天津市各区2021年中考模拟数学试题汇编：四边形解答题

天津市各区2021年中考模拟数学试题汇编:

四边形解答

1.(2021•河西区模拟)已知，如图①将矩形纸片沿过点。的直线折叠，使点A

落在8上的点4处，得到折痕。E,然后把纸片展平；再如图②，将图①中的矩形纸

片408沿过点E的直线折叠，点。恰好落在4D上的。处，点B落在B处，得到折

痕砂BC交45于点/，CF交DE于点、N,再把纸片展平.

(I)如图①，填空：若力。=3,则班的长为;

(口)如图②，连接EC,XMC5是否一定是等腰三角形？若是，请给出证明；若不

是，请说明理由；

(HI)如图②，若月。=2cm,DC'=4cm,朱DN；E7V的值.(直接写出结果即可)

C'n

1

1

------------」1

B-----------------------CBJC

图1图2

2.(2021•和平区模拟)在平面直角坐标系中,有正方形和正方形OEFG,E(2加,

0),B(0,2).

图①图②

(I)如图①，求跳;的长；

(D)将正方形038绕点。逆时针旋转，得正方形08'CD'.

①如图②，当点6'恰好落在线段0G上时，求BE的长；

②将正方形。归。〃绕点。继续逆时针旋转，线段。G与线段BE的交点为求4

G/ZE与m7面积之和的最大值，并求出此时点H的坐标(直接写出结果).

3.(2021•滨海新区二模)已知一个等边三角形纸片OAB,将该纸片放置在平面直角坐标

系中，。为坐标原点，使边。4与尸轴的正半轴重合，点3落在第一象限，过点B作

垂直于x轴，垂足为点C

(I)如图①，若点力坐标为(0,4),求3。的长;

(H)如图②，将四边形Q4BC折叠，使点月落在线段OC上的点为点D,HK为折痕,

点〃在Q4上，点K在48上，且使。K//y轴.

①试判断四边形/印物的形状，并证明你的结论;

②求累的值;

(DI)如图③，将四边形。12。折叠，使点/落在线段。。上的点。与。点重合，HK

为折痕，点H在。1上,点展在上，求强的值(直接写出结果即可).

图①图②图③

4.(2021•南开区二模)如图，将平行四边形O4BC放置在平面直角坐标系xQy内，已

知力(3,0),B(0,4).

(I)点。的坐标是(,);

(H)若将平行四边形OABC绕点。逆时针旋转90°得OFDE,DF交。。于点P,

交了轴于点尸，求△。母'的面积；

(HI)在(II)的情形下，若再将平行四边形。叫E沿尸轴正方向平移，设平移的距离

为d,当平移后的平行四边形OFDE'与平行四边形Q45C重叠部分为五边形时，设

其面积为S,试求出S关于d的函数关系式，并直接写出x的取值范围.

5.(2021•河北区二模)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中，

点4夕分别在x轴、y轴上，点。(4,2),点。是边。4上的动点，沿助折叠该

纸片，得点。的对应点。，点/的对应点4.

(I)如图①，当点，落在y轴上时，求点4的坐标；

(D)如图②，当BC平分NO4Z?时，求点力'的坐标；

(HI)连接力'G。。，求△4。'。面积的最大值(直接写出结果即可).

图①图②

6.(2021•西青区二模)将一个矩形纸片Q4B。放置在平面直角坐标系中，OA,。。分

别在x轴，y轴的正半轴上，点8坐标为(4,10).

(I)如图①，将矩形纸片折叠，使点吕落在y轴上的点。处，折痕为线段力后,

求点。坐标；

(D)如图②，点£,尸分别在0G48边上.将矩形纸片。43c沿线段防折叠，使

得点B与点D(0,2)重合，求点。的对应点G的坐标；

(IH)在(n)的条件下，若点尸是坐标系内任意一点，点。在y轴上，使以点。，F,

P,。为顶点的四边形是菱形，请直写出满足条件的点尸的坐标.

