数学-2021年高考考前押题密卷（江苏卷）（考试版+全解全析）

2021年高考考前押题密卷（江苏卷）

数学

注意事项：

1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题〜第8题，共40分）、多项选择题（第9题〜第12

题，共20分）、填空题（第13题〜第16题，共20分）和解答题（第17题〜第22题，共70

分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、

试卷和草稿纸的指定位置上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将

答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.

4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

5.如需作图，须用28铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1.己知全集。=1i,集合A={1,2,3,4,5},B={-2,0,1,2}之间关系的以〃〃图如图所示，则图中阴影部

分表示的集合为（）

A.{-2,0}B.{—2}

C.{-2,0,1}D.{-2,0,2,1)

2.已知复数2=一，其中i为虚数单位，则忖=()

A.立B.C.屈D.2

22

3.已知直线/：y=丘一3代<0）与圆C：——4x+y2+6y+i2=0相切，贝”的方程为（）

A.x+2y+6=0B.V§x+y+3=O

C.x4-V3y+3-^3=0D.x+y+3=O

4.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体得比值等于较小部分与较大部分得比值，该比值为

加=避二1。0.618，这是公认的最能引起美感的比例.黄金分割比例得值还可以近似地表示为2sin18。，

2

则则2上的近似值等于（）

cos12°

A.3B,1C.2D.73

2

5.设片，乙是双曲线—V=1的两个焦点，0为坐标原点，点尸在双曲线C上，且|QP|=|O用.则

△P6鸟的面积为（）

53

A.-B.2C.-D.1

22

6.等比数列｛%｝中,。<0,贝『七2<4”是"。5<4”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.如图，是圆0的一条直径且=2，EF是圆。的一条弦，且EF=1，点、P在线段上户上，则丽・丽

的最小值是（）

二

4rO)B

13

A.——B.--C.——D.——

2424

8.已知定义在R上的函数y=/（x）,对任意x都满足f(x+2)=/(x),且当一1<%«1时/(%)=2/,

则函数g（x）=/（x）-ln|x|的零点个数为（)

A.12B.14C.15D.16

二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛（A/bem加〃。），这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫

Trullo,于1996年被收人世界文化遗产名录.现测量一个万〃〃。的屋顶，得到圆锥S。（其中S为顶点，。为

底面圆心），母线SA长为6米，C是母线弘的靠近点S的三等分点.从点A到点。绕屋顶侧面一周安装灯光

带，若灯光带的最小长度为2米.下面说法正确的是（）

A.圆锥SO的侧面积为12万平方米

B.过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米

C.圆锥SO的外接球表面积为72兀平方米

D.棱长为6米的正四面体在圆锥5。内可以任意转动

10.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019

年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论

正确的是（）

个w肌xme价格极A，

QNSAS

Mtt•»Ht

A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨

B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌

C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大

D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快

11.定义域为E的函数>=/(£),若对任意两个不相等的实数占、X2,都有

xlf(x})+x2f(x2)>xif(x2)+x2f(xi),则称函数为"Z函数"，现给出如下函数,其中为"Z函数''的有

()

A.y=-x3+x+lB.y=3x—2(sinx-cosx)

C.y=e2^x+i\n/(dT+e)\D.y=sin7tx

12.若正实数小b满足匕且lna-ln匕>0,下列不等式恒成立的是()

A.log.2>log〃2B.aina>b\nb

<rf<+la+h

C.2>2D.log(,h>0

三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.我国有一种容器叫做“方斗”，"方斗”的形状是一个上大下小的正四棱台，如果一方斗的高为3分米(即

该方斗上、下两底面的距离为3分米)，上底边长为6分米，下底边长为4分米，则此方斗外表面的侧面积

为平方分米.

14.若('+q](2%-')5的展开式中各项系数的和为5,则该展开式中常数项为_________

IXJX

15.若抛物线C：V=2Pxm°)上的点M到焦点F的距离与到y轴的距离之差为2,则P=.

