3.1 勾股定理 苏科版数学八年级上册同步测试题(含答案)

2023-2024学年苏科版八年级数学上册《3.1勾股定理》同步测试题（附答案）一、单选题（满分32分）1．已知直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．72．下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，1，2 B．2，3，4 C．6，8，10 D．6，6，63．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长为（

）

A．4 B．5 C．6 D．74．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，作边AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E，且AB=8，BC=6，则△BEC的周长是（

A．14 B．16 C．18 D．225．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，则图中阴影部分的正方形的面积为（

）

A．4 B．8 C．16 D．256．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（

）A．x2=(x+4)C．x2=47．如图，在△ABC中CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=3，則CE

A．36 B．24 C．9 D．68．已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则CE的长是（

）

A．54 B．74 C．154二、填空题（满分32分）9．在Rt△ABC中，斜边BC=3．则AB210．如图，BC⊥AB，CD⊥AC，且AB=4，BC=3，CD=12，则线段AD的长为．

11．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则另一边BC=，面积为，AB边上的高为．12．如图，四边形ABCD中，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则△ABC的面积为．

13．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为5，7，20，则正方形B的面积是．

14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，AC=13cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于

15．如图，在长方形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．16．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则

三、解答题（满分56分）17．如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．

18．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米），感应门自动打开，AD为多少米？

19．如图，△ABC与△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．

(1)求证：△BCD≌△ACE；(2)若BD=4，BA=7，求DE的长．20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t秒（

(1)若点P在BC上，且满足PA=PB，求此时t的值；(2)若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值：(3)在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．21．公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论称之为“勾股定理”．

(1)如图1，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作BC⊥l，过点D作DE⊥l，垂足分别为C,E，设AC=b,BC=a,AB=c，请结合此图证明勾股定理．(2)如图2，朵朵同学把四个直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OC=6，求这个图案的面积．22．问题探究（1）如图1，M，N分别是正方形ABCD的边BC，CD上的动点，∠MAN=45°，DN=2，BM=3，求MN的长．

深入探究（2）若把（1）中的条件改为5DN=CD=5，∠DAM=∠AMN，求MN的长．类比探究（3）在（2）的条件下，如图2，当点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD的延长线上时，请直接写出MN的长度．参考答案1．解：由勾股定理得：斜边长为：32+故选：B．2．解：A、12B、22C、62D、62故选：C．3．解：∵BC=6，D是BC的中点，∴BD=CD=1∵AB=AC=5，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD=故选：A．4．解：在Rt△ABC中，AB=8，BC=6AC=∵DE是AB的垂直平分线∴EA=EB，∴△BEC的周长为BE+EC+CB=AE+EC+CB=AC+CB=10+6=16,故选：B．5．解：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴AC=5∴4×4=16，所以图中阴影部分的正方形的面积为16，故选：C．6．解：设门对角线长为x尺，根据勾股定理可得：x2故选：B．7．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB∴∠ECF=1∴△EFC为直角三角形，∵EF∥∴∠BCE=∠CEM，∠DCF=∠CFM，∴∠ACE=∠CEM，∠DCF=∠ACF，∴CM=EM=MF=3，∴EF=EM+MF=6，由勾股定理可知CE故选：A．8．解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8-x，∵在Rt△BCE中，C即8-x2解得，x=7∴CE=7故选：B9．解：∵Rt△ABC中，斜边BC=3∴AB∴AB故答案为：18．10．解：∵BC⊥AB，AB=4，BC=3，∴在Rt△ABC中，∵CD⊥AC，CD=12，∴在Rt△ACD中，故答案为：13．11．解：如图所示，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC=AB2设AB上的高为h，则根据面积可得：S△ABC∴h=12故答案为：4，6，12512．解：过点A作AE⊥BD交BD于点E，如图，∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥∴S∵AB=AD=5，∴△ABD是等腰三角形，∴BE=1∴AE=A∴S∴S故答案为：12．13．解：由题意：S正方形∴S∵正方形A、C、D的面积依次为5、7、20，∴S正方形∴S正方形故答案为：8．14．解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，由勾股定理，得BC=A由翻折的性质，得CE=AE．△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=5+12=17(cm)故答案为：17．15．解：在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，由折叠的性质可得：DF=DC=AB=10，∴AF=DF2-A∴BF=AB-AF=10-8=2，设CE=x，则：EF=CE=x，BE=BC-CE=6-x，在Rt△BEF22解得：x=103∴CE=103故答案为：10316．解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP=CP，BD=12BC=由勾股定理，得AD=A如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．

