声与振动基础课件

第一章机械振动系统的振动声与振动基础声与振动基础主要内容1.1单自由度机械振动系统的自由振动1.2单自由度机械振动系统的强迫振动1.3任意时间函数的力对机械振动系统的作用1.4机电类比1.5两个自由度耦合系统的自由振动声与振动基础概论1、绝大部分声音来自结构振动声与振动基础概论2.振动与声波（soundwaves）声波是传声介质质点运动状态的传递。声与振动基础机械振动：质点围绕其平衡位置进行的往返运动。概论机械振动系统，至少应有下面两个要素（1）惯性（质量）；（2）质量受到恢复力作用。

(恢复力，总是指向平衡位置的力)声与振动基础概论机械振动系统分类集中参数系统分布参数系统声与振动基础集中参数系统:把机械振动系统中的物体视为只有质量或只有弹性的元件。分布参数系统:振动系统中的每一部分都有质量、弹性、消耗能量的性质。弹簧振子振动着的鼓膜概论声与振动基础概论单自由度系统两自由度系统多自由度系统自由度:描述集中参数系统振动过程所用的独立变量。声与振动基础1.1、单自由度机械系统的

自由振动

一、无阻尼自由振动二、阻尼自由振动声与振动基础一、无阻尼自由振动1、振动方程2、振动的一般规律3、振动的速度和加速度4、振动的能量声与振动基础

振动系统元件：钢球：质量元件，质量m弹簧：弹性元件，弹性系数D1、振动方程无阻尼自由振动声与振动基础

虎克定律：弹性力与弹簧两端的相对位移大小成正比，而力的方向和位移的方向相反。（弹簧在弹性限度内）

1、振动方程无阻尼自由振动声与振动基础弹性系数：在数值上等于弹簧产生单位长度变化所需作用力的大小柔顺系数：表示弹簧在单位力作用下能产生的位移的大小1、振动方程无阻尼自由振动声与振动基础牛顿第二定律：1、振动方程无阻尼自由振动声与振动基础1、振动方程根据弹力与牛顿力平衡原理，得出m运动的微分方程令——

振动圆频率（角频率）无阻尼自由振动声与振动基础运动方程写为求解这个齐次二阶常微分方程可以得到自由振动的一般解。1、振动方程无阻尼自由振动声与振动基础特征方程：得到所以，方程的解为：其中，，为复常数，决定于初始条件；而，由系统参数（m，D）决定，与初始条件无关。2、振动的一般规律无阻尼自由振动声与振动基础

式中，为两个待定常数，由运动的初始条件来确定。2、振动的一般规律无阻尼自由振动如果，关于的初始条件为实数，则的另一种表示：声与振动基础数学基础无阻尼自由振动2、振动的一般规律声与振动基础2、振动的一般规律无阻尼自由振动令表示为：其中，C1，C2；或A，φ由初条件确定声与振动基础无阻尼振动系统的自由振动是一个简谐振动。所谓简谐振动（谐合振动）是指正弦或余弦振动。

结论：2、振动的一般规律无阻尼自由振动声与振动基础此振动的周期为：；单位sec此振动的频率为：；单位1/s，称作赫兹,记Hz

称作角频率，单位为：弧度/秒2、振动的一般规律无阻尼自由振动声与振动基础2、振动的一般规律无阻尼自由振动声与振动基础

为系统的固有角频率。系统的固有频率仅由系统参数决定，与初始条件无关。定义：固有频率(naturalfrequency)，振动系统自由振动时的频率为该系统的固有频率，记：

2、振动的一般规律无阻尼自由振动声与振动基础初始条件解得由初始条件决定2、振动的一般规律无阻尼自由振动声与振动基础2、振动的一般规律得到特解无阻尼自由振动第一项表示由初始位移引起的振动位移；第二项表示由初始振速引起的振动位移。二者振动相位差为声与振动基础2、振动的一般规律令无阻尼自由振动声与振动基础

无阻尼振动系统的自由振动是一个简谐振动。无论怎样的初始激发条件，系统的振动频率始终等于固有频率（小振幅振动）。固有频率决定于系统的参数。由初始位移引起的振动位移和由初始振速引起的振动位移的相位相差2、振动的一般规律总结：无阻尼自由振动声与振动基础3、振动速度、加速度无阻尼自由振动已知位移（）声与振动基础3、振动速度、加速度质点m作自由振动时，位移为瞬时速度瞬时加速度无阻尼自由振动声与振动基础位移、速度、加速度的区别与联系3、振动速度、加速度无阻尼自由振动声与振动基础相位关系：速度的相位比位移的相位超前加速度的相位比速度的相位超前加速度和位移恰好反相3、振动速度、加速度位移、速度、加速度的区别与联系无阻尼自由振动声与振动基础幅度关系位移振幅振速振幅加速度振幅位移、速度、加速度的区别与联系3、振动速度、加速度无阻尼自由振动声与振动基础对于谐合振动，可以引入复数表示：若则称：为的复数形式。前面的谐合位移、振速、加速度的可用复数形式表示。3、振动速度、加速度声与振动基础3、振动速度、加速度无阻尼自由振动复数位移复数振速复数加速度声与振动基础

用复平面上旋转复矢量表示谐合振动：前面的谐合位移、振速、加速度在复平面上的旋转矢量表示：3、振动速度、加速度声与振动基础

4、振动的能量无阻尼自由振动系统不受外力作用，为能量守恒系统，它决定于初始激发时所给予的能量，但在系统内，能量会转换。动能和势能的转换声与振动基础振动质量的动能（kineticenergy）：4、振动的能量无阻尼自由振动声与振动基础弹簧形变的势能（potentialenergy）：决定于弹簧形变过程只能够得到的形变能，也等于m运动时克服弹性力所作的功。4、振动的能量声与振动基础振动系统的总机械能(mechanicalenergy)：4、振动的能量无阻尼自由振动声与振动基础自由振动系统的能量关系4、振动的能量无阻尼自由振动声与振动基础

无阻尼系统的自由振动过程中，系统总能量不变。无阻尼系统的自由振动是系统质量上的动能与弹簧上的势能相互循环转化的过程。总结：4、振动的能量声与振动基础二、阻尼自由振动1、阻尼振动方程2、阻尼振动的一般规律3、阻尼振动的能量4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述声与振动基础

