新教材人教A版高中数学 选择性必修第二册 同步试题 53

532函数的极值与最大（小）值（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022•新疆•昌吉州行知学校高二期末（文））如图是函数y=〃x）的导函数y=/（x）的图象，给出下

①--2是函数y=f（x）的极值点；

②尸1是函数y=/G）的极值点；

③y=/（x）的图象在x=0处切线的斜率小于零；

④函数V=〃X）在区间（-2,2）上单调递增.

则正确命题的序号是（）

A.①②B.②④C.②③D.①④

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断.

【详解】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是

极值点，故①正确；

对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致，故②错误；

对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；

对于④，导函数在（-2,2）恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.

故选：D

【点睛】根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函

数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号.

2.（2022・全国•高二期末）已知函数/（力=/+以2+以+。，下列结论中错误的是（）

A.训eR,/（%）=0

B.函数/（x）的值域为R

C.若不是/(x)的极值点，则/'(%)=0

D.若与是〃x)的极小值点，则/(x)在区间(F,X0)单调递减

【答案】D

【分析】根据三次函数的图像特征，可判断A,B选项，根据极值点的定义，可知C选项，根据极值点与单

调性的关系，即可判断.

【详解】对Aj(x)=x3+or2+/)x+c是三次函数，则在&上一定有零点，且值域为&,所以A,B都对.

对C,三次函数是连续的，故天是/(力的极值点，则/'(%)=0是对的.

对于D,因为三次函数/(x)的三次项系数为正值，若函数/(X)存在极值点，则/'(》)=3产+2取+6=0必有

两根，故函数/(x)必有两个极值点，设为王,々(丫2>%)，且极小值点为％oxz=%,；.函数/(x)在

(x°,+e)递增，在(司,与)递减，故。错误.

故选：D

3.(2022・四川达州•高二期末(文))函数/(x)=d-2x2-4x+3(04x43)的最小值为()

A.-8B.-5C.0D.3

【答案】B

【分析】利用导数研究函数的单调性，进而求得函数的最值.

【详解】V/(X)=X3-2X2-4X+3(0<X<3),：.f'(x)=3x2-4X-4,

当04x<2时，r(x)<0得,故/(x)在(0,2］上单调递减，

当2<x43时，-卜)>0得，故〃x)在(2,3］上单调递增，

又/⑵=-5,故当x=2时/(x)取最小值-5,

故选：B

4.(2022•浙江•高二阶段练习)已知函数/(x)=x2［nx+ax存在减区间，则实数。的取值范围为()

N_3

A，(e3,+8)B.Qe2,+co)C(-oo,ei)D.(-oo52e之)

【答案】D

【分析】函数〃x)=x21nx+ax存在减区间，则/'(x)<0有解可求解.

【详解】由题可知/'(x)=2xlnx+x+a,

因为函数/(x)=Vinx+ax存在减区间，则f\x)<0有解，

即2xlnx+x+。<0有解，

令g(x)=2xInx+x+Q,g'(x)=2Inx+3,

令g'(x)>0,解得x>)；令g'(x)<°,解得o<x<”，

(_3\/_3\

所以g(x)在‘述―［单调递减，［e\+8)单调递增，

3_33_3_

所以g(x)min=g(e")=-3e2+e+a=-2e2+a，

因为2xlnx+x+”0有解，所以+a<0，

解得

故选:D.

5.(2022•北京•北师大二附中高二阶段练习)已知函数"X)的定义域为(a,b),导函数/'(x)在(°,与上的图

象如图所示，则函数/(x)在(a,6)上的极大值点的个数为()

【答案】B

【分析】根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可

【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知，/(X)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近

的导数值恒大于零，故x=0不是函数危)的极值点.

其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，

故极大值点有2个.

故选：B

6.(2022・山东・巨野县实验中学高二阶段练习)若对任意的实数x>0,xlnx-x-“20恒成立，则实数”的

取值范围是()

A.(70,T]B.SI]C.[-1,+<»)D.[l,+oo)

【答案】A

【解析】构造函数/(x)=xlnxr-a,利用导数研究函数/(力在(0,+s)单调性，并计算A而(x”0,可得

结果.

[详解]令/(x)=xlnx-x-a,xe(0,+oo)

则/(x)=lnx,令/(x)=0=x=l

若0<x<l时，/(x)<0

若x>l时，/(x)>0

所以可知函数/(x)在(0,1)递减，在。,内)递增

所以几n(x)="l)=T-。

由对任意的实数》>0,311》-欠-。20恒成立

所以(^)=-1-«>0=>«<-1

故选：A

【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.

