数学物理方法课件：分离变量法

分离变量法3.1双齐次问题3.2本征值问题3.3非齐次方程的处理3.4非齐次边界条件的处理3.5正交曲线坐标系下的分离变量法3.6本章小结习题3

事实上，利用通解法求解偏微分方程的方法十分有限，大量的定解问题需要根据定解条件确定特解。分离变量法就是这样一种直接求解特解的基本方法。其基本思路是把偏微分方程通过分离变量的技巧分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程因带有附加条件而构成本征值问题。通过分别求解各个常微分方程进而利用定解条件和广义傅里叶展开确定定解问题的解。本章结合三类常见的数理方程讨论有关分离变量法的基本思想和应用方法。

当定解问题中的泛定方程和边界条件都是齐次时，我们称之为双齐次问题。针对双齐次问题的分离变量法，是对三种典型数理方程的定解问题普遍适用的解法，也是利用分离变量法处理其他非齐次泛定方程或边界条件问题的基础。以下通过三类数理方程的定解问题来说明这种方法。3.1双齐次问题3.1.1有界弦的自由振动

考虑一根长为l，两端(x＝0，x＝l)固定的弦(0≤x≤l)，给定初始位移j(x)和初始速度y(x)，求在无外力作用下的微小横振动的位移函数。

显然，所求的定解问题为：

泛定方程：

utt＝a2uxx

(0≤x≤l) (3.1)

边界条件：

u|x＝0＝0

u|x＝l＝0 (3.2)

初始条件：

u|t＝0＝j(x)

ut|t＝0＝y(x) (3.3)

这个定解问题属于双齐次问题。如果没有边界条件，我们可以考虑使用第2章中的行波解。但是，由于边界条件的存在，因此必须考虑新的求解途径。我们注意到，对于两端都固定的波动问题，波动在两端点之间反射会形成驻波，这时，不妨设正行波为

(3.4)

其中，A为波动振幅；n为频率；l为波长。那么在端点处反射波的表达式应为

(3.5)

根据驻波的定义，形成的驻波方程为

(3.6)

显然，待求的定解问题会具有驻波解的形式，而由式(3.6)可以看到，驻波解为关于空间坐标的函数和时间的函数的乘积，即u＝X(x)T(t)，也就是说，如果可以将泛定方程和定解条件分离成关于空间和时间的常微分方程，然后分别进行处理，那么我们就可以得到定解问题的解。因此，不妨设

u(x，t)＝X(x)T(t) (3.7)

将式(3.7)代入泛定方程(3.1)，可得

X(x)T"(t)＝a2X"(x)T(t) (3.8)

除以XT，并移项，得

(3.9)

注意到等式两端分别为不同自变量的函数，若相等只能等于共同的常数，将其设为－l(这里用－l是为了以后处理的方便)，故

(3.10)由式(3.10)可以得到以下两个常微分方程：

X"(x)＋lX(x)＝0 (3.11)

T"(t)＋la2T(t)＝0 (3.12)

显然，这种定解的假设使泛定方程从原来的偏微分方程转化为两个常微分方程，这在某种程度上有效地降低了问题的求解难度。

由于u(x，t)还必须满足边界条件，因此，将u(x，t)＝X(x)T(t)代入式(3.2)，得：

X(0)T(t)＝0

X(l)T(t)＝0 (3.13)

因为我们是为了求解方程的非零解u(x，t)，所以T(t)≠0。这是因为若T(t)＝0，则u(x，t)＝X(x)T(t)＝0，即为零解。故有

X(0)＝0

X(l)＝0 (3.14)

式(3.14)是对方程(3.11)所附加的边界条件。

这样一来，问题首先归结为求解一个含有参量l的常微分方程(3.11)满足边界条件(式(3.14))的非零解问题，即

X"(x)＋lX(x)＝0

X(0)＝0，X(l)＝0 (3.15)

我们把这种问题称为斯特姆-刘维(Sturm-Liouville)型本征值问题。只有当l取某些特定的值时，方程(3.15)才有非零解，我们把l所取的特定值称为本征值，相应的方程的解X(x)称为本征函数，对于本征值和本征函数的特性，我们将在下一节中详细讨论。

这里只针对方程(3.15)求解本征值问题，即

(1)当l＝0时，方程为X"＝0，其通解为

X(x)＝Ax＋B

(3.16)

代入条件X(0)＝0，X(l)＝0，得A＝B＝0，即X(x)≡0，非所求。

(2)当l<0时，此时方程的通解为

(3.17)

代入条件X(0)＝0，X(l)＝0，得

(3.18)

这里，系数行列式

，所以A＝B＝0，仍然有X(x)≡0，非所求。

(3)当l>0时，记l＝k2(k为实数)，则方程的通解为

(3.19)

同样代入条件X(0)＝0，X(l)＝0，得

(3.20)

即

(3.21)

由式(3.21)可知，要找到非零解，只能令B≠0，所以只能让 ，也就是说，要找到方程(3.15)的非零解，必须让

(3.22)

所以

即

(3.23)

也就是说，只有当l＝n2p2/l2(n＝1，2，3，…)时，方程(3.15)才有非零解，即

(3.24)

我们把l＝n2p2/l2称为本征值，把Xn(x)＝sinnpx/l称为本征函数。至此，我们得到了本征值问题的解。

现在再来解方程(3.12)。将本征值l＝n2p2/l2代入方程，得

(3.25)

它的通解为

(3.26)

其中，An、Bn为任意常数。把式(3.24)和式(3.26)代入式(3.7)，得到满足边界条件(式(3.2))的特解是

(3.27)

