易错点07 数列-2023年高考数学考试易错题（解析版）（全国通用）

易错点07数列

易错分析

易错点1：已知数列｛an｝的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨

论的应用，特别是在利用a产Sn-Sn-1进行转化时，要注意分n=1和n22两种

情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n=1是否也适合an.口

易错点2已知数列｛aQ的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论

的应用，特别是在利用2*5广5”1进行转化时，要注意分n=1和nN2两种情

况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n=1是否也适合an.口

易错点3:用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项

易错点4:利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对

应项的幕指数会发生变化，为避免出错，应将相同幕指数的项对齐，这样有一

个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项

和最后一项外，剩下的n-1项是一个等比数列.

易错点5:含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.

易错点6:数列中的最值错误。

数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观

点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n

为正整数，但对于n取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函

数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。

错题纠正

1.已知等比数歹八对｝的公比"二一§,贝|的+%等于（）

」1

A.3B.3C.3D.-3

【答案】D

【详解】解：因为等比数列｛“"｝的公比"=一§,

=1=3

所以。2+%+q

故选:D

2.已知等差数列｛“"｝的前〃项和为S”，若儿=11°,跖。=1°,则无。=（）

A.-10B.-20C.-120D.-110

【答案】C

+。”0）

S_12°(q+a.。)_120(即+%|0)

%+卬0=-2,贝I」“3——

故选:C

3.已知等比数列包｝的前“项和为S"=3"+a（〃eN*）,则实数“的值是（）

A.-3

【答案】C

【详解】等比数列也｝的前〃项和为S"=3"+a(〃eN')

当〃=1时,可得3'+a=q=S,可得q=3+a,

当〃22吐邑-1=3"-'+°,则勺=5“-$“_|=3"+"(3"'+<2)=2.3"1

所以〃2=2,32T=6,〃3=2•33T=18

因为｛“"｝为等比数列，

解得“=-1,经检验符合题意.

故选:C.

4.（多选）已知S，为数列的前〃项之和，且满足4S””「+2q

,则下列说法正确的是（）

A.｛%｝为等差数列B.若口｝为等差数列，则公差为2

c｛"“｝可能为等比数列D.的最小值为0,最大值为20

【答案】BCD

【详解】当〃=1时，4E=a；+2q=4q,解得q=0或％=2,当“22时

22

4S,T=+2a„_,4a„=4S,-45„,f=a,,+2a„-a„_,-2a,

整理得2（""+）=（""+%—）（%）,当a，，+a“T=O时，若《=°,可得%=。，若

2=-1

4=2%

可得数列饱｝为等比数列，“，，=2-（-1）;当%+%_产0时，可得%-%=2数列

口｝为等差数列.

若q=0,可得%=2〃-2,若q=2,可得4,=2〃；故A错误;B正确;C正确；当为=°

时,邑=°；

当=2-（-1）"'时，S&=2+（-2）+2+（-2）=0；当a“=2〃-2时，4~2%~；当

,S4=马在x4=20

勺=2〃时，2;故口正确.

故选：BCD.

5.（多选）已知两个等差数列｛%｝和也｝,其公差分别为&和出，其前〃项和分别为

S,和仁则下列说法正确的是（□□）

A.若轲｝为等差数列，则4=2qB.若◎"+%，｝为等差数列，则4+出=°

C.若H也｝为等差数列，则4=4=0D,若可",则机｝

也为等差数列，且公差为4d2

【答案】ABD

【详解】对于A,因为眄｝为等差数列，所以2疯=何+肉，

即2.+的=百++%+%所以2j2al+4=百+J3%+3&

化简得（4-2aj=°,所以4=2%故A正确；

对于B,因为｛$■+/｝为等差数列,所以2区+与）=豆+北+$3+4

pj^,2（2q+4+2b、+"2）=6+a+3q+3&+3b1+3d-,

所以4+4=0故B正确；

对于C,因为｛"/J为等差数列，所以22

所以2（。+4）（4+4）=她+（%+24）（4+2d2）

化简得4d2=0,所以4=°或W=o,故C不正确；

对于D,因为%=%+("D4,且"eN；所以4=q+3「l)4

=4+[4+(〃-1)4-1]4

所以％=4+(々T)4+(〃-1)44

所以％+i-%=4+(4T)4+〃4d2-％-(4-。4--1)4&=42

所以也,｝也为等差数列，且公差为44,故D正确.

