甘肃省兰州名校2024年高三下学期联合考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

甘肃省兰州名校2024年高三下学期联合考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知(为虚数单位,为的共轭复数),则复数在复平面内对应的点在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若,则下列关系式正确的个数是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.43.某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分,则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本,则这两个样本不变的数字特征是()A.方差 B.中位数 C.众数 D.平均数4.设为抛物线的焦点,,,为抛物线上三点,若,则().A.9 B.6 C. D.5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]6.设函数,则函数的图像可能为()A. B. C. D.7.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()A. B. C. D.8.已知函数fx=sinωx+π6+A.16,13 B.19.集合中含有的元素个数为()A.4 B.6 C.8 D.1210.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点,为坐标原点.若,则直线的斜率为()A. B. C. D.11.已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则()A. B.C. D.12.若满足,且目标函数的最大值为2,则的最小值为()A.8 B.4 C. D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的前项和为,且成等差数列,,数列的前项和为,则满足的最小正整数的值为______________.14.已知数列的前项和为,且满足,则______15.若双曲线C:(,)的顶点到渐近线的距离为,则的最小值________.16.设第一象限内的点(x,y)满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为40,则+的最小值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(1)求直线的极坐标方程;(2)若直线与曲线交于,两点,求的面积.18.(12分)设函数f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.19.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)若射线与和分别交于点,求.20.(12分)设函数.(1)求的值;(2)若,求函数的单调递减区间.21.(12分)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,,直线过点,且与抛物线交于,两点.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)求的最大值.22.(10分)设数列是等比数列,,已知,(1)求数列的首项和公比;(2)求数列的通项公式.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

设,由,得,利用复数相等建立方程组即可.【详解】设,则,所以,解得,故,复数在复平面内对应的点为,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的几何意义,涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.2、D【解析】

a,b可看成是与和交点的横坐标,画出图象,数形结合处理.【详解】令,,作出图象如图,由,的图象可知,,,②正确;,,有,①正确;,,有,③正确;,,有,④正确.故选:D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.3、A【解析】

通过方差公式分析可知方差没有改变,中位数、众数和平均数都发生了改变.【详解】由题可知,中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比,成绩和平均数都增加了50,所以没有改变,根据方差公式可知方差不变.故选:A【点睛】本题主要考查样本的数字特征,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4、C【解析】

设,,,由可得,利用定义将用表示即可.【详解】设,,,由及,得,故,所以.故选:C.【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.5、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.6、B【解析】

根据函数为偶函数排除,再计算排除得到答案.【详解】定义域为:,函数为偶函数,排除,排除故选【点睛】本题考查了函数图像,通过函数的单调性,奇偶性,特殊值排除选项是常用的技巧.7、B【解析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的,且按顺时针转所形成的角为负角,综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时,转过的角度为,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧度数为.故选:B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制,属于基础题.8、A【解析】

将fx整理为3sinωx+π3,根据x的范围可求得ωx+π3∈π【详解】f当x∈0,π时,又f0=3sin由fx在0,π上的值域为32解得:ω∈本题正确选项:A【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题,关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限,从而得到关于参数的不等式.9、B【解析】解:因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数,那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B10、D【解析】

根据抛物线的定义,结合,求出的坐标,然后求出的斜率即可.【详解】解:抛物线的焦点,准线方程为,设,则,故,此时,即.则直线的斜率.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线斜率公式,属于中档题.11、C【解析】

根据题意,由函数的奇偶性可得,,又由,结合函数的单调性分析可得答案.【详解】根据题意,函数是定义在上的偶函数,则,,有,又由在上单调递增,则有,故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意函数奇偶性的应用,属于基础题.12、A【解析】

作出可行域,由,可得.当直线过可行域内的点时,最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【详解】作出可行域,如图所示由,可得.平移直线,当直线过可行域内的点时,最大,即最大,最大值为2.解方程组,得..,当且仅当,即时,等号成立.的最小值为8.故选:.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查基本不等式,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

