高考数学真题汇编-数列试题与试题详解

高考数学真题汇编一一数列试题&试题详解

学校：姓名：班级：考号：

一.选择题（共9小题）

1.（2017•新课标I）记出为等差数列｛aj的前n项和.若*5=24,S6=48,则

瓜｝的公差为（）

A.1B.2C.4D.8

2.（2017•新课标H）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍

巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描

述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层

的2倍，共有381盏灯，间塔顶有几盏灯？你算出的结果是（）

A.6B.5C.4D.3

3.（2017•新课标III）等差数列｛a“｝的首项为1,公差不为0.若a2,as,玉成等

比数列，则｛4｝前6项的和为（）

A.-24B.-3C.3D.8

4.（2017•新课标I）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为

激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这

款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,

8,1,2,4,8,16,…，其中第一项是2°,接下来的两项是2°,2',再接下来

的三项是2°,2）22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数

列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是（）

A.440B.330C.220D.110

5.（2016•上海）已知无穷等比数列｛a』的公比为q,前n项和为S“，且liinS=S,

n—8n

下列条件中，使得2s“VS（nEN*）恒成立的是（）

A.a>0,0.6<q<0.7B.a】VO,-0.7<q<-0.6

C.ai>0,0.7<q<0.8D.ai<0,-0.8<q<-0.7

6.（2016•新课标I）已知等差数列｛an｝前9项的和为27,a10=8,则a100=（）

A.100B.99C.98D.97

7.（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015

年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长

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12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）

（参考数据：Igl.12=0.05,Igl.3=0.11,lg2=0.30）

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

8.（2016・浙江）如图,点列应｝、出｝分别在某锐角的两边上,且|《崎|=也+向』，

A“WAun£N*,|BB1M=B.WB,,“，ndN*,（PWQ表示点P与Q不重合）

若d,『|A.Bn|,S”为△AEB向的面积,则（

A.｛SJ是等差数列B.｛S：｝是等差数列

C.｛d“｝是等差数列D.｛d/｝是等差数列

9.（2016•新课标RD定义“规范01数列"⑸｝如下：缸｝共有2m项，其中m

项为0，m项为1,且对任意kW2m,a”a2>…，a（中0的个数不少于1的个数,

若m=4,则不同的“规范01数列”共有（）

A.18个B.16个C.14个D.12个

二.填空题（共9小题）

10.（2017•北京）若等差数歹（］｛4｝和等比数歹！］｛bn｝满足a尸E=-1,由=片8,则四

b2

11.（2017•江苏）等比数列｛a.｝的各项均为实数，其前n项和为S0,已知$3=工，

4

S=—,则a=_______.

648

nI

12.（2017•新课标II）等差数列｛a0｝的前n项和为S„,a3=3,S4=10,则£工

13.（2017•新课标HI）设等比数列｛aj满足ai+a2=-La,-a3=-3,则a4=.

14.（2016•江苏）已知｛4｝是等差数列,S”是其前n项和，若ai+a2?=-3,S5=10,

则a,的值是.

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15.（2016•北京）己知｛an｝为等差数列，S0为其前n项和.若由=6,a3+a5=0,则

Sfi=•

16.（2。6•上海）无穷数列｛a｝由k个不同的数组成，S”为｛a｝的前n项和，若

对任意ndN*,SnG｛2,3｝,则k的最大值为.

17.（2016•新课标I）设等比数列｛aj满足a1+a3=10,a2+a4=5,则…a”的最

大值为.

18.（2016•浙江）设数列｛aj的前n项和为权，若显=4,an+1=2Sn+bnGN*,则

a尸，Ss=•

三.解答题（共22小题）

19.（2017•新课标H）已知等差数列｛a｝的前n项和为Sn,等比数列｛bj的前n

项和为I,ai=-1,bi=La2+b2=2.

（1）若a3+b3=5,求｛bj的通项公式；

（2）若丁3=21,求S3.

20.（2017•山东）已知｛xj是各项均为正数的等比数列，且X4X2=3,X3-x2=2.

（I）求数列｛x.｝的通项公式；

（II）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点R（X”1）,P2（x2,2）…

PM（x.+i，n+1）得到折线PiP2-P„u＞求由该折线与直线y=0,x=x,,x=x"”所围

成的区域的面积Tn.

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21.（2017•山东）已知｛a0｝是各项均为正数的等比数列，且a1+&=6,a,a2=a3.

