求递推数列通项公式的十种策略例析(高考)

求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：SKIPIF1<0两边除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首，以SKIPIF1<0为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0。评注：本题解题的关键是把递推关系式SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，说明数列SKIPIF1<0是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出SKIPIF1<0，进而求出数列SKIPIF1<0的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0评注：本题解题的关键是把递推关系式SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0，即得数列SKIPIF1<0的通项公式。例3已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0评注：本题解题的关键是把递推关系式SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0，即得数列SKIPIF1<0的通项公式。例4已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：SKIPIF1<0两边除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0评注：本题解题的关键是把递推关系式SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0+…+SKIPIF1<0，即得数列SKIPIF1<0的通项公式，最后再求数列SKIPIF1<0的通项公式。三、利用累乘法求通项公式例5已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0评注：本题解题的关键是把递推关系SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0，即得数列SKIPIF1<0的通项公式。例6（2004年全国15题）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0解：因为SKIPIF1<0 ①所以SKIPIF1<0 ②所以②式－①式得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0 ③由SKIPIF1<0，取n=2得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入③得SKIPIF1<0。评注：本题解题的关键是把递推关系式SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0（n≥2），进而求出SKIPIF1<0，从而可得当n≥2时SKIPIF1<0的表达式，最后再求出数列SKIPIF1<0的通项公式。四、利用待定系数法求通项公式例7已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：设SKIPIF1<0 ④将SKIPIF1<0代入④式，得SKIPIF1<0，等式两边消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两边除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则x=－1，代入④式，得SKIPIF1<0 ⑤由SKIPIF1<0≠0及⑤式，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以2为公比的等比数列，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0。评注：本题解题的关键是把递推关系式SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，从而可知数列SKIPIF1<0是等比数列，进而求出数列SKIPIF1<0的通项公式，最后再求出数列SKIPIF1<0的通项公式。例8已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：设SKIPIF1<0 ⑥将SKIPIF1<0代入⑥式，得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0。令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入⑥式，得SKIPIF1<0 ⑦由SKIPIF1<0及⑦式，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以3为公比的等比数列，因此SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。评注：本题解题的关键是把递推关系式SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，从而可知数列SKIPIF1<0是等比数列，进而求出数列SKIPIF1<0的通项公式，最后再求数列SKIPIF1<0的通项公式。例9已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：设SKIPIF1<0SKIPIF1<0 ⑧将SKIPIF1<0代入⑧式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等式两边消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则得方程组SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入⑧式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0 ⑨由SKIPIF1<0及⑨式，得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0为以SKIPIF1<0为首项，以2为公比的等比数列，因此SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。评注：本题解题的关键是把递推关系式SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，从而可知数列SKIPIF1<0是等比数列，进而求出数列SKIPIF1<0的通项公式，最后再求出数列SKIPIF1<0的通项公式。五、利用对数变换法求通项公式例10已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。在SKIPIF1<0式两边取常用对数得SKIPIF1<0 ⑩设SKIPIF1<0 eq\o\ac(○,11)将⑩式代入eq\o\ac(○,11)式，得SKIPIF1<0，两边消去SKIPIF1<0并整理，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0代入eq\o\ac(○,11)式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0 eq\o\ac(○,12)由SKIPIF1<0及eq\o\ac(○,12)式，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以5为公比的等比数列，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，从而可知数列SKIPIF1<0是等比数列，进而求出数列SKIPIF1<0的通项公式，最后再求出数列SKIPIF1<0的通项公式。