图形的相似（测试）（教师版含解析）-2023年中考一轮复习讲练测（浙江专用）

2023耳中考裁君总象引一龄济体例（新江专用，

4<28囹形的相招（泅祓J

兴微:联名，得台，

注意事项：

本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.本试卷所选题目为浙江地区中考真题、模拟

试题、阶段性测试题.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2023•宁波模拟）若三=工，则三也的值是（）

b3a-b

A.AB.-Ac.-2D.2

22

【分析】由包=工，可得。=3"，把6换成3a即可求出三也的值.

b3a-b

【解答】解：•二包=工，

b3

：.b=3a,

•a+ba+3a_?

a-ba-3a

故选：C.

2.（2022•诸暨市二模）如图，如果NBAO=NCAE,那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABCS/\AOE

的是（）

A.NB=NDB.ZC=ZAEDC.岖=些D.旭=^2.

ADBCADAE

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案.

【解答】解：；NHM）=NC4£

/ZME=NBAC,

.,.A,B,。都可判定△ABCs△HOE

选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，

故选：C.

3.（2011•永嘉县模拟）如图，D、E为△ABC边上的点，DE//BC,AD=5AB，△AQE的面积等于2,则四

3

边形DBCE的面积等于（）

C.16D.25

【分析】根据题意，先求证△AZJESZVIBC,因为相似三角形的面积比是相似比的平方，则可得出SAADE：

S^ABC的比，则△ADE的面积：四边形DBCE的面积可求；已知△4OE的面积等于2,则四边形D8CE

的面积可求.

【解答】ft?：'.,DE//BC,

■：AD：AB=\-.3,相似三角形的面积比是相似比的平方，

•'.SA/IDE：SAABC=1：9,

.♦.△AOE的面积：四边形力8CE的面积=1：8,

又•••△«）£的面积等于2,

四边形DBCE的面积等于16.

故选：C.

4.（2021•滨江区校级三模）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE〃BC,点、F在BC边上,连

接AF交OE于点G,则下列结论中一定正确的是（）

AADAEBAG—AEQBDCEpAG—CE

'ABEC'GFBD-ADAE'AFAB

【分析】由OE〃8C,结合平行线分线段成比例可得结论.

【解答】解：在△ABC中，DE//BC,

.AD=_^AG=AEBD=CEAG=AE=AD

"ABAC*GFEC"ADAE'CGACAB"

••.C选项符合题意.

故选：C.

5.（2023•宁波模拟）如图，在RtZVlBC中，ZC=90°,过点。作CO,AB于点。，点M为线段AB的中

点，连结CM,过点。作。ELCM于点E.设D4=a,DB=b,则图中可以表示&目的线段是（）

a+b

A.MCB.CEC.DED.ME

【分析】证明△ACCs△&?£）,根据相似三角形的性质得型普_,则CD2=ah,再证明

BDCD

可得出型WL则ca=CM・CE=ab,由点M为线段AB的中点得CM=2AB=3也，即可得出CE

CECD

a+b

【解答】解：;["AB,

AZADC=ZCDB=90°,

VZACB=90Q,

AZA+ZB=ZBCD+ZB=90Q,

:.N4=N8CO,

:.AACDs^CBD,

•・C•D=—AD一>

BDCD

：.CD2=AD-BD=ah,

同理得△MCDs/xocE,

•CDCM

"CE=CD，

：.CD2^CM'CE=ab,

;点M为线段A8的中点，

：.CM=^AB=^-,

22

.•”=也=2ab.

CMa+b

故选：B.

6.（2023•宁波模拟）矩形相邻的两边长分别为25和x（xV25）,把它按如图所示的方式分割成五个全等的

小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（）

【分析】根据相似多边形的性质得出比例式，即可得到答案.

【解答】解：；原矩形的长为25,宽为尤，

小矩形的长为x,宽为空=5,

5

；小矩形与原矩形相似，

••x••^―^―5二,

25x

解得：x=5粕或-5代（舍去），

故选：B.

7.（2022•鹿城区校级三模）如图，正方形A8C。由四个全等的直角三角形拼接而成，连结交OE于点

M.若迪」，则理的值为（）

AE2MF

9273

【分析】延长CB,DE,交于点M设A4=l,AE=2,依据△AOEs/X&VE,即可得出BN=1.5；再根

据ADHMsANFM,即可得到却1的值.

