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文档简介

工程力学第五章

拉伸与压缩主要内容第一节轴向拉伸与压缩的概念第二节轴力与轴力图第三节横截面上的应力第四节轴向拉压变形与胡克定律第五节轴向拉伸与压缩力学性质第六节轴力杆强度计算

第一节

轴向拉伸与压缩的概念1BC2BAABFFB简易桁架

12BACF

变形特点:变形为轴向伸长或缩短。受力特点:外力或其合力的作用线沿杆的轴线。目录原有内力F一、内力的概念+附加内力F'材料力学中研究的分布内力现有内力(外力作用下物体变形引起内力的改变量)FF+F'

第二节

轴力与轴力图附加内力F'

=材料力学中研究的分布内力材料力学中研究的内力FFFFNmm内力的作用线与杆件的轴线重合,所以称为轴向内力。(一)轴力待求的轴力均设为拉力轴力正负号规定:拉(伸)为正、压(缩)为负。轴力N,单位:N,kN截面法求内力的步骤:截取:用一个假想的截面,将杆件沿需求内力的截面处截为两部分;取其中任一部分为研究对象;代替:用内力来代替弃去部分对选取部分的作用;平衡:用静力平衡条件,根据已知外力求出内力。FFFNPNmmxx待求的轴力均设为拉力

二、截面法NPx用截面法求1-1截面上的轴力:N三、轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。轴力图是在以杆件轴线为横轴、以截面对应轴力N为纵轴的坐标系上作出的关于轴力的图形。轴力图可以反映出轴力沿杆件轴线的变化规律,是强度校核与设计的重要依据。三、轴力图轴力图的具体做法如下:(1)将杆件按外力变化情况分段,并用截面法求出各段控制截面的轴力。(2)建立一直角坐标系,其中x轴与杆的轴向方向一致,表示杆件截面的位置,N轴垂直于x轴,表示轴力大小,通常坐标原点于杆端对应。(3)根据各段轴力的大小绘出图线,标出纵标线、纵标值、正负号、图名、单位。

(1)集中外力的个数多于两个时,需要对杆进行分段,再用截面法求出各段的轴力,最后做出整个杆件的轴力图。

(2)轴力图中:横轴代表横截面位置,纵轴代表轴力大小。36正值画在横轴上方,负值画在横轴下方。标出轴力值及正负号、图名和单位。9kN3kN6kNABC22N1=6kN(拉)11N2=-3kN(压)x6

N(kN)3-3O例5-1试求图5-4(a)中所示直杆指定截面的轴力值并画出整个杆的轴力图。已知F1=20KN,已知F2=50KN,尺规比例作图,上下对齐解:(1)求C端约束反力。

画出整个杆的受力图,如图5-4(b)所示,由整个杆的平衡条件(2)计算图5-4(b)中指定截面1-1,2-2上的截面轴力。1-1截面2-2截面(3)画轴力图。

由截面法分析可知,AB段所有截面轴力与1-1截面相同,BC段所有截面轴力与2-2截面相同,故轴力图如图5-4(d)所示。第三节横截面上的应力1.应力的概念应力——内力在单位面积上的分布集度。反映了内力在横截面上分布的密集程度。与截面垂直的应力称为正应力,用σ表示。与截面相切的应力称为剪应力,用τ表示。应力的单位是:帕(Pa)、千帕(kPa)、兆帕(MPa)、吉帕(GPa)杆件①——轴力=1kN,截面积小

杆件②——轴力=1kN,截面积大两杆的危险程度程度相同吗?

杆件的强度不仅与内力的大小有关,还与杆件的横截面的面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。21kN1kN11kN1kN2.轴向拉(压)杆横截面上的正应力平面假设:变形前原为平面的横截面,变形后仍保持为平面,且垂直于杆轴线。结论:轴向拉(压)杆横截面上只有正应力,且均匀分布。结论:拉杆横截面上产生的应力为均匀分布的正应力轴向拉(压)杆横截面上的正应力计算公式为:式中:N——横截面上的轴力;

A——横截面面积。σ

的符号:正号表示拉应力;负号表示压应力。

例5-2:圆截面阶梯杆不计自重如图5-7(a)所示。设载荷F=3.14KN,粗段直径d1=20mm,细段直径d2=10mm。试求:(1)各段内力。并画轴力图。(2)各段应力。解:(1)外力分析。