16.第三届中国国际进口博览会标识和吉祥物正式在国家会展中心(上海)发布.进口博览会的吉祥物主体形

象为大熊猫'‘进宝”.其中吉祥物大熊猫手中所持的四叶草，既代表了进口博览会的举办地国家会展中心(上海

)主体建筑的造型，又具有幸福幸运的象征意义.

某建筑师在平面直角坐标系xOy中，作出圆O：x2+/=4,设圆0与x轴、y轴的正半轴分别交于点M,

N,过圆0上的一点B作BC_Lx轴，BO_Ly轴，C、D为垂足，分另作NBDC和/BCO的角平分线，过原点

0分别作这两条角平分线的垂线，垂足分别为E、凡当点B在劣弧前上（包括其端点M,N）运动时，E,F

两点的轨迹构成一个四叶草图案的一部分，类似地操作，可以分别得到在第二、三、四象限的四叶草图案，

这样就得到四心相对的四叶草图案G（为区分起见，E点的轨迹为虚线，F点的轨迹为实线）设NBOx=a（0＜

a＜今，则四叶草图案G上实线与虚线的衔接点A到原点O的距离为:四叶草图案G上的点E到

x轴的最大距离为.

四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）在①2ccosB=2a—。，②AABC的面积为岑⑷十〃一,2）,③

cos2A-cos2C=sin2B-sinAsinB＞这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中,并加以解答.（如

果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）

已知AABC的内角A,B,。所对的边分别是。，b,C,且________.

（1）求角C的大小；

（2）若c=2且4sinAsinB=3,求AABC的面积.

18.（12分）已知正项等差数列｛4｝的前"项和为S.e=9,若q+1,。2+1，%+3构成等比数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式.

]，的前〃项和为7”，求证:7；2g

（2）设数列〈

94+1.

DE

19.（12分）如图1,在等边AABC中，点分别为边A3、AC上的动点且满足。石〃3C,记一=4.

BC

将△ADK沿£>E翻折到AMDE的位置并使得平面平面。ECB,连接MB,MC得到图2,点N

为MC的中点.

（1）当硒〃平面时，求4的值;

（2）试探究：随着入值的变化，二面角B-MD-E的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是,

请求出二面角3—E的正弦值大小.

20.（12分）2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义

情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛.为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学

的竞赛成绩按［30,40）、［40,50）、［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］分成7组，绘制

成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数；

（2）现从竞赛成绩不低于80分的同学中，采用分层抽样的方法抽取9人，再从9人中随机抽取3人，记

这3人中竞赛成绩不低于90分的同学人数为X，求尸（X=2）；

（3）学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学

有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数

量（单位：本）及对应的概率如下表：现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书

籍的数量为求J的分布列和数学期望.

奖品数量（单位：本）24

3

概率

44

fv2,

21.（12分）如图，已知椭圆&：彳+斗=1（。＞。＞0）与抛物线。2：'=4》共焦点尸，且椭圆的离心率

ab~

(i)求椭圆G的方程；

(2)若点P在射线x=4(yN2)上运动，点A,3为椭圆G上的两个动点，满足AB〃OP,且。为A3的

中点，连接PF交抛物线。2于G、，两点，连接。。交椭圆G与M、N两点，求四边形欣WH面积的

取值范围.

22.(12分)已知awR,设函数/(x)=aln(x+a)+lnx.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

2V*

(2)若/(行《6心+此,一1恒成立，求实数4的取值范围.

2021年高考考前押题密卷（江苏卷）

数学•全解全析

注意事项：

1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题〜第8题，共40分）、多项选择题（第9题〜第12

题，共20分）、填空题（第13题〜第16题，共20分）和解答题（第17题〜第22题，共70

分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、

试卷和草稿纸的指定位置上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将

答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.

4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

5.如需作图，须用28铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

123456789101112

ACCBDBBBADABDBCCD

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1.已知全集。=心,集合A={L2,3,4,5},8={-2,0,1,2}之间关系的以〃〃图如图所示，则图中阴影部

分表示的集合为（）

A.{-2,0}B.{-2}

C.{-2,0,1)D.{-2,0,2,1}

【答案】A

【分析】

根据维恩图可知阴影为8cC°A,求解即可.