图①图②

7.(2021•滨海新区一模)在平面直角坐标系中，矩形。4BC的顶点。分别在x轴、

y轴上，点B的坐标为(2,2V3).将矩形0ABe绕低A顺时针旋转a,得到矩形

点O,B,。的对应点分别为。1，B],

(I)如图①，当a=45°时，与力B相交于点区求点后的坐标；

(D)如图②，当点落在对角线上时，连接Bg，四边形04GB是何特殊的四

边形？并说明理由；

(HI)连接当BG取得最小值和最大值时，分别求出点刍的坐标(直接写出结

果即可).

8.(2021•天津一模)如图，在直角坐标系中，矩形。4口。的顶点。和原点重合，OA=

5,OC=2,动点P从点。开始向点/运动，以8为对称轴，把△COP折叠，所得△

CO'尸与矩形Q4BC重叠部分面积为y.

(I)当点。’恰好落在3。上时，求点P坐标;

(口)①设。尸=£,当。<£<5时，求y关于f的函数关系式;

②当重叠部分面积是矩形皿。面积的封，求，的值.

9.(2021•红桥区一模)在平面直角坐标系中，。为原点，点/(6,0),点3在第一象

限，/048=90°,。为的中点，AB=AC.

(I)如图①，求点B的坐标；

(II)将△Q4C沿x轴向右平移得△04。，点0,4。的对应点分别为0,4,C.设

OO=t,△04。与重叠部分的面积为S.

①如图②，当△04。与△SBC重叠部分为四边形时，与力。相交于点。，4C与

相交于点E,试用含有「的式子表示S,并直接写出「的取值范围；

②当时，求［的值（直接写出结果即可）.

y

10.（2021•和平区一模）已知矩形Q4BC在平面直角坐标系中，点力（1,0）,点。（0,

2）,点。（0,0）,把矩形0ABe绕点。顺时针旋转135°,得到矩形ODEF,点

A,B,。的对应点分别为。，E,F.。后交y轴于点〃.

（I）如图①，求/斤。河的大小及。河的长；

（H）将矩形跖沿y轴向上平移，得到矩形。〃£尸，点。,D,E,户的对应点

分别为。，D,E,F1.设。。=£（0<£<2）.

①如图②，直线〃笈与x轴交于点乂若CN//3O,求「的值；

②若矩形O'D'E'F'与矩形O/BC重叠部分面积为S,当重叠部分为五边形时，试

用含有1的式子表示S,并写出［的取值范围（直接写出答案即可）.

图①

图②

IL(2021•天津模拟)将一个矩形纸片O4BC放置在平面直角坐标系中，点/(10,0),

C(0,4),点尸为6。边上的动点(电。不与点A。重合).

(I)如图①，当/。。尸=60°时，求点。的坐标；

(II)沿。尸折叠该纸片，点。的对应点为C,设CP=t.

①如图②，若点。在第四象限，PC与Q4交于点D,试用含有I的式子表示折叠后重叠

部分的面积，并直接写出f的取值范围；

②若折叠后重叠部分的面积为S,当3VS＜孕时，求f的取值范围(直接写出结果即

可).

12.(2021•红桥区模拟)在平面直角坐标系中，四边形。西。是矩形，点。(0,0),

点A(炳,0),点。(0,1).以点。为中心，逆时针旋转矩形OABC,得到矩形

ODEF,点A,B,。的对应点分别为D,E,F.记旋转角为

图①

(I)如图①，当a=30时。，求点。的坐标；

(H)如图②，当点H落在尸轴的正半轴上时，。。与3。交于点“，求点”的坐标;

(DI)将矩形。43。旋转一周，求边扫过的面积S(直接写出结果即可).

13.(2021•河西区二模)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,

点力(11,。)，点3(0,6),点尸为边上的动点.

(I)如图①，经过点。、。折叠该纸片，得点8和折痕OP.当点尸的坐标为(2丁§,

6)时，求P的度数；

(n)如图②，当点。与点。重合时，经过点O、。折叠纸片,使点B落在点B的位置,

BC与OA交于点M,求点”的坐标；

(山)过点尸作直线PQ,交于点Q,再取中点T,力。中点N,分别以TP,

PN,NQ,为折痕，依次折叠该纸片，折叠后点。的对应点与点B的对应点恰好重

合，且落在线段尸。上，/、。的对应点也恰好重合，也落在线段尸。上，求此时点尸的

坐标(直接写出结果即可).