7.(2022•贵州毕节•高二期末(理)〉已知a为函数=3x-5的极大值点，则“=()

1”121

A.3B.—C.-23D.----

327

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值点.

【详解】解：因为〃X)=X3-4X2-3X-5,

所以/(X)=3X2-8X-3=(3X+1)(X-3),

所以当x>3或x<-；时>0,当一g<x<3时/'(x)<0,

所以/(X)的单调递增区间为‘8,-；)和(3,内)，单调递减区间为1-g,3),

所以/(x)的极大值点为x=-；,即。=-；.

故选：B

rr

8.(2022•天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中)函数/(x)=-x-2cosx在区间上的极小值点是()

A.0B.-C.—D.乃

66

【答案】B

【分析】利用导数研究/(x)的区间单调性，进而确定极小值点.

【详解】由题设1(x)=2sinx-l,

所以在［0,。上/'(x)<0,/(x)递减，

在(£，勺上/'(x)>0,“X)递增,

62

所以极小值点为9TT.

6

故选：B

二、多选题

9.(2022•重庆•高二阶段练习)对于定义在及上的可导函数/(x),/(X)为其导函数，下列说法不正确的是

()

A.使/'(x)=0的x一定是函数的极值点

B./(x)在R上单调递增是/'(X)>0在R上恒成立的充要条件

C.若函数/(X)既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大

D.若/(x)在火上存在极值，则它在R一定不单调

【答案】ABC

【分析】ABC均可以举出反例，D可以通过极值点和极值的定义进行判断.

【详解】A选项，/'。)=0的x不一定是函数的极值点，比如/(x)=F在》=0处导函数的值为0,但x=0

不是/(x)=d的极值点，A说法错误；

“X)在K上单调递增，可能会在某点导函数等于0,比如/(可=1为单调递增函数，/(x)=x3在x=0处导

函数值为0,故"X)在及上单调递增不是/'(x)>0在火上恒成立的充要条件，B说法错误；

若函数/(x)既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如/"(x)=x+g,在x=-l处取

得极大值-2,在x=l处取得极小值2,极小值大于极大值，故C说法错误;

根据极值点和极值的定义可以判断，若/(X)在R上存在极值，则它在K•定不单调，D说法正确.

故选：ABC

10.(2022•浙江•高二期中)下列关于极值点的说法正确的是()

A.若函数/(x)既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值

B./(x)=x2+X+1在任意给定区间上必存在最小值

C.〃x)=-|x|的最大值就是该函数的极大值

D.定义在R上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点

【答案】BCD

【分析】A选项可以举出反例，C选项，可以结合函数/(x)=Tx|的单调性，判断出正确；D选项可以举

出例子，B选项，从函数的连续性上来进行解决.

【详解】A选项，例如y=x+L在x=1处取得极小值/⑴=2,在尸_1处取得极大值/(-1)=-2,而2>-2,

故极大值不一定大于极小值，A错误，

C选项，/(x)=-|x[=[X，X~0,

11[x,x<0

函数〃X)=-|x]在(-纥⑼上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

根据极值的定义可知：〃X)=-|X|在x=0处取得极大值，也是最大值，C正确；

对于D,'无极值点，V=sinx有无数个极值点，D正确；

/1)=寸+*+1在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；

故选：BCD.

11.(2022•黑龙江・齐齐哈尔市第八中学校高二期中)已知函数/5)=-1+3》2,则()

A./(X)在(0,1)上单调递减B./(X)的极大值点为2

C./(x)的极大值为-2D./(力有2个零点

【答案】BD

【分析】求导分析/(力=-/+3丫2的单调性可判断ABC,再求解〃x)=0可判断D

【详解】r(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),令/'(x)=0有x=0或x=2,故当xe(v,0)时，/(x)<0,/(x)

单调递减；当xe(O,2)时，f^x)>0,/(x)单调递增；当xe(2,”)时，/'(x)<0,〃x)单调递减.

对A,因为xe(O,2)时，/(x)单调递增,故A错误；

对B,/(x)的极大值点为2正确，故B正确；

对C,7(x)的极大值为"2)=4,故C错误；

对D,/(力=-/+3/=0即/(37)=0,解得x=0或x=3,故D正确；

故选：BD

三、填空题

12.(2022•陕西•咸阳市高新一中高二阶段练习(文))函数>的极大值是—

【答案】4五+a##"+4&

【分析】利用导数的性质，结合极大值的定义进行求解即可.