【详解】

由维恩图可知，阴影部分为6cQA,

因为全集。=11,集合A={1,2,3,4,5},B={-2,0,1,2},

.•.5nCuA={-2,0},

故选：A

2.已知复数z=3卫，其中i为虚数单位，则忖=()

A.@B.C.丽D.2

22

【答案】C

【分析】

化简复数为z=3—i,利用复数模的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，复数2=早=3-1,可得忖=，2+(_])2=阿

故选：C.

3.已知直线/：丁=履一3伏＜())与圆。：》2一4%+：/+6)，+12=0相切，则/的方程为()

A.x+2_y+6=0B.y[3x+y+3=0

C.x+6y+3石=0D.x+y+3=。

【答案】C

【分析】

求出圆的标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得相切时的斜率.

【详解】

圆C的标准方程为(x—2)2+(y+3)2=l.

,\2k\,

依题意可得圆心C(2,-3)到/的距离d==1

收+i

解得公=；,又左＜0,所以％=一乎，所以/的方程为x+6y+3jj=o.

故选：C.

4.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体得比值等于较小部分与较大部分得比值，该比值为

m=叵。=0.618，这是公认的最能引起美感的比例.黄金分割比例得值还可以近似地表示为2sin18。，

2

则百sn12+加的近似值等于（）

cos12°

A.4B.1C.2D.G

【答案】B

【分析】

由题可得m=2sinl8°，利用sin18=sin（30-12j展开化简可得6smi2+-="区=j.

cos12°cos12°

【详解】

由题可得m=2sinl8°»

.gsinl2°+，〃_Gsinl2°+2sinl8。_—sinl2°+2sin（30。-12。）

cos12°cos12°cos12°

_百sinl2°+2sin30cosl2°-2cos30°sinl2°_cos12。_】

cos12°cos12°

故选：B.

2

5.设百，工是双曲线C:m—V=i的两个焦点，O为坐标原点，点尸在双曲线C上，且|OP|=|OK|.则

△PFE的面积为（）

5°〃3

A.—B.2C.—D.1

22

【答案】D

【分析】

由△PK6是以P为直角直角三角形得到|尸耳|2+IP&|2=16,再利用双曲线的定义得到

||PK|-1=26,联立即可得到ImilP鸟I,代入S."=gI尸用IPF,|中计算即可.

【详解】

由已知,不妨设6（—2,0）,6（2,0）,

则a=6,c=2,因为|。尸|=|。用=3恒用，

所以点P在以耳心为直径的圆上，

即鸟是以p为直角顶点的宜角三角形，

故|「耳『+$6|2=|耳玛|2,

即|「耳|2+|「瑞|2=16,又||尸耳|一|巡||=2。=2&,

所以12=||以"一|「招『=|。6『+|尸乙|2-21^^11^1=16-21^11^^1，

解得IP£||Pg|=2,所以S：=gI尸耳||「鸟|=1

故选：D

6.等比数列｛4｝中,q<0,则“4<。3"是“《<。6”的（）

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

由题设，令公比为夕（4#0）,分别确定。2<。3、/<4时夕的取值范围，即可判断它们的充分、必要关

系.

【详解】

等比数列｛4｝中4<0,令公比为q①/0）,

.♦.若4<4，则有0<夕<1；若为<%,，则有0<4<1或4<0,

.♦.“4<4”是“%<%”的充分不必要条件•

故选：B

7.如图，AB是圆。的一条直径且=2，EF是圆。的一条弦，且EF=1，点、P在线段EFk^PA-PB

的最小值是（）

E

F

13

A.C.——D.--

224

【答案】B

【分析】

uiruurLUI2

根据平面向量的线性运算法则，得到P4•尸8=尸0-1,再由圆的性质,得到I而I的最小值，即可得出

结果.

【详解】

由题意可得,

丽•丽=(用+叫(用+西=(府+网.(用-网=1研一研=1呵一1,

为使|0尸|最小，只需OPJ_砂，根据圆的性质可得，此时尸为防中点时;

uin=正,

又EF=T，因此P。

min

所以西•丽的最小值为一

故选：B.