图①图②

14.(2021•津南区一模)将一个矩形纸片Q4B。放置在平面直角坐标系中，点0(0,0),

点月(0,2),点E,尸分别在边45,BC±.沿着折叠该纸片，使得点月落在

边上，对应点为4,如图①.再沿。尸折叠，这时点反恰好与点。重合，如图②.

(I)求点。的坐标；

(D)将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点。与点尸重合，折痕与4S相交于

点R展开矩形纸片，如图③.

①求N”户的大小；

②点M,N分别为。户，OE上的动点,当所取得最小值时，求点N的坐标(直

接写出结果即可).

15.(2021•北辰区二模)平面直角坐标系中，四边形048。是正方形，点4。在坐标

轴上，点5(6,6),尸是射线08上一点，将△力。尸绕点力顺时针旋转90°,得4

ABQ,Q是点尸旋转后的对应点.

(1)如图(1)当。尸=2&时，求点。的坐标；

(2)如图(2),设点P(x,y)(0<x<6),△力尸。的面积为S.求S与x的函数

关系式，并写出当S取最小值时，点尸的坐标；

(3)当的BQ=8料时，求点Q的坐标(直接写出结果即可).

参考答案

1.【分析】(1)由折叠性质得DE=45。，得出/E=4O=3,由勾股定

理则可得出答案；

(2)连接C'E,证明RtZXEC'/四RtZ\。'EB',得/EA=2EC'B',便可

得结论；

(3)设DF=xcm,JliJFC=FC=(8-x)cm,由勾股定理求出x的值，延长A4、

FC交于点G,求得月G,再证明△ATVFs^EVG,便可求得结果.

【解答】解：(1)・•,448是矩形，

月=//。。=90°,

••・将矩形纸片力BCD沿过点。的直线折叠，使点月落在8上的点4处，得到折痕DE,

：./_ADE=/_A'DE=45°,

；./AED=/A'DE=ZADE,

.AD=AE=3,

/?£?=22=22=

•1•7AD+AEVS+33圾；

故答案为：372；

(2)/XMCE是等腰三角形.

证明：如图1,连接C'E,由⑴知，AD=AE,

•.•四边形月38是矩形，

：.AD=BC,AEAC=/B=90°,

由折叠知，B'C'=BC,AB=AB',

：.AE=B'C,/_EAC=/_B',

又EC=。'E,

••.RtZXEC力/EB'(HL),

/.ZCEA=ZECB',

：,MC=ME,

即△〃C‘石是等腰三角形.

(3),/RtAE,C/RtZ\。'EB1,

.\AC=B'E,

由折叠知，BfE=BE,

：.AC=BE,

'：AC=2cm,DC=4cm,

AB=CD=2+4+2=8(cm),

设DF=xcm,则尸C，=FC=(8-x)cm,

•：DC2+D^=FC2,

42+^=(8-x)2,

解得，x=3,

即DF=3cm,

如图2,延长84、FC交于点G,则/4。‘G="C'F,

F=AG=DF二3

—职'二DC，1'

3

.\AG=—(cm),

315

/.EG=AG+AE=^+^=2(的)，

\'DFHEG,

：ADNFSXENG,

DN^DF3?

•••EN'EG"15-=4.

T5

2.【分析】(I)由勾股定理可求出答案；

(D)①证明△ODG04C归E(S4S),由全等三角形的性质得出DG=BE,连接

OC交。G于点M,由勾股定理和锐角三角函数求出〃“和G”的长，则可求出答案；

②对于AEGH,点〃在以EG为直径的圆上，即当点〃与点。重合时，4EGH的高

最大；对于点H在以30为直径的圆上，即当点月与点。重合时，4BDH

的高最大，即可确定出面积的最大值.

