

第四章随机变量的数学特征

一.离散型随机变量的数学期望

定义1设X是离散型随机变量，它的分布律为:P(X=x/=Pk,k=l,2,...

8

ZPk

如果级数绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数

学期望，记为：E(X)=%Pk

k=l

(1)(°一1)分布

若随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律为：

p(x=k)=pk(l-p?"k)4=0,1.o<P<1

则E(X)=0・q+l•0二p

⑵二项分布

设随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布即*~p),

E(X)=np

(3)泊松分布

E(X)=2

二.连续性随机变量的数学期望

定义：设X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x),如果积分:

[x^f(x)dx绝对收敛，则称此积分的值为连续型随机变量X

J-00

的数学期望，记为：E(x)=rxf(x)dx

J-00

(1).均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：

,/、---1--a<x<

f(x)=-a

b/v、a+b

即X〜U[a,b]E(X)=-r

(2).指数分布

若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为:

1」

“、-e0x>0

f(x)=<0

0斯

则E(X)=e

(3).正态分布1

若随机变量X的概率密度为：，")=0岳6

X~N(〃，/)E(X)=4

三.随机变量的函数的数学期望

定理：设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数)

则

⑴x是离散型随机变量，它的分布律为：pk=PiX=xk\

00

若石冢绝对收敛，则有a,

£(y)=E[g(X)]=£g(Z)P«

k=l

(2)X是连续型随机变量，它的概率密度为/(*)若匚g(x)/(x)dx

绝对收敛，则有附=现g(X)]=「g(x)/(x)dr

J-oo

四.数学期望的性质

1.设C是常数，则有E(c)=c

2.设c是常数，X是随机变量，则有E(fiX)=cE(X)

3.X,Y是两个随机变量，贝IJ："X+F)=£UO+硕

4.X,Y是两个相互独立的随机变量，则：E(XY)=E(X)E(Y)

五.方差

1.方差的定义

设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在，则称。(X)=E[X-E(X)]2

为X的方差。记为：aX)=E[X-E(X)]2即O(X)=E[X-E(X)『

方差的算术平方根配H称为标准差或均方差。记为：“田=麻

2.离散型随机变量的方差

£[xk-E(X了「卜

如果级数*=i绝对收敛，则称此级数为X的

方差，记为：D(X)=Var(X)=^[xk-E(X)fpk

k=l

⑴(°_1)分布

D(X)=(0-p)2q+(l-p)2p=pqE(X)=p

⑵二项分布

D(X)=npqE(X)=np

(3)泊松分布

D(X)=2E(X)=2

3.连续型随机变量的方差

设连续型随机变量X的概率密度为"X)如果积分

+00

\[x-E(X)]2f(x)dx

绝对收敛，则称此积分为X的方差，记

为:+00

〃凰=际出=j[x-E(X)ff(x)dx=E[X-E(X)f

(1),均匀分布即X-u[a,b]

内)=史@"加中

122

(2).指数分布

D(X)=01E(X)=0

(3).正态分布

D(X)=cr2£(凶="

4.方差的性质

⑴.D(X)=E(X2)-[E(X)f

⑵.若c是常数，贝小"。)二°

⑶.若c是常数，X是随机变量，贝ij：D(CX)=C2D(X)

⑷.若X,Y是相互独立的随机变量，贝ij：〃x+j>〃x)+〃y)

⑸ZXX)二g勺充分必要条件是X以概率工取常数C,即RX=c)=l

⑹.(切比雪夫不等式)设随机变量X具有数学期望E