（1）求数列｛aj通项公式；

（2）｛b„｝为各项非零的等差数列，其前n项和为S”，已知kbh”,求数列四｝

an

的前n项和T,,.

22.（2017•天津）2知｛aj为等差数列,前n项和为S.（n6N*）,瓜｝是首项为2

的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a「2a”Sn=llb4.

（I）求心｝和｛bj的通项公式；

（II）求数列｛a2„b„｝的前n项和（nGN*）.

23.（2017•天津）已知｛aj为等差数列，前n项和为大（n@W）,｛bj是首项为2

的等比数列，且公比大于0,b?+b3=：l2,bs=a4-2at,Su=llb4.

（I）求瓜｝和｛bj的通项公式；

（II）求数列求2Mi｝的前n项和（new）.

24.（2017•新课标m）设数列｛a“｝满足a+3a2+…+（2n-1）a„=2n.

（1）求的通项公式；

（2）求数列｛2｝的前n项和.

2n+l

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25.（2017•新课标I）记Sn为等比数列｛aj的前n项和.已知S?=2,S3=-6.

（1）求｛aj的通项公式；

（2）求Sn,并判断Sn+”S“，S"是否成等差数列.

26.（2017•江苏）对于给定的正整数k,若数列｛aj满足:a„.k+a„.k1,+---+a„.i+a„，i+---

…+a”2ka.对任意正整数n（n>k）总成立，则称数列｛aj是“P（k）数列”.

（1）证明：等差数列｛aj是“P（3）数列”；

（2）若数列｛aj既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：瓜｝是等差数

列.

27.（2017・北京）已知等差数歹（!｛&｝和等比数歹1」｛酬｝满足2产5=1,也+a=10,也'=25.

（I）求｛aj的通项公式；

,,,

（II）求和:bi+b3+b5++b2n-i.

28.（2017•北京）设｛aj和｛bj是两个等差数列，记cn=maxb-am，b2-a2n,…，

b„-a„n｝（n=l,2,3,…），其中max｛x,,x2»…，x5｝表示x”x2,…，x$这s

个数中最大的数.

（1）若a0=n,b„=2n-1,求c”C2,c?的值，并证明｛cj是等差数列；

（2）证明：或者对任意正数M,存在正整数m,当nem时，、>M；或者存在

n

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正整数m,使得cn，品“，品+2，…是等差数列.

29.(2017•浙江)已知数列｛xj满足:x,=l,x„=x„tl+ln(l+x„tl)(nWN*),证明:

当nCN*时，

(I)0<xn+i<xn；

(ID2Xm「xW法空!

2

(III)

30.(2016•北京)已知｛%｝是等差数列,限｝是等比数列,且艮=3,b3=9,a产b“

3.i4=bi.

(1)求｛aj的通项公式；

(2)设cn=an+b„,求数列｛cn｝的前n项和.

31.(2016•北京)设数列A：a”a2,…，as(N22).如果对小于n(2WnWN)

的每个正整数k都有ak<a„,则称n是数列A的一个“G时刻”，记G(A)是数

列A的所有“G时刻”组成的集合.

(I)对数歹UA：-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素；

(II)证明：若数列A中存在a”使得a0>a“则G(A)W。；

(III)证明:若数列A满足an-amWl(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个

数不小于aN-ai.

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32.（2016•新课标II）等差数列｛aj中，a3+a4=4,a5+a7=6.

（I）求｛a0｝的通项公式；

（II）设b.=[a」,求数列｛b.｝的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数,

如[0.9]=0,[2.6]=2.

33.（2016•天津）已知｛4｝是等比数列，前n项和为5n（nWN*）,且L-L=2,

ala2a3

S6=63.

（1）求｛aj的通项公式；

（2）若对任意的nCN*,b”是log2a和log2aM的等差中项，求数列｛（-1）"b2｝

lin

的前2n项和.

34.（2016•上海）对于无穷数列｛aU｝与｛bj,记4=｝鼠=a,,nGN*｝,B=｛x|x=bn,

n@N*｝,若同时满足条件：①｛a｝,｛bj均单调递增；②AAB=0且AUB=N*,则称

瓜｝与瓜｝是无穷互补数列.

（1）若%=2n-1,b=4n-2,判断瓜｝与｛bj是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若3n=2"且｛an｝与瓜｝是无穷互补数列,求数量｛bj的前16项的和；

（3）若｛a｝与限｝是无穷互补数列，｛aj为等差数列且阻=36,求｛aj与®｝的通

项公式.