机械振动系统的振动若有阻力作用，则为阻尼振动系统。受阻力的作用，系统能量损耗，质量振速幅度减小，以致于振动停止。系统在振动时始终会受到阻尼力（damping）的作用。任何一个实际机械振动系统都是阻尼振动系统。1、阻尼振动方程阻尼自由振动声与振动基础

声学上最简单的阻尼模型是牛顿阻尼（粘滞阻尼）即，阻力与元件的振动速度成正比。称为阻力系数或力阻。1、阻尼振动方程阻尼自由振动声与振动基础1、阻尼振动方程阻尼自由振动定义为阻尼系数声与振动基础

阻尼振动方程是常系数的二阶齐次微分方程，其一般解为

2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动声与振动基础其中是特征方程的两个根。由此得2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动声与振动基础（1）大阻尼振动－阻力很大时则为实数，并且

2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动讨论：因为声与振动基础其中每一项按指数规律衰减。2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动初始条件不同时，位移的变化规律不同。讨论：声与振动基础

2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动初始振速方向向下讨论：大阻尼振动初始条件：声与振动基础

2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动初始振速为零讨论：大阻尼振动初始条件：声与振动基础

2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动初始振速方向向上讨论：大阻尼振动初始条件：声与振动基础结论：大阻尼时，，系统不会振动。2、阻尼振动的一般规律声与振动基础（2）小阻尼振动－阻力不大时

2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动讨论：则其中声与振动基础将带入2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动得写成三角函数式讨论：声与振动基础上式还可写成其中，，

2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动表示振幅随时间衰减的振动讨论：

由系统参数决定，由初始条件决定。令声与振动基础显然，并不是周期的，更谈不上是简谐的，但一般，当时（极小阻尼情况下），称为振幅随时间衰减的谐合（简谐）振动。（尽管为非周期的，但过0点间隔是一样的）2、阻尼振动的一般规律阻尼自由振动讨论：声与振动基础结论：极小阻尼条件下，阻尼振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的简谐振动。阻尼自由振动2、阻尼振动的一般规律结论：大阻尼时，系统不会振动。声与振动基础3、阻尼振动系统的能量阻尼自由振动小阻尼单自由度条件下，振动系统的固有频率为：而在极小阻尼条件下，固有频率近似为：

声与振动基础所以，有：任一时刻的总振动能为振动位能与势能的和,即：阻尼自由振动3、阻尼振动系统的能量位移:振速:记，则：声与振动基础阻尼自由振动3、阻尼振动系统的能量阻尼振动系统中总能量是随时间变化的，即使在一个周期内也是有起伏的。声与振动基础阻尼自由振动取整个周期内能量的平均，得式中3、阻尼振动系统的能量声与振动基础阻尼自由振动3、阻尼振动系统的能量

阻尼振动系统的能量近似地随时间作指数规律衰减声与振动基础①阻力系数：—最先引入阻力与速度成线性关系，（粘滞阻尼）[]=[力]/[速度]MKS制中其单位：kgs-1（力欧姆）4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼自由振动声与振动基础②阻尼系数：解方程时引入的；分析其物理意义：在时，振子自由振动：所以，4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼自由振动声与振动基础小阻尼单自由度振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的谐合振动。是其振幅，在M.K.S制中,单位可见的物理意义为：小阻尼单自由度振动系统自由振动时，在单位时间内振幅相对变化量的自然对数值。愈大，即阻力愈大，振幅的衰减愈快4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼自由振动声与振动基础③对数衰减量：一个周期内振幅的对数衰减。阻尼自由振动所以因为阻尼振子自由振动的振幅在一个周期内相对变化量的自然对数值为阻尼振子的对数衰减量。对数衰减量无量纲。4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述声与振动基础④衰减模数定义：阻尼振子自由振动，振幅衰减到原来倍时所需的时间，称作阻尼振子的衰减模数，记。在M.K.S制中，单位，Sec

4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼自由振动声与振动基础⑤品质因数

：定义为振幅衰减到初始值的所经过的周期数为品质因数，即所以因为所以阻尼自由振动4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述声与振动基础阻尼振子的平均能量为：一个周期内损失的能量为：4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼自由振动

由系统的Rm，m，D决定，反映了系统的性质，是系统参数。分析的物理意义：声与振动基础损失能量的相对值：Qm值反比于阻尼振子自由振动时一个周期内振动能量损失的相对值。

4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼自由振动声与振动基础

品质因数是表征系统特性的常数，其数值反映了系统所受阻尼作用的大小。

阻尼自由振动4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼作用愈大，品质因数愈低，振动衰减愈快。声与振动基础阻尼自由振动阻尼振动的衰减规律实线描述质点位移随时间t变化的总规律，其振幅每隔一个周期都有一定降低；虚线描述了振幅衰减规律。声与振动基础重点提示！实际系统一般都是衰减系统，其原因在于系统中的阻尼力。衰减振动方程为二阶常微分方程。大阻尼时，系统不会振动。极小阻尼条件下，阻尼振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的简谐振动。振动系统的能量近似地随时间作指数规律衰减。阻尼自由振动声与振动基础2-22-32-42-15*（选做）课后作业：声与振动基础1.2

单自由度机械振动系统的强迫振动声与振动基础声与振动基础内容提要

一、强迫振动方程及其解

1、无阻尼系统的强迫振动

2、有阻尼系统的强迫振动二、强迫振动的过渡过程三、强迫振动的稳态振动

1、机械阻抗

2、频率特性

3、激励力对振动系统的输入功率声与振动基础一、强迫振动方程及其解

一个振动系统受到阻力作用后振动不能永远维持，它要渐渐衰减到停止，因此要使振动持续不停，就要不断从外部获得能量。外力作用下的振动-强迫振动（受迫振动)

（forcedvibration）声与振动基础

无阻尼强迫振动示意图谐合函数——正弦、余弦函数。1、无阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解声与振动基础质量元件m受两个作用力①弹性力②外加推力F一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础运动方程式用复数表示：，则运动方程化为：（*）一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础

强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和。

通解=一般解＋特解其中：为方程（*）所对应的齐次方程的解（通解）为方程（*）的特解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础据前，方程（*）的通解为：（1-1节已解出）其中一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础

设方程（*）特解的一般形式为

一、强迫振动方程及其解特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率等于外力的频率。1、无阻尼系统的强迫振动

带入强迫振动方程（*）（*）声与振动基础得所以方程的解为：一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础所以，实际位移为：式中的和由初条件决定。第一项：自由振动分量第二项：强迫振动分量结论：无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个简谐振动的迭加。一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动求得带入上式得取零初始条件；声与振动基础零初始条件的振动位移三角变换一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础