［详解］由y=x3-6x+any'=3x2-6=3(x+女)(x-亚),

当x>立时，/>0,函数y=F-6x+a单调递增，

当-0<x<0时，/<0,函数y=x3-6x+a单调递减，

当x<一行时,■/>0,函数夕=X3-6x+a单调递增,

所以当x=-后时，函数y=d-6x+a有极大值，

极大值为：(-V2)3-6x(-V2)+a=472+a

故答案为：4五+a

13.(2022・全国•高二专题练习)已知。为函数/(力=1-4/-3尸5的极大值点，则。=

【答案】—

【分析】根据导函数的正负判断单调区间和极值点，进而得解.

【详解】因为/(x)=d_4x2-3x-5,所以/'(X)=3X2-8X-3=(3X+1)(X-3).

当x《-00,-!)时，f^x)>0,

当xe(3,+oo)时，/^(x)>0,

当xe(-；,3卜h

所以/(x)的单调递增区间为18,-；)和(3,内)，单调递减区间为(一/3),所以〃x)的极大值点为x=\,

即°=」.

3

故答案为：-

14.(2022・全国•高二单元测试)已知函数/Xx)=lnx+q-l的最小值为0,则实数”的值为.

X

【答案】1

【分析】利用导数研究/(X)的单调性和最值，根据最小值求得a的值.

【详解】/(x)的定义域为(0,+8),

、1ax-a

/(X)=x-7~

当aWO时，/(x)>0,/(x)在区间(0,+8)上递增，没有最小值.

当a>0时,/(X)在区间(O,a),/(x)<OJ(x)递减;在区间(d+=o),/(x)>0J(x)递增.

所以/(x)在区间(0,+s)上的最小值为/(“)=lna+I-l=ln“=O,a=l.

故答案为：I

15.(2022•全国•高二专题练习)函数/(x)=xe、的极值点为.

【答案】x=-1##-1

【分析】利用导数求/(X)的极值点.

【详解】由题设r(x)=(x+l)e*,

当xe(-8,-1)时，f\x)<0,/㈤递减;

当xe(-l,+oo)时，/，(x)>0,/(x)递增；

所以“X)由极小值点为x=-l,无极大值点.

故答案为：x=—1

四、解答题

16.(2022•广东•雷州市白沙中学高二阶段练习)已知函数/(x)=x-21nx,求/(x)的单调区间和极值.

【答案】函数〃x)的单调增区间为(2,+00),单调减区间为(0,2),极小值为〃2)=2-21n2,无极大值.

【分析】求出导函数/'(x),然后令〉(x)>0,/，(x)<0,求解不等式即可得函数/(x)的单调区间,从而

可得函数/(x)的极值.

【详解】解：因为/(x)=x-21nx,所以r(x)=i_：=号(x>o),

令/外x)>0,得x>2,令/'(x)<0,得0<x<2,

所以函数/(x)的单调增区间为(2,+8),单调减区间为(0,2),

所以函数/(x)的极小值为〃2)=2-2ln2,无极大值.

17.(2022・新疆•霍城县第二中学高二期末(文))设函数/(x)=a/+bx+l在x=l处取得极值-1.

(1)求。、6的值；

(2)求“X)的单调区间.

【答案］⑴a=1,6=-3

⑵/(X)的单调递增区间为(-8,-1),(1,+8),单调递减区间为

【分析】(1)根据极值和极值点列出方程组，求出。=1,6=-3；(2)结合第一问得到单调区间.

【详解】(1)八x)=3a/+b,由题意得：f'(1)=3a+h=0,f(l)=a+b+\=-i,

解得:a=1,6=-3,

此时/'(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1),

当-1<X<1时，f'(x)<0,当x<-l或x>l时，f'(x)>0,

故x=l为极值点，满足题意，

所以a=1,6=-3.

(2)由(1)可知：当时，f\x)<0,当x<-l或x>l时，f'(x)>0,

故/(x)的单调递增区间为(TO,-1),(1,内)，单调递减区间为(-L1)

18.(2022・上海南汇中学高二期末)已知函数/(x)="lnx+x2(“为实常数).

(1)若a=-2,求证：/(x)在(1,+8)上是增函数；

(2)当a=-4时，求函数八刈在［l,e］上的最大值与最小值及相应的x值；

(3)若存在xe［l,e］,使得/(x)〈m+2)x成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)当x=6'时，函数/(x)有最小值为/(V2)=2-21n2,

当X=e时，函数/(x)有最大值为/(e)=e2-4.

⑶［T，+°°)

【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用

导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题.