画出杆的受力图,由杆的平衡平衡方程求出A端未知约束反力。(2)内力分析。(3)应力分析。练习题

铰接支架如图a示,AB杆为d=16mm的圆截面杆,BC杆为a=100mm的正方形截面杆,P=15kN,试计算各杆横截面上的应力。解:(1)计算各杆的轴力(2)计算各杆的应力BPNABNBCxy30°第四节轴向拉压的变形及胡克定律1.弹性变形和塑性变形弹性变形——材料在受到外力作用时产生变形或者尺寸的变化,卸载后能够恢复的那部分变形。

塑性变形——材料所受外力超过某极限值时,卸载后消除一部分弹性变形外,还将存在一部分未消失的那部分变形。

弹簧打铁成型第四节轴向拉压的变形及胡克定律1.变形实践表明,当拉杆沿其轴向伸长时,其横向将变细;压杆则相反,轴向缩短时,横向变粗,如图所示。∆l=l′-l∆d=d′-d当应力在弹性范围内时,应力与应变成正比。

2.纵向线应变

ε相对变形或线应变,是一个无单位的量。

3.横向线应变4.泊松比实验表明,横向应变与纵向应变之比为一常数μ----称为横向变形系数5.胡克定律——在材料的弹性范围内,与外力和杆长成正比,与横截面面积成反比,即比例系数E——称为材料的拉(压)弹性模量,它与材料的性质有关,是衡量材料抵抗变形能力的一个指标。

常用材料的弹性模量和泊松比材料名称μ低碳钢196~2160.25~0.33合金钢186~2160.24~0.33灰铸铁115~1570.23~0.27铜及其合金74~1280.31~0.42橡胶0.007850.47

例5-3:例5-2中若已知材料的弹性模量E=200GPa,AB=BC=CD=l=100mm,试计算整个杆的变形。解:杆的总变形为第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能材料的力学性质——材料在外力作用下,强度和变形方面所表现出的性能。1.材料在拉伸时的力学性能

低碳钢(C≤0.3%)拉伸实验及力学性能Oσεσeσpσsσb线弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段应力-应变(σ-ε)图σp----比例极限σe----弹性极限σs----屈服极限σb----强度极限工作段长度l试件强度指标2.低碳钢压缩时的力学性能

比例极限spy,屈服极限ssy,弹性模量Ey基本与拉伸时相同。低碳钢压缩实验:s(MPa)200400e0.10.2O低碳钢压缩应力应变曲线低碳钢拉伸应力应变曲线3.铸铁拉伸压缩时的机械性能OPDL强度极限:Pb

(1)sb—拉伸强度极限,脆性材料唯一拉伸力学性能指标。

(2)应力应变不成比例,无屈服、颈缩现象,变形很小且sb很低。轴向拉伸和压缩铸铁拉伸seOsbL灰铸铁的拉伸曲线sby灰铸铁的压缩曲线

sby>sbL,铸铁抗压性能远远大于抗拉性能,断裂面为与轴向大致成45o~55o的滑移面破坏。铸铁压缩实验1.延伸率2.断面收缩率d≥5%—塑性材料

d<5%—脆性材料塑性指标Oσε应力-应变(σ-ε)图l1----试件拉断后的长度A1----试件拉断后断口处的最小横截面面积冷作硬化现象冷作硬化在强化阶段卸载后,如重新加载曲线将沿卸载曲线上升。

如对试件预先加载,使其达到强化阶段,然后卸载;当再加载时试件的线弹性阶段将增加,而其塑性降低。----称为冷作硬化现象1.极限应力构件发生显著变形或断裂时的最大应力,称为极限应力,用表示。塑性材料以屈服极限为极限应力。即脆性材料以强度极限为极限应力。即

第六节轴力杆强度计算2.许用应力保证构件安全、正常工作所允许承受的最大应力,称为,用[σ]表示。式中:[σ]——材料的许用应力;——材料的极限应力;n——安全系数,n>1。3.轴向拉压杆的正应力强度条件为了保证构件安全可靠地工作,必须使构件的最大工作应力不超过材料的许用应力。

拉(压)杆件的强度条件为:

σmax——最大工作应力;Nmax——构件横截面上的最大轴力;