【解答】解：(I),:E(2亚,0),B(0,2),

OE=2y/~2,OB=2,

5£；=VOB2+OE2=722+(2V2)2=2V3；

(D)①•.•四边形C归。。和四边形OE尸G都为正方形，

：.OD=OB,/_DOB=AGOE=90°,OG=OE,

：./_DOB+/_BOG=ZGOE+ZBOG,

即N〃OG=NBOE,

在△ODG和△O3E中，

'OD'=0B'

•ZDZOG=ZBZOE,

OG=OE

：.^ODG^^OBE(SAS),

：.DG=BE,

连接OC交。G于点M,

图②

••・四边形是正方形,

/.zOMG=zODC=90Q,ZMZ7（9=45°,

在RtZ\OAf〃中，cosZ.MDO=^^,

O〃・cos45°=OE・cos45°=2x与=圾,

在Rt△OMG中，根据勾股定理得：GM=VOG2-OM2=VOE2-OM2=

d（2加）2-（加）2=1,

：.DG=DM+GM=^4^,

.,.BE=Z7G=&+近；

②aG/ZE和43曲面积之和的最大值为6,理由为：

对于△EG”,点H在以EG为直径的圆上，

..•当点方与点。重合时，4EGH的高最大;

对于点〃在以笈。为直径的圆上，

••・当点H与点。重合时，△4。4的高最大，

则和△3的面积之和的最大值为2+4=6,此时“（0,0）.

3.【分析】（1）由等边三角形的性质可得。3=。4=4,由直角三角形的性质可求解；

（口）①由折叠的性质可得AK=KD,AAHK=AKHD,由平行线的性质

和等腰三角形的判定可得/〃=〃。=。女=左4,可得结论；

②由平行线的性质和直角三角形的性质可得/。。〃=30°,由锐角三角函数可求解；

（HI）设/O=Oe=/6=2a,在直角三角形中，由勾股定理可求CW的长，即

可求解.

【解答】解：（I）如图①，.；△月。3是等边三角形，点力坐标为（0,4）,

二./402=60°,OB=OA=4,

：./_BOC=30a,

轴，

.•.在RtZXOBC中，^C=-1（9^=yX4=2;

（D）①四边形/皿女为菱形，理由如下：

如图②，由翻折可得△月印但△。//K,

：.AH=HD,AK=KD,/_AHK=/_KHD,

■：DKWOA,

：./_AHK=/.HKD,

：.ZKHD=ZHKD,

：.HD=KD,

：.AH=HD=DK=KA,

，四边形AHDK为菱形;

②如图，・・・△406是等边三角形,

；.NA=NHDK=60°,

DKWOA,

：./_OHD=60°,

；.NODH=30°,

(HI)设/O=O4=/e=2a,

■：ACOB=30°,

BC=a,OC=\f^a,

••.将四边形折叠，

：.AH=CH,

•:Hd=O曲od,

：.{2a-OH)2=0/^+3^,

；.OH=等,

4

.0H=V3

"OC12'

4.【分析】(I)运用平行四边形性质即可求出点。的坐标；

(D)运用旋转的性质可得：OD=OB=4,OF=OA=3,AODF=AOBA,/_OFD

=ZOAB,根据三角形面积公式求得S."w=6,运用勾股定理求出。尸=5,再证明△

QFP^XDFO,运用相似三角形性质即可求得答案；

(ID)根据重叠部分为五边形时，F必须位于点B上方,可得d>l,当点。在D'F

上时，重叠部分不构成五边形，可得dv苧，故ivdv号；再根据S=S4FPo-S

-S^OGO,求出答案即可.

【解答】解：(I)-.-A(3,0),B(0,4),

「.0/4=3,OB=4,

••・四边形Q4BC是平行四边形，

.•.BC=OA=3,BCII04,ABIIOC,

.,・点。的坐标为：(-3,4);

故答案为：-3,4;