【详解】(1)由题可知函数的定义域(0,+«>),

,2r2-1

因为。二一2,所以f(x)=-2\nx+,所以f\x)=一一+2x=2----,

xx

令/'(x)>0解得x>l,

所以/(X)在(1,+8)上是增函数.

(2)因为a=-4,所以〃x)=Tlnx+x?,所以/''(x)=-&+2x=2———»

xx

令/'(x)>0解得x>女，令/")<0解得0〈x〈五，

所以/(x)在(0,&)上单调递减，在(72,+oo)上单调递增，

所以/(x)在［1,0)上单调递减，在［正,e］上单调递增，

所以当x=时，函数/(x)有最小值为/(V2)=2-21n2,

因为/(l)=l,/(e)=e2-4>1,

所以当X=e时，函数/⑴有最大值为〃e)=e2-4.

(3)由/(x)4(a+2)x得“Inx+f«(a+2)x,gpa(lnx-x)<2x-x2,

因为xs[l,e],所以x21,lnx《lne=l,所以xNlneNlnx,

且当x=l时lnx=0,所以%>lnx在X£[l,e]恒成立，所以三二3

x-lnx

即存在xe[l,e]时，a>--2x,

x-lnx

人，、X2-2X£.，(n_(xT)(x+2-21nx)

令g(x)=F'")一(x-lnx)2

r\

令h(x)=x+2-2Inx,〃'(x)=1---=----,

xx

令h\x)=--->0,解得2<x<e,

x

令〃'(x)=土二■<(),解得l4x<2,

x

所以〃(X)在［1,2)单调递减，(2,e］单调递增,

所以〃(x)N〃(2)=2(2—ln2)>0,

,(x-l)(x+2-21nx)

所以x£［l,e］时，g(x)=一:——2°恒成立，

(x-lnx)

所以g(x)min=g⑴=T，

所以实数。的取值范围是11,包).

19.(2022•全国•高二课时练习)设函数/(xb-Y-V+x+z,求/(X)的极大值点与极小值点.

【答案】极大值点为:，极小值点为-1

【分析】求导分析导函数的零点与正负区间求解即可.

【详解】/，(X)=-3X2-2X+1=-(X+1)(3X-1).

令户也)>0,得-l<x<g；

令/'(x)<0,得x<-l或x>g,

故/(x)的单调增区间为1-1,；),单调减区间为(-8,-1)及(；,水»).

当X=g时，函数/(X)有极大值，

当x=-l时，函数/(X)有极小值，

故函数/(X)有极大值点为:，极小值点为-1.

20.(2022•全国•高二课时练习)设函数/(》)=/+(“+3)/+g，若/㈤为奇函数，求：

(1)曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程；

(2)函数“X)的极大值点.

【答案】(l)y=-3x

⑵T

【分析】(1)先利用奇函数的定义可求出。的值，再利用导数的几何意义可求得切线方程,

(2)先求出函数的单调区间，从而可求出极大值点.

(1)

因为函数/。)=/+(4+3)/+以为奇函数，所以/(-x)=-/(x),

从而得到"3=。，即。=-3,所以/(x)=/_3x.

因为广(x)=3/_3,所以/'(0)=-3,

所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=-3x.

(2)

/'(x)=3f-3<0,

由/'(x)<0,得由/'(x)>0,得x<-l或x>l,

所以函数在(-1,1)上是严格减函数，在(YO,-1),。,m)上是严格增函数，

所以函数的极大值点是-1.

【能力提升】

一、单选题

1.(2022•北京平谷•高二期末)函数/(x)=x+2cosr在［0,兀］上的极小值点为()

n一冗「5兀一2九

A.—B.—C.—D.—

3663

【答案】c

【分析】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可.

【详解】对于函数/(x)=x+2cosx,r(x)=l-2sinx,

因为xe［0,?r］,当0<x<二时，f\x)>0,当巴<x<型时，f'(x)<0,当兀时，,(x)>0,

6666

所以/(X)在区间［0,上是增函数，在区间［三，"］上是减函数，在［学，河是增函数.

因此，函数/(x)=x+2cosx在［0,兀］上的极小值点为青

故选：C.

2.(2022•河南许昌•高二期末(理))已知函数/")=》3-3+：卜+6成，则下列结论中正确的命题个

数为()

①当；时，函数/(x)有两个极值点

②当好1时，函数在［1,2］上为减函数

③当。=，时.，函数/(X)的图象与X轴有两个交点

④当函数/(x)在(-L+8)上存在最小值

6

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求导，令/'(力=0,得到x=2。或x=l,再逐项判断.