这样一来，我们就求出了既满足方程(3.1)又满足边界条件(式(3.2))的无穷多个特解，这些特解是不会直接满足初始条件(式(3.3))的。但是可以发现：满足齐次泛定方程及齐次边界条件的多个特解线性叠加后仍满足方程及边界条件。由叠加原理，可写出满足齐次边界条件的“通解”为

(3.28)

此时，我们就可以通过选择适当的系数An、Bn来保证解满足初始条件了，即把式(3.28)代入式(3.3)。为此，必须有

(3.29)

(3.30)

这正是j(x)和y(x)的Fourier级数展开式，根据傅里叶级数理论，An、Bn恰好应该是j(x)和y(x)的傅里叶系数，即

(3.31)

(3.32)

至此，定解问题(式(3.1)～(3.3))已经解出，其解为式(3.28)，An、Bn取值分别满足式(3.31)和式(3.32)。

由以上结果可以看出，有界弦的振动可以看成是一系列基本振动的叠加，下面我们来讨论解的物理意义。

由式(3.28)可知，这些基本振动可表示为

(3.33)

其中，

可见，un(x，t)代表驻波，

代表弦上各点的振幅分布，cos(wnt－dn)是位相因子，wn是弦振动的固有频率(或本征频率)，dn是初位相。对于每一个n，弦上各点都以相同的频率wn、初位相dn振动。当xm＝ml/n(m＝0，1，2，…，n)时，

即这些点振幅为零，保持不动，称之为节点(连同两端点在内节点共有n＋1个)；当

时， ，即这些点振幅为±Nn，它们达到最大值，并称之为腹点(有n个)。

弦的振动

，

表示一系列振幅不同、频率不同、位相不同的驻波的叠加。其中，n＝1的驻波称为基波；而n>1的项un称为n次谐波(如n＝2的驻波为二次谐波)。图3.1画出了n＝1，2，3时的驻波振幅的形状。

图3.1驻波振幅的形状示意通过以上分析，我们还应该注意到：

(1)双齐次问题中的“双齐次”保证了构成“通解”的可能——满足齐次泛定方程及齐次边界条件的若干解的叠加后仍满足齐次泛定方程及齐次边界条件。

(2)“通解”的另一保证是满足齐次泛定方程及齐次边界条件的任意解均可表示成

，

这一点是由 作为本征值问题

的“完备”解所保证的。

(3)本征值问题是分离变量法的核心问题，有关本征值问题的特性我们将在下一节中讨论。

(4)分离变量法是一种适用范围很广的解法，尽管这种方法是从波动方程引入的，实际上也适用于输运(扩散和热传导)问题和稳定场问题；事实上，通过分离变量的思路，只要针对定解问题可以分别找到各自变量的定解方程，都是可能利用分离变量法得到问题的最终解的。这种方法还可以用于多个自变量(不仅是两个)的定解问题。3.1.2均匀细杆的热传导问题

长为l的均匀细杆，侧面绝热，杆的x＝0端保持零度，另一端x＝l处按冷却定律与外界交换热量，设外界温度恒为零度。已知杆的初始温度分布是j(x)，求杆上温度的变化规律。

显然，该定解问题为：

泛定方程：

(3.34)

边界条件：

(3.35)

初始条件：

u(x，t)|t＝0＝j(x) (3.36)

其中，h＝k/H，k是热导系数，H是热交换系数；0<x<l，t>0。

泛定方程和边界条件都是齐次的，可以考虑应用分离变量法。首先，将分离变量形式的试探解

u(x，t)＝X(x)T(t) (3.37)代入泛定方程并化简，得

(3.38)

即分别得到关于X(x)和T(t)的常微分方程

X"(x)＋lX(x)＝0 (3.39)

T'(t)＋la2T(t)＝0 (3.40)

同样，将式(3.37)代入边界条件(式(3.35))，得

(3.41)

化简，得

(3.42)

联立式(3.39)和式(3.42)，构成关于X(x)的本征值问题，即

X"(x)＋lX(x)＝0

X(0)＝0，X'(l)＋hX(l)＝0 (3.43)

以下来求解本征值问题：

(1)当l＝0时，方程变为X"＝0，方程的通解为

X(x)＝Ax＋B (3.44)

代入条件X(0)＝B＝0，得X'(l)＋hX(l)＝A＋hAl＝0，得A＝B＝0，即X(x)≡0，非所求。

(2)当l<0时，此时方程的通解是

(3.45)

代入条件X(0)＝0，X'(l)＋hX(l)＝0，得

(3.46)

这里，系数行列式

，所以A＝B＝0，仍然有X(x)≡0，非所求。

(3)当l>0时，记l＝k2(k为实数)，则方程的通解为

(3.47)

同样代入条件X(0)＝0，X'(l)＋hX(l)＝0，得

(3.48)

即

(3.49)

要找到非零解，只能令B≠0，所以只能让

，也就是说，要找到方程(3.43)的非零解，必须让

(3.50)

即

tang＝－ag

(3.51)

其中，

。式(3.51)是一个超越方程，利用作图法，可以求得它的解为g1，g2，…，gn，其中 ，如图3.2所示。

于是，由

，我们得到本征值为

(3.52)

图3.2超越方程tang＝－ag的图解法而相应的本征函数是

(3.53)

现在再来解方程(3.40)，将本征值

代入其中，得

它的通解为

(3.54)其中，Cn为任意常数。至此，得到方程满足边界条件的特解是

(3.55)

这样，我们由叠加原理可知合成“通解”u(x，t)为

(3.56)

将式(3.56)代入初始条件，得

(3.57)

即可确定系数Cn。

不难证明，本征函数族{sinknx}(n＝1，2，…)在0≤x≤l具有正交性(详见3.2节)。即

(3.58)

