初中数学综合复习之相似性及应用8

初中数学综合复习之相似性及应用8

解答题

25二如图43是。。的直径，。。垂直于弦AC于点E,且交0。于点。.F是为

延长线上一点，若NCDB=NBFD.

求证：

(1)FD是。。的一条切线；

(2)若AB=10,AC=8,求。歹的长.

【答案】解：（1）证明：

,/NCO6=NBF£>（已知）

NCDB=NCAB（同弧所对的圆周角相等）

:.ZBFD=ZCAB

：.FD//AC

•••。。垂直于弦AC

，ODLFD

/.FO是。。的一条切线.

（2）

•.•4?是。。的直径，43=10

.../1％=90°,半径以=03=OD=5

在Rt△46。中，AB=10,AC=8

由勾股定理得3c=6

•:0D±AC

：.AE=CE=-AC=4（垂径定理）

2

,:OA=OB

0E=，BC=3（三角形的中位线定理）

2

■:FD//AE

：./XOAE^^OFD

.FD0D

"AE-0£

20

:.FD=-»AE^-x4

OE3T

26.【探究发现】如图1,△力a'是等边三角形，N力绪=60°,"交等边三角

形外角平分线⑦所在的直线于点F.当点E是8c的中点时，有AE=EF成立;

图1

【数学思考】某数学兴趣小组在探究/£，厮的关系时，运用“从特殊到一般的

数学思想，通过验证得出如下结论：

当点少是直线比'上（B、C除外）任意一点时（其它条件不变），结论/«=跖仍

然成立.

假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点£是线段BC上的任意一点”，

“点后是线段比'延长线上的任意一点”，“点£是线段BC反向延长线上的任意

一点”，三种情况中。任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明/△=篦

备用图图1备用图图2

【拓展应用】当点/在线段比'的延长线上时，若CE=BC,在备用图2中画出图

形.并运用上述结论求出:S&AEF的值•

【答案】解:

【探究发现】

A

过点后作EDIIAC女于点〃，则△腕是等边三角形

。是△/跖是外角

二/AEC=AABC+AEAD

'：£AEC=^AEF+NFEC

ZABC=ZAEF=QQ°

：./EAD=/FEC

'：CF平分等边△力比'外角NACG

：.ZACF=ZFCG=60o

•:/ADE+/BDE=18N

/比F+NR76=180°

/FCG=NBDE=6Q°

：.£ADE=/LECF=\2^°

'：BA=BCBD=BE

：.BA-BD^BC-BE

即：AD=EC

在£与中

ZADE=ZECF=120o

"：\AD=EC

NEAD=NFEC

:ZD叫XECF(ASA)

：.AE=EF

【数学思考】

①“点后是线段8。延长线上的任意一点”，如图(图1一①)

过点£'作EDIIAC交BA延长线于点D,则△皮於是等边三角形

•..//比是△/缈是外角

，4AEC=ZABC+ZEAD

'：ZAEC=ZAEF+ZFEC

ZABC=ZAEF=60°

：.AEAD=AFEC

'：8'平分等边△力8。外角£ACG

：.ZACF=ZFCG=QO°

'：ZADE+ZBDE=180°

ZECF+ZFCG=18Q°

4FCG=4BDE=6C

：.AADE=AECF=\2^

■:BA=BCBD=BE

：.BA~BD=BC~BE

即：AD=EC

在△/应与△aF中

NADE=NECF=120。

'：i.AD=EC

NEAD=NFEC

：./\ADE^/\ECF(ASA)

：.AE=EF

②若“点后是线段BC上的任意一点”，如图(图1一②)

过点£作EDIIAC交48于点D,则△叱是等边三角形

YN胡。是△力应'是外角

/.AEAD=AABC+NAEC

,?4FEC=/LAEF+4AEC

ZABC=ZAEF=QQ°

：./EAD=4FEC

,：6F平分等边△46。外角AACG

：./共分=60°

•.•△叱是等边三角形

：.ZEDA=60°

：.AEDA=AFCE=^°

'：BD=BEBA=BC

：.BD-BA=BE-BC

即：AD=EC

在△/血与△比尸中

NEDA=NFCE=60。

'：\AD=EC

NEAD=NFEC

：4DE会XECF(ASA)

：.AE=EF

③“点£是线段BC反向延长线上的任意一点”如图(图1—③)