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35.(2016•新课标III)已知数列｛aj的前n项和S产1+入%,其中入W0.

(1)证明｛a0｝是等比数列，并求其通项公式；

(2)若Ss=骂，求人.

32

36.(2016•浙江)设数列｛aj的前n项和为S”,已知S?=4,an+p2Sn+bnGN*.

(1)求通项公式an；

(II)求数列｛|a0-n-2|｝的前n项和.

37.(2016•新课标II)S“为等差数列｛a,,｝的前n项和，且2产15=28,记bn=[lga„],

其中[x]表示不超过x的最大整数，如中.9]=0,[lg99]=L

(I)求b，bn,bioi；

(II)求数列｛bn｝的前1000项和.

38.(2016•四川)已知数列｛a„｝的首项为3S”为数列｛a,,)的前n项和，Sntl=qSn+l,

其中q>0,nWW

(I)若&,a3,a2+a3成等差数列，求数列｛aj的通项公式；

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2

2

（II）设双曲线x-y=1的离心率为e„,且e2=2,求e：+e』+…+e：.

39.（2016•新课标I）已知｛&,｝是公差为3的等差数列，数列｛bj满足5=1,b2=

—>anb-i+b"产也.

3

（I）求｛aj的通项公式；

（II）求｛bj的前n项和.

40.(2016•江苏)记U={1,2,…，100},对数列{备}(n£N,)和U的子集T,

++

若T=0,定义ST=0；若T={t"t”…,tj,定义Sr=at+at'"at"例如：

T={1,3,66}时，Sr=ai+a3+a66.现设{%}(ndN*)是公比为3的等比数列，且当

T={2,4}时，ST=30.

(1)求数列EJ的通项公式；

(2)对任意正整数k(lWkWIOO),若TU{1,2,k},求证：ST<aw;

(3)设CUU,DGU,SCNSD，求证：SC+SSD22SD.

41、（2016•山东）已知数列｛aj的前n项和Sn=3i?+8n,｛bj是等差数列，且a,=b„+b„,i.

（I）求数列｛b』的通项公式；

/.-I\n±l

（II）令C„=-^-——，求数列©｝的前n项和Tn.

n

（bn+2）

42、（2016•新课标HD已知各项都为正数的数列｛aj满足&=1,a：-（2an+l-l）

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an-2an+i=0.

(1)求a2，a3；

(2)求｛aj的通项公式

第io页共41页

高考数学真题汇编--数列

参考答案与试题解析

一.选择题（共9小题）

1.

【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差,

由此能求出｛既｝的公差.

【解答】解：为等差数列瓜｝的前n项和,at+a5=24,S6=48,

a]+3d+a]+4d=24

6a1+笥至d=48

解得ai=-2,d=4,

...｛a.｝的公差为4.

故选：C.

2.

【分析】设塔顶的④盏灯，由题意｛a“｝是公比为2的等比数列，利用等比数列前

n项和公式列出方程，能求出结果.

【解答】解:设塔顶的a盏灯,

由题意｛aj是公比为2的等比数歹IJ,

.•5=,I-2)=381,

1-2

解得a,=3.

故选：D.

3.

【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求

出瓜｝前6项的和.

【解答】解：•.•等差数列｛aj的首项为1,公差不为0.a2,a3,成等比数列，

・2

・・&3=&2飞6‘

第11页共41页

(a[+2d)2=(ai+d)(由+5(1),且a^l,dWO,

解得d=-2,

二｛aj前6项的和为56=6&1+族。6*1+告』(-2)=-24.

故选：A.

4.

【分析】方法一：由数列的性质，求得数列｛bj的通项公式及前n项和，可知当

N为n（n+l）时（n@N.）,数列｛an｝的前N项和为数列｛bj的前n项和,即为2向

2

-n-2,容易得到N>100时，n214,分别判断，即可求得该款软件的激活码;

方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S产2田-2-n,及项数，由题意

可知：2向为2的整数基.只需将-2-n消去即可，分别即可求得N的值.

【解答】解：设该数列为瓜｝,设b产a（ki）n+…+、（n+D=2"+-1,（nGN.）,

-2-+1-2~

n（n+l）

2

由题意可设数列｛an｝的前N项和为SN，数列｛bn｝的前n项和为T„,则T=2'-1+2

-l+-+2ntI-l=2ntl-n-2,

可知当N为里此工时（nGND,数列｛aj的前N项和为数列｛bj的前n项和，即

2

为2”'-n-2,

容易得到N>100时，nN14,

30530

A项，由29,30=435,440=435+5,可知S44o=T29+b5=2-29-2+2-1=2,故A

2

项符合题意.

