数据融合理论与应用（第二版）课件：相互作用多模型-概率数据关联算法

相互作用多模型—概率数据关联算法5.1概率数据关联滤波器5.2多模型算法(Multiple-ModelApproach)5.3相互作用多模型—概率数据关联算法5.4多传感器相互作用多模型—概率数据关联算法5.5目标运动模型(TargetMotionModels)●补记

目标跟踪领域的一个研究重点是如何解决杂波干扰和目标高度机动情况下的目标跟踪问题。在可用的算法中，有代表性的是概率数据关联算法(PDAF)和多模型算法(MMF)

，前者在杂波环境下有很好的跟踪性能，后者适用于目标高度机动的情形。基于这两种算法导出的相互作用多模型—概率数据关联算法(IMMPDAF)适用于杂波环境中机动目标的跟踪问题，从而备受推崇。

20年来，国外关于概率数据关联算法、多模型算法及由此导出的相互作用多模型—概率数据关联算法的研究十分活跃，并已取得了丰硕的成果。这些算法逐渐完善并正在被应用于多传感器情形。这些算法也引起了我国学者的广泛关注，已有许多博士论文专门对其进行深入研究。本章首先对概率数据关联算法、多模型算法和相互作用多模型—概率数据关联算法进行了全面、深入的研究，给出了各种关联概率以及协方差等详细的计算过程；接着，简要介绍了Houles和Bar-Shalom基于这些算法提出的多传感器概率数据关联算法和多传感器相互作用多模型—概率数据关联算法，并对其作了进一步的改进和完善；最后，讨论了机动目标的运动模型。

5.1概率数据关联滤波器

5.1.1预备知识考虑线性状态和量测方程描述的混合系统：

其中，

x

(k

)表示k时刻的状态向量，

z(k)表示k

时刻的观测向量，

F(k)表示状态转移矩阵，

H(k

)表示量测矩阵，

v(k)和w(k)是零均值相互独立的白色高斯过程噪声。v(k)和w(k)分别具有已知方差

其中

表示克罗内克函数。

设x(k)与v(k)正交，即E[x(k)v(k)‘]=0，则进而得到量测的协方差为

其中

表示状态估计的协方差。

在应用卡尔曼滤波，除了尽可能精确描述动态方程和量测方程外，还有一个重要的问题就是如何选取Q

(k

)。

Q(k)选取的好坏对滤波精度有直接的影响。动态模型愈是不精确，这种影响愈大。选取Q

(k

)的一个基本原则是，使Q(k)的大小与动态模型的精度相匹配。如果Q

(k

)选取过大，则使滤波在过去观测量上的加权衰减过快，从而使滤波不能很好地利用已有观测量的信息，其结果是降低滤波的精度；反之，如果Q

(k

)选取过小，使滤波在过去观测量上的加权衰减过慢，随着滤波的递推，将会引进愈来愈大的模型噪声，从而使滤波误差增大。这就是通常所说的滤波的发散现象。

5.1.2概率数据关联滤波器的基本思想

概率数据关联理论的基本假设是，在杂波环境下仅有一个目标存在，并且这个目标的航迹已经形成。如果每个时刻的有效回波只有一个，则关联问题就变成经典的卡尔曼滤波问题。但是，在杂波环境下，由于随机因素的影响，在任一时刻，某一给定目标的有效回波往往不止一个。这样就产生了一个无法回避的问题：究竟哪一个有效回波是来自目标的？为解决这个问题所采用的一种方法是所谓的“最近邻”方法，即简单地认为离目标预报测量最近有效回波源于目标，其余有效回波都源于杂波干扰；

