高三数学(理)配套黄金练习倍角公式及简单的三角恒等变换(人教a版)

高考数学（理）黄金配套练习第四章4.6第6课时一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上为减函数的是()A．y＝sin(2x＋eq\f(π,2))B．y＝cos(2x＋eq\f(π,2))C．y＝sin(x＋eq\f(π,2))D．y＝cos(x＋eq\f(π,2))答案A解析对于选项A，注意到y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x的周期为π，且在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上是减函数，故选A.2．函数y＝2cos2x的一个单调增区间是()A．(－eq\f(π,4)，eq\f(π,4))B．(0，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))D．(eq\f(π,2)，π)答案D解析y＝2cos2x＝1＋cos2x，∴递增区间为2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π∴kπ＋eq\f(π,2)≤x≤kπ＋π∴k＝0时，eq\f(π,2)≤x≤π.选D.3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝eq\f(π,4)处取得最小值，则()A．f(x＋eq\f(π,4))一定是偶函数B．f(x＋eq\f(π,4))一定是奇函数C．f(x－eq\f(π,4))一定是偶函数D．f(x－eq\f(π,4))一定是奇函数答案A解析f(x＋eq\f(π,4))是f(x)向左平移eq\f(π,4)个单位得到的f(x)图象关于x＝eq\f(π,4)对称，则f(x＋eq\f(π,4))图象关于x＝0对称，故f(x＋eq\f(π,4))为偶函数．4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[－eq\f(π,2)，0)时，f(x)＝sinx，则f(－eq\f(5π,3))的值为()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)答案D解析据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f(－eq\f(5π,3))＝f(－eq\f(5π,3)＋2π)＝f(eq\f(π,3))＝－f(－eq\f(π,3))＝－sin(－eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2).5．函数y＝－xcosx的部分图象是()答案D分析方法一由函数y＝－xcosx是奇函数，知图象关于原点对称．又由当x∈[0，eq\f(π,2)]时，cosx≥0，有－xcosx≤0.当x∈[－eq\f(π,2)，0]时，cosx≥0，有－xcosx≥0.∴应选D.方法二特殊值法，由f(±eq\f(π,2))＝0，∵f(eq\f(π,4))＝－eq\f(π,4)·coseq\f(π,4)<0，由图象可排除A、B，又∵f(－eq\f(π,4))＝eq\f(π,4)·coseq\f(π,4)>0，排除C，故选D.6．关于x的函数f(x)＝sin(πx＋φ)有以下命题：①∀φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；②∃φ∈R，f(x＋1)＝f(x)；③∀φ∈R，f(x)都不是偶函数；④∃φ∈R，使f(x)是奇函数．其中假命题的序号是()A．①③B．①④C．②④D．②③答案A解析对命题①，取φ＝π时，f(x＋2π)≠f(x)，命题①错误；如取φ＝2π，则f(x＋1)＝f(x)，命题②正确；对于命题③，φ＝0时f(x)＝f(－x)，则命题③错误；如取φ＝π，则f(x)＝sin(πx＋π)＝－sinπx，命题④正确．二、填空题7．设函数y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－eq\f(π,2)，0]则x0＝______答案－eq\f(π,6)解析因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))＝0，x0∈[－eq\f(π,2)，0]，得x0＝－eq\f(π,6).8．函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是________．答案π解析f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))－2eq\r(2)sin2x＝eq\f(\r(2),2)sin2x－eq\f(\r(2),2)cos2x－2eq\r(2)×eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)＝sin(2x＋eq\f(π,4))－eq\r(2)，故该函数的最小正周期为eq\f(2π,2)＝π.9．设函数f(x)＝sin(eq\r(3)x＋φ)(0<φ<π)，若函数f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.答案eq\f(2π,3)解析由题意得f′(x)＝eq\r(3)cos(eq\r(3)x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2sin(eq\r(3)x＋φ＋eq\f(π,3))是奇函数，因此φ＋eq\f(π,3)＝kπ(其中k∈Z)，φ＝kπ－eq\f(π,3)，又0<φ<π，所以φ＝eq\f(2π,3).10．若函数y＝f(x)同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称；(3)在区间[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上是增函数，则y＝f(x)的解析式可以是______．答案y＝cos(2x－eq\f(2,3)π)．x．已知函数f(x)＝3sin(ωx－eq\f(π,6))(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，eq\f(π,2)]，则f(x)的取值范围是________．答案[－eq\f(2,3)，3]解析∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，所以f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－eq\f(π,6))，∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴－eq\f(1,2)≤sin(2x－eq\f(π,6))≤1，∴－eq\f(3,2)≤3sin(2x－eq\f(π,6))≤3，即f(x)的取值范围为[－eq\f(3,2)，3]．x．将函数y＝sin(ωx＋φ)(eq\f(π,2)<φ<π)的图象，仅向右平移eq\f(4π,3)，或仅向左平移eq\f(2π,3)，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案eq\f(1,2)解析注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有eq\f(T,2)＝eq\f(4π,3)－(－eq\f(2π,3))＝2π，T＝4π，即eq\f(2π,ω)＝4π，ω＝eq\f(1,2).三、解答题13．已知函数f(x)＝2cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的周期、对称轴方程；(2)求函数f(x)的单调增区间．解析f(x)＝2cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(1)f(x)的周期T＝π，函数f(x)的对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kx－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)](k∈Z)．14．已知函数f(x)＝eq\r(3)(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，求f(x)的值域和单调递增区间．