过点后作EDUAC交48延长线于点D,则△叱是等边三角形

•.•/加。是△力应'是外角

，AABC=AAEB+ZEAD=QO°

/AEF=ZAEB+4FEC=6Q°

：.AEAD=AFEC

'：必'所在直线平分等边外角4ACG

:./ECF=4GCH=6G

•.•△8龙是等边三角形

，//庞=60°

：.4EDA=4FCE=8Q°

■:BA=BCBD=BE

：.BA-BD=BC-BE

即：AD=EC

在与△£/中

NAOE=NEb=60°

'：\AD=EC

NEAD=NFEC

:.XAD咋XECF(ASA)

：.AE=EF

【拓展应用】

图2

当点后在线段比'的延长线上时，若CE=BC,如图2.

由上述结论可知：AE=EF,//砥=60°

颜是等边三角形

•••△4?。是等边三角形

:.XABCSMAEF

•••△3龙是等边三角形

：.AB=BC=CA

'：CE=BC

：.AB=BC=CA=CE

:./CAE=/CEA

：.ZCAE+ZCEA=N/%=60°

：.£CAE=£CEA=^°

:./BAE=/BAC+/CAE=600+30°=90°

-tanNBEA-tan30°=

AE3

27.如图，13是。。的直径，延长AB至P,使BP=OB,即垂直于弦BC,垂足为

2」

tana•tan

点8点〃在PC上,没4PCB=a,APOC=°.求证:23

【答案】证明：连接

1P_

则/力=5/夕%=2

•.36是。。的直径，

/4％=90,

■:BDIBC

BD

tana=-----

BC,BD//AC

：.APBD=^A

'：AP=AP

△必g△*C

BD_PB

：.~AC~~PA

'：PB=OB=OA

PB_1

.•.不

p_BDBCBD1

tana•tan

万一前■耘~AC3

28.在正方形/仇力中，动点E,6分别从〃。两点同时出发，以相同的速度在

直线"；力上移动.

(1)如图①，当点£自〃向&点尸自。向8移动时，连接然和加；交于点尸

请你写出/《与加的关系，并说明理由；

(2)如图①，当点£,厂分别移动到边〃C,力的延长线上时，连接46和多，

(1)的结论还成立吗？(请直接回答“是"或“否"，不须证明)

(3)如图③，当反尸分别在切、6。的延长线上移动时，连接施和母；(1)的

结论还成立吗？请说明理由；

(4)如图④，当E、尸分别在左、%上移动时，连接四和母1交于点尸，由于

点环的移动，使得点。也随之运动，请你画出点。的运动路径的草图，若

AD=2,试求出线段CF的最小值.

【答案】解：（1）AE=DF,AEA.DF

理由：•.•四边形力腼是正方形

：.AD=DC,ZADC=ZC=90°

'：DE=CF

:.△kDEs^DCF

：.AE=DF,/DAE=NCDF

由于/如+N4F=90°

：.ZDAE+ZADF=90°

:.AEIDF

⑵是.

（3）成立.

理由：由（1）同理可证，AE=DF,2DAE=/CDF.

延长外交四于点G,则NCDF+4ADG=90°

，NA〃G+N为E=90°

C.AELDF

(4)草图如图.

由于点尸在运动中保持//加=90°,

...点尸的路径是一段以为直径的弧，

设助的中心为0,连接“交弧于点R此时b的长度最小,

在Rt△中，OC=VCD2+OD-=,2?+F=石

：.CP=OC-OP=^>

29.等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连结AF,

BE相交于点P.

(1)若AE=CF.

①求证：AF=BE,并求/APB的度数.

②若AE=2,试求AP・AF的值.

(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.

【答案】(1)①证明：•••三角形ABC为等边三角形，

.*.AB=AC,ZBAC=ZC=60°,

VAE=CF,

.'.△BAE乌△AFC(SAS),

，AF=BE,ZABE=ZCAF,

VZAPB=ZCAF+ZAEB,

AZAPB=ZABE+ZAEB=180°-60°=120°.

②•.•NAEB=NAEP,ZABE=ZCAF,

AABAE^AAPE,

.AP_AE

，

••ABBE

VAB=6,AE=2,

・AP_2

••，

6AF

AAP•AF=6X2=12.

（2）此题分四种情况,

第一种：点P经过的路径长为警;

第二种:

第三种：点P经过的路径长为36;

第四种：点P经过的路径长为地+雪.