【详解】解：S^)f(x)=x3-^ia+^x2+6ax,

所以/'(X)=3%2-2(3。+T)x+6a=(3x-6a)^-1),

令/'(x)=0,得x=2a或x=l,

①当时，则2a",所以函数/(x)有两个极值点，故正确；

②当好1时，若2a4l,即。4；时，/心)>0,函数在［1,2］上为增函数；

若1<2“<2,即:<“<1时，当l<x<2a时，/'(x)<0,当2a<x<2时/(x)>0；

若2a=2,即a=l时，/'(力<0函数在［1,2］上为减函数；

③当a时，/")的两个极值点为x=lx=i,止匕时/(x)=1—2x2+x,又/囚=占>0,/(1)=0,

所以函数/(x)的图象与X轴有两个交点，故正确；

④当时，X=2a<-<］,则x=l是函数的唯一的极小值点，则函数/(x)取得极小值，故正确.

63

故选：C

3.(2022・上海・华师大二附中高二阶段练习)己知函数/(x)=x2-l,g(x)=lnx,那么下列说法正确的是()

A./(x),g(x)在点(1,0)处有相同的切线

B.函数/(x)-g(x)有两个极值点

C.对任意十>0J(x)2g(x)恒成立

D./a),g(x)的图象有且只有两个交点

【答案】D

【分析】结合切线的斜率、极值点、不等式恒成立、函数图象的交点对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，/(x)=2x,/(l)=2,g'(x)=：g'⑴=1,所以A选项错误.

B选项，令〃(x)=/(x)-g(x)=x2_i_]nx(x>0),

/\c12x2-1(缶

h(x)=2x——=--------=----------------，

xxx

所以〃(x)在区间［0,乎),〃(切<0,/?3递减；在区间［¥，+<»,"(x)>O,/?(x)递增.

所以〃(x)有极小值也即是有最小值，无极大值，无最大值，函数/(x)-g(x)有1个极值点，

等)TMn等=1访2—=个1112-1)<0,/(曰)<g(李)，

噌卜3+1-2>0,

所以〃(x)有2个零点，也即〃x),g(x)的图象有且只有两个交点，

所以BC选项错误，D选项正确.

故选：D

4.(2022•广东•佛山市顺德区容山中学高二期中)设函数/(x)=xe*,则()

A.》=-1为/⑶的极大值点且曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线的斜率为1

B.x=l为/⑶的极小值点且曲线y=/(x)在点(0,〃0))处的切线的斜率为2e

C.尸-1为八X)的极小值点且曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线的斜率为1

D.x=-l为fix)的极大值点且曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线的斜率为2e

【答案】C

【分析】对函数/(x)求导，求出函数/(x)的单调性，进而可得出其极值点，由/'(0)=1,可得到在点(0J(0))

处的切线斜率.

【详解】/"(x)=e，+xe，=(x+l)e*,

令/'(x)>0,解得x>-l,令/'(x)<0,解得x<-l,

/(x)在(YO,-1)上单调递减，在上单调递增，

，产-1是函数/(X)的极小值点，

又/'(0)=1,则曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线斜率为I,

故选：c.

5.(2022・全国・高二课时练习)如图是函数夕=/(》)=/+队2+5+”的大致图象，则再2+*=()

【分析】根据给定图象求出函数/(x)的解析式，再求出其极值点制，X2的关系式即可得解.

【详解】观察函数/("的图象知，-1,0,2是函数/(x)的零点，且须，巧是函数“X)的两个极值点，

于是得/(X)=MX+1)(X-2)=X3_X2_2X,求导得/(力=3/-2》-2,

因玉，々是函数/(x)的两个极值点，则为，々是方程3/-2x-2=0的两根，

.22

从而有工［+工2=5，X\X2»

所以X：+x；=a+x2)2-2X|X2=《)2+2・；=学.

33y

故选：c

6.(2022•上海交大附中高二阶段练习)关于函数/(x)=alnx+：,下列判断错误的是()

A.函数〃x)的图像在点x=l处的切线方程为(a-2)x-y-a+4=0

B.x=±是函数/(X)的一个极值点

a

C.当a=l时，/(x)>ln2+l

D.当a=-l时，不等式/(2x-l)-/(x)>0的解集为切

【答案】B

【解析】先对函数求导，得到/'(x)=£-1,求出函数〃x)的图像在点x=l处的切线方程，即判断A；

根据"。时，/'3，-马<0恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出。=1时,

XX

/(X)的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断。=-1时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解,

即可得出结果.

