新教材2023版高中数学第三章圆锥曲线的方程专项培优章末复习课学生用书新人教A版选择性必修第一册

专项培优③章末复习课考点一圆锥曲线的定义与标准方程(1)解决这类问题的关键是准确把握圆锥曲线的定义和标准方程．(2)通过对圆锥曲线的定义与标准方程的学习，提升学生的直观想象、数学运算素养．例1(1)若双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25A．x24－y2＝1B．x2－yC．x24-y216(2)设F1，F2是椭圆4x249+y26＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PFA．22B．42C．4D．6(3)已知△ABC三个顶点都在抛物线x2＝8y上，且F为抛物线的焦点，若AF＝13(AB+AC)，则|AF|＋|BF|＋|CFA．6B．8C．10D．12考点二圆锥曲线的几何性质(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键．(2)通过对圆锥曲线几何性质的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例2(1)已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，若AB的垂直平分线过EA．63B．33C．23(2)(多选)已知F1，F2为双曲线C：x24-y2b2＝1(b>0)的左、右焦点，FA．|PF1|＝4B．双曲线的离心率e＝5C.S△D．渐近线方程为y＝±12(3)边长为1的等边三角形AOB中，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是________．考点三直线与圆锥曲线的综合问题角度1定点问题(1)求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)通过对圆锥曲线中的定点问题的学习，提升学生的数学建模、逻辑推理、数学运算素养．例3已知圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1，32)(1)经过点M(1，12)作一直线l1交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线l1(2)设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线l2与椭圆C交于C，D两点，且PC·PD＝0，求证：直线l2过定点．角度2定值问题(1)解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值，和题目中的变量无关，始终是一个确定的值，对于定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再研究一般情况．同时，要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题的方法，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．(2)通过对圆锥曲线中的定值问题的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算素养．例4设点P为双曲线E：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)上任意一点，双曲线E的离心率为3，右焦点与椭圆(1)求双曲线E的标准方程；(2)过点P作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点A，B，求证：平行四边形OAPB的面积为定值，并求出此定值．角度3最值问题(1)构建关于变量的目标函数，转化为求函数的值域或最值，常利用二次函数的相关知识或基本不等式求解．面积、弦长、含变量的代数式的最值问题，常选用此法，解决问题时要注意自变量的取值范围．(2)通过对圆锥曲线中的最值问题的学习，提升学生的数学建模、逻辑推理、数学运算素养．例5在平面直角坐标系xOy中，点A(12，1)在抛物线C：y2＝2px(1)求p的值；(2)若直线l与抛物线C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，y1y2<0，且OP·OQ＝3，求|y1|＋2|y2|的最小值．章末复习课考点聚焦·分类突破例1解析：(1)双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，故2c且渐近线经过点(1，－2)，故－ba＝－2，故a＝1，b＝2，双曲线方程为：x2－y2(2)易知a2＝494，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝254，a＝72，即c由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝7，又因为|PF1|∶|PF2|＝4∶3，所以|PF1|＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝5，所以△PF1F2为直角三角形，所以S△PF1F2＝12(3)由x2＝8y得焦点F(0，2)，准线方程为y＝－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由AF＝13(AB+AC)得(－x1，2－y1)＝13(x2－x1，y2－y1)＋13(x3－x1，则2－y1＝13(y2－y1＋y3－y1)，化简得y1＋y2＋y3＝6所以|AF|＋|BF|＋|CF|＝y1＋y2＋y3＋2×3＝6＋6＝12.答案：(1)B(2)D(3)D例2解析：(1)由题可知A(－a，0)，B(0，b)，C(0，－b)，因为AB的垂直平分线过E的下顶点C，所以|AC|＝|BC|，则a2+b2＝2b，解得：a＝3b，所以E的离心率e＝(2)如图所示，双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，由对称性，取一条渐近线l：y＝b2x，F1关于渐近线的对称点为P直线l与线段PF1的交点为A，连接PF2，因为点P与F1关于直线l对称，则l⊥PF1，且A为PF1的中点，所以|AF1|＝b，|OA|＝a＝2，|PF2|＝2|AO|＝2a＝4，根据双曲线的定义，有|PF1|－|PF2|＝2a＝4⇒|PF1|＝8，故A不正确；|PF1|＝8，即2b＝8⇒b＝4，所以e＝ca＝1+b2a2易知△F1PF2是以∠F1PF2为直角的直角三角形，所以S△F1PF2＝12×|PF1|×|PF2|＝12×4由于b＝4，所以渐近线方程为y＝±bax＝±2x，故D(3)设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A±32，12(不妨取点A在x轴上方)，则有14＝±32a，解得a＝±3答案：(1)A(2)BC(3)y2＝±36例3解析：(1)由题设椭圆的方程为x24+因为椭圆经过点1，32，所以14+34b所以椭圆的方程为x24＋y2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1所以(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，由题得x1≠x2，所以(x1＋x2)＋4(y1＋y2)·y1-y所以2＋4×1×y1-y2x1-x2＝0，所以2＋∴kAB＝－12所以直线l1的斜率为－12(2)由题得P(0，1)当直线l2的斜率不存在时，不符合题意；当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y＝kx＋n(n≠1)，联立方程组y=kx+nx24+y2=1，可得(4k2＋1)x2＋8knx＋所以Δ＝(8kn)2－4×4(4k2＋1)(n2－1)＝16(4k2＋1－n2)>0，解得4k2＋1>n2①，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3＋x4＝－8kn4k2+1，x3x4因为PC·PD＝0，则(x3，y3－1)·(x4，y4－1)＝0，又y3＝kx3＋n，y4＝kx4＋n，所以(k2＋1)x3x4＋k(n－1)(x3＋x4)＋(n－1)2＝0③，由②③可得n＝1(舍)或n＝－35满足条件①此时直线l2的方程为y＝kx－35故直线l2过定点0，例4解析：(1)c则a＝1，b＝2，c＝3.所以双曲线E的标准方程为：x2－y22(2)设P点坐标为(x0，y0)，过P与渐近线平行的直线分别为l1，l2，方程分别为y－y0＝2(x－x0)，y－y0＝－2(x－x0)，联立方程：y-y0同理可得：y-y0又渐近线方程为y＝±2x，则sin∠AOB＝22S▱OAPB2=OA2OB又点P在双曲线上，则2x02所以S▱OAPB2＝1且此定值为22例5解析：(1)将A12，1代入抛物线C：y2解得：p＝1