因此，Cn就是j(x)在0≤x≤l上用本征函数族{sinknx}展开的广义傅里叶级数的系数(不是普通的傅里叶展开，因为

)，于是在式(3.57)两端乘以sinkmx，然后在［0，l］积分，并注意正交性，得

(3.59)

即

(3.60)

至此，我们得到了原问题的解为式(3.56)，其中Cn由式(3.60)确定。3.1.3稳定场分布问题

首先，我们分析一下稳定的温度场分布问题。

如图3.3所示，矩形薄散热片的一边y＝0处保持温度为f(x)，y＝b处为零度，而另一对边x＝0和x＝a处绝热，求散热片内稳定的温度分布u(x，y)。

这是一个二维的稳定场问题，该定解问题可表示为

(3.61)

图3.3定解问题示意

因定解问题仍然是一个双齐次问题，不妨设

u(x，y)＝X(x)Y(y) (3.62)

代入泛定方程并整理，得

X"(x)Y(y)＋X(x)Y"(y)＝0

即

(3.63)

得到常微分方程，即

X"(x)＋lX(x)＝0 (3.64)

Y"(y)－lY(y)＝0 (3.65)

将u代入关于x的齐次边界条件并化简得到

X'(0)＝X'(a)＝0 (3.66)

联立式(3.64)和式(3.66)，组成本征值问题，则

X"(x)＋lX(x)＝0

X'(0)＝X'(a)＝0 (3.67)

当且仅当l＝k2≥0时，存在非零解(详见3.2节本征值的性质)，所以，

(1)当l＝0时，方程的解为X(x)＝Bx＋A，代入边界条件X'(0)＝X'(a)＝0，得B＝0，A可以是任意数。这里本征函数为

X(x)＝A

(3.68)

(2)当l＝k2>0时，方程的解为X(x)＝Bsinkx＋Acoskx，由边界条件X'(0)＝kBcos0＝0，得B＝0；X'(a)＝－kAsinka＝0，得sinka＝0，即ka＝np。因此可以得到本征值为

(3.69)

则本征函数为

(3.70)

以上两种情况可以联合表示为

(3.71)

把l代入Y(y)所满足的微分方程(3.65)，得

(3.72)

其通解为：

(3.73)

(3.74)

其中，

由边界条件u|y＝b＝0，得Y(b)＝0，进而由式(3.73)得

即

(3.75)

由式(3.74)得

即

(3.76)

至此，可以得到满足齐次泛定方程及齐次边界条件的特解为

(3.77)

其中，

叠加得到相应的通解为

(3.78)

将定解问题(式(3.61))中得到的非齐次边界u|y＝0＝f(x)代入上式，得

(3.79)

显然，上式左端是f(x)关于本征函数族 的级数展开，由傅里叶级数展开定理，得

(3.80)

(3.81)

至此，定解问题的解可表示为式(3.78)，其中，、

由式(3.80)和式(3.81)决定。

总之，分离变量法是把未知函数按自变量(包括多个自变量的情况)的单元函数分开，如令u(x，t)＝X(x)T(t)，从而将偏微分方程的问题化为解常微分方程的问题的解法，其基本步骤是：

(1)对齐次方程和边界条件分离变量；

(2)解关于其中一个变量(如空间因子)的常微分方程的本征值问题；

(3)求其他各常微分方程的通解，与(2)中求解的本征函数相乘，得到满足泛定方程和本征值问题对应的定解条件的特解；

(4)做叠加，得到原定解问题的通解形式，由初始条件或其他非齐次边界条件(后者在求解狄氏问题时将涉及到)利用广义傅里叶级数展开确定叠加系数，进而得到所求定解问题的解。

分离变量法的基本思想和步骤可以用图3.4表示。

图3.4分离变量法的基本思想和步骤示意

通过上一节的讨论可以看到，方程满足边界条件的非零解(或称为平凡解)往往是不存在的，除非方程的参数取某些特定的值。这些特定的值叫做本征值，相应的非零解叫做本征函数。求方程的本征值和本征函数的问题也就称做本征值问题。也就是说，在一定的边界条件下，求含参数的齐次常微分方程的非零解的问题即为本征值问题。显然，本征值问题是分离变量法的核心问题，直接影响定解的结果。所以本节对本征值问题的一些基本概念和性质作一讨论。3.2本征值问题3.2.1斯特姆-刘维型方程

斯特姆-刘维(Sturm-Liouville)型方程的形式为

(3.82)

其中，a≤x≤b；k(x)≥0；q(x)≥0；r(x)≥0为权函数；l为参数。简称S-L方程。

我们常见的贝塞尔方程

(3.83)

可写为

(3.84)

其中，k(x)＝x；

；l＝k2；r(x)＝1。这是一个S-L方程。

同样，勒让德方程

(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0 (3.85)

可写为

(3.86)

其中，k(x)＝1－x2；q(x)＝0；l＝l(l＋1)；r(x)＝1。这也是一个S-L方程。

事实上，任意的二阶常微分方程

A(x)y"＋B(x)y'＋［l－C(x)］y＝0

两边同乘以

，

均可化为斯特姆-刘维型方程

(3.87)

例如，对于厄米(Hemit)方程y"－2xy'＋2ny＝0，令

，可化为

(3.88)3.2.2斯特姆-刘维型方程的本征值问题

当把需要求解的斯特姆-刘维型方程(3.82)附以给定的第一类、第二类、第三类边界，或者自然边界条件时，就构成了斯特姆-刘维本征值问题。

1.三类齐次边界条件

对于常见的给定的三类齐次边界条件，可以统一表示为y(x)和y'(x)的边值(即在端点a，b两处的值)的线性齐次关系，即

a1y'(a)－a2y(a)＝0

b1y'(b)－b2y(b)＝0 (3.89)