【详解】因为〃x)=41nx+1,所以"1)=2,WT，

所以/'⑴=。-2,因此函数/(x)的图像在点x=l处的切线方程为y-2=(“-2)(x-1),即

(a-2)x-y-a+4=0,故A正确；

当"0时，/'(》)=巴-2<0在》«0,也)上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错：

XX

当”=1时，/”(力=:一蛾=妥，由/(x)>0得x>2；由/'(x)<0得0<x<2,

所以函数〃x)=lnx+：在(0,2)上单调递减，在(2,+劝上单调递增；

2

因此/(XL=ln2+］=ln2+l,即/(x)*ln2+l；故C正确；

17

当“=-1时，/'(x)=-±-彳<0在xe(0,+8)上恒成立，所以函数/(x)在(0,+8)上单调递减；由

XX

2x-l>0

./"(2x-l)-/(x)>0可得<x>0,解得：1<x<l,故D正确；

2x-l<x

故选：B.

【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，

属于常考题型.

7.(2022•全国•高二单元测试)已知函数2x2,xe［-l,3］,则下列说法不事砸的是()

A.最大值为9B.最小值为-3

C.函数/(可在区间［1,3］上单调递增D.x=0是它的极大值点

【答案】C

【分析】利用导数分析函数y=/")在区间［T3］上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判断各选

项的正误.

【详解】••./(》)=/-2/，则/(X)=3*2-4X=X(3X-4).

令/耳x)>0,可得x<0或x>g；令/(x)<0,可得0<x<*

当xe［-l,3］时，函数y=/(x)在区间11,0),3,3上均为增函数，

■4~1.

在区间。，工上为减函数，C选项错误；

所以X=0是函数y=/(X)的极大值点，D选项正确；

因为"0)=0,/(3)=27-2x9=9,/(-1)=-1-2x1=-3,=,

所以，函数y=/(x)在区间［-1,3］上的最大值为9,

最小值为-3,A、B选项正确.

故选：C.

【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考查分析问题和

解决问题的能力，属于中等题.

二、多选题

8.(2022•山东临沂•高二期末)已知函数/(工)=/一工—1,贝！|()

A./(x)有三个零点

B./(x)有两个极值点

C.点(0,-1)是曲线y=/(x)的对称中心

D.直线y=2x-3在点(1,-1)处与曲线y=/(x)相切

【答案】BCD

【分析】结合/(x)的单调性、极值可判断A；利用极值点的定义可判断B,利用平移可判断C；利用导数的

几何意义判断D.

【详解】对B,由题，,f(x)=3x2-l,令#(x)>0得*或

令八x)<0得一直<x(近，

33

所以在(-亭，乎)上单调递减，在(70，一今，(1,+8)上单调递增，

所以x=±且是极值点，故B正确；

3

对A,由“X)的单调性，且因极大值/(—亭=¥-1<0,/(2)=5>0,

所以，函数/(X)在定义域上有且仅有一个零点，故A错误；

对C,令〃(x)=/-x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-X)3-(-JT)=-X3+x=-/?(x),

则〃(x)是奇函数,(0,0)是是x)的对称中心，

将以x)的图象向下移动一个单位得到/(X)的图象，

所以点(0,-1)是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；

对D,因为/'(1)=3-1=2,且=故当切点为。,-1)时，切线方程为y+l=2(x—1),即尸2x-3,

故D正确.

故选：BCD.

9.(2022•江苏苏州•高二期末)已知函数/(x)=xcosx-x-sinx,则()

A.在卜私可上单调递增

B./(x)在［-兀,兀］上单调递减

C./(x)在［-2兀,2可上有2个极值点

D./(x)在卜2兀,2可上有4个极值点

【答案】BD

【分析】利用奇偶性定义判断出〃x)为奇函数，利用导数判断出了(x)在卜兀，兀］上的单调性可判断AB；求

出/'(x)=-xsinr-l,令g(x)=-xsinr(x€［-2兀,2兀］),利用奇偶性定义判断出

g(x)为偶函数，分xe0,^、xe--^,0、xe-兀g，71、X€兀，*、xe、

xe-2n,-y、xey,2n讨论g(x)单调性，画出图象，再平移作出/'(x)的图象，由导函数与原函数

图象之间的关系判断极值情况，可判断CD.