(H)由旋转的性质，可得：OD=OB=4,OF=OA=3,ZODF=ZOBA,/.OFD

=/_OAB,

,:NBOD=9G°,

22=

S*DOF=%^A°F=*x4x3=6,DF=7OF-H3D732+42=5,

••,ABIIOC,

/.ZOBA=ZBOC,

.・./ODF=ZBOC,

•・•ZOFP=ZDFO,

：.XOFP^XDFO,

.JAOPF_/0F、2_,3、2_9

-至嬴=W=Wk

.G__9_Q

一^OPF~2S^DOF^25-25，

(m)如图，重叠部分为五边形时，尸必须位于点4上方，

•・,O尸=3,OB=49

：.d>1,

当点。在。’F上时，重叠部分不构成五边形，设此时直线D'F的解析式为y=

4

3

将。(-3,4)代入，得4=^X(-3)+b,

4

解得：b=孕，

4

QOR

.・・直线。'F'的解析式为尸件丹片，

44

25

令x=0,得y=T，

(0,号)，

4

OF'=—,

4

2513

：.FF=OF-OF=--3=—,

44

T，

4

i<<y<—；

4

P'3

—=sinNFOC=—,

Fz05

33

：.P'F'=—F'O=—(d+3),

55

同理可得：P0=4(d+3),

5

:P。=#F•尸O=^-X-|(d+3)X卷(d+3)=捻(d+3)2,

BF'3

•・,里7-=cos/。'FO=—BF=67-1,

HF，59

5

■-HF'=3(d-1),

o

••--^-=sinZP,F'O=—,

HF，5

：.HB=—HF'=—X—{d-1)=—(d-1),

5533

・••SXHBF=细尸-HB=^X(d-1)X暂(d-1)=-|(d-l)2,

乙乙oo

•••OO'=d,

Q4

O'G=OO'•sin^BOC=—d,OG=OO'*cos/_BOC=—d,

55

====

:,SMOGO'~O'G*O(7—X—cfx—d——cf,

△°G°225525

-S^.=2(d+3)2(d-1)2-&/=-

•••s=s&"'尸'。一S&HBFOGO

3

豺*簧嘴，

金/曲第喈…》

5.由折叠的性质可得月8=43=2遥，即可求

解;

（n）由折叠的性质和角平分线的性质可求/。由=/。3。=/。3。=30°,由直角

三角形的性质可求。。=2晶，DE=4-2M，由折叠的性质和平角的性质可求N4OE

=60°,即可求解;

（山）由折叠的性质可得力。=4。=2,则当点。到4。的距离最大时，△4C'。面

积有最大值，所以当点。与点。重合时，可得最大距离为8,即可求解.

【解答】解：（I）如图①，连接48,

图①

•・•点C(4,2),

:、OB=AC=2、OA=BC=4,

^-S=VOB2+OA2=V4+16=2遥，

由折叠可得：AD=AD,AB=AB=20

：.A'O=2-f^-2,

.•.点4(0,2-275);

（D）如图②，过点4作月'E1Q4于七,

图②

•••BC平分NOB。，

：.AOBC=ADBC,

由折叠可得：乙CBD=£DBC,乙BDA=乙BDA,

：.ZCBD=ZDBC=ZOBC=30°,

:.NOBD=60°,

：.AODB=30°,

・'•QD=MOB=2M，N3ZM="04=150°,

.•.40=40=4-2相，/004=120°,

：.AADE=60a,

：.ADAE=2,0°,

:.DE*AD=2-M，EA=MDE=2&-3,

。后=2b+2-眄=2+眄,

点4（2+03-2我）;

（山）由折叠可得：AC=A'C=2,

，当点。到4。的距离最大时，△4C'。面积有最大值，

..•当点。与点。重合时，点。到4。的最大距离为BC+BC=S,

.•.△4。’。面积的最大值=/x2x8=8.

6.【分析】（I）运用矩形性质和折叠性质及勾股定理即可求得答案;

（口）过点G作GHly轴于点H,由折叠知，四边形"与四边形DGEF全等,

由E@+GLP=ELP,建立方程求解即可；

(HI)设。(0,y),P(m,n),根据点。在y轴上，使以点。，F,P,。为顶点

的四边形是菱形，分三种情况：DQ=DF或FQ=DF或DQ=FQ,运用勾股定理先求

出点。的坐标，再依据菱形性质求出对应的点尸坐标.

【解答】解：(I)1,四边形Q4BC是矩形，

：.ABAO=ABCO=90°,OA=CB,CO=BA.