8.已知定义在R上的函数y=/(x),对任意x都满足f(x+2)=f(x),且当jwxAl时/@)=2J,

则函数g(x)=/(x)-ln|x|的零点个数为()

A.12B.14C.15D.16

【答案】B

【分析】

先求函数的周期性，再根据周期性画出函数/'(x)的图象以及y=ln|x|的图象，运用数形结合的办法可求

解.

【详解】

/(x+2)=/(x)，

二函数y=〃x)是周期为2的周期函数.

令g(x)=/(x)-m|x|=O，则/(x)=ln|X,

由题意得函数g(x)=/(x)—ln|X的零点个数即为函数y=/(x)的图象与函数y=ln|X的图象交点的个

数.

当一IWxWl时，f(x)=2x2,

在同一坐标系内画出函数y=/(x)和函数y=ln|X的图象(如图所示)，

函数g(x)=f(x)-小国的零点个数为14.

故选:B.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：宜接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利

用数形结合的方法求解.

二、多项选择题：(本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

9.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(4加加加〃。)，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫

Trullo,于1996年被收人世界文化遗产名录.现测量一个Th/〃。的屋顶，得到圆链S。(其中S为顶点，。为

底面圆心)，母线54长为6米，C是母线3的靠近点S的三等分点.从点A到点。绕屋顶侧面一周安装灯光

带，若灯光带的最小长度为2米.下面说法正确的是（）

A.圆锥SO的侧面积为12］平方米

B.过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米

C.圆锥SO的外接球表面积为72兀平方米

D.棱长为百米的正四面体在圆锥SO内可以任意转动

【答案】AD

【分析】

利用圆锥的侧面展开图、余弦定理、扇形的弧长公式可求出圆锥的底面半径，进而可求出圆锥的侧面积，

可知A正确；过点S平面截此圆锥所得截面面积最大为计算可知，B错误；计算出圆锥SO的外接

球半径后，再求出其表面积，可知C不正确；求出圆锥的内切球的半径和棱长为6的正四面体的外接球的

半径，比较可知，D正确.

【详解】

设圆锥底面半径为广

如图，

△A'SC中，A'S=6,SC=2,A'C=2屈,

“s36+4-522TV

:.cosZASC=-------,--/-.ZASC=——

2x6x2~~23

2冗丫2TC

所以4二/，.・.r=2米，

63

所以圆锥的侧面积为=,x6x27rx2=12万平方米，故A正确；

2

/人……/i5A2+AB--AB-7.I,49472

11

在j^ASB1,cosNASB=----------------——，sin^.ASB—A/1----=-----

ISASB9V819

所以过点S平面截此圆锥所得截面面积最大为S.B=-SASB-sinNASB=-x6x6x晅=8近平方

229

米，故B错误；

设圆锥SO的外接球半径为R，则R2=(SO—/?尸+/，又$0=屈二彳=病=4=40，

所以R2=(4&—<)2+4,火=2及，

4

圆锥SO的外接球表面积为4万/?2=4乃x@x2=qc,故C不正确；

设圆锥SO的内切球半径为人则"J,，:'t=也，

在棱长为百米的正四面体中，设其外接球半彳仝为彳，

则此正四面体的底面外接圆半径为母x百xg=1,高为“扬2一1=0,

所以42=1+(15—4)2,所以(=容，

因为｛</，所以棱长为百米的正四面体在圆锥SO内可以任意转动，故D正确.

故选：AD

【点睛】

关键点点睛：利用圆锥的侧面展开图、余弦定理、扇形的弧长公式求出圆锥的底面半径是关键点一，利用

棱长为百米的正四面体的外接球的半径与圆锥的内切球的半径判断D选项是关键点二.

10.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图(注：2019

年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论

正确的是()

个iNXKifl价价格福八，

A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨

B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌

C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大

D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快

【答案】ABD

【分析】

先对图表数据的分析处理，再结合简单的合情推理一一检验即可.