解析(1)∵f(x)＝－eq\r(3)(cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝－eq\r(3)cos2x－sin2x＝－2sin(2x＋eq\f(π,3))，∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，∴－eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，∴－eq\f(\r(3),2)≤sin(2x＋eq\f(π,3))≤1.∴f(x)的值域为[－2，eq\r(3)]．∵当y＝sin(2x＋eq\f(π,3))单调递减时，f(x)单调递增，∴eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，即eq\f(π,12)≤x≤eq\f(π,3).故f(x)的单调递增区间为[eq\f(π,12)，eq\f(π,3)]．15．已知向量m＝(sinwx，－eq\r(3)coswx)，n＝(sinwx，cos(wx＋eq\f(π,2)))(w>0)，若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.(1)求w的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递减区间．解析(1)由题意得f(x)＝m·n＝sin2wx－eq\r(3)coswxcos(wx＋eq\f(π,2))＝sin2wx＋eq\r(3)coswxsinwx＝eq\f(1－cos2wx,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2wx＝eq\f(\r(3),2)sin2wx－eq\f(1,2)cos2wx＋eq\f(1,2)＝sin(2wx－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).因为函数f(x)的最小正周期为π，且w>0，所以eq\f(2π,2w)＝π，解得w＝1.(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位，得到函数y＝f(x＋eq\f(π,12))的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝f(eq\f(x,4)＋eq\f(π,12))即函数y＝g(x)的图象．由(1)知f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，所以g(x)＝f(eq\f(x,4)＋eq\f(π,12))＝sin[2(eq\f(x,4)＋eq\f(π,12))－eq\f(π,6)]＋eq\f(1,2)＝sineq\f(x,2)＋eq\f(1,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(x,2)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，解得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)．因此函数y＝g(x)的单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．拓展练习·自助餐1．已知函数y＝2sin(wx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则()A．w＝2，θ＝eq\f(π,2)B．w＝－eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,2)C．w＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,4)D．w＝2，θ＝eq\f(π,4)答案A解析∵y＝2sin(wx＋θ)为偶函数，∴θ＝eq\f(π,2).∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，|x2－x1|min＝π，即T＝π.2．将函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的图象沿x轴方向平移|a|个单位后所得的图象关于点(－eq\f(π,12)，0)中心对称，则a的值可能为()A．－eq\f(π,12)B．－eq\f(π,6)C.eq\f(π,12)D.eq\f(π,6)答案C3．已知函数y＝sineq\f(πx,3)在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是()A．6B．7C．8D．9答案C解析周期T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.由题意，T＋eq\f(T,4)≤t，得t≥7.5.故选C.4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，x秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，则当0≤t≤x时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A．[0,1]B．[1,7]C．[7,x]D．[0,1]和[7,x]答案D解析由已知可得该函数的最小正周期为T＝x，则ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)，又当t＝0时，A的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，∴此函数为y＝sin(eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3))，t∈[0,x]，可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,x]．5．已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋2eq\r(3)sinxcosx＋1.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)当x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]时，f(x)－3≥m恒成立，试确定m的取值范围．解(1)f(x)＝cos2x－sin2x＋2eq\r(3)sinxcosx＋1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋eq\f(π,6))＋1.因此函数f(x)的最小正周期为eq\f(2π,2)＝π.由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ(k∈Z)．故函数f(x)的单调递减区间为[eq\f(π,6)＋kπ，eq\f(2π,3)＋kπ](k∈Z)．(2)当x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]时，2x＋eq\f(π,6)∈[－eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]，所以－1≤2sin(2x＋eq\f(π,6))≤2，因此0≤f(x)≤3.因为f(x)－3≥m恒成立，所以m≤f(x)min－3＝0－3＝－3.故m的取值范围是(－∞，－3]．高考数学（理）黄金配套练习第四章4.7第7课时一、选择题1．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A＝()A．60°B．45°C．x0°D．30°答案C解析cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴∠A＝x0°.2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，b＝1，则c等于()A．1B．2C.eq\r(3)－1D.eq\r(3)答案B解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2)，故∠B＝30°或150°.由a>b，得∠A>∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.3．在△ABC中，若sinA·sinB<cosA·cosB，则此三角形的外心位于它的()A．内部B．外部C．一边上D．以上都有可能答案B解析sinAsinB<cosAcosB即cosAcosB－sinAsinB>0，∴cos(A＋B)>0∴A＋B为锐角，∴C为钝角∴△ABC为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC中，三内角A、B、C分别对三边a、b、c，tanC＝eq\f(4,3)，c＝8，则△ABC外接圆半径R为()A．