FM

【解答】解：如图所示，延长C8,DE,交于点N,设AH=1,AE=2,

..•正方形A8CO由四个全等的直角三角形拼接而成，

BE=1,DH=BF=2,

'."AD//BN,

：./\ADE^/\BNE,

•AD-AE即3—2

"BNBE''BN-T

，BN=1.5,

■；DH//NF,

:./XDHMs丛NFM,

.HM_DH=2=4

"FMNF3757

故选：c.

8.(2022•鹿城区校级模拟)如图，两个大小不等的正方形被切割成5部分，且②与⑤的面积之差为8,将

这5部分拼接成一个大正方形ABCD,连接AC交OF于点E,若理1，则大正方形ABC。的面积为

EF3

()

A.18B.25C.32D.50

【分析】如图，根据拼图性质，结合两个图之间的边角关系，利用正方形的性质、相似三角形的判定与

性质得到红二，设GT=4x,用x表示出图形②和⑤的面积，再由②-⑤=8求得x值，即可得GJ,

K.T3

KJ,再根据正方形的面积公式求解即可.

【解答】解：如图，

D

•.•西边形ABC。是正方形，

：.AD//BC,

：.2ADEs丛CEF,

.AE_AD_DE_4

'五F百万’

'CAMLDM,CNLNF,

:.NAME=NCNE=90°,又乙AEM=NCEN,

：.MAMEsXCNE,

.AM_AE_4

"CN"CE

\"AM=HI=GT,CN=KJ,

.•包工

K.T3

设G7=4x,则KJ=3x=Q/=/J,HI=QT=4x,

：.HQ=HI-。/=4x-3x=x,

'.,RQ//JI,

:AHQRS/XHIL

•QR_HQgpQR___x

‘亍元，、豆W，

•3

,,QRqx，

.'.S@=S^HQTG-SAH£>/?=-^-(X+4X),4x—^-X-^-x=-^-X2,Sg)=_l_(yT£+3x),3x=-^-x2,

■:S②~S⑤=8,

・7724520

••瓦X-X=8'

解得f=2,

x=V2(负值舍去)，

，GT=4&,K.T=3V2,

2

■,■S正方彩ABCD=S正方修GPQ7+S正方形KQ77=（4点）+（&近）2=50,

故选：D.

9.（2022•吴兴区校级二模）如图，在菱形ABC。中，对角线AC与BQ相交于点E,NBAD=60°,AB=

1.按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与的两边分别交于M、N两点；②

分别以点M、N为圆心，大于」MN长为半径画弧，两弧相交于点P；③过B,P两点作射线BP,分别

2

A.AF=DFB.BFVBCC.AG：GC=1：3D.AD2=AG,AC

【分析】由菱形的性质可得48=AD=8C,NH4c=30°=NBCA,由等边三角形的性质可证AF=D凡

BF1AD,NA"=30°,BF1BC,通过证明△A8GS/\AC8,可得胆BPAD2^AC'AG,即可求

AGAB

解.

【解答】解：由题意可得：B尸平分

•四边形A8CO是菱形，ZBAD=60",

：.AB=AD=BC,ZBAC=30°=ZBCA,

AABD是等边二角形，

又产平分NA8D,

：.AF=DF,BFLAD,ZABF=30°,故选项A不符合题意,

'：AD//BC,

：.BF±BC,故选项8不符合题意，

VZABF=ZACB=30°,NBAC=NBAG,

△ABGS/\ACB,

•ABAC

"AG"AB'

2

：.AB=A^AGf

.\AD2=AC*AG,故选项D不符合题意；

VZABF=ZACB=30°=ZBAC,BFLBC,

:・AG=BG,GC=2BG,

/MG：GC=1：2,故选项C符合题意，

故选：C.

10.（2022•金华模拟）如图，在矩形A8CO中，DE=3AEf8E_LAC于点R连接OF.分析下列四个结论:

①△C4B；

@CF=3AF；

③S&CDF=SACBF；

④若8c=4,则tanNAC8=2.