26526

B项，仿上可知25126=325,可知S33o=T25+b5=2-25-2+2-1=2+4,显然不为

2

2的整数暴，故B项不符合题意.

212110

C项，仿上可知2°‘21=210,可知S22o=T2O+blo=2-20-2+21°-1=2+2-23,显

2

然不为2的整数幕，故C项不符合题意.

155,5

D项,仿上可知14X15=105,可知S110=TM+b5=2-14-2+2-1=2+15,显然不

2

为2的整数幕，故D项不符合题意.

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故选A.

2°,21,2。，21，淤

方法二：由题意可知：2°

/页第二项第三项

乙，乙，乙，，乙

第n项

根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：2、1,22-1,2=1,…，2n

-L

每项含有的项数为：1,2,3,n,

总共的项数为N=l+2+3+…+n=(l+n)n,

2

所有项数的和为S„：21-1+22-1+23-l+-+2n-l=(21+22+23+―+2n)-吁丝吆2

1-2

-n=2"+l-2-n,

由题意可知：2田为2的整数累.只需将-2-n消去即可，

则①1+2+(-2-n)=0,解得：n=l,总共有旦旦120+2=3,不满足N>100,

2

②1+2+4+(-2-n)=0,解得：n=5,总共有包出注+3=18,不满足N>100,

2

③1+2+4+8+(-2-n)=0,解得：n=13,总共有旦±@2111+4=95,不满足N>

2

100,

@1+2+4+8+16+(-2-n)=0,解得：n=29,总共有包±型2£至+5=440,满足N

2

>100,

,该款软件的激活码440.

故选：A.

5.

【分析】由已知推导出,(2qn_l)>0,由此利用排除法能求出结果.

【解答】解：•.£=+事!a

。__l-l<q<l,

2S„<S,

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,•aj(2口“-1)>0，

若ai>0,则q11〉｝,故A与C不可能成立；

若a|VO,则q"<上，

2

在B中，a〈0,-0.7VqV-0.6故B成立；

在D中，a,<0,-0.8<q<-0.7,此时/>工，D不成立.

2

故选：B.

6.

【分析】根据已知可得as=3,进而求出公差，可得答案.

【解答】解：•.•等差数列｛aj前9项的和为27,即9(%咙工出9as.

22

••9ag=27>a§=3,

又•.,aio=8,

/.d=l,

"=

..a1Ooa5+95d=98,

故选：C.

7.

【分析】设第n年开始超过200万元，可得130X(1+12%)--20,5>200,两边取

对数即可得出.

【解答】解：设第n年开始超过200万元，

则130X(1+12%)n-2015>200,

化为:(n-2015)Igl.12>lg2-Igl.3,

n-2015>°-30-0-11=3.8.

0.05

取n=2019.

因此开始超过200万元的年份是2019年.

故选:B.

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8.

【分析】设锐角的顶点为0，再设10A』=a,|OB1|=c,|AA+J=IAeAn*21=b,

|B„Bntll=|Bn+iBll+2|=d,由于a,c不确定，判断C,D不正确，设△ABB.的底边

上的高为h”,运用三角形相似知识,h„+h„t2=2h„-1,由S»=Ld・h“，可得Sn+S„,2=2S„tl,

2

进而得到数列｛SJ为等差数列.

【解答】解:设锐角的顶点为0,|0A,|=a,|0B,|=c,

M=I

IAnAriti|=|A0+iAIb,|B„Bnti|=BI1+B,1+2I=d,

由于a,c不确定，则｛d.｝不一定是等差数列，

｛d；｝不一定是等差数列，

设的底边B„B,1+1上的高为h,„

由三角形的相似可得上J=-£4-=a+（nT）b,

hn+l0An+la+nb

%+2二°An+2=a+(n+l)b

%+10An+la+处

两式相加可得，.%+h*2a+2nb=2,

hn+la+nb

即有hn+hn.2=2hn+1,

由Sn=gd・hn，可得Sn+Sn+2=2S/1，

2

即为Sn+2-Sn+尸Sn+l-Sn,

则数列｛S0｝为等差数列.

另解：可设△ABB?,△A2B2B3,…，ARB.为直角三角形,

且AB，A2B2,—,AB为直角边,

即有hn+hn+2=2h"”

由Sn=1d・hn，可得Sn+S*2Sn+l，

2

即为Sn+2-Sn+kSn+l-Sn9

则数列｛SJ为等差数列.