故选:ABD

举一反三/>

1.设｛“"｝是公差不为0的无穷等差数列，则“"J为递增数列''是“存在正整数乂

,当心乂时，。“>°”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】设等差数列｛“"｝的公差为“，则d*0,记卜］为不超过x的最大整数.

若也，｝为单调递增数列，则d>0,

若420,则当“22时，”“>《20；若q<0则

由%=q+（〃-l”>0可得取"_+1,则当〃>N。时，%>0

所以，是递增数列”=>“存在正整数N。，当〃>乂时，凡>°”；

若存在正整数乂，当〃,乂时，取金叶且%>M,ak>0

jakak

假设d<0,令%=4可得一丁，且Z

n>""+1I1

当L打时，见<°,与题设矛盾，假设不成立，则4>o,即数列口）

是递增数列.

所以，“｛%｝是递增数列“u"存在正整数黑，当〃>乂时，为>°”.

所以“｛%｝是递增数列”是“存在正整数当〃〉乂时，的充分必要条件.

故选:c.

2.已知等比数列也｝的前3项和为168,-42,则4=（）

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【详解】解:设等比数列H”｝的公比为g，q*°,

若4=1,则%-%=o,与题意矛盾，

所以"I

.+9+%="/一1）=168,=96

'i-q_i

贝lj［。2_牝="“一《，=42,解得《一］,

所以4=44=3

故选：D.

3.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太

阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列

4=1+-----j-

仇=1+—/+-------j-

%+——%—

%■内，…，依此类推，其中

a*eN*（左=1,2,…）则（）

Aht<b5B.”<4c,伉<aD.b4Vbi

【答案】D

【详解】解:因为&eN*G=L2,…），

11

1己〉r

%〈/d16Z]H

所以心,。2,得到

11

6Z]+----->弓+r

%a24--

同理--3,可得4>4

1111

—>------—i—，%+----「<%+----

%«+1

21%--%+"~1

a3+a+

又因为3

故a<a,；

以此类推，可得A咕>%>&>故A错误；

瓦>…故B错误；

11

>]

2%+j-

q+—

"心,得。％故c错误;

11

«)+----------->%+-----------j—

a2+------p%+…---Y~

a3+—4十—〃

%%,得故D正确.

故选:D.

4.图1是中国古代建筑中的举架结构，AA\BB\CC\DD

是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的

示意图.其中。A，四,期,44是举，OD[,DC],CBi，BA

DD；=05=卜BB'=七-4=ky

是相等的步，相邻桁的举步之比分别为02.'DC\”CB\>BA\'已知

尢也，&成公差为0.1的等差数列，且直线。/的斜率为0.725,则勺=()

【答案】D

【详解】设°4="G=CB{=BA{=\贝]J°G=kx,BBx=k2,AA}=k3

DD、+CCy+BB、+AAy

=0.725

依题意，有/一0・2=勺，&-01=42,且OR+OG+CB|+84

0.5+3k台—0.3

=0.725

所以~故〃3=0.9

故选:D

5,已知数列包｝满足""L"""一”（〃£N）,则（）

|<lOOa<3八77

loo—<100〃[℃<4

c3<lOOaloo<-100

A.B.zD.2

【答案】B

2

【详解】易得%依次类推可得见«°』）

131

,1-=----------=----1------

_/+i=a“I一铲"

由题意，即%+】4(3一。〃)43—。“

11一

《1+1an3—%3

1

——>7，(«^2)

即电%3,a3a23%a333

—>^(n+2),(«>2)

---l>-(n-l)

累加可得凡3,即明3

"”＜贵，（〃22）即。侬＜上100%＜翳＜3

111

--------=------<---1+—,0吐2)

a3

am„3-a,,3_3〃+l

又77+2

1111+;1+;

1+-

3%%3

2____5_<]_噌,…

3

*-1)+黑11

--1＜—I—+•••+—,(〃23)

累加可得巴3n

11/111—1C.1C八”

-----1<33+--+-+•••+—<33+--x4+—x94<39

“10032399326

—<40100a,oo>

即aioo"⑼嗡gpi；

<3

-<100a100

综上：2

故选：B.