A

30.课本中有一道作业题：

有一块三角形余料48C,它的边60=120mm,高力片80mm.要把它加工成正

方形零件，使正方形的一边在a'上，其余两个顶点分别在/氏上.问加工

成的正方形零件的边长为多少mm?

小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题.

（1）如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正

方形所组成，如图1,此时，这个矩形零件的两条边长又分别是多少mm?请你计

算.

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的

两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零

件的两条边长.

【答案】解：（1）•.•四边形/^图是矩形,

J.PN//QM.

:.XAPNSXABC.

.PN_AE

设PQ=ED=x,则4V=2x,AE=%Q-x.

.lx_80-x

"120-80

解得.生，2.图.

77

这个矩形零件的两条边长分别是与mm和拳mm.

（2）•.•四边形必随是矩形，

J.PN//QM.

：,/1APN^/\ABC.

.PN_AE

"~BC~~AD'

汲PQ=ED=x,则力6=80—x.

.PN_80-x’即*甯・您=千.

"120-80

S矩形PNMQ=PN•PQ――-~——-•x=—彳*2+120x=——(x-40)"+240

(mm2).

...当x=40时，S矩形MM。有最大值240.止匕时PN='80；40）=6。

这个矩形面积达到最大值时矩形零件的两条边长分别为40mm,60mm.

31.如图，在平面直角坐标系中，直线/平行X轴，交y轴于点4第一象限内

的点6在/上，连接OB,动点尸满足N4尸0=90°,气交x轴于点C.

（1）当动点尸与点8重合时，若点8的坐标是（2,1）,求为的长.

（2）当动点夕在线段如的延长线上时，若点A的纵坐标与点△的横坐标相

等，求以：PC的值.

（3）当动点尸在直线仍上时，点〃是直线仍与直线。的交点，点6是直线

少与y轴的交点，若Z4CE=ZAEC,PD=20D,求以：PC的值.

【答案】解：（1）如图，PA=2.

（2）如图，过点尸分别作Qdx轴，QTUy轴，垂足为点乱也

•••点A的纵坐标与点8的横坐标相等，

：.ZBOA=45°.

二四边形Q"V是正方形，PM=PN.

又■：/APS,

:./APN=4CPM.

:.PA:PC=1.

（3）①如图，点尸在线段仍的延长线上.过点〃分别作4月_x轴，/WJ_y轴,

垂足为点机/V,与直线力。的交点为£

ZCMP=ZANP=90°,NAPN=/CPM,

，Rt△仍VTt△⑦V

⑶

.PAPN

''~PC~~PM'

,：/AEC=/ACE,API.CP,

尸为龙的中点.

•.•E0/y轴，

...尸，〃分别为%的中点.

设OA=x,

'：PD=20D,

：.PF=2x,FM=O.5(24=0.5x,PM=2.5x,CA=2PF=4x.

RtZX。。中，OC=y/CA^-OA2=>/l5x,

:.PN=OM=Q.5OC=—x,由四=生，

2PCPM

得PA：PC=—x：-x=叵.

225

②点尸在线段加上，不符合题意.

③如图，点夕在线段如的反向延长线上，过点。分别作冏/J_x轴，/WJ_y轴,

垂足为点弘A；q/与直线47的交点为人.

同理可得，PM=1.5xCA=2PF=4x.

在中，OC=y[i5x,：.PN=OM=0.5OC=—x,：.PA：PC=

2

V15.3_715

-----X•一x--------.

：.PA：用的值为巫或巫.

（分类讨论，相似，三线合一，三角形中位线，全等三角形，特殊四边形，直角

三角形斜边中线性质，…）

32」如图，在菱形/腼中，对角线劭相交于点。，过点。作一条直线分别

交DA,8。的延长线于点色F,连接应；DF.

⑴求证：四边形质定是平行四边形；

⑵若EFLAB,垂足为M,tanNMBO=求以/:版的值.

第25题图

【答案】⑴证明：•••点。是菱形4时的对角线的交点,

：.OB=OD,OA=OC,AD//BC.

：.AAEO=ACFO.

又.：/A0E=/COF,△的匡△OCF.：.OE=OF.

四边形序比'是平行四边形.

⑵解：•.•四边形力比力是菱形，.

又,/OMLAB,ZAQIf=AMBO.

「tan乙侬T，.•.需=罂和

•.・A一‘M‘*_A‘‘M’・M‘■O‘‘_—\■■\—■■■

MBMOMB224.