时‘拍’现象不明显时‘拍’现象明显形成‘拍’振动一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础无阻尼系统的拍频振动规律①振动频率近似等于②“振幅”作慢周期变化，拍周期一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础当一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础特例：当时，振子振幅逐渐(共振)实际上，由于阻的存在，自由振动随时间增加会逐渐消失，振动仅有强迫振动项，而达到稳态振动。结论：无阻尼振子在谐和力激励两个简谐振动的合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振动；形成拍频振动。由于无阻尼，所以自由振动总也不消失。一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动声与振动基础有阻尼时，运动方程2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解复数表示：外力为谐和力声与振动基础运动方程：其解：

为齐次方程的解，已在前面解出。此解数学上称为“通解”；物理中称为“暂态解”。其中：2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解声与振动基础系统的固有频率，决定于系统本身的参数由系统的初始条件确定2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解当时,声与振动基础设特解代入到运动方程得到2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解声与振动基础此解数学上称为“特解“；物理中称为“稳态解”2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解声与振动基础令2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解则外力引起的位移振幅和外力的振幅成正比，并和外力频率有关。声与振动基础其中：由初始条件决定;

由系统参数决定。

2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解声与振动基础结论：阻尼系统在谐和力作用下的强迫振动质量的位移由两个函数组成：第一项为暂态分量：振动角频率为。表示外力刚开始时激发起系统的自由振动分量。

振幅随时间衰减。第二项为稳态分量：振动频率等于外力的频率，表示外力产生的强制振动分量。

是振幅不变的简谐振动。随时间的增加，前者对位移的影响趋于0,后者成为描述振子运动的函数—稳态解。

2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解声与振动基础

对解的进一步分析：

(1)强迫振动的过渡过程（暂态解）阻尼振子受迫振动，总是经过一段时间后达到稳定，一般说，振子受力激励后到达到稳定振幅的简谐振动这段过程称为过渡过程；从数学上讲就是暂态解幅值减小到0的过程。

二、强迫振动的过渡过程声与振动基础

几种典型情况外力作用下，振动过渡过程的形式不同。①零初始条件：从最简单的情况入手分析之，设振动系统开始时完全处于静止状态且外加谐和力的频率等于系统的固有频率。则：二、强迫振动的过渡过程声与振动基础二、强迫振动的过渡过程得；带入零初始条件得声与振动基础振动位移的过渡过程二、强迫振动的过渡过程所以声与振动基础

系统过渡时间：稳态振动基本建立所需的时间称为稳态振动的建立时间。显然，此振动振幅达到稳定的过程，由系数决定，一般，认为振幅到稳定值的95％时,就达到了稳态。二、强迫振动的过渡过程声与振动基础定义：为系统的过渡时间。单位，秒（Sec）。值与的关系：

大，大——达到稳态需要时间长（阻小）二、强迫振动的过渡过程声与振动基础

②外力频率接近而又不等于谐振频率，则在过渡过程期间，暂态成分和稳态成分迭加表现出拍现象。随时间的增加，拍越来越不明显，直到消失。二、强迫振动的过渡过程声与振动基础

③正弦脉冲填充的作用

周期出现的正弦填充矩形波的强迫力作用,且填充正弦信号频率设脉冲正弦作用力的持续时间为，当力加到系统上以后，振动的振幅按曲线随时间增长，而脉冲结束后，系统振动按自由振动规律指数衰减，因此振动的位移和力的时间波形不同。并且、不同时，脉冲波形的畸变不同。

二、强迫振动的过渡过程声与振动基础大阻尼中阻尼小阻尼二、强迫振动的过渡过程图1.Qm=1.7（低））图2.Qm=5（中）图3.Qm=15（高）声与振动基础三、质点的稳态振动振子受迫振动，经过一段时间后，暂态解影响0，只有稳态解，所以下面分析稳态解。（实际工程中，主要关心的是稳态解）声与振动基础系统振动达到稳态时位移：振速：其中，三、质点的稳态振动声与振动基础定义，机械阻抗：机械振动系统在谐合激励力作用下产生稳定的同频率谐合振速，若用复数力表示谐合激励力，用复数振速表示同频率振速；则复数力与复数振速之比为该系统在该频率下的机械阻抗。记为（或）。1、机械阻抗三、质点的稳态振动声与振动基础

—机械阻，—机械抗。MKS制中其单位：kgs-1（力欧姆）1、机械阻抗三、质点的稳态振动声与振动基础

据定义，前例的机械系统的机械阻抗为，

1、机械阻抗物理意义：机械阻抗的绝对值等于产生单位振速幅值所需力的大小。三、质点的稳态振动;声与振动基础

机械振动系统在简谐力作用下振动，改变激励信号的频率，并保持简谐激励信号的幅值不变,初相位为0；得到的某个响应信号幅值随频率的变化曲线叫该响应的幅频特性曲线；得到的某个响应信号相位随频率的变化曲线叫响应的相频特性曲线。——二者称作该响应的频率特性曲线。幅频特性曲线和相频特性曲线，统称作该响应的频率特性曲线。三、质点的稳态振动2、频率特性曲线声与振动基础①前例单自由度阻尼机械振动系统的位移响应2、频率特性曲线三、质点的稳态振动声与振动基础位移的频响曲线位移的相频曲线位移的幅频曲线2、频率特性曲线三、质点的稳态振动声与振动基础②前例单自由度阻尼机械振动系统的振速响应2、频率特性曲线三、质点的稳态振动声与振动基础振速的频响曲线振速的幅频曲线振速的相频曲线2、频率特性曲线三、质点的稳态振动声与振动基础③前例单自由度阻尼机械振动系统的加速度响应2、频率特性曲线三、质点的稳态振动声与振动基础加速度的频响曲线加速度的幅频曲线加速度的相频曲线2、频率特性曲线三、质点的稳态振动声与振动基础①瞬时功率3、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动激励力对振动系统输入的瞬时功率声与振动基础系统的振动达到稳态时，激励力对振动系统的输入功率等于系统阻尼的消耗功率。②机械功率3、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动一个周期内激励力对振动系统输入的平均功率声与振动基础平均功率与激励力频率关系3、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动③最大输入功率对应的激励力频率声与振动基础3、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动声与振动基础④半功率点频带宽度平均功率下降到最大功率的1/2所对应的频带宽度3、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动声与振动基础因为：所以：声与振动基础半功率点频带宽：3、激励力对振动系统的输入功率④半功率点频带宽度三、质点的稳态振动声与振动基础（1）共振频率定义:机械振动系统在恒振幅激励力作用下发生振动，若响应随激励力频率的变化出现极大值，则称，系统的该响应发生了共振；此时的频率叫系统该响应的共振频率。一般上，同一系统不同的响应有不同的共振频率。例如：位移共振频率、速度共振频率、加速度共振频率…等。4、振动系统的几个与“频率”有关的概念三、质点的稳态振动声与振动基础（2）谐振频率机械振动系统在谐合激励力作用下发生振动，达到稳态时如果外力时时刻刻向系统内输入能量（对系统作正功）则称此时系统发生了谐振。发生谐振时的频率称作系统谐振频率。4、振动系统的几个与“频率”有关的概念三、质点的稳态振动声与振动基础（3）固有频率机械振动系统无外力作用下自由振动的频率称作系统的固有频率。由振动系统自由振动微分方程的特征值方程可得固有频率。4、振动系统的几个与“频率”有关的概念三、质点的稳态振动声与振动基础声与振动基础声与振动基础声与振动基础激励力频率等于谐振频率时，激励力与激励点处的振速同相位，并且，激励力对振动系统的输入功率最大。声与振动基础课后作业：2-312-322-38*（选做）声与振动基础1.3任意时间函数的力对机械振动系统的作用声学与振动基础声与振动基础内容提要

