傅里叶、小波变换

12345674.4图像傅里叶变换

傅里叶变换是数学上，特别是工程数学上常用的变换方法。Matlab中的二维快速傅里叶变换函数是fft2，该函数对应的逆傅里叶变换函数是ifft2。

图像傅里叶变换函数在这一节中，还是通过Matlab中的傅里叶变换函数直观上理解分析傅里叶变换。

81.图像傅里叶变换函数fft2【例4-16】利用傅里叶变换函数变换图像，观察分析变换结果。A=imread('D:\0371.bmp');B=imread('D:\00.bmp');A1=fft2(A);B1=fft2(B);subplot(1,4,1);imshow(A)subplot(1,4,2);imshow(A1)subplot(1,4,3);imshow(B)subplot(1,4,4);imshow(B1)设计左面程序进行傅里叶变换。程序的运行结果是图4-12所示。

9(a)(b)(c)(d)(a)原图像0371，(b)图像0371变换结果，(c)图像00，(b)图像00变换结果图4-12图像傅里叶变换结果

由于图4-12中的原图像简单，所以能够看出变换后结果的一些特征。如果把上面程序中的原图像换为图4-13中的(a)与(c)，那么得到的变换数据显示出来，视觉上觉得杂乱无章。

(a)(b)(c)(d)(a)原图像0010，(b)图像0010变换结果，(c)图像0041，(b)图像0041变换结果图4-13复杂图像傅里叶变换结果

102.图像逆傅里叶变换函数ifft2【例4-17】利用傅里叶变换函数变换图像，然后用逆傅里叶变换函数复原图像，观察分析比较。设计如下程序：A=imread('D:\0010.jpg');A=rgb2gray(A);B=imread('D:\0041.jpg');B=rgb2gray(B);C=imread('D:\0371.bmp');D=imread('D:\00.bmp');A1=fft2(A);B1=fft2(B);C1=fft2(C);D1=fft2(D);A2=abs(ifft2(A1));B2=abs(ifft2(B1));C2=ifft2(C1);D2=ifft2(D1);subplot(2,4,1);imshow(A);subplot(2,4,2);imshow(B)subplot(2,4,3);imshow(C);subplot(2,4,4);imshow(D)subplot(2,4,5);image(A2);subplot(2,4,6);image(B2)subplot(2,4,7);imshow(C2);subplot(2,4,8);imshow(D2)

11程序的运行结果为图4-14所示。

图4-14逆傅里叶变换复原图像

程序中首先进行傅里叶变换，然后进行逆傅里叶变换，对逆变换结果取模（因为傅里叶变换后一般是复数），然后重新绘制出来。从图像上看几乎看不出复原图像与原图像有区别，但是由于机器计算精度有限，另外计算时必然要进行截断，所以原图像与复原图像之间是有细小差别的。

12图像傅里叶变换的数学描述1.图像傅里叶变换因为图像矩阵是离散的，所以图像处理时多使用二维离散傅里叶变换。二维离散傅里叶变换定义如下：

我们他门是要变换的函数或矩阵，作为矩阵大小为[MN]。为了剖析二维离散傅里叶变换定义式，更深刻的理解该变换的含义，根据式(4-5)，设计了例4-19来实现图像的二维离散傅里叶变换。该例题中的程序实现了二维离散傅里叶变换，但是与fft2函数不同，fft2函数使用的是快速傅里叶变换变换算法，在算法的质量与运行速度上都优于该例题中的程序。

（4-5）

13【例4-19】编写程序计算图像的二维离散傅里叶变换。A=imread('D:\shizi1.bmp');B=rgb2gray(A);B=double(B);s=size(B);M=s(1);N=s(2);foru=0:M-1forv=0:N-1k=0;forx=0:M-1fory=0:N-1k=B(x+1,y+1)*exp(-j*2*pi*(u*x/M+v*y/N))+k;endendF(u+1,v+1)=k;endendC=fft2(B);subplot(1,3,1);imshow(A)subplot(1,3,2);imshow(C)subplot(1,3,3);imshow(F)

根据式(4-5)设计左面程序14

2.图像傅里叶变换的矩阵表示离散傅里叶变换表达式（4-5）也可以改写为下面（4-6）形式：

（4-6）

改写后进一步可以把式(4-6)变成矩阵乘积的形式：

式(4-7)中的P与Q分别是式（4-8）与（4-9）所示矩阵。

（4-8）

15称P与Q为二维离散傅里叶变换的变换矩阵。【思考题】二维离散傅里叶变换的变换矩阵与离散余弦变换矩阵有什么区别？

3.图像逆傅里叶变换图像二维逆离散傅里叶变换的定义式如下式所示：

（4-9）

（4-10）

16例4-21A0=imread('D:\0.bmp');A=double(A0);s=size(A);M=s(1);N=s(2);foru=0:M-1forx=0:M-1P(u+1,x+1)=(1/M^0.5)*exp(-j*2*pi*(u*x/M));endendforv=0:N-1fory=0:N-1Q(v+1,y+1)=(1/N^0.5)*exp(-j*2*pi*(v*y/N));endendC=fft2(A);F=P*A*Q;subplot(1,3,1);imshow(A)subplot(1,3,2);imshow(C)subplot(1,3,3);imshow(F)171819202122232425262728Matlab中有很多关于小波变换的函数，其中二维小波变换函数都可以用在图像处理、图像压缩等领域。另外Matlab也提供了许多小波函数专门用于图像处理。二维小波变换