2

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

【分析】①正确，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.

②错误，应该是CF=4AF.

③正确，证明5ACW=25AADC,SACBF=—SAACB,ffiHjS^CDF=S^CBF,可得结论.

55

④正确，设AF=/M,CF=4m,利用相似三角形的性质求出BF=2,”，可得结论.

【解答】解：；四边形A8CZ）是矩形，

J.AD//BC,AD^BC,ZABC=90°,

AZEAF=ZACB,

'：AC±BE,

：.ZAFE^ZABC=90Q,

：./\AEF^^CAB,故①正确，

'：DE=3,AE,

•AE=AF=j.

"BCCFI

：.CF=4AF,故②错误，

；四边形A8CD是矩形，

:.S/\ADC=SMBC,

VCF=AAC,

5

S^CDI'——S^ADC,S&CBF=—SAACB,

55

SACDF=S%CBF，故③正确，

设AF=m,CF=4优，

VZABF+ZBAC=90°,NB4C+N产CB=90°,

NABF=/BCF,

・；NBFA=NCFB=90°,

:・2BFAs/\cFB,

•.•一B.F一_AF，,

CFBF

BF=2m,

.'.tan/AC8=^>=^Sl=」，故④正确.

CF4m2

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（2023•宁波模拟）如图，AB//CD//EF,直线八、/2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点8、D、

F.己知AC=3,CE=5,DF=4,则8力的长为_卫_.

【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到旦=股，然后利用比例性质得到8。的长.

54

【解答】解：•：AB//CD//EF,

•AC_BD即3=BD

"CE-DF''亏一丁

解得80=超.

5

故答案为：12

5

12.（2022•北仑区校级三模）在矩形ABCD中，AB=6,AD=S,G为CD上一点,连结AG交于点E,

若AB=AE,NABE=NEFC,则的长度为强.

一25一

A_一D

m

BFC

【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得80=10,然后证明可得迪.=也理，然后

BEBF

根据等腰三角形的判定和性质证明GD=GE,根据勾股定理得AG2=">2+DG2,解得GD=Z,再由A8

3

//DG,可得△48ES/\GOE,所以姻■=至，即《■=_BE_,可得BE=3且,进而可以求出8尸的长.

DGDEL10-BE5

3

【解答】解：在矩形A8C。中，

\"AB=6,AO=8,

B/）=:22

•'1VAB+AD=I。，

'：AB=AE,

：.NABE=ZAEB,

'：NABE=ZEFC,

：.ZAEB=ZEFC,

：.NAED=NEFB,

；四边形ABC。是矩形，

.'.AD//BC,

：.NADE=NEBF,

:.△ADEs^EBF,

•AD=DE

"BEBF'

•.•一A一D.一_10-一B一E一,

BEBF

,CAB//DC,

：./ABE=NEDG,

NABE=ZAEB,

：.4EDG=ZAEB,

；NDEG=NAEB,

：.NEDG=NDEG,

：.GD=GE,

在RtZVIOG中，40=8,AG=AE+GE=6+G£),

根据勾股定理得：AG2=AD2+DG2,

：.(6+GD)2=82+GD2,

解得GD=工，

3

'：AB//DG,

：.4ABEs丛GDE,

•AB=BE

"DGDE'

.:一BE

"L10-BE'

3

5

••AD=10-BE

'BEBF

36BF

5

25

故答案为：63.

25

13.（2022•嘉兴二模）如图，在△4BC中，40为/C4B的平分线，DE//AB,若DE=3,CE=4,则AB的

值今

【分析】由角平分线的性质得出/8AD=N£A。，由平行线的性质得出NEDA=N8AD,进而得出NE4。

=ZEDA,得出£4=EO=3,由。七〃A3,证明△CE£>S/\C4B,由相似三角形的性质即可求出A3的长

度.