易错题通关

一、单选题

a=Xa」

L设数列｛""｝满足I-。"'且"「5,贝/2。22=()

1

A.-2B.3C.2D.3

【答案】D

14-1

_1+_

1+_1+3

1一41------=----=---=—z

【详解】由题意可得:2

J+4__31

」+/_1+(_2r2

1-41-(-2)35"

据此可得数列｛“"｝是周期为4的周期数列,

则a2O22=%05><4+2=%=3

故选:D

2.已知数列也，｝满足=-1(〃€“)吗=-3,若｛4｝

的前〃项积的最大值为3,则4的取值范围为()

AB[-1,0)Q(0,1]£)(-<»,-l)u(l,+oo)

【答案】A

[详解]数列｛""｝中，〃eN*,%q+「a“+2=T,则有%。+「。”+2=”“+「。“+24+3=-1

,因此，VneN；*3=%,

因数列也｝的前〃项积的最大值为3,则当〃=6发入N：｛%｝的前〃项积

…％=143

当”=6斤+1,左eN*,｛/｝的前〃项积4的…%=q=-343,

当〃=6左+2,左eN,,匕“｝的前〃项积生的…=4%=-3%43,解得出之一」

当〃=6A+3,%eN'｛”“｝的前〃项积a。…%=”“2%=743,

当〃=6左+4#eN*,｛%｝的前〃项积6%…％=4%%%=-%=343

当〃=6%+5,左£N"何｝的前〃项积…an=。必2。3。4。5=-。1〃2=3%43,解得4G

显然&综上得-14的＜°或°＜々41,

所以的的取值范围为［T，o)5O』］.

故选:A

2Sn=""+1("eN*)

3.设数列出，｝的前〃项和为S“，满足&

,则下列说法正确的是()

A.^2021,^2022B“2021•02022>1

C“2022<-2J2022D“2022>2J2022

【答案】A

2S.=^^(«eN*

【详解】因为数列｛《J的前〃项和为£,满足册

2E=£L±1(〃€N*)

所以当"=1时，4-解得q=1或％=T,

2S„=^=«„+±=(S„-5„,)+—1—„2„2.

当“22时，a„anS“_S“_|,整理得S“-S,-=1,

所以数列£7是以1为公差的等差数列，

当4=±1时，S„2=\+(n-\)=n所以S.=〃或E,=一册

所以%=S._S“T=〃_G,首项6=1满足此式，或a“=S"-S"-&+g

首项4=7满足此式，

a

所以2O22=J2022-J2021或a2022=V2021-V2022

所以CD错误，

当*=4_g时/。2「出。22=(V2021-V2020)(72022-4202\)

=[x]<]

-V2021+72020V2022+V2021

当a.=-〃+Q时«2O2I-«2022=(72020-72021X^021->/2022)

=[x]<1

-A/2021+V2020V2022+>/20H

所以A正确，B错误，

故选:A

4已知数列也｝满足：［=1°24,点（〃此，）在函数23（”2的图象上,记S”为

何｝的前〃项和，则凡-$9=（）

【答案】A

【详解】由题得％=1024=5,解得，=2\故所以

1

5,1-5,=al（）+a,,=2+2°=3

故选:A.