其中，a1、a2、b1、b2是正实数，a1和a2不同时为零，b1和b2不同时为零。

除了以上给定的边界条件以外，对于斯特姆-刘维型方程问题，还存在以下的自然边界条件：斯特姆-刘维型方程(式(3.82))可改写为

(3.90)

2.有界性边界条件

如果k(x)在区间的端点x＝a或x＝b取零值，且a或b是k(x)的一级零点，即k(a)＝0或k(b)＝0。不妨设y1(x)是方程(3.90)的一个有界解，由常微分方程的解的公式，得另一解为

(3.91)

可见，方程的解里有无界解(因为解与1/k(x)有关)，这种无界解通常不反映实际物理现象，理应淘汰。所以在零点处应增加相应的有界性条件，即

|y(a)|<M

或|y(b)|<M

(3.92)

其中，M表示一个充分大的正数。式(3.92)称为有界性自然边界条件。

如果端点变为a→－∞(或b→＋∞)，则要求未知解在该端点处当|x|→0时也有界或者趋向于x的有限次幂的同阶无穷大，这也称做有界性边界条件。

例如，对勒让德方程k(x)＝1－x2，在x＝±1处的k(±1)＝1－(±1)2＝0，且为一级零点，在端点x＝±1存在有界性自然边界条件。

又如贝塞尔方程的k(x)＝x，在x＝0处的值k(0)＝0，且为一级零点，所以在端点x＝0也存在着有界性自然边界条件。

3.周期性边界条件

当k(x)在区间端点x＝a和x＝b的取值相等，即k(a)＝k(b)时，通常还可以给出一种周期性边界条件

y(b)＝y(a)

y'(b)＝y'(a) (3.93)

例如，对于方程F"(j)＋n2F(j)＝0(n＝1，2，…；0≤j≤2p)。这里，k(x)＝1，即k(0)＝k(2p)＝1，所以存在周期性边界条件F(0)＝F(2p)。

我们可以由斯特姆-刘维型方程附加以相应的线性齐次边界条件或自然边界条件构成不同的S-L本征值问题。例如：

(1)令a＝0，b＝l；k(x)＝0，r(x)＝1，即

y"＋ly＝0

y(0)＝0，y(l)＝0(谐振动方程) (3.94)

(2)令

即

x2y"＋xy'＋(k2x2－n2)y＝0

|y(0)|<M，y(r0)＝0(贝塞尔方程) (3.95)

(3)令a＝－1，b＝＋1，k(x)＝1－x2，q(x)＝0，r(x)＝1，即

(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0

|y(－1)|<M，|y(＋1)|<M(勒让德方程)

(3.96)

(4)令

即

(3.97)(连带勒让德方程)

(5)令a＝0，b＝2p；k(x)＝1，q(x)＝0，r(x)＝1，即

F"＋m2F＝0

F(0)＝F(2p)

F'(0)＝F'(2p) (3.98)

求解斯特姆-刘维本征值问题，也就是求斯特姆-刘维问题有非零解的本征值l及与之相应的非零解(本征函数)。换言之，我们把在相应边界条件下，使常微分方程有非平凡解(非零解)的l值称为本征值，与此l值相应的解称为本征函数。

例3.1

求本征值问题

u"＋lu＝0(0≤x≤p)

u(0)＝0

u'(p)＝0 (3.99)

此时，k(x)＝1，q(x)＝0，r(x)＝1。分别作如下讨论：

(1)当l＝0时，方程的通解为u(x)＝Ax＋B，由边界条件u(0)＝0，得B＝0，再由u'(p)＝0得A＝0，即u(x)＝0，非所求。

(2)当l<0时，其解为

，由边界

条件得到，

，此方程组只有零解，A

＝B＝0，即u(x)＝0，非所求。

(3)当l>0时，当方程的解为

，由边界条件u(0)＝0，得A＝0，即

，再由边界条件u'(p)＝0，得

(3.100)

显然，要使B≠0，则 ，即

(3.101)

因此，本征值为

(3.102)

相应的本征函数是：

(3.103)

例3.2

给定柯西方程为

x2u"＋xu'＋lu＝0

u(1)＝0，u(e)＝0(1<x<e) (3.104)

求其本征值和本征函数。

对给定方程的各项乘以1/x，即可得斯特姆-刘维型方程为

(3.105)其中，k(x)＝x，q(x)＝0，r(x)＝1/x。柯西方程的解是xm的形式，其指标方程是

m2＋l＝0即m＝±il (3.106)

因此，方程的解为

(3.107)

利用公式xia＝eialnx＝cos(alnx)＋isin(alnx)，得

(3.108)

其中，A、B是与c1、c2有关的常数。

利用边界条件u(1)＝0，得A＝0，即

再由边界条件u(e)＝0，得

(3.109)

要使B≠0，则sin

＝0，即

＝np(n＝1，2，…)。所以本征值为

l＝(np)2 (n＝1，2，…) (3.110)

本征函数为

u(x)＝sin(nplnx) (3.111)

例3.3

解周期斯特姆-刘维本征值问题：

u"＋lu＝0(－p<x<p)

u(－p)＝u(p)，u'(－p)＝u'(p) (3.112)

因为k(x)＝1，有k(－p)＝k(p)，因此存在有周期性边界条件。

事实上，对于本征值问题，总有本征值l≥0，这点可参考下节的内容。

(1)当l＝0时，方程的通解为u(x)＝Ax＋B。由边界条件u(－p)＝u(p)，得2pA＝0，即A＝0，u(x)＝B。再由u'(－p)＝u'(p)，得u(x)＝B满足此边界条件，且是所求的本征函数。

(2)当l>0时，方程的解是

代入边界条件可得到如下两个方程：

(3.113)