•••点B坐标为(4,10),

：.OA=CB=^,CO=BA=10；

由折叠可知，/\ADE^/\ABE,

：.DA=BA=},0.

在RtAAOD中，0。=g2-(^2=7102-42=2技，

..•点。的坐标为(0,2折);

(D)如图，过点G作GHly轴于点H,

•••点。(0,2),

.'.DO=2,

••・四边形。4笈。是矩形，

.•,ZB=90";

由折叠知，四边形尸与四边形DGEF全等,

：.£EGD=£B=900,GD=CB=4,CE=EG.

设CE=EG=x,贝i]ED=CO-CE-DO=10-2-x=8-x.

在RtZ\EGZ?中，EM+GUMEU,

.,.A2+42=(8-X)2,

解得：x=3.

EG=3,ED=5.

•••$诙=权。GD*EAGH,

—X3X4=—X5XGJ7,

22

GH=9

b

在Rt^G他中，^=VGD2-GH2=j42-(-y)2=-y>

HO=HD+DO=—+2=—.

55

・••点G的坐标为(-学,答).

D0

(HI)由折叠可知，LBFE=/_DFE,

\'BFIIED,

ZBFE=ZFED,

・•.ZFED=ZDFE,

：.BF=DF=ED=5,

：,AF=AB-BF=10-5=5,

：,F(4,5),

设。(。，y),p(m,n),

YD(0,2),

：.DQ=\y-2\,DF=5,F(^=42+(y-5)2,分的中点坐标为(2,今

.・•点。在y轴上，使以点。，F,P,Q为顶点的四边形是菱形，

分三种情况：DQ=。尸或FQ=DF或DQ=FQ,

①当。。=。9时，|y—2|=5,

解得：尸=7或-3,

，。(0,7)或(0,-3),

■-P(4,0)或(4,10),

②当斤9时，42+(y-5)2=25,

解得尸8或尸2(舍去)，

■Q(0,8),

••・P(-4,5),

③当。。=尸。时，|y-2|2=42+(y-5)2,

解得：y=^~,

6

・・・。(02,7争，

6

37

..m+0=2n4V7

2

2

5

・,.尸(4,f,

6

综上所述，点尸的坐标为(4,10),(4,0),(-4,5),(4,4).

6

图①

7.【分析】(I)利用条件可说明/。4。1=45°,利用等腰直角三角形的性质即可求解;

(n)四边形O4GB是平行四边形，先说明△“。1是等边三角形，得/。4。1=60°,

求出力G与X轴的夹角=180-/。140-/。1月0】=180-60-60=60°,得B。//

ACif又50=月G，得四边形。4GB为平行四边形；

(DI)探究出点G的运动路径是以力为圆心，ZG为半径的圆，分两种情形①当点G

在延长线上时，3G为最小值，过点目为作3]G1X轴/于点G,在Rt48/G

中，N31HG=180-90-30=60°,求出AG,BiA=V^，B1G=V3AG=3,得当Bg

取得最小值时点B、的坐标为（2+73，3）；而当点G在力延/长线上时，BC、

为最大值，同理可得当BG取得最大值时点刍的坐标为（2-«,-3）.

【解答】解：（1）1・矩形Q4BG

043=90°.

NO/E=45°,

-：AAO}E=90°,O}A=OA=2,

AE=V20iA=2V2,

；.E（2,2V2）；

（D）四边形04GB是平行四边形，

在Rt△4OB中,tan/AOB=~^~RI，

.-.2504=60°,

同理，NO/G=60°.

■：OA=OXA,

是等边三角形，

：./_OAOx=60°,

，力。1与才轴的夹角=180-/。1月。-ZC1AOl=180-60-60=60°,

：.BOIIAG，

又BO=Ag,

，四边形Q4GB为平行四边形；

（m）点G的运动路径是以其为圆心，/G为半径的圆，

当点g在45延长线上时，3g为最小值,

过点B[为作B[轴A于点G,

在RtaB/G中，ZBXAG=180-90-30=60°,

•1•AG=yB1A=V3>B]G=V^AG=3,

当Bg取得最小值时点回的坐标为（2+V3，3）；

当点G在力延力长线上时，BG为最大值，

过点B]为作31Hlx轴A于点H,

在中，ZBXAH=180-90-30=60°,

•••AH=yAB1-yX2V3=V3>83=7加=3,

当Bg取得最大值时点马的坐标为（2-«,-3）,

综上所述当BC,取得最小值和最大值时点B、的坐标分别为（2+V3，3）,

（2-V3，-3）.