10B．8C．6D．5答案D解析本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tanC＝eq\f(4,3)⇒sinC＝eq\f(4,5)，则2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(8,\f(4,5))＝10，故外接圆半径为5.5．△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为()A．1＋eq\r(3)B．3＋eq\r(3)C.eq\f(3＋\r(3),3)D．2＋eq\r(3)答案C解析2b＝a＋c，eq\f(1,2)ac·eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)⇒ac＝2，a2＋c2＝4b2－4，b2＝a2＋c2－2ac·eq\f(\r(3),2)⇒b2＝eq\f(4＋2\r(3),3)⇒b＝eq\f(3＋\r(3),3).6．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)D.eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)答案D解析如图，由正弦定理得sinC＝eq\f(c·sinB,b)＝eq\f(\r(3),2)，而c>b，∴C＝60°或C＝x0°，∴A＝90°或A＝30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4).7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则A＝()A．30°B．60°C．x0°D．150°答案A解析由sinC＝2eq\r(3)sinB可得c＝2eq\r(3)b，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\r(3)bc＋c2,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，于是A＝30°，因此选A.8．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sinC＝2sinAcosB，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形，但不是等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形，但不是等腰三角形答案A解析∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，∴C＝60°.又sinC＝2sinAcosB，由sinC＝2sinA·cosB得c＝2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等边三角形．二、填空题9．已知△ABC的三个内角A，B，C，B＝eq\f(π,3)且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．答案eq\r(3)解析在△ABD中，B＝eq\f(π,3)，BD＝2，AB＝1，则AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcoseq\f(π,3)＝3.所以AD＝eq\r(3).10．已知a，b，c分别是ΔABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则sinA＝________.答案eq\f(1,2)解析由A＋C＝2B，且A＋B＋C＝180°，得B＝60°，由正弦定理得eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(1,sinA)，∴sinA＝eq\f(1,2).x．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，则角A的大小为________．答案eq\f(π,6)解析由sinB＋cosB＝eq\r(2)sin(B＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)得sin(B＋eq\f(π,4))＝1，所以B＝eq\f(π,4).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(2)·sin\f(π,4),2)＝eq\f(1,2)，所以A＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)(舍去)．x．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则答案③解析①sin2A＝sin2B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝B⇒△ABC是等腰三角形，,或,2A＋2B＝π⇒A＋B＝\f(π,2)，即△ABC是直角三角形.))故①不对．②sinA＝cosB，∴A－B＝eq\f(π,2)或A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC不一定是直角三角形．③sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形．13．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,sinB)等于________．答案eq\f(5,4)解析A、C恰好为椭圆的两焦点，∠A、∠C所对的边之和BC＋AB＝2a＝10，∠B所对边AC＝2c＝8，由eq\f(sinA,BC)＝eq\f(sinB,AC)＝eq\f(sinC,AB)得eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(BC＋AB,AC)＝eq\f(5,4).三、解答题14．ΔABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝eq\f(5,13)，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，求AD.解析由cos∠ADC＝eq\f(3,5)>0知B<eq\f(π,2).由已知得cosB＝eq\f(12,13)，sin∠ADC＝eq\f(4,5).从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝eq\f(4,5)×eq\f(12,13)－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(33,65).由正弦定理得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD).所以AD＝eq\f(BD·sinB,sin∠BAD)＝eq\f(33×\f(5,13),\f(33,65))＝25.15．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．解析(1)由cosC＝eq\f(2\r(5),5)得sinC＝eq\f(\r(5),5)，sinA＝sin(180°－45°－C)＝eq\f(\r(2),2)(cosC＋sinC)＝eq\f(3\r(10),10).由正弦定理知BC＝eq\f(AC,sinB)·sinA＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))·eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(2).(2)AB＝eq\f(AC,sinB)·sinC＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))·eq\f(\r(5),5)＝2.BD＝eq\f(1,2)AB＝1.由余弦定理知CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BC·cosB)＝eq\r(1＋18－2·1·3\r(2)·\f(\r(2),2))＝eq\r(13).讲评解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)求B时，应对解的个数进行讨论；已知a，b，A，求c时，除用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)外，也可用余弦定理a2＝b2＋c2－2abcosA求解．16．