【解答】解：・・・4D为NCAB的平分线，

：.ZBAD=ZEADf

9：DE//AB,

：.ZEDA=ZBAD,

：.ZEAD=ZEDAf

：・EA=ED,

VDE=3,

・・・E4=3,

,:DE〃AB,

:・/CED=/CAB,NCDE=NCBA,

：./^CED^^CAB9

・・・豆屈，

"CA'AB，

VDE=3tCE=4,E4=3,

/.CA=CE+EA=4+3=7,

.43

7AB

."3=21,

4

故答案为：21

4

14.（2022•瑞安市校级三模）如图，已知平行四边形ABC。的面积为24,以8为位似中心，作平行四边形

ABC。的位似图形平行四边形EBFG,位似图形与原图形的位似比为2,连接AG、DG.则△AOG的面

3

积为4.

DC

3

AEB

【分析】延长EG交CD于点H,由题意可得四边形AEHD是平行四边形,则可得此平行四边形的面积

为8,从而可得AAOG的面积.

【解答】解：延长EG交CD于点、H,如图，

1/四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，

J.AB//CD,AD//BC-,BF//EG,

：.AD//EG,

四边形是平行四边形，

"S/kADG平行四边形AEHD，

..•位似图形与原图形的位似比为2,

3

O

BE-fAB，

即AE[AB，

.1

…S平行四边形AEHD=，S平行四边形皿⑪二冬

・11

,・SAADG革S平行四边形AEHD=^X8=4,

故答案为：4.

DH________C

q

ARR

15.（2022•奉化区二模）如图，菱形4BCC的对角线AC、8。交于点。，且AC=6,80=8.过。的直线

EF交BC于E,交于F.,把四边形CDFE沿着EF折叠得到四边形CEFD,C。，交AC于点G.当

CZ7〃B£＞时，之_色的值为A-,8E的长为20.

D'G-16一—13一

D'

【分析】连接OC',OD',根据轴对称的性质可得。C'=OC,OD'=OD,利用等面积法可得出OG

的长，再根据勾股定理可分别求得C'G和G,进而可得出结论；连接。。，CC,过点。作。M_L

BD,则四边形GOM。是矩形，勾股定理求得0nCC,设BE=x,则EC=5-x,根据对称可知尸。=

BE=x,根据△FDOS/XECC',由相似三角形的性质列出方程，即可求解.

【解答】解：如图，连接。C',0D',

在菱形ABC。中，AC=6,BD=8,

.'.OA=OC=3,08=00=4,ELACA.BD,

菱形的边长为5.

■:CD://BD,

：.C'D'LAC,

由折叠可知，OC=0C=3,OD'=。。=4,/C'OD'=ZCOD=90°,

.0G=0C，加=12

C'D'"5~'

由勾股定理可知，CG=2,D/G=」总，

55

•C'G=9.

"DzG16'

如图，连接DD，CC,过点。作。则四边形GOM。,是矩形,

.♦.£)M=OG=gMG=OO=4,

5

.•.QM=GM-£>G=4-曲=生

55

：.D'

5

'：C'6=2,CG=0C+0G=3+超=2

555

.cc_g而

"~~5~，

：.CC：DD'=9：4.

设BE=x,则CE=C'E=10-x,

由菱形的对称性可知，DF=BE=x,且△<?(?'E^/\DD'F,

.♦.EC：DF=CC'：DD1=4：9,即(5-x)：x=4：9,

解得

13

故答案为：J_；20.

1613

16.（2022•乐清市一模）如图1为某智能洗拖一体扫地机，它正常工作及待机充电时的示意图如图2所示,

四边形ABC。为它的手柄，OE为支撑杆，OM为拖把支架，且点O始终在AB的延长线上，当待机时,

BC//OM,已知AB=18cro,BC=\5cm,ZABC=ZC=9Q°,AD+CD=21cm,则CD=10cm：OE

绕点。逆时针旋转一定角度，机器开始工作，当。:C,M在同一直线上时，点A,B分别绕。点旋转

到点A',8',且高度分别下降了21.6C»7和18c〃?，则此时点。'到OM距离为89cm.