一、任意周期函数的力对机械振动系统的作用二、非周期力作用下单自由度振子的振动声与振动基础

为周期力：运动方程：

由于方程是线性的，所以和可以看作是一个线性系统的输出和输入（激励和响应）：

一、任意周期函数的力对机械振动系统的作用声与振动基础根据线性系统的迭加原理，若是的响应，是的响应；则的响应是对于线性系统，若激励是频率为的简谐函数，则响应也必是频率为的简谐函数，在中并不会有其它频率分量。一、任意周期函数的力对机械振动系统的作用声与振动基础由此可知求周期力激励下系统响应的方法为：（1）把表示傅立叶级数形式：（2）取，一、任意周期函数的力对机械振动系统的作用声与振动基础（3）令，是激励下的位移响应，则：一、任意周期函数的力对机械振动系统的作用声与振动基础若：，则：其特解（稳态解）为：其中，（振动系统的机械阻抗）一、任意周期函数的力对机械振动系统的作用声与振动基础所以:（4）由线性系统的迭加定理，可知：一、任意周期函数的力对机械振动系统的作用声与振动基础综上，此方法过程：(1)周期力f(t)分解成简谐力的迭加;(2)求出每个简谐力的响应;(3)再将各简谐力的响应迭加,得到周期力f(t)

作用下机械系统的响应。此方法的条件：方程是线性的。并且，在这里没有考虑暂态解。一、任意周期函数的力对机械振动系统的作用声与振动基础为任意函数力运动方程：若为“0”初值问题，则有：一、非周期力作用下单自由度振子的振动声与振动基础对方程两侧取傅立叶变换，记：

分别为和的傅立叶变换有：“0”初值问题声与振动基础所以：

对于这个的积分可利用‘留数定理’来做声与振动基础上式中后一项是由系统参数决定的项，对应于暂态解；随时间增加，逐渐消失。前一项是由激励力函数的富氏变换函数的奇点决定的项，对应于稳态解。声与振动基础傅立叶变换的方法并不是唯一解决此类问题（求任意力激励的响应）的方法，傅立叶变换是在频域上的办法，当然还可以用时域的办法：

系统传递函数：系统脉冲响应函数：声与振动基础对于前例单自由度阻尼振动系统，位移响应的传递函数：脉冲响应函数：频域求响应：时域求响应：声与振动基础1.4机电类比声学与振动基础声与振动基础内容提要一、什么是“机电类比”？二、为什么能“机电类比”？三、怎样进行“机电类比”？

声与振动基础类比，属于形式逻辑中的一种推理方法；它的哲学依据是辨证法的“事物处于普遍联系之中”的观点;符合美学上的“合谐”理论;

类比综述声与振动基础类比推理公式：它是一种创造性思维方法。属于不完全推理，有可能得到错误的结论。在物理学发展中起到很大作用：有成功的例子：也有失败的例子：类比综述声与振动基础一、什么是“机电类比”？电路分析方法（网络定律和定理）分析机械系统的振动问题称为“机电类比”。声与振动基础机电类比的依据：描述现象的微分方程的一致性。机械系统电路系统例：二、为什么能“机电类比”？声与振动基础力学系统包括的基本单位元件：质量元件[惯性]弹簧元件[弹（顺）性]阻尼元件[耗散（损）性]杠杆元件[变量]等。三、怎样进行“机电类比”？1.力学元件和电学元件声与振动基础下面分析各元件上所加的力与速度间的关系：

惯性元件（质量）根据牛顿第二定律：弹性元件（弹簧）根据胡克定律:1.力学元件和电学元件三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础损耗元件（阻尼）

根据粘滞摩擦力的关系：

力变量器（杠杆）B根据杠杆定理：1.力学元件和电学元件三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础电子线路系统的基本元件：电感、电容、电阻、变压器等

各元件上的电流与电压的关系及电路中的符号：电感L：，符号：电容C：，符号：

电阻R：，符号：变压器：，符号：1.力学元件和电学元件三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础力学元件上的力f

电学元件上的电压e力学元件上的速度v

电学元件上的电流i质量元件与电感元件对应，其电路符号：弹性元件与电容元件对应，其电路符号：阻尼元件与电阻元件对应，其电路符号：2、力学元件和电学元件的类比类比类型：[1]阻抗型类比：三、怎样进行“机电类比”？力源类比成恒压源，其电路符号声与振动基础类比类型：[2]导纳型类比：力学元件上的力f