5.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载埼发明的，明万历十二年（公

元1584年），他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义

是:在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插

入的11个数之和为M插入11个数后这13个数之和为N,则依此规则，下列说法错

误的是（）

A.插入的第8个数为孤B.插入的第5个数是插入的第1个数的

啦倍

CM>3D.乂<7

【答案】D

q—JX：2

【详解】设该等比数列为何｝，公比为%则“产1当3=2,故a,

对于A:插入的第8个数为的=4'4'=孤.故A正确；

对于B:插入的第5个数为“6=%”',插入的第1个数为“2=%x4,所以

组=山=/=次

的%xq.故B正确；

-1----->3

11->212H

要证M>3,即证1-212，即证2“-1，即证4，即证（4

而⑺,团”成立，故c正确;

对于D:N=M+3.

/x1211

信］>0.4）6>（1.9）3>2g>2立-J->5T—

因为，所以5，所以》2-1，所以1-

M>4t所以N=M+3>7

故D错误.

故选:D

6.已知等差数列也｝的前〃项和为S〃，且满足2而（％+2）-3%-5=0,

2sin（a20ls+2）-3a2018-7=0>则下列结论正确的是（）

A.$2022=2022,且。5〉〃2OI8B.$2022=-2022,A。5<。2018

C$2022=-4044,且。5>"20】8£)^2022=4044且。5<“2018

【答案】C

【详解】设函数/a)=2sinx—3x,则/⑴为奇函数，且/'(')=2cosx-3<0,所以/⑴

在R上递减,由已知可得2sin(%+2)—3(%+2)=7,2sin(a2018+2)-3(«2018+2)=1有

+2=1

/(a5+2)=-17(^2018)所以/(%+2)</(。2018+2)且/Q+2)=-/(。2018+2)

所以。5+2>生0]8+2=%>。2018,且°5+2=一(“2018+2)所以45+〃2O1X=T

邑值=2°22""Q=[0]收+%”8)=-4044

故选:C.

二、多选题

7.已知等差数列包｝的前〃项和为S”，等比数列也｝的前〃项和为。

,则下列结论正确的是（）

闺，

A.数列I/为等差数列B.对任意正整数〃，

C.数列｛S2"2-S2"｝一定是等差数列D.数列｛耳+2-&｝一定是等比数列

【答案】ABC

【详解】设等差数列匕｝的公差为/则—\",所以，于"（2）

$向S，，…〃da.（〃一1）。闺

对于A选项，”+1«222,所以，为等差数列，A对;

对于B选项，对任意的〃eN*,"户0,由等比中项的性质可得以也巴

由基本不等式可得〃+死222%=2b3,B对；

对于C选项，令%=S2,1+2-S2n=。2〃+2+々2”+1,

所以C〃+l-%=(%“+4+%〃+3)一(%“+2+*1)=4"

故数列｛&“+2-S?,,｝一定是等差数列，©对；

对于D选项，设等比数列包｝的公比为九

当q=-i时,5”+2-5"=&”+2+>”+1=&”+i(q+i)=°,

此时，数列区”+2-耳｝不是等比数列，D错.

故选:ABC.

8.已知等比数列｛“"｝的公比为力且』22=1,记"J的前〃项和为，，前"项积为

7则下列说法正确的是()

A.当°<夕<1时，代｝递减B当4>0时，^4043-4043

C.当4>1时，］“022D.当_]<4<0时，Z,Z%022

【答案】BCD

【详解】对于A中，因为°'f2°22I所以所以｛*｝递增，所以A错误.

S4043=^r+^y+*-+；+i+q+L+产+产

对于B中，当4>°时,

当且仅当4=1时等号成立，所以B正确.

对于C中，当4>1时，&｝递增，因为唳=1,所以当“42021时，/<1；

当〃>2022时，«„>1,所以当〃=2021或"=2022时，1最小，

所以刀；石。22,故C正确.

对于D中,当T<"0时,’｝是摆动数列，偶数项为正,奇数项为负，递减,

因为。22=1,所以当〃=2021或〃=2022时，园最大，

的前2022项中有1011项为正，1011项为负，所以马必=加2＜。，所以12芍。22

恒成立，所以D正确.

故选：BCD.

三、解答题

9.设等差数列应｝的前