(3.114)

对任意的A、B(不为零)，必须有

(3.115)

由此，得到本征值为

ln＝n2(n＝1，2，3，…) (3.116)

因为对任意的A、B，都有 。因此，我们就得到与同一个本征值ln＝n2相应的两个线性无关的本征函数u(x)＝cosnx和u(x)＝sinnx。

因此，这个斯特姆-刘维本征值问题的本征值是{n2}，相应的本征函数是{cosnx}和{sinnx}(n＝0，1，2，…)。3.2.3斯特姆-刘维本征值问题的性质

斯特姆-刘维型方程

和齐次边界条件(包括周期条件)或自然条件一起构成斯特姆-刘维本征值问题。这类本征值问题具有如下的共同性质(即本征值和本征函数的性质)。

性质1(存在性定理)如k(x)及其导数连续，q(x)连续或者最多在边界上有一阶极点，则存在无限多个本征值

l1≤l2≤l3…≤ln≤ln＋1…

(3.117)

相应地，有无穷多个本征函数

y1(x)，y2(x)，y3(x)，… (3.118)

称为本征函数族。对本征函数族中的每一个本征函数yn(x)在区间［a，b］上恰有n个零点。

性质2

所有本征值均不为负，即

ln≥0(n＝1，2，3，…) (3.119)

证明设本征值ln及相应的本征函数yn(x)满足斯特姆-刘维型方程。即

(3.120)用yn乘此方程两边，并逐项从a到b积分，得

(3.121)

讨论(3.121)等式右边各项，首先有

(因为k、q均大于零)。再看第一项kyny'n|x＝a，如果端点a的边界条件是由(3.89)的第一式给出的线性齐次边界条件，则

(3.122)

即

，把

代入第一项，可得

(3.123)

如果端点a是自然边界条件，则k(a)＝0，此时，kyny'n|x＝a＝0。

同理，可以讨论右边第二项对于给定的齐次边界或者自然边界均有

(3.124)

另外，若端点a、b满足周期边界条件，即

yn(a)＝yn(b)

y'n(a)＝y'n(b) (3.125)此时应有，k(a)＝k(b)。则式(3.121)右边第一、二项之和为零，即

(3.126)

总之，无论在哪种边界条件，式(3.121)右边各项之和均大于等于0，可得

(3.127)

注意到

可得

ln≥0 (3.128)

性质3

对应于不同本征值lm和ln的本征函数ym(x)和yn(x)，在区间［a，b］上具有带权重r(x)的正交性，即

(3.129)

证明本征函数ym(x)和yn(x)分别满足

(3.130)

(3.131)

y*n为yn的复数共轭。将式(3.130)乘以y*n，式(3.131)乘以ym，两式相减，得

(3.132)

将上式逐项从a到b积分，得

(3.133)

先讨论式(3.133)右边第一项［kymy'*n－ky'my*n］|b，如果ym(x)和yn(x)在x＝b处满足齐次边界条件，即

(3.134)

给上面两式分别乘以yn(x)和ym(x)，并相减得

(3.135)

因为b1和b2不能同时为零。所以，若b1≠0时，必有［kymy'*n－ky'my*n］|b＝0；若b1＝0，而b2≠0，则为第一类齐次边界，即ym(b)＝yn(b)＝0，此时，也有［kymy'*n－ky'my*n］|b＝0，如果ym和yn满足自然边界条件，此时k(b)＝0，故仍有［kymy'*n－ky'my*n］|b＝0。

同理，可证式(3.133)右边的第二项［kymy'*n－ky'my*n］|a＝0，即对于齐次边界和自然边界条件，均有式(3.133)的右端为零。

另外，若ym(x)和yn(x)满足周期边界条件

y(b)＝y(a)

y'(b)＝y'(a) (3.136)

应有k(b)＝k(a)，所以式(3.133)等号右端的两项和为

(3.137)

总之，无论在哪一种边界条件下，总有

(3.138)

注意到当lm≠ln时，只有

(3.139)

即正交性得证。

性质4(广义傅里叶展开定理)本征函数族{yn(x)}在定义区间a≤x≤b上构成一个完备系。就是说，任一个具有一阶连续导数和至少分段连续二阶导数的函数f(x)，只要它满足本征函数yn(x)(n＝1，2，3，…)所满足的边界条件，则一定可以按本征函数系{yn(x)}展开为绝对且一致收敛的级数，即

(3.140)

其中，系数fn满足

(3.141)

关于完备性的证明超出了本书的范围，相关论题可参见钱敏、郭敦仁翻译的“数学物理方法：第一卷”(科学出版社，1981)。这里我们仅从形式上推导式(3.141)。

为此，以r(x)y*n(x)乘以式(3.140)，并在a≤x≤b上积分，得

(3.142)

再利用正交性(式(3.129))，可得

(3.143)

所以，

这也是式(3.141)。

注意，我们把式(3.140)的级数称做广义傅里叶级数，fn叫做广义傅里叶系数。式(3.141)中的分母称为yn(x)的模，记作Nn，即

(3.144)

所以式(3.141)也可改写为

(3.145)

如果本征函数的模Nn＝1(n＝1，2，…)，就称为归一化的本征函数。

对于归一化的本征函数族{yn(x)}，它的正交归一性可表示为

(3.146)

其中，

叫做“D符号”。

若本征函数yn(x)不是归一化的(即Nn≠1)，则只要除以模(这是个常数)，也就成了归一化的本征函数了。因此，它的正交归一性可表示为

(3.147)

有关本征函数的正交关系和模的确定是对函数做广义傅里叶展开研究的一个基础。

例3.4

求函数

n＝1，2，3，…)，r(x)＝1的归一化系数；并将f(x)＝x(0≤x≤l)按本征函数族 展开成傅里叶级数。

解：先求函数的模方

(3.148)