在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sinB，－eq\r(3))，n＝(cos2B,2cos2eq\f(B,2)－1)，且m∥n.(Ⅰ)求锐角B的大小；(Ⅱ)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．解析(Ⅰ)m∥n⇒2sinB(2cos2eq\f(B,2)－1)＝－eq\r(3)cos2B⇒2sinBcosB＝－eq\r(3)cos2B⇒tan2B＝－eq\r(3).∵0<2B<π，∴2B＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,3).(Ⅱ)已知b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．∵△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac≤eq\r(3)，∴△ABC的面积S△ABC的最大值为eq\r(3).拓展练习·自助餐1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝x0°，c＝eq\r(2)a，则()A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定答案A解析c2＝a2＋b2－2abcosx0°⇒a2－b2－ab＝0⇒b＝eq\f(－a＋\r(5)a,5)<a，故选A.2．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4).(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解析(1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－eq\f(1,4)，及0<C<π，所以sinC＝eq\f(\r(10),4).(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－eq\f(1,4)，及0<C<π得cosC＝±eq\f(\r(6),4).由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±eq\r(6)b－x＝0，解得b＝eq\r(6)或2eq\r(6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(6)，,c＝4.))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2\r(6)，,c＝4.))3．在△ABC中，A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2＋c2－bc＝a2和eq\f(c,b)＝eq\f(1,2)＋eq\r(3)，求A和tanB.思路点拨本题已知b2＋c2－bc＝a2，从该式的结构特点及所求结论可以看出，可直接运用余弦定理求A.再由正弦定理，实现边角转化，即将eq\f(c,b)化为eq\f(sinC,sinB)，再用A＋B＋C＝π，得出C＝π－A－B，从而求出tanB的值．解析方法一∵b2＋c2－bc＝a2，∴b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).又∵A为三角形一内角，∴A＝eq\f(π,3).在△ABC中，C＝π－(A＋B)＝π－eq\f(π,3)－B＝eq\f(2π,3)－B.由已知条件及正弦定理得eq\f(1,2)＋eq\r(3)＝eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sin\f(2π,3)－B,sinB)＝eq\f(sin\f(2π,3)cosB－cos\f(2π,3)sinB,sinB)＝eq\f(\r(3),2)cotB＋eq\f(1,2).解得cotB＝2，∴tanB＝eq\f(1,2).方法二∵b2＋c2－bc＝a2，∴b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).又∵A为三角形一内角，∴A＝eq\f(π,3).又∵b2＋c2－bc＝a2，∴1＋(eq\f(c,b))2－eq\f(c,b)＝(eq\f(a,b))2，即1＋(eq\f(1,2)＋eq\r(3))2－(eq\f(1,2)＋eq\r(3))＝(eq\f(a,b))2.∴(eq\f(a,b))2＝eq\f(15,4).∴eq\f(a,b)＝eq\f(\r(15),2).由正弦定理得sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(2,\r(15))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,\r(5)).又∵a>b，∴A>B.∴B为锐角．∴cosB＝eq\f(2,\r(5)).∴tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(1,2).4．设函数f(x)＝cos(x＋eq\f(2,3)π)＋2cos2eq\f(x,2)，x∈R.(1)求f(x)的值域；(2)记ΔABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝eq\r(3)，求a的值．解析(1)f(x)＝cosxcoseq\f(2,3)π－sinxsineq\f(2,3)π＋cosx＋1＝－eq\f(1,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＋cosx＋1＝eq\f(1,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＋1＝sin(x＋eq\f(5π,6))＋1，因此f(x)的值域为[0,2]．(2)由f(B)＝1得sin(B＋eq\f(5π,6))＋1＝1，即sin(B＋eq\f(5π,6))＝0，又因0<B<π，故B＝eq\f(π,6).解法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2.解法二：由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(\r(3),2)，C＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).当C＝eq\f(π,3)时，A＝eq\f(π,2)，从而a＝eq\r(b2＋c2)＝2；当C＝eq\f(2,3)π时，A＝eq\f(π,6)，又B＝eq\f(π,6)，从而a＝b＝1.故a的值为1或2.教师备选题1．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为eq\f(1,13)，eq\f(1,11)，eq\f(1,5)，则此人能()A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形答案D解析设三边分别为a，b，c，利用面积相等可知eq\f(1,13)a＝eq\f(1,11)b＝eq\f(1,5)c，∴a∶b∶c＝13∶x∶5由余弦定理得cosA＝eq\f(52＋112－132,2×5×11)<0，所以角A为钝角．2．E，F是等腰直角ΔABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝()A.eq\f(16,27)B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(3,4)答案D解析设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝eq\f(1,3)AB＝eq\f(\r(2),3)，由余弦定理得CE＝CF＝eq\r(AE2＋AC2－2AC·AEcos45°)＝eq\f(\r(5),3)，所以cos∠ECF＝eq\f(CE2＋CF2－EF2,2CE·CF)＝eq\f(4,5)，所以tan∠ECF＝eq\f(sin∠ECF,cos∠ECF)＝eq\f(\r(1－\f(4,5)2),\f(4,5))＝eq\f(3,4).3．某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为()A．2sinα－2cosα＋2B．sinα－eq\r(3)cosα＋3C．3sinα－eq\r(3)cosα＋1D．2sinα－cosα＋1答案A解析四个等腰三角形的面积之和为4×eq\f(1,2)×1×1×sinα＝2sinα.再由余弦定理可得正方形的边长为eq\r(12＋12－2×1×1×cosα)＝eq\r(2－2cosα)，故正方形的面积为2－2cosα，所以所求八边形的面积为2sinα－2cosα＋2.4．