1.二维小波变换母小波函数是指满足式的函数，二维母小波函数的构造可由一维母小波函数的张量积形成，也可以采用非张量积的方法构造。

4.5图像小波变换

29假定函数为二维母小波函数。

令

（4-11）

由（4-11）式定义的，产生于二维母小波函数，依赖于参数a、b、c的一组函数就是小波基函数。二维连续小波变换定义为：

（4-12）

二维离散小波变换定义为：

（4-13）

30令式（4-13）中的，即得到常用的一种离散小波变换：

（4-14）

【注】母小波函数与小波基函数都是小波函数。

2.小波函数Haar小波就是一个常用的小波函数。（1）Haar小波Haar小波是最早使用的、简单的紧支撑小波，Haar小波实际上是Daubechies小波族中的一个特例。

（4-15）

利用（4-15）可以构造出二维小波函数。

31（2）Daubechies小波Daubechies小波也有相应的数学描述。其中在Matlab中称为’db1’的Daubechies小波与Haar小波是相同的。下面不研究其数学描述，只通过图形显示一组二维Daubechies小波函数。323.逆二维小波变换二维连续小波变换的逆小波变换定义为：

(4-17)其中，

二维离散小波变换的逆小波变换公式可以通过式(4-17)得到。假定对应于二维母小波的对偶小波为：

则对应于式（4-12）至（4-14）有统一的逆小波变换（重构公式）：式（4-18）中，表示内积。

33Matlab图像小波变换函数

作为一种函数变换，小波变换也经常应用于图像处理中。1.小波变换函数的使用Matlab提供了相当多与图像处理相关的小波函数，下面介绍几个函数的使用。【例4-23】图像一层小波分解。设计下面程序：A0=imread('D:\0011.jpg');A=rgb2gray(A0);[CA1,CH1,CV1,CD1]=dwt2(A,'db1');subplot(1,5,1);imshow(A)subplot(1,5,2);image(CA1);axisoffsubplot(1,5,3);imshow(CH1)subplot(1,5,4);imshow(CV1)subplot(1,5,5);imshow(CD1)

34函数dwt2(A,'db1')是对矩阵A进行一层小波变换，也称小波分解，'db1'指定使用的小波函数为一阶Daubechies小波。语句[CA1,CH1,CV1,CD1]=dwt2(A,'db1')返回四个分解矩阵CA1,CH1,CV1,CD1，分别称为近似系数矩阵、水平细节系数矩阵、垂直细节系数矩阵、对角细节系数矩阵。该例题中A为[480640]大小，CA1,CH1,CV1,CD1均为[240320]大小。为了比较方便，把这些矩阵图形排成一行显示在一起，但实际上后面图形的大小是原图像大小的四分之一。

(a)原图像(b)近似CA1(c)水平细节CH1(d)垂直细节CV1(e)对角细节CD1图4-24图像小波分解系数矩阵（1）

从图4-24可以看出近似系数矩阵与原图像很接近，其他几个都是原图像的高频信息。35(a)原图像(b)近似(c)水平细节(d)垂直细节(e)对角细节图4-27图像一阶小波重构（2）

【例4-25】使用逆小波变换函数idwt2进行图像重构。A0=imread('D:\0011.jpg');A=rgb2gray(A0);[CA1,CH1,CV1,CD1]=dwt2(A,'db1');AA=idwt2(CA1,CH1,CV1,CD1,'db1');B0=imread('D:\3.jpg');B=rgb2gray(B0);[CA2,CH2,CV2,CD2]=dwt2(B,'db1');BB=idwt2(CA2,CH2,CV2,CD2,'db1');subplot(1,4,1);imshow(A)subplot(1,4,2);image(AA);axisoffsubplot(1,4,3);imshow(B)subplot(1,4,4);image(BB);axisoff

设计左面程序：36【例4-26】图像二层小波分解。

A0=imread('D:\3.jpg');A=rgb2gray(A0);[CS]=wavedec2(A,2,'bior1.3');CA2=appcoef2(C,S,'bior1.3',2);CH2=detcoef2('h',C,S,2);CV2=detcoef2('v',C,S,2);CD2=detcoef2('d',C,S,2);CH1=detcoef2('h',C,S,1);CV1=detcoef2('v',C,S,1);CD1=detcoef2('d',C,S,1);subplot(2,4,1);imshow(A)subplot(2,4,5);image(CA2);axisoffsubplot(2,4,6);imshow(CH2)subplot(2,4,7);imshow(CV2)subplot(2,4,8);imshow(CD2)subplot(2,4,2);imshow(CH1)subplot(2,4,3);imshow(CV1)subplot(2,4,4);imsho