A——构件的横截面面积;[σ]——材料的许用应力。 4.强度问题(1)强度校核已知构件的材料、横截面尺寸和所受荷载,校核构件是否安全。(2)设计截面尺寸已知构件承受的荷载及所用材料,确定构件横截面尺寸。(3)确定许可荷载已知构件的材料和尺寸,可按强度条件确定构件能承受的最大荷载。

例5-6

三绞架结构如图5-19所示。A,B,C三点都是铰链连接的,两杆截面均为圆形,材料为钢,许用应力

,设B点挂货物重

。按要求解决如下三种强度问题。

1)如果AB,BC杆直径均为

,试校核此三绞架的强度。

解:(1)外力分析。

画出受力图,列平衡方程

(2)内力分析。

(3)强度校核。从以上结果可以看出,AB杆工作应力超出许用应力,而使三绞架强度不足。例5-6

三绞架结构如图5-19所示。A,B,C三点都是铰链连接的,两杆截面均为圆形,材料为钢,许用应力

,设B点挂货物重

。按要求解决如下三种强度问题。2)为了安全和经济,请重新设计两杆的直径。

解:由强度条件AB杆直径BC杆直径例5-6

三绞架结构如图5-19所示。A,B,C三点都是铰链连接的,两杆截面均为圆形,材料为钢,许用应力

,设B点挂货物重

。按要求解决如下三种强度问题。3)如果两杆只能采用20mm直径,那么此三绞架最多能挂起多重的货物?

解:根据强度条件由于受力形式没有变,由第1)题的静力学关系若使两杆都满足强度,取练习

图示简易支架的AB杆为木杆,已知P=100kN,BC杆为钢杆。木杆AB的横截面面积A1=10000mm2,许用应力[

]1=7MPa;钢杆BC的相应数据是:A2=1250mm2,[

]2=160MPa。试校核支架的强度。

(2)根据应力公式计算两杆的正应力(3)根据强度条件校核支架强度σ1=17.32Mpa>[σ],AB杆强度不足σ2=160Mpa<[σ],BC杆强度足够答:因AB杆强度不满足强度条件要求,所以支架强度不够,不安全。工程力学

第六章

剪切、挤压、扭转主

容第一节剪切和挤压、扭转的概念第二节剪切和挤压的实用计算第三节剪应变及剪切胡克定律第四节

扭转实用计算一.剪切变形的概念常见的连接零件——螺栓螺栓连接

第一节

剪切和挤压、扭转的概念一.剪切、挤压的概念常见的螺栓、螺钉螺栓连接图一.剪切、挤压的概念连接件——在构件连接处起连接作用的部件。(如:螺栓、销钉、键、铆钉、木榫接头、焊接接头等。)

螺栓连接销轴连接铆钉连接一、

剪切、挤压的概念1.受力特点外力作用线垂直于杆件轴线,两力大小相等,方向相反,作用线相距很近。2.变形特点杆件相邻截面沿两外力作用线发生错动,由矩形变为平行四边形。4.挤压:在剪切变形的同时在相互接触面很小的面积上传递着很大的压力,使接触处压溃(塑性变形或压碎)的现象。挤压只发生在接触面的表层,不像拉压与剪切那样发生在构件的内部,从严格意义上讲,挤压不属于杆件的基本变形形式,只因与剪切同时发生,3.剪切面:在承受剪切的构件中,发生相对错动的截面。二、

扭转的概念1.受力特点受到一对大小相等、方向相反、作用面垂直于轴线的力偶作用。2.变形特点反向力偶间各横截面绕轴线发生相对转动。起重机传动轴搅拌机机轴第二节

剪切、挤压和扭转的实用计算假定剪切面上的剪应力是均匀分布的。剪应力的计算式为:式中:Q——剪切面上的剪力;A——剪切面的面积。剪切强度条件:1.剪切强度条件

一、

剪切实用强度计算二、

剪切与挤压的实用计算1.挤压应力

挤压面上各点的受力称作挤压应力,由于挤压力F垂直于挤压面,所以挤压应力用符号

表示。我们把为曲面的挤压面垂直于外力方向正投影为直径面,将挤压力F平均在直径面上,如图(c)所示所得应力非常接近实际最大应力,我们把挤压面的正投影面称作实用挤压面,其面积用符号

来表示。二、

剪切与挤压的实用计算2.挤压强度条件假定挤压面上的应力是均匀分布的。挤压应力的计算式为:

挤压强度条件:式中:F为挤压面上的挤压力;为实用挤压面面积。二.剪切与挤压的实用计算3.挤压面积的计算(1)平面接触——按实际接触面积计算(2)圆柱面接触——按投影面积计算三、剪切和挤压实用实例【例6-1】两块钢板用螺栓连接,如图6-10(a)所示。每块钢板厚度t=10mm,螺栓直径d=16mm,螺栓材料的许用剪切应力[τ]=60MPa,钢板与螺栓的许用挤压应力[jy]=180MPa,已知连接过程中,每块钢板作用F=10kN的拉力。试校核螺栓的强度三、剪切和挤压实用实例【例6-1】两块钢板用螺栓连接,如图6-10(a)所示。每块钢板厚度t=10mm,螺栓直径d=16mm,螺栓材料的许用剪切应力[τ]=60MPa,钢板与螺栓的许用挤压应力[jy]=180MPa,已知连接过程中,每块钢板作用F=10kN的拉力。试校核螺栓的强度解:(1)取螺栓为研究对象,受力分析如图所示。(2)计算剪切面积与挤压面积

(3)校核剪切和挤压强度

剪切强度校核挤压强度校核故螺栓的强度满足要求。剪切面积挤压面积三、剪切和挤压实用实例【例6-2】电动机机轴与皮带轮用平键连接,如图6-11(a)所示。已知轴的直径d=70mm,键的尺寸

,轴传递的最大力矩M=1.5kN·m。平键的材料为45号钢,[

]=60MPa,

[

jy]=100MPa。试校核键的强度。三、剪切和挤压实用实例【例6-2】电动机机轴与皮带轮用平键连接,如图6-11(a)所示。已知轴的直径d=70mm,键的尺寸

,轴传递的最大力矩M=1.5kN·m。平键的材料为45号钢,[

]=60MPa,

[

jy]=100MPa。试校核键的强度。

解:(1)为计算键的受力F,取键与轴为研究对象,受力分析如图6-10(c)所示。

(2)取键为研究对象,受力如图6-10(d)、图6-10(e)所示。确定剪切面为中间水平截面,

;挤压面为左上和右下半侧面,

三、剪切和挤压实用实例【例6-2】电动机机轴与皮带轮用平键连接,如图6-11(a)所示。已知轴的直径d=70mm,键的尺寸

,轴传递的最大力矩M=1.5kN·m。平键的材料为45号钢,[

]=60MPa,

[

jy]=100MPa。试校核键的强度。(3)校核键的剪切强度(4)校核键的挤压强度故平键的剪切和挤压强度都满足要求。第三节

剪应变及剪切胡克定律1.剪应变剪切变形时,截面沿外力的方向产生相对错动,如图(a)所示,在剪切部分A点处取一边长为dx的微立方体abcd,在剪力作用下将变成平行六面体ab’cd’,如图(b)。小变形时有tanγ≈γ,故式中,γ称为相对剪切变形或剪应变。第三节

剪应变及剪切胡克定律实验证明:当剪应力不超过材料的比例极限时,剪应力与剪应变成正比。2.剪切胡克定律:G——材料的剪切弹性模量γ——

剪应变第四节

扭转实用计算由物理学可知,力偶在单位时间内所做的功,即功率P,等于力偶矩M与角速度之积。在工程中,功率常用千瓦(kw),转速常用转/分钟(rpm或r/min),所以,上式可化为第四节

扭转实用计算1.扭矩一、扭转内力内力的计算仍采用截面法。取一段简化的传动轴模型,如图所示。设两端作用的反向外力偶矩M为已知,要分析任意截面n-n内力,首先用假想截面沿n-n处截开,取其任一段(如左段)为研究对象,由力偶平衡方程求得内力偶矩习惯上称为扭矩,为了与外力偶矩区别,用符号T表示。第四节

扭转实用计算2.扭矩计算法则一、扭转内力(1)扭矩=截面一侧所有外力偶矩的代数和。(2)外力偶矩正负可用右手定则来判定:使右手四指沿外力偶矩方向,则拇指指向与截面外法线反向者为正,同向者为负。(3)扭矩的符号规定:采用右手螺旋法则,如果以右手四指表示扭矩的转向,则拇指的指向与截面外法线方向一致时,扭矩取正号;反之,拇指的指向与截面外法线方向相反时,扭矩取负号第四节