【详解】

对于选项A,从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；

对于选项B,从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；

对于选项C,从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；

对于选项D,从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.故选ABD.

【点睛】

本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.

11.定义域为R的函数y=/(x),若对任意两个不相等的实数X、X〉都有

jq/(xl)+x2/(A2)>xl/(x,)+A2/(%l),则称函数为“Z函数”，现给出如下函数，其中为“Z函数''的有

()

A.y=-x3+x+lB.y=3x-2(sinx-cosx)

2xxsin%x

C.y=e+\n(2+e^D.y-：

e+e

【答案】BC

【分析】

分析可知函数/（x）为R上的增函数，然后判断各选项中函数的单调性，可得出合适的选项.

【详解】

对于任意给定的不等实数、x2,不等式^/（xJ+w/Cvz）＞*/^^）十9/（玉）恒成立，

原不等式等价为（玉一々）［/（%）_/（々）］＞0恒成立，

设为＜々,则/（七）一/（%）＜0,即/（石）＜/（々），

即函数/（x）是定义在/?上的增函数.

对于A选项，函数y=-j?+x+l,贝i］y'=l-3x2,

当x＜—立或x＞且时，），'＜0,此时函数丁=一/+》+1为减函数，不满足条件；

33

对于B选项，y=3x-2（sinx-cosx）,y'=3—2（cos尤+sinx）=3—2后sin（x+?）＞0,

所以，函数y=3x-2（sinx-cosx）单调递增，满足条件；

对于C选项，对于函数y=ln（2"+e）,该函数的定义域为R,

内层函数“=2、+e为增函数，外层函数y=坨〃为增函数，则函数y=ln（2"+e）为R上的增函数，

又因为函数y=e2*为R上的增函数，所以，函数y=e2*+ln（2、+e）为R上的增函数，满足条件；

对于D选项，记〃尤）=黑白，则〃0）=〃1）=〃2）=0,

einrrx

所以，函数y=::.在R匕不具有单调性，不满足条件.

e+e

故选：BC.

【点睛】

方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：

（1）定义法：一般步骤：设元—作差T1变形T•判断符号一得出结论；

（2）图象法：如果函数/（X）是以图象的形式给出或者函数“X）的图象易作出，结合图象可得出函数的

单调区间；

（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；

（4）复合函数法：先将函数y=/［g（x）］分解为内层函数"=g（x）和外层函数y=/（〃），再讨论这两个

函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减''的规则进行判定.

12.若正实数m〃满足a>匕且lna-lnb>0,下列不等式恒成立的是（)

A.log“2>log%2B.a-\na>b\nb

+la+b

C.2^>2D.log（,b>0

【答案】CD

【分析】

由己知不等式，求出。力之间的关系，结合选项一一判断即可.

【详解】

El；llnaln/?>OWO<Z?<a<l或a>b>l,

*j于选项A,当0<Z?<avl或都有log〃2<log}2,选项A错误；

对于选项B,比如当"时，有==2x-ln-=-ln-

24444⑶4222

故a/na不成立，选项B错误；

对于C,因为出?+1—。一》=（a—1）（人一1）>0,所以昉+1>。+。，则2血I>2"6，选项C正确；

1J

对于选项D,因为lna」nb>0,所以k）g0b=---->0,选项D正确，

Ina

故选：CD.

【点睛】

思路点睛：由已知不等式，求出之间的关系，而对于四个选项真假的判断，如果是假命题，可以举出

特例，是真命题，要进行证明.

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.我国有一种容器叫做“方斗”，"方斗''的形状是一个上大下小的正四棱台，如果一方斗的高为3分米（即

该方斗上、下两底面的距离为3分米），上底边长为6分米，下底边长为4分米，则此方斗外表面的侧面积

为平方分米.

【答案】2oVio

【分析】

画出图形，利用条件求出正四棱台的侧棱长，然后可算出答案.