A

【分析】过点D作DF±ABTF,则四边形8C。尸是矩形，得DF=BC=\5cm,8尸=6,设CD=xcm,

则AF=AB-BF=AB-CD=(18-x)cm,因为AD+CD=21cm,则AD=(27-x)cm,在RtAAFD中，

由勾股定理，(18-x)+15=(27-x),求解即可求得CD长，再过点交MO延长线于尸，

点B'作B'N1.OM交MO延长线于M点。作。'G1.OM交延长线于G,点。作于”，

利用Ai_^=sinNA'0P=sin/8‘ON=P.'」L可求出O8=90cm,证四边形8'C，。是矩形，得CH

OA'0B

=OB'=90cm,OH=B'C'=\5cm,因为C'M//OB,,则所以堕=sinNOM，=sin

OM

NNOB'=巨龙，求得0”=」殳，在RtAOHM中，由勾股定理可求出A/b=生，则MD'=MH+C

OB'44

H+D1C•，在Rt^GMO中，由^l_^=sinNGM3'=sinNN08'=＞，",即=,

4DzMOB'44590

4

则可求出力'G.

【解答】解：如图，过点。作OFLA8于F,

：.ZBFD=ZAFD=90°,

VZABC=ZC=W°,

四边形8co尸是矩形,

：.DF=BC=\5cm,BF=CD,

设CD=xcm,则AF=AB-BF=AB-CD=(18-x)cm,

'：AD+CD=21cm,

：.AD=(27-x)an,

在RlZXAFZ)中，由勾股定理，(18-x)2+152=(27-X)2,

解得x=10,即CD的长为10cm.

如图，过点A作交M。延长线于P,点8'作"N_LOM交MO延长线于N,点。,作£TGJ_

OM交MO延长线于G,点O作OH_LCM于H,

设OB—ycm,

由旋转可得，OB=OB'=ycm.A'B'=AB=\Scm,B'C=BC=\5cm,CD'=CD=l0cm,

由题意，得A'P=AB+OB-21.6=18+j-21.6=(y-3.6)cm,B'N=(y-18)cm,

VALL=sinZsinZB;ON=^J1,即厂'=

0A'OB18%y

解得y=90,BPOB'=OB=90cm,

VOHLCM,

：.ZOHC'=NOMW=90°,

■:CM//OB',

：.ZB'OH=90°,

VZCZB10=90°,

四边形8'C"0是矩形，

:.CH=OB'=90c〃i,OH=B'C'=15c，〃，

"：C'M//OB',

：.NOMH=NNOB',

=sinZOMH=sinZNOB'=__—•

OMOB'

•15-90-18

OM90

：.0M=—.

4

在RtZXOHM中，由勾股定理得，加〃=｛（聋）2_]52=叠，

；.MD'=MH+C'H+D'C=坐"

4

在RtZ\GMQ中，由^（1_1=S抽/6知£>'=$山2%08'=&N,

D'MOB'

刖90~18

1445

4

：.D'G=89cvn.即点£>'到。例的距离为89cm.

故答案为：10；89.

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（2023•宁波模拟）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸。点3.2米远的B点，立

一根长为1.6米的标杆AB,在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF,电线杆的顶端M在河里的

倒影为点N,即PM=PN,两岸均高出水平面0.75米，即。E=FP=0.75米，经测量此时A、D、N三点

在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、。、F共线，若AB、DE、均垂直于河面EP,求河

宽EP是多少米？

【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H,由求得再由求得

OP,便可解决问题，

【解答】解：延长A5交EP的反向延长线于点H,

：.BH=DE=0.15,BD//EH,

1.6+0.75=2.35,

BD//OH,

•.△AB""//。，

.BD=AB

'HOAH'

.3.2=1.6

2.35'

•.HO=4.7,

:PM=PN,MF=4.5米，FP=0.75米,

•.PN=MF+FP=5.25米，

：AHLEP,PNLEP,

,.AH//PN,

,.△AHOS^NPO,

,NPP0,

-2.35=4.7

*5.25-Per'

•.尸0=10.5,

\PE=PO+OE=\0.5+(4.7-3.2)=12,

答：河宽EP是12米.

18.(2022•椒江区校级二模)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在

格点上.

(1)以O为位似中心，在点。的同侧作△4为。，使得它与原三角形的位似比为1：2：

(2)将△ABC绕点。顺时针旋转90°得到△42B2c2,作出282c2,并求出点C旋转的路径的长.

【分析】(I)连接A。，CO,8。找到A。，CO,8。的中点，顺次连接即可得出△481。；

（2）将对应点A,B,C分别绕。顺时针旋转90°,找到对应点连接即可，再利用弧长公式求出点C旋

转的路径的长.

