(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（精讲）（原卷版+解析）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：平面的法向量及其求法重点题型二：利用向量方法证明线线平行重点题型三：利用向量方法证明线面平行重点题型四：利用向量方法证明面面平行重点题型五：利用向量方法证明线线垂直重点题型六：利用向量方法证明线面垂直重点题型七：利用向量方法证明面面垂直第五部分：高考（模拟）题体验第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：用向量表示点、直线、平面的位置1、用向量表示点的位置：在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.2、直线的方向向量如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①或②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.知识点二：平面的法向量及其应用1、平面法向量的概念如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．2、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面的法向量为选向量：选取两不共线向量列方程组：由列出方程组解方程组：解方程组赋非零值：取其中一个为非零值（常取)得结论：得到平面的一个法向量.知识点三：空间中直线、平面的平行设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则线线平行⇔⇔()线面平行⇔⇔面面平行⇔⇔知识点四：空间中直线、平面的垂直设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则线线垂直⇔⇔线面垂直⇔⇔⇔面面垂直⇔⇔⇔第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误（1）直线l的方向向量是唯一的．()（2）若点A，B是平面上的任意两点，是平面的法向量，则．()（3）若向量为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．()2．（2022·全国·高二课时练习）设平面法向量为，平面的法向量为，若，则k等于()A．2

B．

C．4

D．3．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是直线的一个方向向量．若，则()A．

B．

C．

D．4．（2022·全国·高二课时练习）若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是()A．

B．

C．

D．5．（2022·全国·高二课时练习）已知两平面，的法向量分别为，，则平面，的位置关系为_________．6．（2022·全国·高二单元测试）若直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是__________________．第四部分：第四部分：典型例题剖析重点题型一：平面的法向量及其求法典型例题例题1．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（

）．A．（1，，4） B．（，1，）C．（2，，1） D．（1，2，）例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）例题3．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，．建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标；同类题型归类练1．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏·高二课时练习）已知向量，，则平面的一个法向量为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，.(1)建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标；重点题型二：利用向量方法证明线线平行典型例题例题1．在棱长为1的正方体中，为的中点，、是正方体表面上相异两点．若、均在平面上，满足，．判断与的位置关系；例题2．如图，在正方体中，点，分别在线段，上，且，，为棱的中点．求证：．例题3．在长方体中，，，，点在棱上，且，点在上，且，点，分别为，的中点.求证：.重点题型三：利用向量方法证明线面平行典型例题例题1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面：例题2．已知正方体中，棱长为，是棱的中点.求证：平面.例题3．如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，．求证：平面．同类题型归类练1．如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？2．如图，在四棱锥中，平面ABCD．，四边形ABCD满足，，，点M为PC的中点，求证：平面PAB．3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E是的中点，，.求证：平面；重点题型四：利用向量方法证明面面平行典型例题例题1．如图，正方体中，、分别为、的中点．用向量法证明平面平面；例题2．如图，已知棱长为4的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，求证：平面∥平面.同类题型归类练1．如图，在正方体中，点E，F，G，H，M，N分别是该正方体六个面的中心，求证：平面平面HMN．2．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：（1）PB//平面EFG；（2）平面EFG//平面PBC.重点题型五：利用向量方法证明线线垂直典型例题例题1．在棱长为1的正方体中，､分别是棱､上的动点，且.求证：；例题2．已知空间四边形中，，求证：.例题3．如图，已知长方体中，，判断满足下列条件的点，是否存在：.同类题型归类练1．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．证明：.2．如图，在空间直角坐标系Axyz中，底面ABCD为矩形，P（0，0，2），．（1）求证：；3．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.5．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:(1)BC1⊥AB1.重点题型六：利用向量方法证明线面垂直典型例题例题1．如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求证：平面.例题2．在棱长为1的正方体中，分别是､的中点.(1)判断向量与､是否共面；(2)求证：平面.例题3．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，分别是棱的中点.求证：平面；同类题型归类练1．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.2．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．3．如图，在直三棱柱中，，，，点E在棱上，，D，F，G分别为，，的中点，EF与相交于点H．(1)求证：平面ABD．4．如图，在多面体中，四边形是梯形，四边形为矩形，面，，，．(1)求证：平面；(2)点为线段的中点，求证面．重点题型七：利用向量方法证明面面垂直典型例题例题1．如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角.（1）平面；（2）平面平面.例题2．已知正方体中，为棱上的动点．（1）求证：；（2）若平面平面，试确定点的位置．同类题型归类练1．如图，四棱锥中，底面，E为棱上的点，且．（1）证明：平面平面；2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面．3．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.4．如图所示，在直三棱柱中，，，，点为的中点，证明：平面平面.第五部分：高第五部分：高考（模拟）题体验1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面2．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线异面，直线平面D．直线与直线相交，直线平面3．（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面4．（多选）（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有（