故选：A.

第15页共41页

4

/Si\JS2\l-

。Big—B“B"+i

9.

【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数

相等，首项为0,末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1,然后一一列

举得答案.

【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2nl项，且所含0与1的个

数相等，首项为0,末项为1，若m=4,说明数列有8项，满足条件的数列有:

0,0,0,0,1,1,1,1；0,0,0,1,0,1,1,1；0,0,0,1,1,0,

1,1；0,0,0,1,1,1,0,1；0,0,1,0,0,1,1,1；

0,0,1,0,1,0,1,1；0,0,1,0,1,1,0,1；0,0,1,1,0,1,

0,1；0,0,1,1,0,0,1,1；0,1,0,0,0,1,1,1；

0,1,0,0,1,0,1,1；0,1,0,0,1,1,0,1；0,1,0,1,0,0,

1，1;0,1,0,1,0,1,0,1.共14个.

故选：C.

二.填空题（共9小题）

10.

【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得

到结果.

【解答】解:等差数列5｝和等比数列瓜｝满足ai=b-La尸片8,

设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.

可得：8=-l+3d,d=3,a2=2；

3

8=-q,解得q=-2,b2=2.

可得四=1.

b2

第16页共41页

故答案为：1.

11.

【分析】设等比数列｛aj的公比为qWl,S3=l,Se=空，可得既竺2_2_=1,

441-q4

)=强,联立解出即可得出.

l-q4

【解答】解：设等比数列｛4｝的公比为qWl,

36

.a1(1-Q)_7at(1-Q)63

••o_7o_63.•--------------——

44l-q417qT，

解得ai=l,q=2.

4

则a8=l-x2~32.

故答案为：32.

12.

【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解

即可.

【解答】解:等差数列｛4｝的前n项和为S“，a3=3,S」=10,S4=2(a2+a3)=10,

可得a*2,数列的首项为1,公差为1,

g-nG-i+1)^金=,?、=2(工~^—)，

2Snn(n+1)nn+1

则C」-=2[1-LJ--^+1--L+…+2---L]=2(1-」—)=-?D_.

S22334nn+1n+1n+1

K—1Hk

故答案为：_2n,.

n+1

13.

【分析】设等比数列瓜｝的公比为q,由a1+a2=-l,a,-a3=-3,可得:a,(1+q)

=-1,a,(1-q2)=-3,解出即可得出.

第17页共41页

【解答】解：设等比数列瓜｝的公比为q,•••ai+az=-1,a.-a3=-3,

/.ai(1+q)=-1,ai(1-q2)=-3»

解得ai=l,q=-2.

则a4=(-2)J-8.

故答案为：-8.

14.

【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差,

由此能求出a,的值.

【解答】解：•••区｝是等差数列，Sn是其前n项和,aW-3,S5=10,

+(a1+d)2=-3

•',]5X4'

5&[+遣工1=10

解得ai=-4,d=3,

.•同=-4+8X3=20.

故答案为：20.

15.

【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n

项和公式能求出S6.

【解答】解：•••｛aj为等差数列，Sn为其前n项和.

3]=69&3+@5=0,

.*•ai+2d+ai+4d=0,

A12+6d=0,

解得d=-2,

，S6=6aiW5d=36-30=6-

故答案为：6.

16.

第18页共41页

【分析】对任意ndN*,S„G{2,3},列举出n=l,2,3,4的情况，归纳可得n

>4后都为0或1或-1,则k的最大个数为4.

【解答】解：对任意nCN*,Sne{2,3},可得

当n=l时,a产Si=2或3；

若n=2,由Szd{2,3},可得数列的前两项为2,0；或2,1；或3,0；或3,

-1;

若n=3,由SsW{2,3},可得数列的前三项为2,0,0；或2,0,1；

或2,1,0；或2,1,-1；或3,0,0；或3,0,-1；或3,1,0；或3,1,

-1;

若n=4,由536{2,3},可得数列的前四项为2,0,0,0；或2,0,0,1；

或2,0,1,0；或2,0,1,-1；或2,1,0,0；或2,1,0,-1；

或2,1,-1,0；或2,1,-1,1；或3,0,0,0；或3,0,0,-1；

或3,0,-1,0；或3,0,-1,1；或3,-1,0,0；或3,-1,0,1；

或3,-1,1,0；或3,-1,1,-1；

即有n>4后一项都为。或1或-1,则k的最大个数为4,

不同的四个数均为2,0,1,-1,或3,0,1,-1.

