曲线坐标计算万能公式

曲线坐标计算通用公式（复化公式）推导一、已知条件1、线元起点坐标：2、线元起点切线方位角：3、线元起点里程：4、线元终点里程：5、线元起点曲率半径：6、线元终点曲率半径：二、求解问题求线元上任意点的坐标：。即推导曲线坐标计算通用公式。三、图示：如右上图（图中未示值）四、坐标计算公式线元上任意点C的坐标计算公式为：————①————②由上式可知，关键问题是求出、。五、计算若AC是直线，直接采用公式可求出（其中为A、C两点间直线距离，为AC直线方位角），但是，A、C两点间是任意曲线相连,不能直接用上述公式计算,需利用微积分原理计算。1、曲线AB上任意一点的曲率计算采用内插法得：————③其中：k——曲线AB上任意一点的里程。2、曲线AB上任意一点的切线方位角计算如右图：C是曲线AB上任意一点，AT、TC是A、C两点的切线，利用圆曲线求弧长公式得：其中：k——曲线上任意点里程。R——曲线上任意点的曲率半径。（通过公式③求得，）————④使用公式③、④时的符号规定：线元右偏：、均为“+”（即线元起终点曲率半径输正值）。线元左偏：、均为“—”（即线元起终点曲率半径输负值）。3、计算根据公式③、④可推知，是里程间隔上的一个连续函数，计算A、C两点的坐标增量，也就是求在里程段内，坐标的改变量。⑴求解思路及方法先把里程间隔分成若干小段,在小段里程内，以直线代替曲线，以该里程段内任一点的方位角作为该直线方位角，以该段里程差作为直线长度，计算出部分坐标增量的近似值，再求和，得到整段里程内坐标增量的近似值，最后通过对里程间隔无限细分的极限过程，就可求得曲线内任意一点C的坐标增量的精确值。⑵具体计算步骤在里程段内插入若干个分点：把曲线分成个小段：各小段长度依次为：相应地，在各小段曲线内，起终点的坐标增量依次为：在曲线小段上任意取一里程，以的方位角作为近似直线小段的方位角，以该段里程差作为近似直线小段的长度，得到部分坐标增量的近似值，即：于是，所求曲线的坐标增量就近似等于段部分坐标增量的近似值之和，即：计，当时，取上式右端的极限，即得到所求曲线的坐标增量的精确值为：利用定积分的定义，上式可表述如下：曲线上任意两点的坐标增量等于函数在区间上的定积分，即：——————⑤注：定积分的一般表达式为：4、的近似计算通过上面计算，我们得到了的精确解，即公式⑤，采用求原函数的方法求解⑤式较困难，下面采用定积分的近似计算方法求解，即复化公式。⑴基本思路我们知道，定积分不论在实际问题中的意义如何，在数值上都等于曲线，直线，与轴所围成的曲边梯形的面积，因此不管是以什么形式给出的，只要近似地算出相应的曲边梯形的面积，就得到所给定积分的近似值。⑵公式推导将曲线分成许多小段，在小范围上用二次函数来近似代替被积函数，即用对称轴平行于轴的抛物线上的一段弧来近似代替原来的曲线弧，从而算出定积分的近似值。这种方法叫做抛物线法。具体做法如下：用分点把区间分成（偶数）个长度相等的小区间，各分点对应的函数值为。曲线也相应地被分成个小弧段，设曲线上的分点为，如右图。我们知道，过三点可以确定一条抛物线，在每两个相邻的小区间上经过曲线上三个相应的分点做一条抛物线，这样可得到一个曲边梯形，把这些曲边梯形的面积加起来就可作为所求定积分的一个近似值。由于两个相邻区间决定一条抛物线，所以用这种方法时，必须将区间分成偶数个小区间。下面先来计算在上以过这样三点的抛物线为曲边的曲边梯形的面积。首先，抛物线方程中的可由下列方程组确定：由此得：于是所求面积为：这曲边梯形的面积只与的纵坐标及底边所在的区间长度有关。由上述结果可知，过三点；过三点；；过三点的抛物线所对应的曲边梯形面积依次为：其中，把上面个曲边梯形的面积加起来，就得到定积分的近似值：——⑥公式⑥叫抛物线法公式，也叫辛卜生（）公式。用公式法求定积分近似值时，一般来说，取得越大，近似程度就越好。⑶复化公式推导在区间不大时，用公式计算定积分是简单实用的，但当区间较大时，用公式计算定积分达不到精度要求，为了提高计算的精度，先将区间分为等分（可以是奇数或偶数），得到个小区间，再在每个小区间内插入一个等分点，将分为和两个小区间。这样，就被化分为了2等分，对每个小区间应用公式，然后相加，得到复化公式：———⑦式中上式为复化公式的一般表达式，代入上式，则得到求解近似值的复化公式，表述如下：同理可得到求解近似值的复化公式，表述如下：式中——待求点里程———正整数。测量计算中一般取4～12，应视线型和计算精度而定。——曲线元上待求点方位角，通过公式④计算（注意的正负）——曲线元上等分点处的切线方位角——曲线元上等分点处的切线方