）A．B．正方体体积是三棱锥的体积的6倍C．D．异面直线，所成的角为定值

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：平面的法向量及其求法重点题型二：利用向量方法证明线线平行重点题型三：利用向量方法证明线面平行重点题型四：利用向量方法证明面面平行重点题型五：利用向量方法证明线线垂直重点题型六：利用向量方法证明线面垂直重点题型七：利用向量方法证明面面垂直第五部分：高考（模拟）题体验第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：用向量表示点、直线、平面的位置1、用向量表示点的位置：在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.2、直线的方向向量如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①或②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.知识点二：平面的法向量及其应用1、平面法向量的概念如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．2、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面的法向量为选向量：选取两不共线向量列方程组：由列出方程组解方程组：解方程组赋非零值：取其中一个为非零值（常取)得结论：得到平面的一个法向量.知识点三：空间中直线、平面的平行设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则线线平行⇔⇔()线面平行⇔⇔面面平行⇔⇔知识点四：空间中直线、平面的垂直设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则线线垂直⇔⇔线面垂直⇔⇔⇔面面垂直⇔⇔⇔第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误（1）直线l的方向向量是唯一的．()（2）若点A，B是平面上的任意两点，是平面的法向量，则．()（3）若向量为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．()【答案】

×

√

√（1）由于向量的模唱没有确定，所以直线l的方向向量有无数个；（2）由平面法向量概念可知正确；（3）由向量为平面的法向量，所以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行，正确.2．（2022·全国·高二课时练习）设平面法向量为，平面的法向量为，若，则k等于()A．2

B．

C．4

D．【答案】C由题可知：，所以故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是直线的一个方向向量．若，则()A．

B．

C．

D．【答案】D由题可知：故选：D4．（2022·全国·高二课时练习）若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是()A．

B．

C．

D．【答案】C对A，，不符合对B，，不符合对C，，符合对D，，不符合故选：C5．（2022·全国·高二课时练习）已知两平面，的法向量分别为，，则平面，的位置关系为_________．【答案】垂直由题可知：，所以所以平面，的位置关系为垂直故答案为：垂直6．（2022·全国·高二单元测试）若直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是__________________．【答案】平行由题可知：，所以，所以直线l与平面的位置关系是平行故答案为：平行第四部分：第四部分：典型例题剖析重点题型一：平面的法向量及其求法典型例题例题1．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（

）．A．（1，，4） B．（，1，）C．（2，，1） D．（1，2，）【答案】B解：设正方体的棱长为2，则，，∴，设向量是平面的法向量，则取，得，则是平面的一个法向量，结合其他选项，只需和共线即可，检验可知，ACD选项均不与共线.所以能作为平面的法向量只有选项B故选：B．例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）解：，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，所以平面的法向量可以是.故答案为：（答案不唯一）.例题3．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，．建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标；【答案】解法1：在底面ABCD内，过D作于E，∵ABCD为平行四边形，∴，又∵平面ABCD，∴，，以D为坐标原点，DE，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则平面PCD的一个法向量为；解法2：在△ADB内，有，，，所以，故，∴，又∵平面ABCD，∴，，以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，，∴，，设平面PCD的法向量，则，令，得，，所以平面PCD的一个法向量的坐标为；同类题型归类练1．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（

）A． B． C． D．【答案】A，．设平面的法向量为．由题意知，，所以，解得，令，得平面的一个法向量是．故选：A2．（2022·江苏·高二课时练习）已知向量，，则平面的一个法向量为（