故答案为:4.

17.

【分析】求出数列的等比与首项，化简a晶…a.，然后求解最值.

【解答】解:等比数列｛aj满足ai+a3=10,a2+a4=5,

可得q(a1+a3)=5,解得q=*.

4+q2al=10,解得ai=8.

n(nT)n:-n7——

则a@2…3=由"・口">—>=8"・电2=2二2-^-，

12

当n=3或4时，表达式取得最大值：29-二2吐64.

故答案为:64.

第19页共41页

18.

【分析】运用n=l时，a.=S„代入条件，结合Sz=4,解方程可得首项；再由n>

1时，a0,尸Sm-Sn,结合条件，计算即可得到所求和.

【解答】解：由n=l时,a产S”可得az=2Si+l=2ai+l,

又S2=4,即a,+a2=4,

即有3ai+l=4,解得a=1；

由an+i=S„+i-S”可得

=

Sn+i3Sn+19

由S?=4,可得$3=3义4+1=13,

S4=3X13+1=40,

S5=3X40+1=121.

故答案为：1,121.

三.解答题（共22小题）

19.

【分析】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛bj的公比为q,运用等差数

列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d,q,即可得到所求通项公式；

（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和

求和，计算即可得到所求和.

【解答】解：（1）设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛bj的公比为q,

ai=-1,b,=l,a2+b2=2,a3+b3=5,

可得-l+d+q=2,-l+2d+q-'=5,

解得d=l,q=2或d=3,q=0（舍去），

则｛bn｝的通项公式为片2"：n£N*；

（2）瓦=1,T3=21,

可得l+q+q-21,

解得q=4或-5,

当q=4时，b2=4,a2=2-4=-2,

d=-2-（-1）=-1>Ss=-1-2-3=-6；

第20页共41页

当q=-5时，b2=-5,a2=2-(-5)=7,

d=7-(-1)=8,S:i=-1+7+15=21.

20.

【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；

（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和

即可.

【解答】解：（I）设数列｛xj的公比为q,则q>0,

由题意得2,

两式相比得：学-[，解得q=2或q=-L(舍)，

q-q23

.'.X|=l,

1

.,.xn=2'".

(ID过P“P2,P3，…，R向x轴作垂线，垂足为Q”Q2,Q：“…，Q,„

记梯形念的面积为b0,

则片曲tLx2“-1=(2n+l)X2n-2,

2

n2

.\Tn=3X2-'+5X2°+7X2'+—+(2n+l)X2-,①

/.2T„=3X2°+5X2'+7X22+-+(2n+l)X2"-1,②

①-②得：-T“=W+(2+2,+…+2°T)-(2n+l)X2…

2

n11

=3_+2(l-2b_(2n+l)X2"-=-l+(1-2n)X2"-.

21-22

n

.T.(2n-l)X2+l

••]n-------------------------------•

2

21.

【分析】⑴通过首项和公比，联立a"2=6、a,a2=a3,可求出a产q=2,进而利用

等比数列的通项公式可得结论；

(2)利用等差数列的性质可知S2ntl=(2n+l)be，结合S2"尸Lbe可知b“=2n+l,

第21页共41页

进而可知％=2,利用错位相减法计算即得结论.

an2n

【解答】解：（1）记正项等比数列｛an｝的公比为q,

因为ai+a?=6,a1akas，

所以（1+q）ai=6,qa产qZ”

解得：ai=q=2,

=

所以an2"；

（2）因为｛bj为各项非零的等差数列，

所以S2"产（2n+l）b”

又因为S?"产bh”，

所以b0=2n+l,%=会处，

所以T.=3・L+5・L+…+(2n+l)・」j

2222n

▲T0=3•工+5・±+…+(2n-1)・L+(2n+l)«—,

222232n2n+1

两式相减得：1T=3*1+2(J-+4r+-+—)-(2n+l)«-l

即Lr.=3・L(二+:L_+・・・+1

22222232n-1

即「=3+1+工+±+±+…-(2n+l)*-i-=3+―n——(2n+l)・L

222232n-22n1上2n

2

=5-2n+5

【分析】（I）设等差数列｛五｝的公差为d,等比数列｛bj的公比为q.通过bz+b3=12,

求出q,得到%二2》然后求出公差d,推出aEn-2.

第22页共41页

（II）设数列｛ah｝的前n项和为T“，利用错位相减法，转化求解数列｛a%h｝的

前n项和即可.