'：AE//BF,:.AMAESAMBF.

：.EM,.MF=AM\MB=\：4.

33.如图，在屏幕直角坐标系中，点4,3的坐标分别为(-3,0),(0,6).动

点P从点。出发，沿X轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从

点3出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP,CO为邻边

构造OPCOD,在线段OP延长线上取点£,使=设点户运动时间

为f秒.

(1)当点C运动到线段的中点时，求f的值及点E的坐标；

(2)当点C在线段08上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；

(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN上PE,截取FM=2,FN=1,

且点M,N分别在一、四象限.在运动过程中，设口PCO。的面积为S.

①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的f的值;

②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时，

直接写出S的取值范围.

【答案】解:

由题意得：BC=2t,OP=t,PE=OA=3,OE=OP+PE=t+3,

(1)B(0,6),

，OB=6,

当C点运动到线段。8的中点时，BC=2t=3,

•,3

..t=—.

2

39

止匕时，OE=-+3=-,

22

9

E(0,-).

2

(2)•••四边形PCOD为平行四边形，

:.CP=DO,NCPO=NDOP,

，180°-ZCPO=180。—ZDOP

即NCPE=NDOA,

又；PE=OA,

：.AAOD处八EPC,

AZEAD^ZAEC,AD^EC,

：.AD//EC,

四边形ADEC是平行四边形.

(3)

由题意可得C(0,6—2f),PCt,0),D(/,2r—6),E(f+3,0),

F(r+1,0),M(r+1,2),N(r+1,0-1).

①

情况一：当C在X轴上方时

coMF

(a)M在CE上时，,的VJ_x轴，COJ_x轴，.•.△MFE

OEFE

即有42=2,解得，=i；

f+32

(b)N在DE上时，轴，OP_Lx轴，AA^E^ADPE,/.—=——,

PEFE

情况二：当C在x轴上方时

npMF

(a)M在OE上时，轴，DP±xtt，/.^MFE^^DPE,：.—=——

PEFE

即有f2/-6=42,解得，=9?；

322

coNF

(b)N在CE上时，轴，CO_Lx轴，，^NFE^COE=——

OEFE

即有螯j解得「5；

QQ

综上，当，=1、->5时，点M,N中有一点落在四边形A0EC的边上.

42

②

情况一：如下第一幅图，当r=l时，M恰好过CE,当01时，M在四边形ADEC

9Q

外部，而N在四边形AOEC内部，直到"三时，N点恰好在QE上，故〈二

44

39279

止匕时S=CO-OP=（6—2。“=—2r+6/=—2«—二产+二，—<S„-；

2282

99

如下第二幅图，当，=3时，M恰好过。石，当时，M在四边形A0EC内部，

22

9

而N在四边形A0EC外部，直到，=5时，N点恰好在CE上，故‘</<5；

2

3027

此时S=CO・O尸二（2f—6）・1二2/-6，二2（，一5）2—彳，y<S<20.

综上，当点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）

rjL279T27

时，—<S,,—或—<S<20.

822

34.如图,在RtZ\ABC中，ZACB=90°以AC为直径的圆0与AB边交于点D,

过点D作圆0的切线，交BC于E

(1)求证：点E是边BC的中点

(2)求证：BC1=BD.BA

(3)当以点0、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：AABC是等腰直角

三角形

【答案】证明：(1)连接CD,AC为直径，则NADC=90°

ED切圆0于D,EC切圆0于C,.,.ED=EC

，ZEDC=ZECDZECD+ZB=ZEDC+ZBDE=90°

/.ZB=ZBDE则BE=ED

BE=ED=EC即点E是边BC的中点

(2)在4BDC与aBCA中

ZB=ZBZBCA=ZBDC=90°

/.△BDC^ABCA

—=—BPBC2=BD.BA

BCBA

(3)以点0、D、E、C为顶点的四边形是正方形，此时NDEB=90°,ED=BE

已证

ZB=45°

/.△ABC是等腰直角三角形

35j如图，在直角梯形ABCD中，AB〃DC,/力吐90°，力庐8cm,^4cm,"5cm.动

点P从点6开始沿折线BC—CD-DA以lcm/s的速度运动到点A.设点P运

动的时间为t(s),△阳8的面积为S(cm2).

(1)当片2时，求S的值；

(2)当点。在边加上运动时，求S关于匕的函数表达式；

(3)当912时，求力的值.