【详解】

如图，由题意可得0a=3,AB=6,44=4

所以AO=3人，AO、=2叵，所以枚="+<⑻-=旧

所以梯形AB84的高为vm=M，

所以梯形A8B4的面积为gx(6+4)x府=5旧

所以此方斗外表面的侧面枳为5V10x4=20VH)

故答案为：20JIU

14.若［％+幺］(2*-')5的展开式中各项系数的和为5,则该展开式中常数项为____________

VXJX

【答案】280

【分析】

求出<7=4；将原式化为工(2%一，］+—2%--由二项式定理写出(2x—的

先由各项系数之和,

IX)x\x)

展开式的通项，利用赋值法，即可求出结果.

【详解】

由题意，令x=l,得1+。=5,解得a=4.

又的展开式的通项为4+1=(—

令5—2r=-1,得r=3,此时该项的系数为-40；

令5-2r=l,r=2,此时该项的系数为80,

所以的展开式中的常数项为280.

IX)X)

故答案为：280.

15.若抛物线C：丁=2Px(〃>0)上的点M到焦点厂的距离与到y轴的距离之差为2,则P=

【答案】4

【分析】

作出图象，过点MB上I，交y轴于点A，山题意得到|MF|-|M4|=2,根据抛物线的定义，转化为

|MF|—|M4|=|MB|TM4|=|AB|=2,即可求解.

【详解】

如图所示，抛物线y2=2px(〃>0)的焦点为F(5,0)，准线方程为/：》=一^，

过点MB，/,交》轴于点A,

因为抛物线c上的点M到焦点尸的距离与到y轴的距离之差为2,B[J|MF|-|M4|=2,

根据抛物线的定义，可得=所以|加月—|加4|=防即一|也叫=恒@=2,

即K=2,解得〃=4.

2

故答案为：4.

16.第三届中国国际进口博览会标识和吉祥物正式在国家会展中心(上海)发布.进口博览会的吉祥物主体形

象为大熊猫"进宝”.其中吉祥物大熊猫手中所持的四叶草，既代表了进口博览会的举办地国家会展中心(上海

)主体建筑的造型，又具有幸福幸运的象征意义.

某建筑师在平面直角坐标系xOy中，作出圆0：x2+y2=4,设圆0与x轴、y轴的正半轴分别交于点M,

N,过圆0上的一点B作BCJ.X轴，轴，C、D为垂足，分别作/BDC和4BCD的角平分线，过原点

0分别作这两条角平分线的垂线，垂足分别为E、F.当点B在劣弧项上(包括其端点M,N)运动时，E,F

两点的轨迹构成一个四叶草图案的一部分，类似地操作，可以分别得到在第二、三、四象限的四叶草图案，

这样就得到四心相对的四叶草图案G(为区分起见，E点的轨迹为虚线，F点的轨迹为实线)设/BOX=a(0<

a<^),则四叶草图案G上实线与虚线的衔接点A到原点O的距离为；四叶草图案G上的点E到

x轴的最大距离为.

【答案】迎迪

4

cos-=2

【解析】解：XE=|OE|COS(L=|OD|sin(^-^)(77)\OB\sinacos^sin^=sina,

22

yE=|OE|sin^y^=|OZ)|sin=\OB\sinacos=sina(l+cosa),

当a时，£(1,1),根据对称性，>1(-1,1),

所以A到。的距离为近，

yl=sin2a(1+cosa)2=(1—cosa)(l+cosa)3,

令t=1+cosa,tE(1,2),

f(t)=-4(t-|)t2,

从而t=m是/(t)的极大值点，也是最大值点，

于是(yE)max=J/(|)=乎・

故答案为：V2,运.

4

根据题意可得出=siMa,yE=sina(l+cosa),当a=1时，根据对称性得4(-1,1),进而推出4

至ij0的距离•，久=sin2a(1+cosa)2=(1—cosa)(l+cosa)3,令t=1+cosa,te(l,2),/(t)=(2—t)t3.

求导，分析最值，即可得出答案.

本题考查导数的应用，三角函数，最值，解题中需要理清思路，

四、解答题：(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.在①2ccosB=2a->,②AA8c1的面积为乎,？+A?-c?),③

cos2A-cos2C=sin2B-sinAsinB>这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.(如

果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)

已知AA3ct的内角A，B，。所对的边分别是。，b,C,且.