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，2cos2eq\f(A＋C,2)＝(eq\r(2)－1)cosB，________，求角A.经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝60°，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程．分析本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b＝eq\r(2).利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确．解析将A＝60°看作已知条件，由2cos2eq\f(A＋C,2)＝(eq\r(2)－1)cosB，得cosB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝45°.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\r(2).又C＝75°，得sinC＝sin(30°＋45°)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2).若已知条件为b＝eq\r(2)，且由已知得B＝45°，则由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝60°或x0°不合题意．若已知条件为c＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2)，则b2＝a2＋c2－2accosB，∴b＝eq\r(2)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∴A＝60°.综上所述，破损处的已知条件为c＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2).5．已知函数f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－cos2x－eq\f(1,2)，x∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝eq\r(3)，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．解(1)∵f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝sin(2x－eq\f(π,6))－1，∴函数f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由题意得f(C)＝sin(2C－eq\f(π,6))－1＝0，则sin(2C－eq\f(π,6))＝1，∵0<C<π，∴0<2C<2π，∴－eq\f(π,6)<2C－eq\f(π,6)<eq\f(11,6)π，∴2C－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，C＝eq\f(π,3)，∵向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，∴eq\f(1,2)＝eq\f(sinA,sinB)，由正弦定理得，eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，①由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)，即3＝a2＋b2－ab，②由①②解得a＝1，b＝2.第四章4.8第8课时一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案B2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()A．c和aB．c和bC．c和βD．b和α答案D3．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝x0°，则A、C两地的距离为()A．10kmB.eq\r(3)kmC．10eq\r(5)kmD．10eq\r(7)km答案D解析AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝eq\r(102＋202＋2×10×20×\f(1,2))＝10eq\r(7)(km)．4．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)()A．180米B．214米C．242米D．266米答案C解析∵∠BCA＝42°，∠BDA＝39°，∴∠DBC＝3°.在△BDC中，DC＝30，eq\f(DC,sin3°)＝eq\f(BC,sin39°)，∴BC＝eq\f(30·sin39°,sin3°).在Rt△ABC中，AB＝BC·sin42°＝eq\f(30·sin39°·sin42°,sin3°)＝242.5．在200m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.eq\f(400,3)mB.eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)mD.eq\f(200,3)m答案A解析在Rt△BAC中∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(400,3)eq\r(3)，∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝x0°，在△BDC中，eq\f(DC,sin30°)＝eq\f(BC,sin120°)，∴DC＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(\f(400,3)\r(3)×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\f(400,3)(m)．6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米．()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°答案C解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.二、填空题7．(x·潍坊质检)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为____km.答案eq\r(6)－1解析如图，由题意可得，∠ACB＝x0°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosx0°，即32＝x2＋22－2×2xcosx0°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝eq\r(6)－1.8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为x0°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案17500解析连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理得：OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．答案0.6解析在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10eq\r(6)，由正弦定理，得BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝20eq\r(3)；在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(米)．所以升旗速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(30,50)＝0.6(米/秒)．三、解答题10．