所以，归一化系数为

(3.149)即为了使函数sin(npx/l)在区间［0，l］上归一化，可将它除以模

即可。

因为

，于是函数族yn(x) (n＝1，2，…)是在区间0≤x≤l上的正交归一化函数。

根据广义傅里叶展开定理得

(3.150)

其中，系数

(3.151)

因此，f(x)＝x的展开式为

(3.152)例3.5

证明函数族

(0≤x≤2p，n＝0，±1，±2，…)是一组正交归一的函数族。

证明利用正弦和余弦函数的正交性，可得

(3.153)

所以函数族

(0≤x≤2p；n＝0，±1，±2，…)是一组正交归一的函数族。

最后需要指出，对于常微分方程的本征值问题，除了周期性边界条件以外，都是非简并的(即对应于一个本征值，只有一个本征函数)。

上一节定解问题中的“双齐次”保证了方程和边界条件的变量分离，从而才可以利用分离变量法求解。那么对于非齐次方程，齐次边界条件的情况，又应该如何使用分离变量法，本节对此作一讨论。3.3非齐次方程的处理3.3.1本征函数展开法

例3.6

求解一个两端固定的弦(或杆)的纯强迫振动问题的定解问题，即

(3.154)

注意，这个泛定方程中存在非齐次项f(x，t)，不能实现变量分离。因此，采用非齐次线性常微分方程的常数变易法的思路来处理这个问题。

(1)求对应的齐次问题的本征函数。

式(3.154)对应的齐次问题为

(3.155)

令u(x，t)＝X(x)T(t)分离变量，得本征值问题

(3.156)

它的本征值和本征函数分别为(见3.1节)：

(3.157)

(2)本征函数展开法(常数变易法)。仿照常数变易法的思路，直接令满足式(3.154)中的解为

(3.158)

并将它代入到方程(3.154)中，得到

(3.159)

此等式的左边可以看成是函数f(x，t)对于变量x关于本征函数 的傅里叶级数的展开，所以，由傅里叶级数展开的系数公式，有

(3.160)

其中，

(3.161)

再将式(3.158)代入定解问题(式(3.154))的初始条件，得

(3.162)

即Tn(0)＝0，T'n(0)＝0。至此，得到关于Tn(t)的二阶线性非齐次常微分方程的求解问题为

(3.163)

由常微分方程的常数变易法(或者本书中的积分变换法)，可得其解为

(3.164)

所以，定解问题(式(3.154))的解为

(3.165)

其中，fn(t)由式(3.161)确定。

通过以上的求解过程可以看到，之所以称为本征函数展开法，主要有两层含义：一是直接将定解问题的待求解采用常数变易的思想展开成本征函数的级数形式

u(x，t)＝ ；二是将泛定方程中的非齐次项f(x，t)利用本征函数 作傅里叶级数的展开。所以，我们称这种方法为本征函数展开法，又称为固有函数法或者常数变易法。

显然，用本征函数法解定解问题的步骤是：

(1)利用分离变量法确定定解问题对应的齐次问题(即齐次方程和齐次边界条件)的本征函数。

(2)把定解问题中的未知函数按该定解问题的本征函数作(广义)傅里叶级数展开，展开系数为另一变量的函数(常数变易法)。代入非齐次泛定方程和初始条件，比较展开系数就得到关于另一变量(如时间变量)的非齐次常微分方程的定解问题，利用常数变易法或积分变化法可求得其解。

(3)把所求的解代入未知函数的展开式中，便可得到原定解问题的解。

例3.7求解外力作用下两端自由的弦振动的定解问题

(3.166)

解：(1)相应的齐次定解问题为

(3.167)

令u(x，t)＝X(x)T(t)，则相应的本征值问题为

X"(x)＋lX(x)＝0

X'(0)＝X'(l)＝0 (3.168)

由式(3.71)可知，这个本征值问题的本征值为ln＝(np/l)2，本征函数为X(x)＝Ancosnpx/l(n＝0，1，2，…)。

(2)本征函数展开：将原问题的解设为

(3.169)

将解代入泛定方程，并将f(x，t)按本征函数Xn(x)展开，得

(3.170)其中，

是f(x，t)的本征函数展开系数。由于 的正交性，因此有

(3.171)

(3)将u(x，t)代入初始条件，并将j(x)和y(x)采用本征函数展开，可得

其中，

由傅里叶展开系数得到

同理，

至此，得到Vn(t)满足的方程和定解条件为

(3.172)

该方程可采用二阶线性常微分方程的解法进行求解，其解为

(3.173)

(3.174)

所以，原问题的解为

(3.175)

对于以上的求解需要说明的是：这个定解问题中的弦振动实际可以理解为是由两部分引起的：一部分是外加强迫力，由非齐次项f(x，t)确定；另一部分是初始状态，由初始条件u|t＝0＝j(x)，ut|t＝0＝y(x)确定。因此，本题的解还可以设定为

u(x，t)＝uⅠ(x，t)＋uⅡ(x，t) (3.176)

其中，uⅠ(x，t)表示仅由强迫力引起的弦振动，满足定解问题

(3.177)

而uⅡ(x，t)表示初始状态引起的弦振动，满足定解条件

(3.178)

不难验证，定解问题(式(3.177)和(3.178))解的和就是原问题的解。这种线性叠加原理的思想简化方程的求解也是我们求解数学物理方程的一个基本技能。

本征函数法不仅对波动方程适用，对其他数理方程同样适用。

例3.8

求解定解问题

(3.179)