(1)求角C的大小；

(2)若c=2且4sinAsinB=3,求AA5c的面积.

【答案】条件选择见解析(1)C=|；(2)百.

【分析】

(1)分别选择①②③，根据正弦定理、余弦定理和三角恒等变换即可求出角C；

(2)运用正弦定理求出4仍，再根据三角形面积公式即可求出.

【详解】

(1)若选条件①2ccosB=2a—Z?,则2ca+c---—=2a-b,

2ac

即片+从一c2="，所以cosC=L,

2

n

又因为Ce(0,4),所以C=一.

3

(1)若选条件②△ABC的面积为中(/+〃田，则乎⑷+/―c2)=g"sinC，

即sinC=>/3cosC，所以tanC二也，

-71

又因为。£(0,%)，所以c=—.

3

(1)若选条件③cos2A—cos2C=sin23-sinAsin3.

则（1—sin?A）—（1—sin?C）=sin2B-sinAsinB,

即sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，

即/+"2-。2=必，所以COSC=L，

2

IT

又因为Ce（O,乃），所以C=—.

3

a_b_c_2_4

（2）因为c=2，所以sinAsinBsinCsin至6，

1I

所以sinA=sinB=^-h•

44

又因为4sinAsin8=3,所以妨=4,

△A8C的面积为,absinC=6.

2

【点睛】

思路点睛：

3）在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的美系；

（2）题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理；

（3）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；

（4）解决三角形问题时，注意角的限制范围.

18.已知正项等差数列｛&｝的前"项和为S”,S3=9,若4+l,a2+1,%+3构成等比数歹ij.

（1）求数列｛%｝的通项公式.

（2）设数列J」一|的前〃项和为求证:北2，

U4MJ3

【答案】（1）an=2n-\.（2）证明见解析.

【分析】

（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式.

（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.

【详解】

（1）由｛凡｝为等差数列，5=9,

得3a2-9，则a2=3,

又q+1,%+1,%+3构成等比数列，

所以(4+1)(%+3)=(生+1))

即(4-d)(6+d)=16,

解得d=2或d=T(舍)，

所以4=2〃-1；

.1_1J1______1_

'~)因为+22M-12/2+1,

.111

所以1=——+——+…+----

%的a2a34",向

11

2/7-12/7+1

n11

----->-----

2n+\2cd--12一d-c---13

n1

DE

19.如图1,在等边AABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE//BC,记—=2.将AADE

BC

沿DE翻折到△用£出的位置并使得平面平面。ECB,连接"8,MC得到图2,点N为MC的

中点.

(1)当EN〃平面MBD时，求X的值；

(2)试探究：随着入值的变化，二面角B-的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，

请求出二面角5—M。一£的正弦值大小.

【答案】(1)4=:；(2)二面角5—MD—E的大小不变，正弦值为逆.

25

【分析】

(1)取MB的中点为P,证明NP//DE,ENHPD，NEDP为平行四边形，从而A"=OE,DE=-BC,

2

即儿=二.

2

(2)建立空间直角坐标系，设3C=2,写出各点坐标，求得两个平面的法向量，求得法向量夹角，从而

判断二面角是否变化，并求正弦值.

【详解】

(1)证明：取用B的中点为P,连接。尸，PN,

因为MN=CN，MP=BP，所以NP//BC,又DEHBC，

所以NP//DE,即ME,D,尸四点共面，又EN〃面BMD，ENu面NEDP,

平面NEPPc平面=所以EN//PD，即NE0P为平行四边形，

所以NPHDE,且NP=DE,即。£即4=1.

22

(2)取。E的中点。，由平面平面。ECB,且所以平面DECB,如图建立

空间直角坐标系，

不妨设BC=2,则M(0,0,疯)，7)(2,0,0),

6(1,百(1—4),0),所以痂=卜,0,—&),Z>8=(1-2,^(1-2),0)

设平面颉的法向量为"(“力