电学元件上的电流i力学元件上的速度v

电学元件上的电压e质量元件与电容元件对应，其电路符号：弹簧元件与电感元件对应，其电路符号：阻尼元件与电导元件对应，其电路符号：2、力学元件和电学元件的类比三、怎样进行“机电类比”？力源类比成恒流源，其电路符号声与振动基础原因：电路元件符号表示的是电路中电流和电压的运算关系。同一元件的物理量间的关系是固定的，为了在不同类型类比电路中这种关系不变，在不同类比电路中需用不同符号表示。结论：同样一个力学元件，在不同的类比线路中（阻抗型类比或导纳型类比）所用的符号不同。三、怎样进行“机电类比”？2、力学元件和电学元件的类比声与振动基础2、力学元件和电学元件的类比质量元件：当有外力对质量作用时，按牛顿第二定律：如果：那么：阻抗型类比符号：三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础2、力学元件和电学元件的类比如果：那么：导纳型类比符号：质量元件：三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础2、力学元件和电学元件的类比力顺元件（弹性元件）：描述系统具有弹性性质，当受力作用时，它的位移大小和力成正比，按虎克定律：如果：那么：阻抗型类比符号：三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础2、力学元件和电学元件的类比如果：那么：导纳型类比符号：力顺元件：三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础2、力学元件和电学元件的类比如果：那么：阻抗型类比符号：力阻元件：表征系统具有摩擦损耗，当它受到力作用时，它的相对运动速度的大小和力成正比。三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础2、力学元件和电学元件的类比如果：那么：导纳型类比符号：力阻元件三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础3、画力线阻抗型电路是大家非常熟悉的，阻抗型电路的特点：（1)电流线：流经各元件的量是电流i。因此，电路图是以一条电流线来连贯各个元件的，当电流线从某一元件流向另外一些元件时，如果电流分支，则这些元件互相并联；如果不分支，则相互串联。（2)电位的相对性：跨越元件的两端的量是电位差，零电位端是“接地”端。（3)在分支点符合克希霍夫第1电路定律，即三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础3、画力线与上述电路图分析相比较，发现力学系统也具有类似的特点：（1)力线：在力学系统中测量力一定要将测力计串联接在元件之间，这表明力是贯穿着各个元件的，因此在力学系统中，可以找到同电路中电流线类似的线，即力线。（2)速度的相对性：因为力学系统中的速度具有相对性，因此在力学系统中可以找到与电路中相似的“元件两端的量”即速度差，如选取惯性坐标系，则元件都是相对于零速度运动的，对应的零速度端看作是“接地”端。（3)在力点符合动力学平衡条件，即三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础3、画力线三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础实际机械系统在画成机电类比图之前，要先用力学示意符号，将其画成机械系统简图；

基本力学元件示意符号：三、怎样进行“机电类比”？4.机械系统简图声与振动基础机械系统简图构图规则：（1）机械系统简图中连线的含义为无质量刚性连杆；同一连杆上的元件具有相同的速度。（2）机械系统简图中的质量一端必须接地；例：三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础5.机电类比构图过程系统简图导纳型类比图阻抗型类比图

装置图（画力线）例：三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础（1）装置图（画力线）（2）机械简图（3）导纳型类比图（4）阻抗型类比图声与振动基础[附1]阻抗型与导纳型电路的互相转换的“点线法”：（1）在原图的每个回路中绘一点，在回路外也绘一点，为地。（2）用连线连接各点，每条连线只通过一个元件，且不跨线，一点可连多线，但一个元件只能通过一条连线。（3）把原图去掉，所有元件换成相应的“对偶元件”。（4）整理所得线路图为原图的“对偶”线路图。完成了两型类比电路的转换。三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础总结力电类比构图要点:（1）在装置图上画力线；（2）由装置图准确地画成系统简图。（3）由系统简图按照元件在导纳型类比图中的符号，画导纳型类比图。[关键]：在此过程中，只改变元件符号，不需要改变连接线。依据是：系统简图中的同一连线上各元件有相同的速度，这也是导纳型类比图的性质。这个步骤是关键，它完成了机电的转换。（4）根据网络理论，由导纳型类比图转换成阻抗型类比图。三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础[附2]类比构图的一般规则：1.力学示意图上的一个连线相当于导纳型类比中的一个节点，或相当于阻抗型类比中的一个迴路；2.质量元件与其它元件相连时，速度无降落；3.考虑连点时，质量两端只看作一点，质量与源连接不算连点。4.弹簧两端与其它元件相联时，力通过，或力的降落与和它并联的元件力降落一致。5.阻尼器两端接元件，性质类似于弹簧，阻尼器一端接地性质类似于质量。例：三、怎样进行“机电类比”？声与振动基础课后作业：

2-502-512-522-54

声与振动基础（1)熟练掌握集总参数机械振动系统振动的规律以及处理该问题的数学方法；主要掌握单自由度自由振动、受迫振动的处理方法及规律。（2)熟练掌握机电类比方法，能应用机电类比解决多自由度集总参数机械振动系统的振动问题；（3）需掌握概念：正确理解机械振动系统、机械阻抗、阻力系数、机械Q值、频响特性、固有频率、共振频率、谐振频率等概念的物理意义。第一章机械振动系统的振动－教学要求声与振动基础1.5两个自由度耦合系统的振动声学与振动基础声与振动基础内容提要一、两自由度耦合振动系统的强迫振动二、两自由度耦合振动系统的自由振动三、多自由度振动系统

声与振动基础阻抗型类比电路：

一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础其四端等效网络为：其中：一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础对于四端网络，一般分析时定义：

（1）输入阻抗：Z11，Z22

端短路时，从端看进去的阻抗端短路时，从端看进去的阻抗一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础（2）转移阻抗（传输阻抗）Z12，Z21

（3）自阻抗：

——F2开路时，从F1看进去的阻抗

——F1开路时，从F2看进去的阻抗（4）耦合阻抗：一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础如果取：据‘网络理论’有：一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础例：简单情况，单端激励时，

上式化为：

1)消去U2得：

2)消去U1得：

传输阻抗输入阻抗一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础在此情况下分析m2的振动：（归结为分析1/Z12的频率特征）若令：其中：;一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础则：

又，若阻相对较小，即：R1R2<<X1X2，则有：分析：上式虚部为0时，系统中的m2振速的幅值达到最大；（振速共振），有：（其中k，见后）一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础为简化表示，令：;;;;;;;一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础解上式可得：此二频率为两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时，m2的振速共振频率。可推知，它也是m1的振速共振频率。显然：一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时m2（或m2）的幅频特性曲线：（双峰结构）

一、两自由度耦合振动系统的强迫振动声与振动基础下面由运动方程，求解自由振动：（1）运动方程：二、两自由度耦合振动系统的自由振动声与振动基础为简化表示，令：二、两自由度耦合振动系统的自由振动方程可化为：；；；；；；；声与振动基础（2）简正振动：为使问题简单，分析无阻尼情况（δ1＝0，δ2＝0）；有解之，令：代入方程，则方程化为：