图1

8.【分析】（I）当点O'恰好落在4。上时，由折叠易知四边形。。。尸为正方形，即

可求出尸点坐标；

（D）①分0VK2,2VK5两种情况讨论即可找到y与f的函数关系式；

②当重叠部分面积是矩形。面积的2时，即尸告。。・。4=擀，代入①中即可求出

442

f的值.

，此时四边形OCOP为正方形,

故OC=OP=2,

・•・当点。'恰好落在3。上时，P坐标为（2,0）,

（口）①情况一：当0<<2时，如图所示：

OP=t,由折叠性质可知△CO蜂△COP,

­•y~^^COP=^△COP=-^COWOP='^_X2Xt=。

情况二：当2v《5时，如图所示：

由折叠性质可知：/.CPO=/_CPO,PO=PO=t,

\'CBIIOA,

：."CP=CPO,

zDCO=zDPC,

:.DC=DP,

设CZ;=x,则。尸=x,OD=t-x,

在中，CCf2+oU=B,

/.22+(t-x)2二克,

2

解得：x=.t+4,

2t

22

支SACQP="1<D・CO，=万、工£4X2=t0：4,

\(0<t<2)

综上所述：y=\t2+4,

2t

111R

②当重叠部分面积是矩形04BC面积的；时，尸=0c・Q4=；X2X5=[

4442

当0VK2,(不符合题意，舍去)，

乙

2

当2Vf<5时，尸解得：-4或仁1(不符合题意，舍去)，

2t2

故当重叠部分面积是矩形Q4BC面积的4■时，f的值为4.

4

9.【分析】(I)由直角三角形斜边上的中线性质得则

证出N/OB=30°,得月B=孚。4=2我，即可求解；

(D)①连接OC,由平移的性质可知OCIIOC,CCIIAA',ACIIAC,CO=44'

r,nccy

=OO=t,则四边形CC4力是平行四边形，再证得牙£=A片

UUUA

则，？=警，过点C、。分别作X轴的垂线，垂足分别为〃、N,求出

6-t0C6

DN=Rxg然后求出△。。。的面积=噂»,的面积即可求解;