【详解】xe［-2n,2n］,f(-x)=-xcosx+x+sinx=-f(x),所以/(x)为奇函数,

对于A,/'(x)=cosx-xsinr-l-cosr=-xsinr-l,

当xe［0,可时，xsinxNO,所以/'(x)<0,即/(x)在［0,兀］上单调递减，

因为/(x)为奇函数，所以/(x)在［-兀,0］匕单调递减，故A错误，B正确；

/'(x)=-xsinr-l,令g(x)=-xsinx(xe［-2兀,2兀］),g(-x)=-Asinx=g(x),

所以g(x)为偶函数，g'(x)=-(sinr+xcosx),

当xc0,-时，sinx>0,xcosx>0,所以g'(x)«0,g(x)单调递减，

因为g(x)为偶函数，所以当xe-j,o时，g(x)单调递增，

当xe-兀，-5时，sinx>0,xco&x>0,所以g'(x)W0,g(x)单调递减，

因为g(x)为偶函数，所以当xepTt时，g(x)单调递增，

当xe7t,y-时，sinx<0,xcosx<0,所以g'(x"0,g(x)单调递增，

37r

因为g(x)为偶函数，所以当xe时，g(x)单调递减，

3兀

当xw-2TC,——时,sinx<0,xco&r<0,所以g1x)20,g(x)单调递增，

37r

因为g(x)为偶函数，所以当xe万,2兀时，g(x)单调递减，

/\(37cl3兀.3兀3兀

g(2兀)=-ZTisinZTL=0,gl—I=--—sin—=—,

g(7i)=-7tsin7r=0,g^J=-^sin-^g(0)=-OsinO=0,

g(-27r)=-27rsin(-27r)=0,g(一与)=/sin(一到=，，

g(-兀)=-成出兀=0,==-1,

所以g(x)的图象为

如图

图象与X轴有四个交点，从左往右依次设为王广2，与，匕，

当xe(-2无,方)时/'(x)<0,/(x)单调递减，

当xea，xj时/'(x)>0,/(力单调递增，

当工€仁用)时/'(力<0,单调递减,

当工«0匕)时/'(x)>0,“X)单调递增，

当》武乙,2兀)时/'(x)<0,/(x)单调递减，

所以/(x)在再,乙/3，七处有四个极值，故D正确，C错误.

故选：BD.

10.(2022•河北石家庄•高二期末)已知函数/(x)=e、-ax2(〃为常数，e为自然对数的底数)，则下列结

论正确的有()

A.a=l时，/(x)20恒成立

B.a=5时，/(x)有唯一零点七且—1</<一］

C.。弋时，X=1是/(X)的极值点

D.若/(X)有3个零点，则。的范围为+8)

【答案】BD

【分析】利用特殊值，/(-1)<0,即可判断选项A,令皿刈=1-占，利用导数研究"心)的单调性，结合函

数零点的存在性定理即可判断选项B,对函数“X)二次求导，确定函数/(x)的单调性，即可判断选项C,令

g(x)=A?,由导数判断函数g(x)的单调性，再结合零点个数列出不等式组求出。的取值范围，即可判断

e

选项D.

【详解】解：对于A,当a=l时，/(x)=ex-x2,贝ij/(-1)=g-1<o,故A错误；

11丫2

对于B,当。=彳时，/(%)=廿一彳/,令皿X)=l-不，

z.zze

则，"6)=华3,

2e

当x<0或x>2时，m(X)>0,则小(x)单调递增，

当0<x<2时，m(x)<0,则Mx)单调递减，

X，n(-l)=l-|<0,OT(-l)=l-^>0,w(2)=l-1->0,

由零点的存在性定理可知，皿x)只有一个零点/，且

所以/*)只有一个零点％且T<X。<-；,故B正确：

对于C,令h(x)=f\x)=e*-ex,则h\x)=e*—e,

当x>l时，h'(x)>0,则函数〃(x)单调递增，

当x<l时,h'(x)<o,则函数A(x)单调递减，

所以/'。)=3)2/项)=0,

此时函数/(x)单调递增，无极值点，

故c错误;

对于D,令g(x)出=1_丝

则函数/(x)与g(x)的零点相同,

当时,g(x)>0,无零点;

当八0时,如)=竺胃

当x<0或x>2时，g'(x)>0,则g(x)单调递增,

当0<x<2时,g'(x)<0,则g(x)单调递减,

当XTYO时,g(x)<0,

当Xf+oo时,g(x)>0,

fg(0)>0[1>0

要使得g(x)有3个零点，则，二八，即，4an

[g⑵<01---<0

2

解得。>Je,

4

所以”的范围为[1+8),故D正确；

故选：BD.