*二、两自由度耦合振动系统的自由振动声与振动基础因为，A，B不同时为0（？），则据线性代数方程理论知，A，B的系数行列式为0，即：此方程称为频率方程或特征方程。解之可得λ的值，它有四个值：二、两自由度耦合振动系统的自由振动声与振动基础分析：a、若k=0（无耦合），则：

b、若k≠0，则：二、两自由度耦合振动系统的自由振动声与振动基础所以，可得方程的解为：其中A+，A+`，A-，A-`，B+，B+`，B-，B-`有关系（通过方程*形成的关系），真正独立的只有4个，并且这4个独立量由初条件确定。二、两自由度耦合振动系统的自由振动声与振动基础上式中，取第一个等式，得：二、两自由度耦合振动系统的自由振动声与振动基础又若，实初条件，经过运算可得：其中：由初条件确定。二、两自由度耦合振动系统的自由振动结论：两个自由度无阻尼耦合系统的自由振动，每一个质量的振动均为两个谐合振动的迭加。声与振动基础定义：简正振动，是多自由度耦合振动系统自由振动的方式。多自由度耦合振动系统在自由振动时，在每一个自由度上的振动，可分解成多个简谐振动的迭加形式，其中的每一个简谐振动称为该系统的一个简正振动，其频率称为该系统的一个简正频率。简正振动的频率决定于系统参数，振幅决定于初条件。简正频率是多自由度系统自由振动的固有频率，小阻尼条件下，在数值上与该系统受迫振动的速度共振频率相等。

二、两自由度耦合振动系统的自由振动声与振动基础（3）能量在二振子间的传递初条件：t=0时：x1=A，x2=0，则可得：式中，在莫尔斯《振动与声》中称之为“耦合系数”。二、两自由度耦合振动系统的自由振动，形成拍振动。声与振动基础能量在二振子间“流动”的过程：振子1的机械能在振动过程中传给振子2，经一段时间后，振子2又把机械能全部还给振子1；而振子1的能量并不全部给振子2，但振子2的能量全部还给振子1。这个过程循环往复。二、两自由度耦合振动系统的自由振动声与振动基础若，特殊情况：振子1的能量全部传给振子2，振子2又把能量全部传给振子1。能量在二振子间不断‘流动’。二、两自由度耦合振动系统的自由振动声与振动基础三、

N个自由度耦合振动系统振动简述（1）自由振动A.由n个二阶常系数齐次微分方程构成的方程组描述其运动。B.每一个自由度上振子的振动可以包括n个简正振动分量。C.系统有n个固有频率（简正频率）。D.固有频率（简正频率）由系统参数决定。E.振子振动的各简正振动的幅值分布由初条件决定。声与振动基础（2）受迫振动A.可利用机电类比电路分析其受迫振动。B.受迫振动达到稳态后，每一个自由度上振子振动响应取决于系统参数和激励力的频率及幅度。C.n个自由度的振动系统有n个谐振频率（速度共振频率），在小阻尼条件下，它们等于系统的固有频率。[注]特征方程重根，称作简并，此时，简正频率数目减少。三、

N个自由度耦合振动系统振动简述声与振动基础第二章理想流体介质中声场的基本规律声与振动基础声与振动基础2-1声音在介质中传播的基本概念主要内容声音的产生声与振动基础

声音是由声源的机械振动产生的，声源的振动状态，通过周围介质向四周传播形成声波。

从物理学来说，声波就是介质中的机械波。声音的产生声与振动基础声波（soundwave）是一种机械波；产生声波的两个必要条件：声源（soundsource）－机械振动的物体介质（medium）－机械振动赖以传播的介质声音的产生声与振动基础声音可以在一切弹性介质中传播。纵波：声波的传播方向与质点振动方向一致。横波：声波的传播方向与质点振动方向垂直。声音的产生声与振动基础

空气中和水中的声波的传播方向与质点振动方向是一致的，属于纵波。固体中由于有切应力，除有纵波外，还同时存在横波。仅讨论声波的宏观性质，不涉及介质的微观特性声音的产生声与振动基础声音的产生声与振动基础

声波在介质中传播的速度，称为声波的传播速度。声音的产生声与振动基础重点总结！1、声音的实质－声音是介质中的机械波2、声波产生的两个基本条件（1）声源（2）传声介质声与振动基础2-2声学量主要内容1、声压－压强的变化量2、质点振速－介质运动速度的变化量3、压缩量－介质密度相对变化量声与振动基础

连续介质中，任意一点附近的运动状态可用压强、密度和介质的运动速度表示。压强：介质运动速度密度声与振动基础1、声压的基本概念

声波作用引起各点介质压缩和伸张，各点的压强比静压可大可小，声压有正有负。声与振动基础1、声压的基本概念声学中，也可用声压级（SPL）表示声压的大小。SPL=20log10（p/pref）（dB）（分贝）声与振动基础

在声波的作用下，介质质点围绕其平衡位置作往复运动，其瞬时位置及振动位移和瞬时速度随时间变化，可用质点位移或速度描述声场。2、质点振速的基本概念设没有声波扰动时，介质的静态流速为在声波的作用下流速变为流速的改变量即为介质质点的振动速度声与振动基础振动速度的单位是在空气中，1帕的声压对应的振速约为相应于频率1000Hz声音的质点位移约为声场中介质质点位移振幅是很小的。水中1帕的声音，相应的振速约为相应于1000Hz声音的位移仅为厘米，水中质点位移比空气中质点位移更小2、质点振速的基本概念声与振动基础设没有扰动时，介质的静态密度为在声波的作用下变为3、密度逾量为介质中声场的密度逾量。MKS制中，基本单位：kg/m3为介质压缩量,也称介质密度的相对变化量s（无量纲）定义：定义：声与振动基础注意：

声场中的质点振速和声波的传播速度是两个概念。声与振动基础重点总结！（2-2声学量）1、声压－压强的变化量2、质点振速－介质流速的变化量3、密度逾量－介质密度的变化量声学量——描述声波作用的量。声与振动基础2-3理想流体介质中小振幅波

