新教材2023版高中数学第二章平面解析几何2.1坐标法学生用书新人教B版选择性必修第一册

2.1坐标法[课标解读]1.探索并掌握平面上两点间的距离公式.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题(图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．教材要点知识点一数轴上的基本公式1．数轴上两点间的距离公式：已知数轴上两点A(x1)，B(x2)，则AB＝________，d(A，B)＝________.2．数轴上两点间的中点坐标公式：已知数轴上两点A(x1)，B(x2)，设点M(x)是线段AB的中点，则有x＝________．知识点二平面直角坐标系中的两点间距离公式及中点公式1.已知在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有d(A，B)＝|AB|＝________.2．已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x＝________，y＝________．知识点三坐标法通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过________得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．这种解决问题的方法称为坐标法．基础自测1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是()A．C(－3)和D(－4)B．C(3)和D(4)C．C(－4)和D(3)D．C(－4)和D(－3)2．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为()A．4B．－4或2C．－2D．－2或43．在数轴上存在一点P，它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍，则P的坐标为()A．2B．－3C．5D．3或－54．(1)如图，若A(－1，1)，C(3，1)连线的中点为M1(x，y),则M1坐标为________；(2)若B(3，4)，那么BC的中点M2的坐标是________.题型1数轴上两点间的距离【思考探究】1．如果两点的位置不确定，如何求其距离？[提示]分类讨论．2．向量的长度及数量的区别与联系．[提示]|AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|，AB＝xB－xA.例1已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1，3，x.当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x.状元随笔数轴上两点间的距离⇒点与实数的对应关系⇒数轴上的基本公式．方法归纳数轴上的基本公式应用思路与方法已知数轴上两点间的距离时，使用d(A，B)＝|AB|＝|xB－xA|求解．跟踪训练1(改变问法)本例条件不变，若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？题型2平面直角坐标系中两点间的距离公式的应用例2已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a，0)，B(a，0)，C(0,3a)．求证：△ABC是等边三角形．方法归纳根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等．在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的．跟踪训练2(变换条件)本例若改为：已知A(－1，－1)，B(3，5)，C(5，3)，试判断△ABC的形状．题型3平面直角坐标系中中点公式的应用例3已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4，2)，B(5，7)，对角线交点为E(－3，4)，求另外两顶点C、D的坐标．状元随笔先分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解．方法归纳1．本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的．2．中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解．跟踪训练3已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0，0)，B(2，0)，D(1，3)，求顶点C的坐标．题型4坐标法的应用【思考探究】1．如何建立平面直角坐标系？[提示](1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴．2．建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？[提示]不影响．3．解决问题的思路是什么？[提示]几何证明问题⇒坐标法⇒借助代数运算证明例4△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.方法归纳1．对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化．2．在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点．跟踪训练4已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC第二章平面解析几何2．1坐标法新知初探·自主学习[教材要点]知识点一1．x2－x1|x2－x1|2.x知识点二1.x2.x1+知识点三代数运算[基础自测]1．解析：由数轴上点的坐标可知A正确．答案：A2．解析：a-12+6-22答案：D3．解析：设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5，所以P(3)或P(－5)．答案：D4．答案：(1)(1，1)(2)3课堂探究·素养提升例1解析：由题意知|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，则3(x＋1)＝x－3，①或3(x＋1)＝－(x－3)．②解①得x＝－3；解②得x＝0.所以点P的坐标为x＝－3或x＝0.跟踪训练1解析：由题意知|PA|＝|PB|＝2，即x+1=2，x-此时点P的坐标为1，显然此时P为线段AB的中点．例2证明：由两点的距离公式得|AB|＝a+a2+0-0|BC|＝0-a2+3a|CA|＝-a-02∴|AB|＝|BC|＝|CA|，故△ABC是等边三角形．跟踪训练2解析：d(A，B)＝3＝42+62＝52d(A，C)＝5＝62+42＝52d(B，C)＝5＝22+22＝8所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且显然三边长不满足勾股定理，所以△ABC为等腰三角形．例3解析：设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点得：-3=4+设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点得-3=5+故C点坐标为(－10，6)，D点坐标为(－11，1)．跟踪训练3解析：∵平行四边形的对角线互相平分，∴平行四边形对角线的中点坐标相同．设C点坐标为C(x，y)，则0+x2=2+12=32，例4证明：如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，则A(－a，0)，C(c，0)，D-a2，3则|AE|＝c＝a2|CD|