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为xeq\r(6)nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8eq\r(3)nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东x0°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解析(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∴∠B＝45°，由正弦定理得eq\f(AD,sin∠B)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即AD＝eq\f(ABsin∠B,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)．(2)在△ACD中，∵AC＝8eq\r(3)，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)cos30°＝192.即CD＝8eq\r(3)≈14(nmile)．因此A处与D处的距离为24nmile，灯塔C与D处的距离约为14nmile.x.如图，港口B在港口O正东方x0海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向、港口B北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度驶离港口O.一艘快船从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？解析设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上点D处与考察船相遇，连结CD，则快艇沿线段BC、CD航行．在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°.又BO＝x0，∴BC＝60，OC＝60eq\r(3).∴快艇从港口B到小岛C需要1小时．在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos∠COD.∴602(x－2)2＝(20x)2＋(60eq\r(3))2－2·20x·60eq\r(3)·cos30°.解得x＝3或x＝eq\f(3,8).∵x>1，∴x＝3.答：快艇驶离港口B后最少要经过3小时才能和考察船相遇．x.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？答案救援船到达D点需要1小时．解析由题意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝eq\f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))＝10eq\r(3)(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋x00－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝eq\f(30,30)＝1(小时)．答：救援船到达D点需要1小时．注：如果认定△DBC为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分．教师备选题1.(南京第一次调研)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3eq\r(2)海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里．答案eq\r(13)解析连接AC，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴AC＝5；在△ACD中，AD＝3eq\r(2)，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝eq\r(13).2．甲船在A处观察乙船在它的北偏东60°的B处，此时两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了多少海里？解析如图所示，AC为甲船的航行路线，BC为乙船的航行路线，设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是eq\r(3)v，由于甲、乙两船到达C点的时间相等，都为t，则BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt.∠ABC＝x0°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosx0°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.所以2v2t2－avt－a2＝0.解得t1＝eq\f(a,v)，t2＝－eq\f(a,2v)(舍去)．所以BC＝a，∠CAB＝30°，θ＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶a海里．3．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．解析(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里，则S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900t－\f(1,3)2＋300)，故当t＝eq\f(1,3)时，Smin＝10eq\r(3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3).即小艇以30eq\r(3)海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示．由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得：v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900＝400(eq\f(1,t)－eq\f(3,4))2＋675.由于0<t≤eq\f(1,2)，即eq\f(1,t)≥2，所以当eq\f(1,t)＝2时，v取得最小值10eq\r(13)，即小艇航行速度的最小值为10eq\r(13)海里/小时．(3)由(2)知v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900，设eq\f(1,t)＝u(u>0)，于是400u2－600u＋900－v2＝0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6002－1600900－v2>0，,900－v2>0，))解得15eq\r(3)<u<30.所以v的取值范围是(15eq\r(3)，30)．4.如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值eq\f(S1,S2)称为“规划合理度”．(1)试用a，θ表示S1和S2.(2)当a为定值，θ＝15°，求“规划合理度”的值．解析(1)如题图，在Rt△ABC中，AC＝asinθ，AB＝acosθ，S1＝eq\f(1,2)a2sinθcosθ＝eq\f(1,4)a2sin2θ，设正方形的边长为x，则BQ＝xcotθ，RC＝xtanθ，∴xcotθ＋x＋xtanθ＝a.∴x＝eq\f(a,cotθ＋tanθ＋1)＝eq\f(asin2θ,2＋sin2θ)，S2＝(eq\f(a,cotθ＋tanθ＋1))2＝(eq\f(asin2θ,2＋sin2θ))2.(2)θ＝15°时，S1＝eq\f(1,4)a2sin30°＝eq\f(1,8)a2，S2＝(eq\f(asin30°,2＋sin30°))2＝eq\f(a2,25)，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(25,8)高考数学（理）黄金配套练习第五章5.1第1课时一、选择题1．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是()A．e＝eq\f(a,|a|)B．a＝|a|eC．a＝－|a|eD．a＝±|a|e答案D解析对于A，当a＝0时，eq\f(a,|a|)没有意义，错误对于B、C、D当a＝0时，选项B、C、D都对；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同反或反向，选D.2．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则()A．a＝bB．a＝－bC．|a|＝|b|D．以上都不对答案C3.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))D.