）A． B． C． D．【答案】D设平面的法向量为，则，令，可得，即平面的法向量为.故选：D.3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．【答案】（答案不唯一）设法向量为，则有，令得：，所以故答案为：4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，.(1)建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标；【答案】(1)空间坐标系见解析，平面的一个法向量证明：因为平面，平面，平面，所以，，又由，所以、、两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，，，所以，则，，，，，所以，，设平面的法向量，则，取，可得，即，所以平面的一个法向量的坐标为.重点题型二：利用向量方法证明线线平行典型例题例题1．在棱长为1的正方体中，为的中点，、是正方体表面上相异两点．若、均在平面上，满足，．判断与的位置关系；【答案】(1)PQ与BD的位置关系是平行以D为原点，以射线DA，DC，分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系，，，．因为P、Q均在平面上，所以设，，则，，．因为，，所以解得:所以，，即，，所以PQ与BD的位置关系是平行．例题2．如图，在正方体中，点，分别在线段，上，且，，为棱的中点．求证：．【答案】证明见解析证明：．因为，，所以，，．又因为P为中点，所以，从而与为共线向量．因为直线MN与BP不重合，所以．例题3．在长方体中，，，，点在棱上，且，点在上，且，点，分别为，的中点.求证：.【答案】证明见解析.证明方法一如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.则，分别为MN，RS的方向向量，所以＝，＝，所以＝，所以∥，因为M∉RS，所以MN∥RS.方法二设，则＝＋＋＝，＝＋＋＝.所以＝，所以∥.又R∉MN，所以MN∥RS.重点题型三：利用向量方法证明线面平行典型例题例题1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面：【答案】(1)证明见解析如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则若，则，因为平面ABCD，所以又因为所以平面PAB平面PAB的其中一个法向量为所以，即又因为平面所以平面例题2．已知正方体中，棱长为，是棱的中点.求证：平面.【答案】证明见解析以点D为原点，分别以､与的方向为x､y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则､､､､､､､，M是棱的中点得，.设面的一个法向量为，，，则令，则.又，因为平面，所以平面.例题3．如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，．求证：平面．【答案】(1)证明见解析；因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，显然两两垂直，则以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则得A1、E、由上得、、．设=x·+y·得，解得x=，y=1，∴，∵BC∩PB=B，A1E平面PBC，面，∴A1E∥平面PBC．同类题型归类练1．如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？【答案】存在；P为的中点时，平面以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以，．设是平面的法向量，则，，即，所以，取，则，．所以，是平面的一个法向量．由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以．令，得，解得，这样的点P存在．所以，当，即P为的中点时，平面．2．如图，在四棱锥中，平面ABCD．，四边形ABCD满足，，，点M为PC的中点，求证：平面PAB．【答案】证明见解析证明：因为平面ABCD，所以，．又，所以PA，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，．因为点M为PC的中点，所以，故．又，，所以．所以，，为共面向量．又平面PAB，所以平面PAB．3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E是的中点，，.求证：平面；【答案】(1)证明见解析如图，由已知得､､两两垂直，以A为坐标原点，､､所在的直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，∵点E是的中点，∴点E的坐标为，∴，.设平面的法向量为，由，得，令，得，又，∴，∴，∵平面，∴平面.重点题型四：利用向量方法证明面面平行典型例题例题1．如图，正方体中，、分别为、的中点．用向量法证明平面平面；【答案】(1)证明见解析如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，，故，，，，设平面的法向量，则，即，令，则，设平面的法向量，则，即，令，则，所以，即，故平面平面；例题2．如图，已知棱长为4的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，求证：平面∥平面.【答案】证明见解析由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,,,,,设平面的一个法向量为，则即，令，解得所以设平面的一个法向量为，则即，令，解得所以所以∴平面∥平面.同类题型归类练1．如图，在正方体中，点E，F，G，H，M，N分别是该正方体六个面的中心，求证：平面平面HMN．【答案】证明见解析.由题意知，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，得，所以，即，又平面HMN，平面HMN，所以平面HMN，平面HMN，又平面EFG，平面EFG，，所以平面EFG平面HMN.2．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：（1）PB//平面EFG；（2）平面EFG//平面PBC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0).法一：设平面EFG的法向量为，则,即,令z＝1，则为平面EFG的一个法向量，∵，∴，所以，∵PB⊄平面EFG，∴PB//平面EFG.法二：，，.设，即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，所以解得s＝t＝2.∴，又与不共线，所以，与共面.∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.（2）由（1）知：，∴，所以BC//EF.又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF//平面PBC，同理可证GF//PC，从而得出GF//平面PBC.又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，∴平面EFG//平面PBC.重点题型五：利用向量方法证明线线垂直典型例题例题1．在棱长为1的正方体中，､分别是棱､上的动点，且.求证：；【答案】(1)证明见解析如图所示，以点O为原点，分别以､与的方向为x､y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，其中.由已知条件､､､，则，，所以，所以，即；例题2．已知空间四边形中，，求证：.【答案】证明见解析证明：设则于是可得，即例题3．如图，已知长方体中，，判断满足下列条件的点，是否存在：.【答案】存在点满足解：假设存在满足条件.在长方体中以D为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.不妨设则在中，，又解得：即存在点满足同类题型归类练1．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．证明：.【答案】(1)证明见解析；在正方体，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：依题意，，，，则，所以.2．如图，在空间直角坐标系Axyz中，底面ABCD为矩形，P（0，0，2），．（1）求证：；【答案】（1）证明见解析；（2）3.（1）因为底面ABCD为矩形，，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.3．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．【答案】证明见解析在空间四边形OABC中，令，则，令，G是MN的中点，如图，则，，于是得，因此，，所以OG⊥BC.4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.【答案】证明见解析.证明：(方法1)以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，于是F.∵E在BC上，∴设E(m，1，0)，∴=(m，1，-1)，.∵=0，∴PE⊥AF.∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF.(方法2)因为点E在边BC上，可设=λ，于是=()·)=+λ)·()=+λ+λ)=(0-1+1+0+0+0)=0，因此.故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.5．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:(1)BC1⊥AB1.【答案】见解析如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2),所以·=0-4+4=0,因此⊥,故BC1⊥AB1.重点题型六：利用向量方法证明线面垂直典型例题例题1．如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求证：平面.【答案】(1)(2)证明见解析(1)以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，.于是，，设异面直线A1P与BC1所成的角为，则，异面直线与所成的角的余弦值大小等于.