【答案】解：⑴当片2时，9不><8X2=8；

2

⑵过〃作如于"'：AB=8cm,除4cm,CD=5cm,.•.如M,A牛3,：.

49=5.当点夕在边加上运动时，过夕作朗_1_48于,:△APKS/XADH,：,

-P-K-=——AP,..♦——PK=-1-4-—-f,..•小DH一4(/1,4“-f),\..S=—X8X_(]4-〃r)\=-2-2-4---1-61(/9Q

DHAD45572555

W04)；

⑶当912时，①当点尸在边比'上运动时，1x8夕12,At=3；

2

②当点尸在边皿上运动时,竽与T,

36.【问题情境】张老师给爱好学习的的小军和小俊提出这样一个问题:如图①，

在△48。中，点尸为边比'上的任一点，过点尸作外，力6,PELAC,垂

足分别为〃E,过点。作的_力8,垂足为足求证外+加=CE

图①图②图③

第27题图

小军的证明思路是：小俊的证明思路是：

如图②，连接AP,由AABP与如图②，过点P作PGLCF,垂

△ACP面积之和等于△ABC的面积足为G,可以证得：PD=GF,PE=

可以证得：PD+PE=CF.CG,则PD+PE=CF.

【变式探究】如图③，当点。在回延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE

=CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

【结论运用】如图④，将矩形力腼沿）折叠，使点〃落在点6上，点。落在点

C处，点尸为折痕）上的任一点，过点产作%JL应；PHLBC,垂足分别为6,

H,若47=8,CF=3,求尸G+"的值；

【迁移拓展】图⑤是一个航模的截面示意图.在四边形力腼中，£为49边上的

一点，EDLAD,ECLCB,垂足分别为〃C,且AD*CE=DE*BC,46=2至dm,

JZ?=3dm,BD=4rjdm.M,“分别为力£,缈的中点，连接皿,CN,求△施加与^

CSV的周长之和.

图④图⑤

第27题图

【答案】【变式探究】证明：连接必・•••8,«二2“阳一五.，

C.\AB-CF=\AB-PD-\AC-PE.gpAB'CF=AB-PD-AC*PE.

222

'：AB=AC,：.PD~PE=CF.

［结论运用】解：'：AD//BC,：.ZDEF=£BFE.

由折叠可知/戚=/颇，:./BFE=/BEF.：.BE=BF.

由【问题情境】中的结论（等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一

腰上的高）可知：PG+PH=BF上的高=DC.

'：DE=BE=BF,£DE〃BF,.•.四边形质定是菱形.

:.DF=BF=BC—BF=8—3=5.

在Rt△比F中，DC=y/DF2-FC2=V52-32=4.

：.PG+PH=4.

【迁移拓展】解：如图1，延长/〃，6。相交于点凡过点8作次垂足为

H.

'：A&-Ati=Bti,BD-DU=BH,:.AB—AR=B”DH.

即（2至）2—（3+㈣2=（质）由此解得DH=\.

：.BH=^BD2-DH2=7(737)2-I2=6.

■:AD・CE=DE・BC,即照=摩，又,：NADE=4BCES，

BCCE

:AADES^BCE.:.AA=AABC.:.AF=BF.

图1

由【问题情境】中的结论可知切+反=阴=6.

•••点M,/V分别庞和Rt△aF斜边上的中点，

,MD=ME=[AE,NC=NE=1EB.

:.ADEM的周长的周长={MD+ME+ED）+（NE+NC+EC）=­AE+EB+{ED

+E0=AB+（ED+EQ=2713+6.

37.如图①在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连

接ED、EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，

我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似，

我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”。

解决问题：

⑴如图①NA=NB=NDEC=45。，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相

似点，并说明理由；

⑵如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正

方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD

的边上的强相似点；

⑶如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好

是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系。

图①图②

图③

【答案】解：（DE点是四边形ABCD的边AB上的相似点。理由如下：

ZDEC=45°,ZDEA+ZCEB=135°；；ZA=45°,Z.ZADE+ZAED=

135°,二ZADE=ZCEB,/.AADE^ABEC,/.E点是四边形ABCD的边AB上的

相似点。

⑵作法：以CD为直径作圆，它与AB交于El,E2点，El,E2点即为所作.

⑶点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，可分两种情况。

AMAPApAP

第一种情况：△MAES^EBCS/XMEC,则有：——=——=—=——。过E点作EN

MEECCDAB

±MC于N点。由角