传播的基本规律声与振动基础一、理想流体介质中三个基本方程二、小振幅声波的波动方程三、速度势函数，速度势和密度逾量的波动方程主要内容声波的波动方程：描述声场空间、时间变化规律和相互联系的方程。声与振动基础基本思路波动方程连续性方程状态方程运动方程质量守恒定律热力学关系（能量守恒定律）牛顿第二定律(动量守恒定律)三个基本方程三个基本物理定律声与振动基础（1）理想，介质中机械运动无机械能损耗;（2）流体，介质中任一面元受力方向总是垂直于面元；（3）连续性，介质中质团连续分布无间隙；（4）介质质团同时具有质量和弹性性质。正是因为介质质团同时具有弹性和质量，才能形成波---振动的传播。理想流体介质假设条件（5）声波为小振幅声波－线性波动方程声与振动基础1、连续性方程2、状态方程3、运动方程一、理想流体媒质中三个基本方程声与振动基础

1、连续性方程理想流体介质中三个基本方程依据质量守恒，建立关系。质量守恒定律，在连续介质中，如果流进与流出某一空间体积的流体质量不等，则必将引起该体积中介质密度的变化。声与振动基础1、连续性方程理想流体介质中三个基本方程M点的密度为：设某一瞬时t，介质质点流过M点的速度向量单位时间内通过M点单位面积的介质质量为声与振动基础1、连续性方程理想流体介质中三个基本方程（1）在dt时间段，介质质点X方向流速引起的在dxdydz

框中介质质量的变化：dt时间段从ABCD面流入dxdydz框中的质量：dt时间段从EFGH面流入dxdydz框中的质量：所以，在dt时间段，介质质点沿OX方向流速引起的在dxdydz框中介质质量增加为：声与振动基础

同理,时间内沿方向流量在中的净余量分别为1、连续性方程理想流体介质中三个基本方程（2）在dt时间段，介质质点Y方向和Z方向流速引起的在dxdydz框中介质质量的变化：声与振动基础1、连续性方程理想流体介质中三个基本方程所以，在dt时间段，介质质点流速引起的在dxdydz框中介质质量的增加为：声与振动基础1、连续性方程理想流体介质中三个基本方程（3）推导连续性方程因为，dxdydz框没有变，所以质量的变化改变了dxdydz框内介质的密度：声与振动基础流体的流动使得元体积内的质量增加密度变化使得元体积内质量的增加等于1、连续性方程依据能量守恒定律：声与振动基础得：-连续性方程所以：1、连续性方程声与振动基础哈密顿算符：梯度：标量函数的梯度散度：矢量场的散度理想流体介质中三个基本方程数学知识声与振动基础

连续性方程表示为称为流通密度。

1、连续性方程理想流体介质中三个基本方程连续性方程：表示流通密度在某一点散度的负值等于该点介质密度的时间变化率。声与振动基础（4）均匀、静止理想流体小振幅波的连续性方程据，声学量定义，有：小振幅波的含义是指：小振幅波的声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量。均匀的含义是指：静止的含义是指：由连续性方程：得：1、连续性方程理想流体介质中三个基本方程声与振动基础略去二阶小量：理想流体介质中三个基本方程1、连续性方程声与振动基础1、连续性方程连续性方程理想流体介质中三个基本方程！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性方程为：记住！声与振动基础

声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密度和压强都发生变化。假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程，意味着声波能量在质团形变过程中没有损失。2、状态方程理想流体介质中三个基本方程依据热力学定律，建立关系。

声与振动基础据热力学定律，质量一定的理想流体中，独立的热力学参数只有三个。例如，取热力学参数：压力P、密度ρ及熵值s，则有关系：如果，在声波作用下，P经“等熵过程”，从则在点作幂级数展开，有：2、状态方程理想流体介质中三个基本方程声与振动基础如果是小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量。略去高阶小量，有：2、状态方程理想流体介质中三个基本方程声与振动基础定义,为介质的等熵波速。

它是介质的固有性质。（后续课可知它与介质中波传播的速度有关）是速度量纲;M.K.S制中,单位:m/s(米/秒)！！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为：状态方程2、状态方程记住！理想流体介质中三个基本方程声与振动基础

理想流体介质中三个基本方程3、运动方程依据牛顿第二定律,建立关系。介质中取质量微团ABCDEFGH六面体,边长分别为：分析其受力：dx，dy，dz周围流体对该六面体的压力：首先分析x方向受力：声与振动基础作用在ABCD面上和EFGH面上的总压力分别为理想流体介质中三个基本方程3、运动方程沿方向的合力为声与振动基础

同理得方向的合力为理想流体介质中三个基本方程3、运动方程利用哈密顿算子，表示质量微团受到的合力：

声与振动基础静压强为常数，理想流体介质中三个基本方程3、运动方程根据牛顿定律，得运动方程所以得声与振动基础

是质点的加速度。3、运动方程理想流体介质中三个基本方程如果为小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量。忽略高阶小量根据，多元函数微分公式，有：声与振动基础运动方程3、运动方程理想流体介质中三个基本方程记住！又称尤拉方程：表示介质中质点的加速度与密度的乘积等于沿加速度方向的压力梯度的负值。！！！得到均匀、静止理想流体中小振幅波的运动方程为：忽略声与振动基础二、小振幅声波的波动方程运动方程状态方程连续性方程（1）（2）（3）均匀、静止理想流体中,小振幅波基本声学量的方程：声学量之间的三个关系式对上三式消元，可以得到一个基本声学量的方程。声与振动基础对于物理可实现函数，有：则：(4)代入(5),得:(4)(5)(6)(7)1、声压波动方程小振幅声波的波动方程声与振动基础理想、均匀、静止流体中的小振幅波的声压波动方程1、声压波动方程小振幅声波的波动方程声与振动基础直角坐标系中球坐标系中柱坐标系中拉普拉斯算子，对不同坐标系具有不同形式。小振幅声波的波动方程1、声压波动方程声与振动基础定义：速度势函数，如果运动是无旋的，则质点振速可用标量函数的负梯度表示称为速度势函数2、速度势函数小振幅声波的波动方程声与振动基础在不同坐标系中，其分速度有不同的表示式直角坐标系球坐标系柱坐标系2、速度势函数小振幅声波的波动方程声与振动基础