另一种方法认为所有有效回波都可能源于目标，只是每个有效回波目标的概率有所不同，这正是我们本章要研究的概率数据关联算法。

设

Ｚ(k)={Zi(k)}m(k)j=1表示传感器在k时刻确认的测量集合；

m(k)表示在k时刻确认的测量的个数；

Zk={Z(n)}k

n=1表示直到时刻k的累积量测集；

θj(k)|Z

j(k)是来自目标的正确量测的事件；

θ0(k)表示传感器所确认的量测没有一个是正确的事件，

表示在k时刻，第j个量测是来自目标这一事件的概率(量测zj

(k)源于目标的概率)，由θj(k)，j=0，

1，…，

m(k)的定义易知

是事件空间的一个不相交完备分割，从而有

令

表示在事件θi(k)出现的条件下的更新状态估计，则应用全概率公式，有

在处理预报和滤波问题时经常要用到vi(k)。它给出了zi(k)中所含的真正全新的信息，故称其为量测i

的新息(

Innovation)。增益W(k)和标准滤波器的一样#.对于i=0，即如果没有一个量测是正确的，则

将(5-12)、5-14)式代入(5-11)式得概率数据关联滤波器的目标状态更新估计为

其中

称为组合新息(CombinedInnovation)。

目标状态更新估计相应的协方差为

其中

5.1.3关联概率βi

(k)的计算

由(5－8)式，第i个量测在k时刻与目标关联的概率为

应用贝叶斯公式和乘法定理得

其中

概率数据关联滤波器依据的3个基本假设是:

(1)假量测在跟踪门中服从均匀分布，即

其中Vk

表示跟踪门的体积。

(2)正确量测服从正态分布，即

其中

PG

表示正确量测落入跟踪门内的概率。

(3)在每一个采样周期至多有一个真实量测，这个事

件发生的概率为PD。

对于i=0，即所有确认量测都不正确的情形#.根据第一个假设，在已知k

时刻以前的有效量测集Zk-1，及

k时刻的m

(k

)个有效量测都源于杂波的条件下，可得Z(k)

的联合概率密度为

对于i=1，

2，…，

m(k)的任一情形，根据第二个假设，在已知k

时刻以前的有效量测集Zk-1

，及k

时刻的m(

k)个有效量测中有一个源于目标的条件下，

Z(k)的联合概率密度为

其中

由(5－26)和(5－27)式立得

将(5－29)和(5－21)式立得

其中

令MT

表示有效量测的总数，

MF

表示错误量测的总数#.根据第三个假设，若目标被检测并且其量测落入跟踪门中，则MF=m(k)-1，否则，

MF=m(k)。

应用全概率公式得

如果错误量测数为m(k)-1，则表示m(k)个量测中有一个是源于目标的量测，从而事件θi

(k)(i=1，

2，…，

m(k))发生的概率为m(k

)-1，而事件θ0(k)发生的概率为0。

如果错误量测数为m(k)，则表示m(k)个量测中没有一个是源于目标的量测，从而事件θi(k)(i=1，

2，…，m(k))发生的概率为0

，而事件θ0(k)发生的概率为1。由此我们可以得到

将(5－34)和(5－35)式代入(5－33)式得

应用贝叶斯公式有

其中

表示错误量测数的概率分配函数(ProbabilityMassFunction)，同理可得

其中

将(5-33)、（5-39）和（5-40）式代入（5-36）式得

有两种模型可以用于概率分配函数μF：

在多目标跟踪问题中，跟踪门几乎为各种方法所采用#.当目标无机动时，跟踪门的大小一般为常值;当目标机动时，调整门的大小以保持一定的接收正确回波的概率就成了关键问题。因此，在机动多目标跟踪问题中，如何使跟踪门自动适应目标机动范围和强度的变化将是一项富于挑战的课题。我们这里无意对跟踪门进行深入的讨论，有关这方面的研究可参见Blakman#，周宏仁和敬忠良的著作。他们在那里对跟踪门的形成方法进行了专门的研究，并给出了各种跟踪门体积的计算方法。

5.1.4

协方差P(k|k)的计算

5.2多模型算法(Multiple-ModelApproach)

在传统的机动目标跟踪方法中，虽然也用不同模型对应目标的不同运动状态，但通常每个时刻只有一个模型滤波器在起作用，不同模型滤波器之间根据统计检验对目标状态进行监视和切换。尽管这样也能够适应目标机动运动的变化，但机动检测往往有滞后，而快速进行模型切换则可能降低滤波器的可靠性。