六、利用迭代法求通项公式例11已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式SKIPIF1<0两边取常用对数得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，再由累乘法可推知SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0七、利用数学归纳法求通项公式例12已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由此可猜测SKIPIF1<0，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当n=1时，SKIPIF1<0，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何SKIPIF1<0评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式例13已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列，因此SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0+3，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0。评注：本题解题的关键是通过将SKIPIF1<0的换元为SKIPIF1<0，使得所给递推关系式转化SKIPIF1<0形式，从而可知数列SKIPIF1<0为等比数列，进而求出数列SKIPIF1<0的通项公式，最后再求出数列SKIPIF1<0的通项公式。九、利用不动点法求通项公式例14已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个不动点。因为SKIPIF1<0。SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。评注：本题解题的关键是先求出函数SKIPIF1<0的不动点，即方程SKIPIF1<0的两个根SKIPIF1<0，进而可推出SKIPIF1<0，从而可知数列SKIPIF1<0为等比数列，再求出数列SKIPIF1<0的通项公式，最后求出数列SKIPIF1<0的通项公式。例15已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则x=1是函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的不动点。因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公差的等差数列，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0。评注：本题解题的关键是先求出函数SKIPIF1<0的不动点，即方程SKIPIF1<0的根SKIPIF1<0，进而可推出SKIPIF1<0，从而可知数列SKIPIF1<0为等差数列，再求出数列SKIPIF1<0的通项公式，最后求出数列SKIPIF1<0的通项公式。十、利用特征根法求通项公式例16已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。解：SKIPIF1<0的相应特征方程为SKIPIF1<0，解之求特征根是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。由初始值SKIPIF1<0，得方程组SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出SKIPIF1<0，从而可得数列SKIPIF1<0的通项公式。关于一阶线性递推数列：SKIPIF1<0其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时可得SKIPIF1<0知数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公比的等比数列，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0代入并整理，得SKIPIF1<0对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：设递推公式为SKIPIF1<0其特征方程为SKIPIF1<0，若方程有两相异根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0若方程有两等根SKIPIF1<0则SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可由初始条件确定。很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负责任的。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”。设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0（*）若方程组（*）有两组不同的解SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由等比数列性质可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0由上两式消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.特别地，若方程组（*）有一对共扼虚根SKIPIF1<0通过复数三角形式运算不难求得此时数列的通项公式为SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可由初始条件求出。若方程组（*）有两组相等的解SKIPIF1<0，易证此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0是等差数列，由等差数列性质可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．这样，我们通过将递推数列转化为等比（差）数列的方法，求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（*）消去SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）即得SKIPIF1<0此方程的两根即为特征方程SKIPIF1<0的两根，读者不难发现它们的结论是完全一致的，这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在。斐波那契数列SKIPIF1<0，求通项公式SKIPIF1<0。解此数列对应特征方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设此数列的通项公式为SKIPIF1<0，由初始条件SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。已知数列SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求通项公式SKIPIF1<0。解此数列对应特征方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设此数列的通项公式为SKIPIF1<0，由初始条件SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。已知数列SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求通项公式SKIPIF1<0。解此数列对应特征方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设此数列的通项公式为SKIPIF1<0，由初始条件SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。例4、设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0解：对等式两端同加参数SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0相除得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的等比数列，SKIPIF1<0。