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))答案A解析∵D是AB的中点，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))4．设a、b为不共线的非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－8a－2b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－6a－4b，那么()A.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|B.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|C.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))反向，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|D.eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))答案A解析eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋3b＋(－8a－2b)＋(－6a－4b)＝－xa－3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－8a－2b，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|.∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|.故选A.5．已知P，A，B，C是平面内四点，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，那么一定有()A.eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(CP,\s\up6(→))B.eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))C.eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))D.eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))答案D解析由题意得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，即eq\o(PB,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，选D.6．已知ΔABC和点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5答案B解析由eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0得点M是ΔABC的重心，可知eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，则m＝3，选B.7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，则|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝()A．8B．4C．2D．1答案C解析由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|可知，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，则AM为RtΔABC斜边BC上的中线，因此|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2，选C.二、填空题8．设e是与向量eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e，又向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5e，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＝________.答案－eq\f(3,2)解析eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e－5e＝－2e由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ·eq\o(AC,\s\up6(→))得3e＝λ·(－2)·e∴λ＝－eq\f(3,2)9．已知O为△ABC内一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是________．答案12解析如图，取AC中点D.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))∴O为BD中点，∴面积比为高之比．10．已知a，b是不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ1a＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为________．答案λ1λ2－1＝0解析A、B、C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1，故选Cx．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________．答案45°解析如右图所示，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.∵OA＝1，OB＝eq\r(2)，OA⊥BA，∴cos∠AOB＝eq\f(\r(2),2)，∴∠AOB＝45°，故a与b的夹角为45°.x．已知△ABC中，点D在BC边上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，则r＋s的值是________．答案0解析eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)).∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)).∴eq\f(3,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，∴r＝eq\f(2,3)，s＝－eq\f(2,3)，∴r＋s＝0.13．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.答案eq\f(4,3)解析eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1,λ＋\f(1,2)μ＝1))，所以λ＋μ＝eq\f(4,3)三、解答题14．已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．证明如图所示，∵E、F是AD与BC的中点，∴eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝0，eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))，①同理eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，②由①＋②得，2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→)))＋(eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))15．如右图所示，已知eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，用eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))表示eq\o(OP,\s\up6(→))，求eq\o(OP,\s\up6(→)).答案－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))解析eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→)).16．设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实