②当重叠部分为四边形时，由得技-小心得心解方程即可；当重叠部

分为三角形时，易证重叠部分的三角形是等边三角形,设等边三角形的边长为x,则亨中

="行，解得x=孚，求出力。'=空运，即可得出结果•

【解答】解：(I).•・点力(6,0),

04=6,

•・•ZOAB=90。,。为。石的中点，

：.AC=^OB=BC,

■：AB=AC,

：.AB=^OB,

：./_AOB=3Qa,

：.AB=^-OA=2y/3,

3

­■B(6,273)；

(□)①连接OC,如图②所示：

由平移的性质可知，OCIIOC,CCIIAA,,ACIIAC,CC=AA'=OO=t,

..・四边形CCA'A是平行四边形，

AS=平行四边形CCAA的面积-△8C的面积-△力及T的面积，

CCIIOA,

：ACC»l\AOD,

.CzD_CCy_t

"OzD-0/A-67t，

.OyD_6-t

一0，C，6->

过点。、。分别作x轴的垂线，垂足分别为〃、N,

•.•。为的中点，B(6,2加)，

..C(3,«),O"=3+f,CM=M，

-C(3+t,«),

.../cc/DNC'M

.sin/DOA——：——=-----；—,

0，DO7Cz

DN=?'yXCM=XF，

•・.△CC。的面积=£=・t=?,

乙ULc,

VOCIIOCyACWAC,OC=AC,

/.ZCCD=ZCCD=ZDOA=ZDAO=30°,

・••/=tan3。。=冬

.\AE=

/XAAE的面积=LEXAA'=—X^-tX仁返，,

2236

•1-5=Vsf-—--f2=Vs?-—(。<£<3)；

1264

②当重叠部分为四边形时，

解得：■•或

oo

,：t<3,

仁坐去,

o

一2

当重叠部分为三角形时,

•：AOAB=90°,。为OB的中点,

.'.AC—BC,

-：AB=AC,

.'.AB=AC=BC,

.•.△45。是等边三角形，

由平移的性质可知，OCIIOC,

,重叠部分的三角形是等边三角形，

设重叠部分的等边三角形的边长为工

解得:A李

"=2*竽＞4=孚,

OO'=OA-AO'=6-我豆

图②

10,【分析】(I)利用旋转变换的性质求解即可.

(H)①根据=OM-OM',求出QM,OM'可得结论.

②当证-1时，重叠部分是五边形MPAQ,如图③中，利用分割法求解

即可.

【解答】解：(I)...把矩形0ABe绕点。顺时针旋转135°,得到矩形ODEF,

.,./CO户=135°,/。。尸=/。=90°,OD=OA,

ZFOM=180°9=45°,

■■A(1,0),

：.OA=OD=1,

■：ADOM=900-45°=45°,

OM=\p2.OD=

(D)①•.•四边形Q43。是矩形，

/.CB=OA=1,CB\\OA,

•：CNHOB,

..・四边形avc归是平行四边形，

NO=CB=1,

设。E'交y轴于"’，则W=t,

•••四边形石尸是矩形，

OFIIDE,

•：D'E'IIDE,

：.OFIID'E',

ZNM'ONFOM=45°,

ZONM'=90°-/.NM'0=90°-45°=45°,

ZNM'O=ZONM',

OM'=ON=1,

t=MM'=OM-OM'=血-1.

②当g-1时，重叠部分是五边形O'MPAQ,如图③，此时S=S梯形O。.

SM"(什-1)-/•(七_&)2=-景+(&+1)

E'

图③

11.【分析】（I）过点。作0核1X轴于M,证明四边形。跖P为矩形，得到OC=PM

=4,根据tanNPOC=*，求得尸。即可确定点尸的坐标；

(D)①根据题意，当t=4时，折叠得到正方形，此时点。'恰好在x轴上，当t>4

时，就落在了第四象限，过点尸作RVlx轴于点乂证明四边形CW%是矩形，得

至！)0。=。。'=4,根据D,ZPDN=ZODC',得△P/VD/△OC'

D,得至ijOD=PD,设OD=x,则OD=PD=t-x,利用勾股定理得到方程：(f-x)

2=W+42,解方程，结论可得；

②分3<S<8和8Vs4等两种情形计算.

【解答】解：(I)如图，过点P作府1X轴于"，

•/zPCO=zCOM=zOMP=9O0,

・..四边形0Mpe•为矩形.

/.OC=PM=4,PC=OM.

PC

vtanZPOC=—,/COP=60°,

oc

PC=OC・tan600=4«=OM.

，尸点坐标为(473,4).

(D)①根据题意，当t=4时，折叠得到正方形，此时点。'恰好在x轴上,

当£>4时，C就落在了第四象限.

过点尸作即Lx轴于点"，如图：

ZPCO=ZCON=ZONP=9G0,

，四边形CWPC为矩形.

OC=OC'=PN=4.

■：zPND=zOC'0=90°,zPDN=ZODC,

：APN*AOC'D(AAS).

：.OD=PD.

设DN=x,则OD=PD=t-x.

由勾股定理得：

(f-x)2=A2+42.

2

解得：--I：.

2t

，重叠部分的面积为：W・OD»PN=Wx(f-t-16)X4=t+16.

222tt

此时4vy10；

②当34SW8时，C点落在矩形。43。内部，

此时重叠部分的面积就是△尸。。的面积，

S=—OC*CP=—X4Xt=2t.

22

：.3<2t<8.

3

—&t44.

2

2

当8VSW型时,S=t+16.

3t

.t^+16=26

'.-3,

解得：f=6或£=得(小于8,舍