三、填空题

11.(2022•全国•高二单元测试)设函数/(x)=cosox(0>O),已知/(x)在0,1有且仅有2个极小值点，下

述选项错误的是.(填序号)

①oe[6,10)②/(x)在长与上单调递增

③/(x)在(0.)上单调递减④〃x)在(0,9上至多有2个极大值点

【答案】②

【分析】利用己知条件求出。的范围，判断A;利用函数的单调性判断B、C;函数的极大值判断D.

【详解】由题，因为/(x)在0,y有且仅有2个极小值点，所以即(〈TV?.

2乃

因为@=亍，所以64。<10,故①正确；

、r7CE-兀LLI、11T.1

因为所以77<彳"/.

J3W2o

因为/(X)在单调递增,只有当!=?时/(X)在耳单调递增才成立，故②错误；

因为，(x)在(o，m单调递减，所以，(x)在(0,3上单调递减.故③正确；

因为xe(0,、)两端点取不到，且|r4,所以/(x)在(0,^)上至多有2个极大值点.故④正确.

故答案为：②

12.(2022•北京通州•高二期末)设函数/(》)=；*3+次+"("6<力其图象在点41J⑴),8(叽/(〃7))处

的切线的斜率分别为0,~a.关于a,b,c及函数/(x)有下面四个结论：

①a<0,c>0.®b>0.®0<-<l.④函数/(x)有且只有两个极值点.

a

则其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【分析1根据函数〃x)=；ax3+6x2+cx(a<b<c)图象在点/(1J⑴)处的切线的斜率为0,可

/'⑴=a+26+c=0,再由函数在8(〃?,/(⑼)处的切线斜率为一。，再结合“<6<c,可求出的大小关系,

然后可求出2的范围，利用导数求函数的极值点

a

【详解】由+次+cx(a<6<c),得/'(工)=加+2bx+c(a<b<c),

因为函数=+阮2+B(a</,<c)图象在点^(1,/(1))处的切线的斜率为0,

所以/n)=a+2b+c=0,

因为函数在8。%/(机))处的切线斜率为-a,

f\rri)=anr+2bm+c=-a,

因为a<6<c,所以4Q<Q+26+C<4C,

所以4a<0<4c,所以。<0,c〉0,

由a+2b+c—0,得c——a—2b,

因为,

所以4<6<—a—2b,

因为。<o,所以

3a

将c=-a—26代入=aW+2bm+c=-a,

得am2+2bm-2b=0

因为方程有实根，所以A=4有+8MN0,

所以得2«-2,或

\a)\a)aa

所以o«2<i,

a

因为"0,所以640,

因为/'(幻=尔+2bx+c(a<b<c),c=-a-2b,

所以f\x)=ax1+2bx-a-2b,

令/'(x)=。，贝(jox?+2bx-〃-26=0,

a(x+l)(x-l)+2Z?(x-l)=0,

(x-l)[^(x+l)+2/)]=0,

得x=l或工=-弛-1<0,

a

所以当X<-丝7或X>1时，/”(x)<0,当一丝-1<X<1时，/'(x)>0,

aa

所以X=一竺T为极小值点，X=1为极大值点，所以函数有且只有2个极值点，

a

综上，①③④正确，②错误，

故答案为：①③④

13.(2022•山西•太原市外国语学校高二阶段练习)已知〃x)=4,则下列说法正确的有

e

①函数N=/(x)有唯一零点x=0

②函数歹二/(X)的单调递减区间为(F,-l)和(1,+8)

③函数y=/(x)有极大值点[

④若关于x的方程/(X)=。有三个不同的根，则实数a的取值范围是(0,£|

【答案】①④

【分析】根据零点的定义判断①，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，作出函数“X)的图象，

根据图象判断②，③，④.

【详解】由/(x)=0得：|幻=0,即x=0,故函数/(x)有唯一零点》=0,故①正确；

|x|7,x~°

由题意可知：〃x)=?=,

e%c

e

当x^O时，/U)=4>贝！l/'(x)==，

当04尤<1时，,f'(x)>0,/(x)递增；当x>l时，/'(x)<0,/(x)递减，

则此时"X)的极大值为/⑴=-:

e

当x<0时，/(x)=^~>。，f(x)=-,/(x)=■在(YO,0)上单调递减,

eee

观察图象可得函数V=/(x)的单调递减区间为(-8,0),(L+8),②错，

函数y=/(x)在X=1时有极大值，即函数y=/(x)有极大值点为1,③错误，

若关于X的方程/(x)有三个不同的根，则实数。的取值范围是(0」)，④正确，

e

故答案为：①④.

14.(2022•四川凉山•高二期中(理))