扭转实用计算3.扭矩图一、扭转内力

当轴受多个外力偶矩作用时,各段上的扭矩是各不相同的。为了表示各横截面上的扭矩沿轴线的变化情况,可用作图的办法,用横坐标代表横截面的位置,纵坐标代表各横截面上的扭矩大小,这样作出的图线称作扭矩图。第四节

扭转实用计算3.扭矩图

例6-3传动轴受力如图(a)所示。转速

,主动轮A输入功率

,从动轮B,C,D的输出功率分别为

。试作出轴的扭矩图,并确定轴的最大扭矩值。第四节

扭转实用计算3.扭矩图

例6-3传动轴受力如图(a)所示。转速

,主动轮A输入功率

,从动轮B,C,D的输出功率分别为试作出轴的扭矩图,并确定轴的最大扭矩值。解:(1)外力偶矩计算。

第四节

扭转实用计算3.扭矩图

例6-3传动轴受力如图(a)所示。转速

,主动轮A输入功率

,从动轮B,C,D的输出功率分别为试作出轴的扭矩图,并确定轴的最大扭矩值。解:(2)扭矩计算。受力简图如图(b)所示。DA段:取左侧,截面的外法线向右

AB段:仍取左侧,截面的外法线向右BC段:为计算方便可取右侧,截面的外法线向左第四节

扭转实用计算3.扭矩图

例6-3传动轴受力如图(a)所示。转速

,主动轮A输入功率

,从动轮B,C,D的输出功率分别为试作出轴的扭矩图,并确定轴的最大扭矩值。解:(3)作出扭矩图。

画出的扭矩图直观地显示出扭矩沿轴线变化情况,如图(c)所示。可以看出,最大扭矩(绝对值)存在于AB段,最大扭矩为1.扭转的平面假设——圆轴扭转变形后其横截面仍保持为平面,且形状、大小、间距都不改变,半径仍为直线。如同一个刚性圆盘绕轴线转过一个角度。试验后:圆周线的形状、大小、间距不变,各圆周线绕轴线转过一个角度。ε=0→σ=0纵向线倾斜了同一角度。原小方格变成一个平行四边形。γ≠0→τ≠0结论——圆轴扭转时横截面上没有正应力,只有垂直于半径方向

的剪应力。第四节

扭转实用计算二、圆轴扭转时的应力和强度计算结论:(1)圆轴扭转时其横截面上只有剪应力而无正应力。(2)圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比,与半径垂直。剪应力分布图第四节

扭转实用计算2.圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力第四节

扭转实用计算3.最大剪应力从剪应力分布情况来看,剪应力在横截面上的分布是不均匀的,轴心点应力最小为零,最外圆上的点应力最大。材料力学的强度问题所关心的是最大应力,最大剪应力可用剪应力计算公式求出式中,T为危险截面上的扭矩;WT为危险截面的抗扭截面模量。

第四节

扭转实用计算4.极惯性矩与抗扭截面模量极惯性矩IP是一个表示截面几何性质的几何量,定义式为

IP,只与截面的形状、尺寸有关,国际单位是

。而抗扭截面模量WT是另一个表示截面几何性质的几何量,

,国际单位是m³。第四节

扭转实用计算

(1)圆形截面

(2)圆环形截面第四节

扭转实用计算例6-4实心阶梯轴受力如图所示。已知:

1-1截面上K点

。(1)计算l-1截面上离点距离为的K点剪应力及截面最大剪应力。(2)计算2-2截面上有最大剪应力。5.计算分析第四节

扭转实用计算例6-4实心阶梯轴受力如图所示。已知:

1-1截面上K点

。(1)计算l-1截面上离点距离为的K点剪应力及截面最大剪应力。(2)计算2-2截面上有最大剪应力。5.计算分析解:(1)用剪应力公式计算1-1截面上K点剪应力用最大剪应力公式计算l-1截面最大剪应力(2)用最大剪应力公式计算2-2截面上最大剪应力第四节

扭转实用计算6.圆轴扭转强度条件为了使圆轴在工作时不被破坏,轴内的最大扭转剪应力不得超过材料的许用剪应力。第四节

扭转实用计算7.应用实例

例6-5阶梯形圆轴如图(a)所示。AC段直径

,CD段直径

。主动轮3的输入功率为

,轮1的输出功率为

,轴工作时转速

,材料的许用剪应力

。试校核轴的强度。第四节

扭转实用计算

例6-5

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