类型一：SKIPIF1<0求解方法：方法一：SKIPIF1<0则有：SKIPIF1<0（2）-（1）得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是公比为k的等比数列，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法二：∵SKIPIF1<0的特征方程为SKIPIF1<0，其根为SKIPIF1<0∴由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是公比为k的等比数列，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0例题：（2008安徽文）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为实数，且SKIPIF1<0（Ⅰ）求数列SKIPIF1<0的通项公式（Ⅱ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；（Ⅲ）若SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0成立，证明SKIPIF1<0解(1)方法一：SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列。SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0仍满足上式。SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0SKIPIF1<0。方法二由题设得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也满足上式。SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0SKIPIF1<0。(2)由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由（1）知SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0成立，知SKIPIF1<0。下面证SKIPIF1<0，用反证法方法一：假设SKIPIF1<0，由函数SKIPIF1<0的函数图象知，当SKIPIF1<0趋于无穷大时，SKIPIF1<0趋于无穷大SKIPIF1<0不能对SKIPIF1<0恒成立，导致矛盾。SKIPIF1<0。SKIPIF1<0方法二：假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0恒成立（＊）SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0（＊）式对SKIPIF1<0不能恒成立，导致矛盾，SKIPIF1<0SKIPIF1<0练习题：1．海滩上有一堆桃子是山上五只猴子的共同财产，它们相约一天一起到海滩平分这批财产，到了这一天，第一只猴子早早下了山，来到海滩，左等右等，不见其它猴子到来，于是它将这批桃子分成五等份，发现多了一只坏了的桃子，于是它将这只坏了的桃子抛向大海，拿走了其中的一份上山去了，拉着第二只猴子又下了山，来到海滩，左等右等，不见其它猴子到来，于是它将这批桃子分成五等份，发现多了一只坏了的桃子，于是它将这只坏了的桃子抛向大海，拿走了其中的一份上山去了，依此类推，第三、四、五只猴子相继来到海滩，都将这批剩下的桃子分成五等份，发现多了一只坏了的桃子，于是它将这只坏了的桃子抛向大海，拿走了其中的一份上山去了。问海滩上原有桃子至少有多少个？类型二：SKIPIF1<0求解方法：方法一：由SKIPIF1<0……（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0……（2）（2）-（1）得：SKIPIF1<0记SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，这样就化归类型一，按类型的方法先求出数列SKIPIF1<0的通项，再用累差法即可求出数列SKIPIF1<0的通项。方法二：设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将上式与SKIPIF1<0比较得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴数列SKIPIF1<0是公比为k的等比数列。∴数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例题（2006年山东卷）已知数列｛SKIPIF1<0｝中，SKIPIF1<0在直线y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令SKIPIF1<0(Ⅱ)求数列SKIPIF1<0(Ⅲ)设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前n项和,是否存在实数SKIPIF1<0，使得数列SKIPIF1<0为等差数列？若存在，试求出SKIPIF1<0.若不存在,则说明理由.解：（=1\*ROMANI）由已知得SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列.（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（=3\*ROMANIII）解法一：存在SKIPIF1<0，使数列SKIPIF1<0是等差数列.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是等差数列的充要条件是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是常数SKIPIF1<0即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为等差数列.解法二：存在SKIPIF1<0，使数列SKIPIF1<0是等差数列.由（=1\*ROMANI）、（=2\*ROMANII）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0是等差数列.类型三：SKIPIF1<0求解方法：方法一：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，这样就化归为类型一，按类型一的方法先求出数列SKIPIF1<0的通项，再用SKIPIF1<0即可求出数列SKIPIF1<0的通项。方法二：设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将上式与SKIPIF1<0比较得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴数列SKIPIF1<0是公比为k的等比数列∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0注：当k=q时，只能用方法一做。例题：用红、黄、兰三种颜色给一个标号为1，2，3，…，n（SKIPIF1<0）的矩形纸带涂色（如图所示），要求相邻的区域不能同色，但并不要求三种颜色都要使用。（1）求矩形纸带不同涂色种数SKIPIF1<0。（2）如果将矩形纸带卷成一个圆筒，即使第1个小矩形与第n个小矩形对接，并且要求圆筒侧面相邻矩形不同色，但并不要求三种颜色都要使用，如果用SKIPIF1<0表示n个矩形卷成圆筒后的不同涂色种数，求SKIPIF1<0的表达式。解：（1）由于第1个矩形有3种不同的涂色方法，以后n-1个小矩形每个都有2种不同的涂色方法，由分步计数原理得SKIPIF1<0（2）由（1）知SKIPIF1<0，i）当第1个矩形与第n个矩形同色时，卷成圆筒后可将第1个矩形与第n个矩形合并成一个矩形，故有SKIPIF1<0种涂色方法，ii）当第1个矩形与第n个矩形不同色时，卷成圆筒后则有SKIPIF1<0种不同的涂色方法。∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公比的等比数列,得出：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。练习题：(2008全国Ⅰ卷文)在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）设SKIPIF1<0．证明：数列SKIPIF1<0是等差数列；（Ⅱ）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．类型四：SKIPIF1<0求解方法：方法一：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，这样就化归为类型二，按类型二的方法先求出数列SKIPIF1<0的通项，再用SKIPIF1<0即可求出数列SKIPIF1<0的通项。例题：已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）求SKIPIF1<0中的最大项。（3）若SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。解：（1）∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0。（2）由SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0即数列SKIPIF1<0前5项单调递增且SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的最大项为SKIPIF1<0，（3）由（2）知SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0……①SKIPIF1<0……②①-②得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0练习题：在数列SKIPIF1<0中，已知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项。类型五：SKIPIF1<0求解方法：方法一：设递推数列：SKIPIF1<0的特征方程SKIPIF1<0的根为：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，这样就化归为类型三，按类型三的方法即可求出数列SKIPIF1<0的通项。图2图1例题：在一个单位圆中的n（SKIPIF1<0）条半径将圆分成n个不同的扇形区域（如图1所示），现需将这n个扇形区域用三种不同颜色涂色，要求相邻的区域不能同色，但不要求三种颜色都要使用。如果把含有n（SKIPIF1<0）个扇形区域的涂色方法数记为SKIPIF1<0。图2图1（1）求：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；（2）试用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0（只要求写出关系式），并证明数列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）是等比数列；（3）求数列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的通项公式。解析：（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（2）如果我们在含有n区域的圆中的某一区域内再插入一个区域（如图3所示），则共有n+2个区域，而此时插入的这个区域有2种涂色方法，故此时n+2个区域共有2SKIPIF1<0种涂色方法；图3如果我们在含有n+1区域的圆中的某两个相邻的交界线上再插入一个区域（如图4所示），则共有n+2个区域，而此时插入的这个区域只有1种涂色方法，故此时n+2个区域共有SKIPIF1<0种涂色方法；所以：图3SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，图4∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）是以2为公比的等比数列图4（3）由（3）可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是公比为-1的等比数列，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）练习题：(2008广东文)设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（n=3,4,…）,数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k，都有SKIPIF1<0(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.类型六：SKIPIF1<0求解方法：方法一：设是递推数列：SKIPIF1<0的特征方程SKIPIF1<0的根为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0。由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0……(1)由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……(2)将（1）代入（2）得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0这样就化归为类型一，按类型一的方法先求出数列SKIPIF1<0的通项，再由SKIPIF1<0即可求出数列SKIPIF1<0的通项。方法二：当特征方程SKIPIF1<0的两根不等时，我们还可用如下的方法求通项：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0设方程SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0则有:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0……(1)SKIPIF1<0……(2)由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……(3)将(1)、（2）式代入(3)式得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴数列{SKIPIF1<0}是公比为SKIPIF1<0(易证：SKIPIF1<0)的等比数列.∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.练习题：已知数列{an}中，a1=3，SKIPIF1<0，求{an}的通项。（答案：SKIPIF1<0）说明：当特征方程有虚根时，数列必为周期数列例如：已知数列{an}中，a1=2，SKIPIF1<0，求{an}的通项。上题用迭代法不难证明其周期为4。类型七：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0记SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0为等比数列。先求出SKIPIF1<0后，再求出SKIPIF1<0。例题：设SKIPIF1<0为奇函数，且SKIPIF1<0，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2，SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的解析表达式；（2）证明：当SKIPIF1<0.解（1）由f(x)是奇函数得：b=c=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01．有关概念：我们在研究数列{an}时，如果任一项an与它的前一项SKIPIF1<0（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。主要有以下几种方法：构造法：通过构造特殊的数列（一般为等差数列或等列），利用特殊数列的通项求递推数列的通项.