本题先根据公式初步找到数列的通项公式,然后根据等差中项的性质可解得的值,即可确定数列的通项公式,代入数列的表达式计算出数列的通项公式,然后运用裂项相消法计算出前项和,再代入不等式进行计算可得最小正整数的值.【详解】由题意,当时,.当时,.则,.,,成等差数列,,即,解得..,...,.即,,即,,,,即.满足的最小正整数的值为1.故答案为:1.【点睛】本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前项和,考查了转化思想、方程思想,考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力.14、【解析】

对题目所给等式进行赋值,由此求得的表达式,判断出数列是等比数列,由此求得的值.【详解】解:,可得时,,时,,又,两式相减可得,即,上式对也成立,可得数列是首项为1,公比为的等比数列,可得.【点睛】本小题主要考查已知求,考查等比数列前项和公式,属于中档题.15、【解析】

根据双曲线的方程求出其中一条渐近线,顶点,再利用点到直线的距离公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线C:(,,可得一条渐近线,一个顶点,所以,解得,则,当且仅当时,取等号,所以的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题.16、【解析】不等式表示的平面区域阴影部分,当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x−y+2=0与直线2x−y−6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而当且仅当时取等号,则的最小值为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)先消去参数,化为直角坐标方程,再利用求解.(2)直线与曲线方程联立,得,求得弦长和点到直线的距离,再求的面积.【详解】(1)由已知消去得,则,所以,所以直线的极坐标方程为.(2)由,得,设,两点对应的极分别为,,则,,所以,又点到直线的距离所以【点睛】本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.18、(Ⅰ)当时,<0,单调递减;当时,>0,单调递增;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ).【解析】试题分析:本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题,考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第(Ⅰ)问,对求导,再对a进行讨论,判断函数的单调性;第(Ⅱ)问,利用导数判断函数的单调性,从而证明结论,第(Ⅲ)问,构造函数=(),利用导数判断函数的单调性,从而求解a的值.试题解析:(Ⅰ)<0,在内单调递减.由=0有.当时,<0,单调递减;当时,>0,单调递增.(Ⅱ)令=,则=.当时,>0,所以,从而=>0.(Ⅲ)由(Ⅱ),当时,>0.当,时,=.故当>在区间内恒成立时,必有.当时,>1.由(Ⅰ)有,而,所以此时>在区间内不恒成立.当时,令=().当时,=.因此,在区间单调递增.又因为=0,所以当时,=>0,即>恒成立.综上,.【考点】导数的计算,利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算,利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题,考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.求函数的单调性,基本方法是求,解方程,再通过的正负确定的单调性;要证明不等式,一般证明的最小值大于0,为此要研究函数的单调性.本题中注意由于函数的极小值没法确定,因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖,学生不易想到,有一定的难度.19、(1):;:.(2)【解析】

(1)由可得,由,消去参数,可得直线的普通方程为.由可得,将,代入上式,可得,所以曲线的直角坐标方程为.(2)由(1)得,的普通方程为,将其化为极坐标方程可得,当时,,,所以.20、(1)(2)的递减区间为和【解析】

(1)化简函数,代入,计算即可;(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间,再结合即可求出.【详解】(1),从而.(2)令.解得.即函数的所有减区间为,考虑到,取,可得,,故的递减区间为和.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形,正弦函数的图象与性质,属于中档题.21、(1),;(2)1.【解析】

(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,可得p值,即可求抛物线C的方程从而可得解;(2)设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【详解】(1)∵点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,P(2,y0)是抛物线上一点,|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x,∵点P(2,n)(n>0)在抛物线C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是y2+4my﹣4=0的两个不同实根,∴y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=2﹣m(y1+y2)=2+4m2,x1x2=(1﹣my1)(1﹣my2)=1﹣m(y1+y2)+m2y1y2=1+4m2﹣4m2=1,(),(x2﹣2,),(x1﹣2)(x2﹣2)+()()=x1x2﹣2(x1+x2

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