⑵如图所示：QC=V42+42=W2）

二点C运动的路径为弧=2近兀-

19.（2022•永嘉县三模）如图，在矩形A8CQ中，E,尸分别是8C,C。的中点，AE,BF交于点P.

（1）求证：AP=4PE.

（2）若/BPE=NBFD,且40=8,求四边形尸FCE的面积.

【分析】（1）取6F的中点G,连接EG,然后利用三角形的中位线定理可得FC=2GE,再根据矩形的性

质可得/ABE=90°,AB//CD,AD=BC,AB=CD,从而可得EG〃AB,再根据线段中点的定义可得AB

=CD=2CF,最后证明8字模型相似三角形△ABPs/XEGP,从而利用相似三角形的性质，进行计算即

可解答：

（2）根据等角的补角相等可得/1=/2,从而可得/1=/3,进而可得A8=AP=4PE,然后设PE=”，

则48=4尸=4”，AE=5a,由勾股定理得8E=3m从而求出“的值，进而求出乌■，再求出必

3

BCF——r最后利用等式的性质可得S四边彩PFCE=S"BP,即可解答.

3

【解答】（1）证明：如图：取BF的中点G,连接EG,

・・,£是BC的中点,

・・・EG是△BC/的中位线，

：.EG//CDfFC=2GE,

•・•四边形A3CO是矩形，

ZABE=90°,AB//CD,AD=BC,AB=CD,

：.EG//AB,

・・•尸是。的中点,

：.CD=2CF,

:.AB=CD=2FC=4GE,

■:EG//AB、

：.NBAE=ZAEG,/ABP=NBGE,

：.△ABPs^EGP,

.EP=EG=-lt

*,APABT

：.AP=4PE^

（2）解：Y/BPE=/BFD,ZBFD+Z2=180°,ZBPE+Z1=180°,

.\Z1=Z2,

AB//CD.

AZ3=Z2,

AZ1=Z3,

：.AB=AP=4PE,

设PE=m则A8=AP=4mAE=AP+PE=5a,

在中，由勾股定理得：

B£=VAE2-AB2=n（5a）2-（4a）2=3m

,・,点E是BC的中点，

：.BC=2BE=6a,

：.AD=BC=2BE=6a,

••6a=8»

a=l,

a3

.,ABXBE4ax3a32

•.bAABE=~2~=~2~弋2aF

是CO的中点，

.-.CF^-LcD=2a,

2

S&BCF='nt='a"2a=6a2_*.

223

；・S〉ABE=SABCF,

S^ABE=-SABPE=S^BCF-SdBPE,

•**S四边形PFCE=S4ABP，

f

：AP=4PEf

.4128

*,S四边形FFCE=SAABP下SAABE下"

...四边形PFCE的面积为工空.

15

20.（2022•景宁县模拟）如图，在菱形ABCD中，点P为对角线AC上的动点，连结OP,将力P绕点。按

逆时针方向旋转至。Q，使NQDP=NCD4,PQ与CD交于点,E.

（1）求证：XPECs△DPA”,

（2）已知AO=5,AC=8,

①当。P_LAQ时，求△2£：（?的面积；

②连结C。，当△EQC为直角三角形时，求AP的长.

【分析】（1）推导出/EPC=/AOP,ZDAC^ZDCA,即可证明三角形相似;

(2)①连接8。交AC于点。，证明△AOPS&4。。，利用对应边成比例求出力「=生，”=至，则

44

CP=Z,再由(1)知，APECs"DPA,求出相似比FC=_Z_,根据相似比的平方等于面积比，求出S

4DA20

△A£>P=—，即可求S&PCE—:

8128

②证明△AOP丝△OQC(SAS),可知CQ是NACQ的角平分线，分两种情况讨论：当NQEC=90°时，

△PCQ是等腰三角形，AP=PC=4当NEQC=90°时，过点。作。H_LA8交于”点，利用等积法求出

。〃=建，则AH=工，可求COS/OAB=^=-L,再由/OA8=2NOAC,/QCP=2NOC4,得到方

55AD25

程工=_研_,求出AP=Z即可.