式子和式子小振幅声波的波动方程3、速度势波动方程分别对时间微分，比较后得到声与振动基础状态方程可写为连续性方程写为两式联立，可得小振幅声波的波动方程3、速度势波动方程声与振动基础将和代入式速度势的波动方式小振幅声波的波动方程3、速度势波动方程得只要求出满足初始和边界条件的速度势波动方程的解。就可通过微分形式求出声场中的声压和质点振速。声与振动基础同理，据状态方程：，代入声压的波动方程，可得的波动方程：据介质压缩量，则s的波动方程：小振幅声波的波动方程4、密度逾量波动方程声与振动基础掌握三个基本方程和波动方程的推导。声与振动基础声学与振动基础2-4声与振动基础主要内容一、声能量密度二、声能流密度三、声强（声波强度）掌握三个概念，推出它们和基本声学量之间的关系声与振动基础前言质点振动引起的能量变化介质形变引起的能量变化由于声波传播而引起的介质能量的增量称为声能。声与振动基础定义，声能量密度：声场中单位体积介质所具有的机械能为声场的声能密度。记，E0声能密度的量纲[E0]=[能量]/[体积]=[M1T2L-3]（MKS）制中，基本单位；J/m3下面分析声能密度与基本声学量的关系：一、声能量密度声与振动基础声场中任意一个质量为m0体积为V0的质团；一、声能量密度动能：声与振动基础质团由平衡状态（V0

，P0）至（V，P）状态，声压所作的功一、声能量密度图中阴影部分势能：声与振动基础所以，声场中质量为m0体积为V0的质团的机械能：据定义，声场中单位体积介质所具有的机械能为声场的声能密度，有：一、声能量密度声与振动基础

声波传播过程中声能从一个区域流向另一个区域二、声能流密度声与振动基础定义：单位时间内通过与声波能量传播方向垂直的单位面积的声能为声能流密度，它是一个向量。记，量纲：[能量]/[面积.时间]=[M1T1L-2](MKS)制中,基本单位:J/m2s=W/m2据能量守恒定律，参照连续性方程的推导办法，可得声能量密度与声能流密度的关系：二、声能流密度声能量密度的时间变化率等于声能流密度的散度的负值。声与振动基础据与基本声学量的关系式和上式,可得与基本声学量的关系：二、声能流密度推导过程中用到三个基本方程声与振动基础运动方程状态方程连续性方程二、声能流密度声与振动基础结论：声场的声能流密度为该点声压与质点振速的乘积，方向为该点质点振动的方向。

二、声能流密度声与振动基础声能通过单位面积的能流瞬时值在数量上等于该点声压和质点振速的乘积。声能流的传播方向沿着介质质点振速的方向二、声能流密度声与振动基础

表示能流沿波传播方向流出表示能流向波传播方向的反方向流动当振源表面能流为正时，表示振源对介质作正功，即振源辐射能量。当振源表面能流为负时，表示振源作负功，即声场把能量交还给振源。二、声能流密度声与振动基础定义：声场中某点的声能流密度矢量模值的时间均值为声场该点的声波强度。简称声强。记作，I也可表述为：声场中某点的声强是，单位时间内在该点通过与声传播方向垂直的单位面积的声能量的平均值。量纲：[能量]/[面积.时间]=[M1T1L-2](MKS)制中,基本单位:J/m2s=W/m2（瓦特/米2）三、声强I（声波强度acousticintensity）声与振动基础

在谐和律变化的声场中，声波强度决定于声压和振速的振幅值和它们之间的相位差。三、声强

平面驻波场中，和相位差为。通过任意波面的声波强度为零。但并不意味着声场中没有能量。声与振动基础也可用“声强级”（SIL）表示声波强度（声强）的大小：

SIL=10log10（I/Iref）（dB）分贝矢量声强复数声强瞬时声强三、声强声与振动基础声能量密度－单位体积的声能声能流密度－单位时间内通过与能量传播方向垂直的单位面积的声能声强－声能流密度的时间平均值掌握三个概念声与振动基础声学与振动基础平面声波在流体介质中的传播2-5声与振动基础

声波波动方程只是在应用了媒质的基本物理特性以后导得的，并没有考虑具体声源的振动状况及边界上的状况，因此它反映的是理想媒质中声波这个物理现象的共同规律，至于具体的声传播特性还必须结合具体声源及具体边界状况来确定。前言

波动方程的应用求出波动方程的一般形式解，然后代以边界条件，求出确定的解。声与振动基础(1)

波阵面：声场中具有相同振动状态各点构成的空间曲面。(2)

平面声波是指波阵面为平面的声波。(3)

平面声波是一种函数形式最简单的声波，是一种理想的波场。设想在无限均匀媒质里有一个无限大平面刚性物体沿法线方向来回振动，这时所产生的声场就是平面波场。前言根据波阵面的形状定义。声与振动基础

首先考虑谐和律振动的平面波，有两个原因：①声学中相当多的声源是随时间作简谐振动的；②随时间简谐变化的声场是分析随时间复杂变化的声场的基础。因为根据傅立叶分析，任意时间函数的振动（例如脉冲声波等）原则上都可以分解为许多不同频率的简谐函数的叠加（或积分），可以通过不同频率的简谐振动的叠加（或积分）来求得复杂时间函数的振动的规律。前言声与振动基础1、波动方程和边界条件及解2、谐和律平面行波的波阻抗、声能流密度和声强3、任意方向传播的谐和律振动的平面波2-5-1谐和律振动的平面波（稳态解）声与振动基础

设波沿轴方向传播，平面波的波动方程简化为一维声波波动方程，即：谐和律振动的平面波1、波动方程和边界条件及解求在稳定的简谐声源作用下产生的稳态声场。设方程解的复数形式为：声与振动基础

代入波动方程，有这里称为波数，它等于波传播单位距离后落后的相角。1、波动方程和边界条件及解

常微分方程的一般解可以取正弦、余弦的组合，取复数形式，有：其中为两个任意常数，由边界条件决定。谐和律振动的平面波声与振动基础第一项代表了沿正方向行进的波；第二项代表了沿负方向行进的波。1、波动方程和边界条件及解谐和律振动的平面波一维波动方程的形式解考虑到时间变量，有：利用边界条件确定波的具体形式声与振动基础

边界条件1：无限远边界条件，声波传到无限远处消失。在无限空间，不存在反射体，这时不出现反射波，有：表示单向传播的波，称为行波（前进波）。1、波动方程和边界条件及解谐和律振动的平面波边界条件2：设振源表面声压为

：声源声压振幅值：声源振动角频率写为复数形式：代入式**声与振动基础结论1：谐和律平面波传播时，振幅和波形保持不变。1、波动方程和边界条件及解谐和律振动的平面波于是，声场中的复数声压为

平面波传播时，振幅值保持常数，在平面上的点的振动，比的振动落后相位角为：声场中的声压分布为声与振动基础谐合平面行波场，其中为波数；是波传