多模型算法是一种递归算法。在这种算法中，每一个模型对应一个不同的过程噪声水平，多模型算法的基本思想如图5.1所示。

多模型算法是一种基于“软切换”的机动目标跟踪方法。这种方法对于不同的目标运动状态或同一个目标的不同运动阶段，应用不同的模型滤波器。各模型滤波器通过估计状态的组合实现相互作用。模型之间基于一个马尔可夫链进行切换。各模型滤波器估计的加权和作为最后的组合状态估计。图5.1

多模型滤波器

设Mj表示第

j个模型是正确的这一事件，用

表示模型Mj的先验概率，用

表示模型Mj在k时刻正确的后验概率，应用贝叶斯公式可得

应用(5－23)和(5－24)式得

其中

由(5－77)式容易得到

应用全概率公式，

x(k)的后验概率密度函数为

由上式容易得到，多模型算法的状态更新估计，是以各种模型为条件的状态更新估计按照(5－77)式的一个加权和，即

其中

表示以模型Mj

为条件的状态更新估计。

基于(5－79)和(5－80)式可以证明(5－81)式的协方

差矩阵为

其中

表示以模型Mj为条件的状态更新估计的协方差

5.3相互作用多模型—概率数据关联算法

在(5－11)式中我们应用概率数据关联算法得到

相互作用多模型—概率数据关联算法的思想如图5.2所示。图5.2

相互作用多模型—概率数据关联算法的思想

由图看出，相互作用多模型—概率数据关联算法是一种递归算法。它假设模型的数量是有限的。算法的每一个循环包括4步：相互作用(混合)、滤波、模型概率更新计算和状态与其协方差的组合估计。在每一个时刻，假设某个模型在现在时刻有效的条件下，通过混合前一时刻所有滤波器的状态估计来获得与这个特定模型匹配的滤波器的初始条件。接着对每个模型并行实现正规滤波(预测与修正)步骤。然后，以模型匹配似然函数为基础更新模型概率，并组合所有滤波器修正后的状态估计(加权和)以得到状态估计。一个模型有效的概率在状态和协方差组合中起重要的加权作用。

其中

其中

是预测的模型i的概率，

是模型开关概率，通常认为其服从马尔可夫链，表示k-1时刻模型i

到k

时刻模型j

的跳转概率。由(5－74)式立得

它与（5-83）式类似。我们也容易证明与（5-90）式相应的协方差为

在杂波烦扰的情况下，类似于（5-62）式的证明可知，似然函数的新息的联合概率密度函数，即

其中，vji(k)是对应于测量i的k时刻的新息，Sj(k)是预测的量测的协方差矩阵，这两者是按模型j计算的，Vk是跟踪门的体积，是正确的量测的先验概率。

由（5-32）式得

应用(5-37)和(5-38)式，(5-92)式变为

注意，每个模型必须有相同数目的量测，这样它们的似然吧才有相同的物力维数。这可以通过使用公共跟踪门（所有跟踪门的并）来完成。

（3）模型概率更新：多模型概率被更新为

其中

(4)组合：以模型为条件的估计和协方差的组合按下列方程计算：

5.4多传感器相互作用多模型—概率数据关联算法

5.4.1

多传感器概率数据关联滤波器我们考虑两个传感器的情形，设各传感器目标运动状态的观测方程为

wi(k)为零均值的高斯观测误差，方差为

其中

表示克罗内克函数，

Ri表示传感器i

的观测误差的协方差矩阵。

设

表示第i个传感器在k时刻确认的量测集合；

表示直到时刻k的累积量测集，则目标状态的第i个传感器的最小方差估计为

目标状态的多传感器估计为：

所要解决的问题是如何基于来自多个传感器的量测集合来得到多传感器状态估计。

表示在量测z1j(k)源于目标的条件下的更新状态估计。

由(5－73)式知协方差P1(k|k)可由下式计算得到：

其中

Houles和Bar-Shalom在上述工作中应用的是序列估计方法。对于两个传感器情形，这种方法是有效的和可行的，但这一工作不能自然地推广到多传感器(n>2)情形。