【解答】（I）解：设等差数列｛aj的公差为d,等比数列｛bj的公比为q.由已

22

知b2+b3=12,得b[（q+q）=12，而匕=2,所以q+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所

以，勾;2、

由b3=a4-2a”可得3d-at=8.

由Su=llb.”可得以+5d=16,联立①②，解得5=1,d=3,

由此可得a„=3n-2.

所以，瓜｝的通项公式为an=3n-2,限｝的通项公式为口=2立

（II）解：设数列瓜2力0｝的前n项和为T”，由a2„=6n-2,有

23n

Tn=4X2+10X2+16X2+-+（6n-2）X2，

234nn+1

2Tn=4X2+10X2+16X2+-+（6n-8）X2+（6n-2）X2»

上述两式相减，得-T-4X2+6X22+6X23+-+6X2n-（6n-2）X2nH=

12X<521）_q_（6n_2）X2nH=-（3n-4）2^2-16-

得Tf（3n-4）2"2+16・

所以，数列｛azh｝的前n项和为（3n-4）2n*2+16.

23.

【分析】（I）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解｛aj

和｛bj的通项公式；

（II）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可.

【解答】解：（I）设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛bj的公比为q.

由已知b?+b3=12,得bi（q+q2）=12,而匕=2,所以q+q?-6=0.

n

又因为q>0,解得q=2.所以，bn=2.

由b3=a「2a”可得3d-ai=8①.

由Sn=llb.|,可得由+5d=16②,

第23页共41页

联立①②，解得由=1,d=3,由此可得&,=3n-2.

所以，数列｛aj的通项公式为an=3n-2,数列｛b.｝的通项公式为b.=2”.

(II)设数列设的前n项和为Tn,

由a„=6n-2,b.i=—x4%有a2b一尸(3n-1)4",

22n2li

故5=2X4+5X42+8X4'+…+(3n-1)4n,

23n+1

4Tn=2X4+5X4+8X4'+-+(3n-1)4,

上述两式相减，得-3R=2X4+3X42+3X4：'+…+3X4”-(3n-1)4n+1

=12*户-”(3n-l)产1=-(3n-2)4y8

得T.=好xqn+i+l.

所以，数列匕2h…｝的前n项和为竽X4"l+!.

24.

【分析】(1)利用数列递推关系即可得出.

(2)an_______2______1二一.利用裂项求和方法即可得出.

2n+l-(2n-l)(2n+l)-2n-l2n+l

【解答】解：(1)数歹U｛aJ满足a+3&+…+(2n-1)a„=2n.

n22时，a1+3a2+…+(2n-3)an-1-2(n-1).

(2n-1)a=2./.a=--—.

nn2n-l

当n=l时，a1=2,上式也成立.

⑵爵石团―嘉

数列｛急｝的前n项和=(4)+(—)…+击户-1=2n

2n+l2n+l

25.

第24页共41页

【分析】(1)由题意可知a=S-S=-6-2=-8,a,=^-=—,a=—=—，由a+a=2,

332q2q22qqt2

列方程即可求得q及a“根据等比数列通项公式，即可求得区｝的通项公式；

(2)由(1)可知.利用等比数列前n项和公式，即可求得S0，分别求得S.“，

S"2，显然Sn“+S“+2=2Sn，则S3S,„成等差数列.

【解答】解：(1)设等比数列｛既｝首项为a,,公比为q,

则a3=S3-S2=-6-2=-8,则ai=-^-=—,a2=-^l=zS,

QQ2qq

由ai+a2=2,二§_+卫=2,整理得：q2+4q+4=0,解得：q=-2,

q2q

则a1=-2,a„=(-2)(-2)n"=(-2)n,

:.｛a„｝的通项公式a„=(-2)n；

(2)由(1)可知：sjl(l.n)=2号卓]_1[2+(-2)"口，

1-q1-(-2)3

则S0+尸-1[2+(-2)已，S“+2=-/[2+(-2)田],

33

n+2

由Sntl+S„t2=-1[2+(-2)]-1[2+(-2)田],

33

=-1[4+(-2)X(-2)%(-2)2X(-2)n+1]，

3

=-工[4+2(-2)"+1]=2X[-1(2+(-2)n+1)],

33

=

2Sn>

=

即Sn+i+Sn+22Sn»

.•&,Sn，S“+2成等差数列.

26.