解：对应的齐次方程的本征值问题为

由例3.7知，求解得本征值为ln＝(np/l)2，本征函数为

(n＝0，1，2，…)。

故令

(3.180)

代入式(3.179)的泛定方程和初始条件，得

(3.181)

比较等式两边按本征函数族 所作的傅里叶余弦展开的系数，得

(3.182)

(3.183)

解之，得

(3.184)

由式(3.180)和式(3.184)合成原定解问题的解为

(3.185)3.3.2冲量原理法

求解非齐次泛定方程对应的定解问题还可以采用第2章中的冲量原理法。在这里，仍然考虑边界条件和初始条件是齐次的。由上述分析可知，这其实无损于一般性。

例3.9

利用冲量原理法求解两端固定的弦(或杆)的纯强迫振动问题的定解问题(同例3.1)。

事实上，如果没有边界条件，定解问题

可以根据冲量原理化为一系列瞬时力引起的波动

的叠加，即

(3.186)解：仿照这种做法，根据冲量原理，先求解

(3.187)

根据3.1.1节的求解，令T＝t－t，可以求得

(3.188)

其中

进而就可以求出

因这种方法利用了冲量原理，所以称为冲量原理法。

显然，容易验证冲量原理法得到的解分别满足泛定方程和定解条件，所以，冲量原理法在数学上是成立的。另外，需要指出的是，不仅是波动方程，如果是输运方程，同样也可以考虑使用这种求解方法。

以上几节讨论的问题都是基于齐次边界条件的，但我们所遇到的实际问题并非都是这样，往往是非齐次边界条件的比较多，那么对非齐次边界条件怎么处理呢？

总的原则就是：设法将非齐次边界条件化为齐次的，即通过一适量代换使新未知函数满足齐次边界条件。由于定解问题是线性的，利用叠加原理便可以实现边界条件的齐次化。3.4非齐次边界条件的处理3.4.1边界条件的齐次化原理

以下面定解问题来说明边界条件齐次化的一般方法。

例3.10求解自由振动问题

(3.189)

解：它的边界条件u|x＝0＝g(t)，u|x＝l＝h(t)是非齐次的。

此时，若将分离变数形式的解u(x，t)＝X(x)T(t)代入这个边界条件，就会得到

两个不能确定的值，因无法对边界条件分离变量，所以首先必须把边界条件齐次化。

为此，引入新的未知函数v(x，t)和辅助函数w(x，t)，令

u(x，t)＝v(x，t)＋w(x，t) (3.190)

如果能够找到一个恰当的已知辅助函数w(x，t)，使它具备性质

w|x＝0＝g(t)

w|x＝l＝h(t) (3.191)

则新的未知函数v(x，t)＝u(x，t)－w(x，t)便满足齐次边界条件，即

v|x＝0＝0

v|x＝l＝0 (3.192)

这样，由叠加原理，把式(3.190)代入式(3.189)，得到关于v(x，t)的定解问题，即

(3.193)

这正是上节讨论的带有齐次边界条件的非齐次泛定方程的定解问题，可用本征函数法来求解得到v(x，t)，从而得到原问题的解u(x，t)。

由此看来，问题的关键是寻找一个具有性质，即式(3.191)的辅助函数w(x，t)。

实际上，对于任意给定的t，满足式(3.191)的w(x，t)应该是：过x-w平面上［0，g(t)］和［l，h(t)］两点的任一曲线。这种曲线有无数条，最简单的是一条直线，所以令

w(x，t)＝A(t)x＋B(t) (3.194)

代入两点坐标［0，g(t)］和［l，h(t)］，得到

B(t)＝g(t)

A(t)·l＋B(t)＝h(t) (3.195)

从而求得

(3.196)

故有

(3.197)显然，由于g(t)和h(t)为已知函数，w(x，t)就是一个确定的已知函数。至此，将定解问题(3.189)化为定解问题(3.193)即可以求解原问题了。

例3.11

弦的一端x＝0固定，迫使另一端x＝l作谐振动Asinwt，弦的初始位移和初始速度都为零，求弦的振动。

解：这个定解问题是

(3.198)

设u(x，t)＝v(x，t)＋w(x，t)，按照式(3.197)令辅助函数

(3.199)

方程变为

(3.200)

又令v(x，t)＝vⅠ(x，t)＋vⅡ(x，t)，其中vⅠ(x，t)和vⅡ(x，t)分别满足方程

(3.201)

(3.202)

分别采用双齐次问题的分离变量法和非齐次泛定方程的本征函数展开法解得

其中，wn＝npa/l。

至此，我们得到原问题的解为u(x，t)＝vⅠ(x，t)＋vⅡ(x，t)＋w(x，t)。3.4.2其他非齐次边界条件的处理

1.第二类非齐次边界问题

以上处理非齐次边界条件的齐次化原理，主要适用于第一类非齐次边界条件。如果出现第二类非齐次边界条件，则需要适当选择辅助函数w(x，t)为x的二次项来处理，否则系数A(t)和B(t)将无法确定。

例如，给定的边界条件是ux|x＝0＝g(t)，ux|x＝l＝h(t)。

为了使边界条件齐次化，需要函数w(x，t)满足wx|x＝0＝g(t)，wx|x＝l＝h(t)，此时若选w＝A(t)x＋B(t)，则无法将边界条件代入来确定A(t)和B(t)。但若选择

w＝A(t)x2＋B(t)x

(3.203)

则

(3.204)

由此，得

(3.205)

这样，我们就确定了辅助函数w(x，t)。

2.非齐次边界的特殊处理

按照上述的一般处理方法，边界条件的齐次化的同时会导致泛定方程和初始条件的非齐次化，求解比较麻烦，能否有比较简便的方法呢？事实上，如果我们能够在选取辅助函数w(x，t)时稍微改进一下，找到一个既满足非齐次边界条件，同时又满足齐次泛定方程的辅助函数，那么定解问题就会化为关于新的未知函数v(x，t)的双齐次问题，从而大大简化了计算。