(2)过作交于，在中，，，则，，，，

，.又，平面.例题2．在棱长为1的正方体中，分别是､的中点.(1)判断向量与､是否共面；(2)求证：平面.【答案】(1)向量与､共面；(2)证明见解析.(1)因为，所以向量与､共面；(2)，因为，所以，即，，所以，即，又因为，､平面，所以平面.例题3．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，分别是棱的中点.求证：平面；【答案】(1)证明见解析；∵三棱柱的侧棱垂直于底面，，∴以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，∵，分别是棱的中点，∴，,∵，，∴，，∵,平面,平面，∴平面.同类题型归类练1．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.【答案】证明见解析设，，，则为空间的一个基底且，，.因为AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以，.在平面BDD1B1上，取、为基向量，则对于面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得.所以，.所以是平面BDD1B1的法向量．所以A1C⊥平面BDD1B1.2．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．【答案】证明见解析建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，由于，所以平面.3．如图，在直三棱柱中，，，，点E在棱上，，D，F，G分别为，，的中点，EF与相交于点H．(1)求证：平面ABD．【答案】(1)证明见解析证明：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，所以，，，所以，，所以，，所以，．又，所以平面ABD．4．如图，在多面体中，四边形是梯形，四边形为矩形，面，，，．(1)求证：平面；(2)点为线段的中点，求证面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)证明：如图，建立空间坐标系，则，，，，，面，，且，又，面，为面的法向量，，，又平面，平面．(2)证明：由（1）可知，，，，，，，又，面．重点题型七：利用向量方法证明面面垂直典型例题例题1．如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角.（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.证明以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系∵平面∴为与平面所成的角.∴，∵∴，∴(1)设为平面的一个法向量,由即令，得又平面∴平面(2)如图,取的中点连接则∵又∴又∴平面又平面∴平面⊥平面例题2．已知正方体中，为棱上的动点．（1）求证：；（2）若平面平面，试确定点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点.以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，e)(0≤e≤a)．（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴，即A1E⊥BD；（2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)∴，，，.∴,取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.∴2－＝0，即e＝.∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.同类题型归类练1．如图，四棱锥中，底面，E为棱上的点，且．（1）证明：平面平面；【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）如图，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则令，则，，所以，设平面的一个法向量为，则令，则，，所以，因为，所以，所以平面平面；2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【详解】证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，．（Ⅰ）因为是的中点，所以的坐标为，所以，又因为，所以，所以，即有；（Ⅱ）因为底面是正方形，所以，因为底面，平面，所以，因为，所以平面，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，由，取，，，所以平面的一个法向量为，因为，所以，所以平面平面.3．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.【答案】证明见解析.取的中点，的中点，连接，则，又平面平面，平面平面，所以平面，又，所以，以点为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，，则，，，，，所以，，，设是平面的法向量，是平面的法向量，则由，，得令，则，即，同理，，令，可得，即.因为，所以平面平面.4．如图所示，在直三棱柱中，，，，点为的中点，证明：平面平面.【答案】证明见解析.由题意得两两垂