【分析】⑴由题意可知根据等差数列的性质，a^+ai+ai+aMM+a'（/一

3+a„+3）+（an-2+an+2）+（*+2田）—2X3a„,根据"P（k）数列”的定义，可得

数列区｝是“P（3）数列”;

（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到｛怎｝从第3项起为等差数列，再通

过判断a?与a3的关系和ai与a2的关系，可知｛4｝为等差数列.

第25页共41页

【解答】解:⑴证明:设等差数列｛4｝首项为公差为d,则品刊+(n-l)

d,

则an-3+an-2+an-l+an+l+an+2+an+3，

+

=(an.3+an+3)+(an.2an+2)+(4-1+4+1)，

=2&i+2&i+2an,

=2X3an,

・••等差数列｛4｝是“P(3)数列”；

(2)证明：当n，4时，因为数歹！J｛%｝是P(3)数歹ij,贝1」3-3+%-2+々-1+%“+%.2+%+3=6%,

①

因为数列区｝是"P(2)数列”，Wa„.2+an.l+an-1+ant2=4an,②

则an-l+an+an+2+an+3=4a/l,③，

②+③-①，得2an=4an-i+4a"i-6a。，BP2a=a„.l+a„t[,(n24),

因此n24从第3项起为等差数列，设公差为d,注意到a2+a：；+a5+a6=4a4，

a2=4a4-a3-as-a6=4(a3+d)-a3-(a3+2d)-(a3+3d)=a3-d,

因为ai+a2+&+a5=4a3,所以a1=4a3-a2-a」-a5=4(az+d)~a，2~(a?+2d)-(az+3d)

=a2-d,

也即前3项满足等差数列的通项公式，

所以｛入｝为等差数列.

27.

【分析】（I）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求｛3,｝的通项公式；

（II）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可.

【解答】解:（I）等差数列｛4｝,a=1,a2+ai=10,可得：l+d+l+3d=10,解得

d=2,

所以｛aj的通项公式:a„=l+（n-1）X2=2n-1.

（II）由（I）可得a5=a,+4d=9,

等比数歹！HbJ满足bE,b2b4=9.可得b3=3,或-3（舍去）（等比数列奇数项符

号相同）.

.汽=3,

第26页共41页

伯2一｝是等比数列，公比为3,首项为1.

b|+b3+b5+“.+b2n-尸］(1-~~L.

1-q22

28.

【分析】(1)分别求得a.i=l,a2=2,a3=3,bi=Lb2=3,b3=5,代入即可求得c”

c2,c3；由(bk-nak)-(b,-na,)WO,则bi-naRbk-nak,则c“=bi-nai=l-

n,c„n-cn=-1对VnGN*均成立；

(2)由bi-am=[bi+(i-1)dj-[a,+(i-1)d2]Xn=(bi-a)n)+(i-1)(d2

-d,Xn),分类讨论&=0,d,>0,diVO三种情况进行讨论根据等差数列的性质，

即可求得使得品，c.“，c吁2,…是等差数列；设&^An+B+W对任意正整数M,存

nn

在正整数m,使得n2m,分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正

n

数M,存在正整数m,使得当n》m时，

n

【解答】解：(1)ai=l,a2=2,a3=3,bi=l,b2=3,b3=5,

当n=l时，C]=max{bi-aj=max{0}=0,

当n=2时,C2=max{bi-2a”b2-2a2}=max{-1,-1}=-L

当n=3时,c3=max{bi-3ai，b2-3a2,b3-3a3}=max{-2,-3,-4}=-2,

下面证明：对Vn£N*,且n22,都有c“二b1-na”

当n£N*,且2WkWn时，

则(bk-nak)-(bi-naj,

=L(2k-1)-nk]-1+n,

二(2k-2)-n(k-1),

二(k-1)(2-n),由k-l>0,且2-nWO,

贝ij(bk-nak)-(b「nai)WO,则bi-naRbk-n&k,

因此,对Vn£NV且n22,cn=bi-nai=l-n,

Cn+l—C「-1,

第27页共41页

...C2-C产-1,

cn+1-cn=-1对VnWN*均成立，

•••数列｛cj是等差数列；

(2)证明：设数列｛4｝和｛bn｝的公差分别为d“d2,下面考虑的cn取值，

由b-am，b2-a2n,…，b„-a„n,

考虑其中任意bi-ain,(ieN*,且IWiWn),

则bi-a‘n=[bi+(i-1)dj-[a,+(i-1)d2]Xn,

=(b,-a,n)+(i-1)(d2-d,Xn),

下面分&=0,d,>