例3.12

利用新辅助函数方法求定解问题

解：例3.11中在选择辅助函数时只考虑了边界条件的齐次化，这里，我们为了得到关于新的未知函数v(x，t)的双齐次问题，即试图找到一个既满足非齐次边界条件，同时满足齐次泛定方程的辅助函数。因此，设u(x，t)＝v(x，t)＋w(x，t)，让w(x，t)满足

(3.206)

参考式(3.199)，采用常数变易法的思想，不妨令

w(x，t)＝Af(x)sinwt

(3.207)

只要能够确定恰当的f(x)，使得式(3.206)成立即可。因此，把式(3.207)代入式(3.206)，得

(3.208)即

(3.209)

解这个二阶齐次常微分方程，可得

(3.210)

即

(3.211)代入u(x，t)＝v(x，t)＋w(x，t)，可得v(x，t)满足的方程为

(3.212)

显然，这是一个双齐次问题，我们可以方便地利用3.1.1小节的解得到v(x，t)的解为

(3.213)

至此，原问题的解为

(3.214)例3.13

求如图3.5所示的半带形区域内的电势u(x，t)。已知边界x＝0和y＝0上的电势都是零，而边界x＝a上的电势为u0(常数)。

解：该定解问题为

(3.215)

图3.5半带型区域的电势分布示意

为了使关于变量x的边界条件齐次化，令

u(x，y)＝v(x，y)＋w(x，y) (3.216)

由式(3.197)得

(3.217)

于是v(x，y)的定解问题是

(3.218)

同样是双齐次问题。利用分离变量法求得其解为

其中，An和Bn为待定常数。

注意到当y→∞时，u(x，y)应是有限的(自然边界条件)，即

v|y→∞＝有限值

(3.219)

所以An＝0。

再由边界条件

，得

(3.220)

由傅里叶级数展开式得

(n＝1，2，3，…) (3.221)

于是，最后可得到原定解问题的解为

(3.222)

通过以上两个例题可以看出：

(1)由于辅助函数w(x，t)的选取有一定的任意性，故选取不同的w所得到的解u在形式上可能很不相同，但根据解的唯一性可知这些解实质上是一样的。

(2)通过边界条件齐次化后，一般会使得泛定方程非齐次化，但是，如果辅助函数w(x，t)的选取巧妙，则可以同时使泛定方程和边界条件齐次化。

(3)若f(x)、g、h均与t无关，则可选取适当的辅助函数w(x)与t无关，使v(x，t)的方程与边界条件均化为齐次的，这样省掉了对v(x，t)进行解非齐次方程的繁重工作。

总之，在用分离变量法解偏微分方程时，为了使边界条件实现分离变量，应使非齐次的边界条件齐次化。

通过前面的学习可以看到，在使用分离变量法求解数理方程时，不但对于方程本身，而且对于边界条件，都要进行变量的分离。一般而言，能否采用分离变量法，除了与方程和边界条件本身的形式有关之外，还与采用什么样的坐标系有关。坐标系选择不当，变量就可能分离不开。以下我们就从圆域内二维拉普拉斯方程的定解问题出发，讨论正交曲线坐标系下（主要是柱坐标和球坐标系）的分离变量法。3.5正交曲线坐标系下的分离变量法3.5.1圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题

例3.14

一个半径为a的薄圆盘，上下两面绝热。若已知圆盘边缘的温度，求圆盘上稳定的温度分布。

解：由于圆盘的上下两面绝热，没有热量流动，且圆盘很薄，故由第1章知其温度分布u(x，y)应满足定解问题

Du＝0

u|r＝a＝f(j) (r≤a) (3.223)

其中，f(j)为已知函数。

注意到边界条件为u|r＝a＝f(j)，其中a为圆盘的半径。现对这一边界条件进行变量分离，若选择直角坐标系，即u＝u(x，y)，令u(x，y)＝X(x)Y(y)，则由u|r＝a＝0有

＝0，可知边界条件根本分离不出来；但若选极坐标系，即u＝u(r，j)，令u(r，j)＝R(r)F(j)，由边界条件有R(a)F(j)＝f(j)，尽管分离不出R(a)(因为f(j)≠0)，但是却可以很容易得到周期性边界条件F(j)＝F(2p＋j)和有界性自然边界条件|R(0)|<＋∞，从而问题可以求解。

因此，首先写出极坐标系中的Du的表达式(推导见3.5.3小节)：

(3.224)

令

u(r，j)＝R(r)F(j) (3.225)

并将其代入式(3.224)，得

(3.226)两边同乘以 并移项，得

(3.227)

上式中左右两边是关于不同变量的函数表达式，要使等式成立，只能是同一个常数，故令比值为n2，即可得

F"＋n2F＝0 (3.228)

r2R"＋rR'－n2R＝0 (3.229)

至于边界条件u|r＝a＝f(j)，由于它是非其次的，变数不能分离，但经过讨论我们却可确定n的取值及相应的本征函数。

在一般的物理问题中，函数u(r，j)是单值的，因此应有周期性边界条件

u(r，j)＝u(r，2p＋j) (3.230)

可得

F(j)＝F(2p＋j) (3.231)

从而可以得到常微分方程的本征值问题

F"＋n2F＝0

F(j)＝F(2p＋j) (3.232)

讨论：

(1)若n＝0，则方程(3.232)的解为F(j)＝B0j＋A0，其中A0、B0为常数。由边界条件B0(j＋2p)＋A0＝B0j＋A0，得