迭代法：将递推式适当变形后，用下标较小的项代替某些下标较大的项，在一般项和初始之间建立某种联系，从而求出通项.代换法：包括代数代换、三角代换等待定系数法：先设定通项的基本形式，再根据题设条件求出待定的系数。3.思想策略：构造新数列的思想。4.常见类型：类型Ⅰ：SKIPIF1<0（一阶递归）类型II:分式线性递推数列:SKIPIF1<0二、例题：例1：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求通项SKIPIF1<0分析：构造辅助数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0求通项过程中，多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、等比数列去讨论，从而求出了通项公式SKIPIF1<0。[一般形式]已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中p,q,a为常数，求通项SKIPIF1<0[同类变式]已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求通项SKIPIF1<0分析：（待定系数），构造数列SKIPIF1<0使其为等比数列，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0[归纳]：类型Ⅰ：SKIPIF1<0（一阶递归）其特例为：（1）SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0利用累加法，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0…,各式相加，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0(nSKIPIF1<02)(2)SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;利用累乘法,SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列法1：(常数变易法)设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0亦即数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公比为p的等比数列，从而可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0法2：SKIPIF1<0利用SKIPIF1<0成等比数列求出SKIPIF1<0，再利用迭代或迭另法求出SKIPIF1<0法3：由SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0,从而又可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0两边同除以SKIPIF1<0例2：数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式.例3：数列SKIPIF1<0中，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式.[提示]SKIPIF1<0[归纳]：类型II:分式线性递推数列:SKIPIF1<0练习：1.已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和，并且SKIPIF1<0，⑴设数列SKIPIF1<0，求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；⑵设数列SKIPIF1<0，求证：数列SKIPIF1<0是等差数列；⑶求数列SKIPIF1<0的通项公式及前SKIPIF1<0项和。分析：由于{bSKIPIF1<0}和{cSKIPIF1<0}中的项都和{aSKIPIF1<0}中的项有关，{aSKIPIF1<0}中又有SSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0+2，可由SSKIPIF1<0-SSKIPIF1<0作切入点探索解题的途径．解：(1)由SSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0，SSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0+2，两式相减，得SSKIPIF1<0-SSKIPIF1<0=4(aSKIPIF1<0-aSKIPIF1<0)，即aSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0-4aSKIPIF1<0．(根据bSKIPIF1<0的构造，如何把该式表示成bSKIPIF1<0与bSKIPIF1<0的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)aSKIPIF1<0-2aSKIPIF1<0=2(aSKIPIF1<0-2aSKIPIF1<0)，又bSKIPIF1<0=aSKIPIF1<0-2aSKIPIF1<0，所以bSKIPIF1<0=2bSKIPIF1<0①已知SSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0+2，aSKIPIF1<0=1，aSKIPIF1<0+aSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0+2，解得aSKIPIF1<0=5，bSKIPIF1<0=aSKIPIF1<0-2aSKIPIF1<0=3②由①和②得，数列{bSKIPIF1<0}是首项为3，公比为2的等比数列，故bSKIPIF1<0=3·2SKIPIF1<0．当n≥2时，SSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0+2=2SKIPIF1<0(3n-4)+2；当n=1时，SSKIPIF1<0=aSKIPIF1<0=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为SSKIPIF1<0=2SKIPIF1<0(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前SKIPIF1<0项和。解决本题的关键在于由条件SKIPIF1<0得出递推公式。2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．练习：2.设二次方程SKIPIF1<0xSKIPIF1<0-SKIPIF1<0x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用SKIPIF1<0表示aSKIPIF1<0；例9．数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑴求数列SKIPIF1<0的通项公式；⑵设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；⑶设SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，是否存在最大的整数SKIPIF1<0，使得对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差数列，设公差为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大整数值是7。即存在最大整数SKIPIF1<0使对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。特征方程法求解递推关系中的数列通项考虑一个简单的线性递推问题.aa1=ban+1=can+d设已知数列SKIPIF1<0的项满足其中SKIPIF1<0求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程SKIPIF1<0称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为SKIPI