258-AP4

【解答】(1)证明：由旋转可知，DP=DQ,

:.NDPQ=NQ,

；四边形A8CO是菱形，

：.AD=CD,

：.ZDAC^ZDCA,

'：ZQDP=ZCDA,

：.ZADP=ZQDE,ZDQP=ZDPQ=ZDAC=ZDCA,

■:NDEQ=NCEP,

:./EPC=NQDE,

：.ZEPC=ZADP,

:.△PECSXDPA；

(2)解：①连接8。交AC于点O,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AO=OC,ZAOD=90",

,：AD1.DP,

：.ZADP=90°,

:./\ADPsS,

•.(■A-D―-_-DP--_--A^―Pf

AOODAD

VAC=8,

・・・OA=4,

：AD=5,

\D0=3,

.5=DP=AP

'7T"s'

\DP=^-,AP=至，

44

,.CP=8-至=工，

44

:△PECS^DA；

.PC=J_

,DA20'

/SMDP=­x—X5=75,

248

@'：DQ=DP,CD=AD,NQDC=NADP,

：./\ADP^^DQC(SAS),

：.ZQCD=ZDAP,CQ=AP,

：.ZQCD=ZACD,

.♦.CD是NAC。的角平分线，

当/QEC=90°时，△PC。是等腰三角形，

：.CQ=CP,

：.AP=PC=4；

当NEQC=90°时，过点。作交于”点,

'：AO=4,D0=3,

.0H=BD・AO=6X4=24

AB5V

：.AH=L,

5

cosND48=&l=-Z_,

AD25

'：ZDAB^2ZDAC,NQCP=22DCA,

.7=CQ=AP

',25PC8-AP'

.'.AP=—；

4

综上所述：AP的长为4或1.

21.（2022•拱塞区校级二模）如图.已知2。是NA8C的角平分线，E是BO延长线上的一点且AE=AB.

（1）求证：AADEsACDB；

（2）若AB=6,BD=4,DE=5,求BC的长.

【分析】（1）8力是角平分线可得AE=A8可得NE,从而NCDB=/E,再利

用对顶角相等可得NC7）8=NADE,根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论：

（2）由（1）中的结论，利用相似三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求8c.

【解答】（1）证明：•••80是△ABC的角平分线，

NABD=NCBD.

'：AB=AE,

：.NABD=NE.

：.ZE^ZCBD.

'：ZEDA=ZBDC,

△ADEsMDB,

(2)解：'：AE=AB,AB=6,

，4E=6.

■:AADESACDB,

.AE=DE

"BCBD'

；BD=4,DE=5,

._6_=_5

"BC了

.•.8C=建.

5

22.(2022•余姚市模拟)【基础巩固】

(1)如图1,在△ABC中，AB=AC,N8AC=90°,点。为CB延长线上一点，连结A。，将线段AO

绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连结CE.求证：△A8Z)四△ACE；

【尝试应用】

(2)如图2,在(1)的条件下，连接。E,若AE交OC于点F,已知FC=3,tanZADC^)求线段

4

OE的长；

【拓展提高］

(3)如图3,在正方形A8C。中，点E是对角线C4延长线上的一点,连结。E,过。点作。E的垂线

交AC于尸点，交BC于G点,若GC=J5,AE=3,求AF的长.

【分析】(1)根据旋转的性质得到ZDAE=90°,得到/D4B=NE4C,进而证明△AOB-A

AEC-,

(2)根据正切的定义求出CE,根据勾股定理求出EF,再根据正切的定义计算，得到答案；

(3)延长OG至例，使DW=QE,连接CM,连接8。交AC于N,根据△CMGsaBOG,求出A。、

AC,根据△CFGS/XAF/),求出AF.

【解答】(1)证明：由旋转的性质可知，AD=AE,ND4E=90°,

：.ZDAE^ZBAC,

：.ZDAE-NBAE=NBAC-ABAE,即ND4B=NE4C,

在△AOB和△AEC中，

'AD=AE

<ZDAB=ZEAC)

AB=AC

.♦.△AOBdAEC(SAS)；

(2)解：由(1)可知，/XADB^^AEC,

/AEC=ZADB,

,：tanZADC=—,

4

；.tan/FEC=^=3,