∵S∴BQ=BC⋅AD即PC+PQ的最小值是245故答案为：24517．解：如图所述，过点A作AD⊥BC的延长于点D，过点C作CE⊥AB于点E，

∵△ABC是格点图形，每个小正方形的边长为单位1，∴AD=3，BC=3，BD=4，∴在Rt△ABD中，AB=∵S△ABC∴CE=BC·AD∴△ABC中AB边上的高为9518．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=答：AD为2.5米．

19．（1）证明：∵△ABC与△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．∴BC=AC,CD=CE，∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACESAS（2）∵BD=4，BA=7，∴AD=AB-BD=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°．∴∠CBD=∠CAB=45°,∵△BCD≌△ACE，∴∠CBD=∠CAE=45°，BD=AE=4，∴∠DAE=∠CAB+∠CAE=45°+45°=90°，在Rt△DAE中，DE=即DE的长为5．20．（1）解：如图，设PB=PA=xcm，则PC=

∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4∴AC=A在Rt△ACP中，由勾股定理得A∴3解得x=25∴BP=25∴t=AB+BP（2）解：如图所示，当点P在AC上时，过P作PD⊥AB于D，

∵BP平分∠ABC，∠C=90°，PD⊥AB∴PD=PC，∠DBP=∠CBP，在△BCP与△BDP中，∠BDP=∠BCP∠DBP=∠CBP∴△BDP≌△BCP∴BC=BD=4cm∴AD=5-4=1cm设PD=PC=ycm，则AP=在Rt△ADP中，由勾股定理得A∴1解得y=4∴CP=4∴t=AB+BC+CP当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t=AB综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为316或5（3）解：分四种情况：①如图，当P在AB上且AP=CP时，

∴∠A=∠ACP，∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，∴∠B=∠BCP，∴CP=BP=AP，∴P是AB的中点，即AP=1∴t=AP②如图，当P在AB上且AP=CA=3cm

∴t=AP③如图，当P在AB上且AC=PC时，过C作CD⊥AB于D，∵S△ABC∴CD=AC⋅BC

在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=∴AP=2AD=18∴t=AP④如图，当P在BC上且AC=PC=3cm时，则BP=4-3=1

∴t=AB+BP综上所述，当t的值为54或32或95或321．（1）证明：由已知，得AD=AB，∠BAD=90°，∠BAC+∠DAE=90°．又∵BC⊥l，DE⊥l，∴∠BCA=∠DEA=90°，∠BAC+∠ABC=90°，∴∠DAE=∠ABC，∴Rt∴BC=AE=a，AC=DE=b∴S又∵S∴1∴a（2）∵图形的周长为48，由图可知4AB+AC∴AB+AC=12．由图可知OB=OC=6，在Rt△OAB中，O即62解得AC=2，∴OA=8，∴图案的面积S=4S22．解：（1）如图，延长CD至点B1，使DB

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，在△ABM和△ADB1中∴△ABM≌△ADB∴AM=AB又∵∠MAN=45°，∴∠NAB∴∠MAN=∠NAB在△AMN和△AB1N∴△AMN≌△AB∴MN=B（2）如图，过点A作AP⊥MN于点P，则∠APM=∠APN=90°．

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAM=∠AMB．又∵∠DAM=∠AMN，∴∠AMB=∠AMN．在△ABM和△APM中，AM=AM∠B=∠APM=90°∴△ABM≌△APM(AAS∴AB=AP，在Rt△APN和Rt△ADN中，∴Rt△APN≌∴PN=DN．∵5DN=CD=5，∴PN=DN=1，设BM=MP=x，则MN=x+1，在Rt△MCN中，由勾股定理得M∴(5-x