5.4.2多传感器多模型—概率数据关联滤波器

多传感器多模型—概率数据关联算法是目前数据融合在目标跟踪与数据关联方面的研究中心，大部分工作都是以相互作用多模型－数据关联算法为基础的。这里我们主要介绍Houles和Bar-Shalom提出的算法，并对其作了进一步的改进和完善。

（2）基于混合状态估计预测状态估计和量测：

它们的协方差为

对于第一个传感器：

它的协方差为

（3）对第一个传感器进行量测确认。首先为第一个传感器以量测的预测值为中心建立跟踪门，即

对于两个模型的情形，确认区域取它们当中较大的，二维橄球确认区域的体积为

其中

5.5目标运动模型(TargetMotionModels)

在相互作用多模型—概率数据关联滤波算法中，每一个模型对应一个不同的机动水平。因而，如何建立既符合实际又便于进行数学处理的目标运动模型，是这种算法能否获得应用的一个关键。

在目标运动过程中，大气扰动因素可以使匀速直线运动的非机动目标产生具有随机特性的扰动输入，此时，加速度是一服从零均值白色高斯分布的过程；而驾驶员人为的动作使得目标还能进行转弯、闪避或其它特殊的攻击姿态等机动现象，此时加速度变成非零均值时间相关的有色噪声过程。因此，在目标运动模型建造过程中除了考虑上述加速度非零均值时间相关噪声过程外，还要考虑加速度的分布特性，要求加速度分布函数尽可能地描述目标机动的实际情况。

目前关于目标运动模型的研究大致可分为全局统计模型和“当前”统计模型两类。全局统计模型包括Singer模型，半马尔可夫模型和Noval模型，其共同特点是考虑了目标所有机动变化的可能性，适合于各种情况和各种类型目标的机动。这样的模型特点导致了在全局统计模型中，每一种具体战术情况下的每一种具体机动的发生概率势必减小。换句话说，对一个具体的战术情况而言，机动模型将不会有很高的精度。“当前”统计模型是周宏仁在对全局统计模型全面研究的基础上提出来的。这种模型认为，当目标正以某一加速度机动时，下一时刻的加速度取值是有限的，且只能在“当前”加速度的某个邻域内，它所关心的是每一种具体的战术情况下的每一种具体的机动。

周宏仁详细介绍了各种全局统计模型以及他所提出的“当前”统计模型。限于篇幅，我们对这些模型不再进行具体的讨论，而只是在对建立目标运动模型的基本理论作了简短介绍后，给出几种典型的目标运动模型。

5.5.1

基本理论

1.无输入情形

考虑无噪声情形，

其中a是一个常数。假设（5-135）式的解在t=0附近可以表示为幂级数形式。即

则

从而得

故

定义1设A施一个n阶矩阵，

将其称为At的指数矩阵。

在数学上可以证明（5-146）式中的无穷级数对所有的t是绝对收敛的，因此它可以逐项进行微分或积分。从而有

其中

由（5-146）和（5-147）式容易得到

是

的一个解。

例地球卫星的线性方位角运动可用以下方程表示：

其中

则

故

其中

故

2.有输入的情形

仍然首先考虑一维系统情形，

对上式两边从0到t积分得

整理上式子得

和无输入的情形一样，可以证明向量微分方程

和标量微分方程（5-149）解的形式完全类似，即状态方程（5-152）的解为

5.5.2几个典型的目标运动模型

在相互作用多模型—概率数据关联滤波算法中，航迹形成（TrackFormation）和航迹保持（TrackMaintennance）功能是这样完成的：在航迹形成阶段使用两个模型，然后使用其它模型增广以便对已探测目标的动机提供保持。航迹形成的两模型法假设将对非机动目标进行探测，于是使用的两个模型是：（1）几乎匀速的“可观测目标模型”；（2）匀速“无目标”模型。其它候选的模型用来处理目标机动，它们与航迹形成的两个模型组合以完成航迹保持功能。