5.3三角单元易错题型归纳-高一数学上学期期末复习讲练（人教A版2019）

第五章三角函数单元复习提升一、易错题型易错点1．正负角混淆。【典型例题1】将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是.故选：D.【易错提醒】学生对角的理解还是局限在之间，把角都当成正数，容易忽视角的定义，顺时针旋转为负，逆时针旋转为正。易错点2．角度制与弧度制混用【典型例题2】把角－570°化为2kπ＋α(0≤α＜2π)的形式为()A．－3π－eq\f(1,6)π B．－4π＋150°C．－3kπ－30° D．－4π＋eq\f(5,6)π【答案】D【详解】－570°＝－2×360°＋150°，化为弧度为－4π＋eq\f(5,6)π.【易错提醒】(1)－3π不是2kπ的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2kπ＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A，C错．(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B错．易错点3．利用三角函数的定义运算出错【典型例题3】已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．【详解】因为点P的坐标是(4t，－3t)且t≠0，所以r＝|PO|＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|.当t＞0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；当t＜0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).【易错提醒】对涉及的参数未讨论符号，去根号时没有加绝对值而致错．因为t≠0，所以分t＞0和t＜0两种情况讨论．易错点4．忽略角的取值范围，造成增解或丢解【典型例题4】已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，且0＜θ＜π，求sinθ－cosθ.【详解】∵sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(1,25)，解得sinθcosθ＝－eq\f(12,25).∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25).∵0＜θ＜π，且sinθcosθ＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ－cosθ＞0，∴sinθ－cosθ＝eq\f(7,5).【易错提醒】此题易错为忽略“0＜θ＜π”的条件，错解为sinθ－cosθ＝±eq\f(7,5).当题目中已知角的范围时，或涉及到开方时，都要结合角度范围．确定三角函数值的符号．易错点5．盲目套用公式【典型例题5】若tan(5π＋α)＝m，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值为________．【答案】eq\f(m＋1,m－1)【详解】由tan(5π＋α)＝m，得tanα＝m.于是原式＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(m＋1,m－1).【易错提醒】此题中tan(5π＋α)与sin(α－3π)都不是公式形式，而直接套用公式易致错．使用诱导公式时，必须符合公式中的特点要求，才可正确应用．易错点6．作图象时忽视函数的定义域致误【典型例题6】函数y＝eq\f(1,tanx)·sinx的图象应为()【答案】B【详解】由tanx≠0，得x≠kπ，k∈Z，又因为x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以x≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，此时有y＝eq\f(1,tanx)·sinx＝cosx，x≠eq\f(kπ,2)，k∈Z.其图象如图所示：【易错提醒】(1)解答本题过程中，常因没有考虑该函数的定义域，而导致把不符合要求的点都画出来的错误，而错选A.(2)在作函数图象时，如果需要先对函数式化简，应特别注意函数的定义域，使化简前后等价，不能使定义域变小或扩大．画出的函数图象应注意与定义域对应，不在定义域内的点应用空心圈画出．易错点7．奇偶性判断错误【典型例题7】函数y＝eq\f(cosx1－sinx,1－sinx)的奇偶性为________．【答案】【详解】由题意，当sinx≠1时，y＝eq\f(cosx1－sinx,1－sinx)＝cosx.所以函数的定义域为{x|x≠2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．【易错提醒】此类问题一般是按函数奇偶性定义加以判断，一般不把函数式化简，若要化简，应注意化简前后的等价性，如本例，若直接将函数式化为y＝cosx，则易出现判断该函数为偶函数的错误．易错点8．三角函数图像平移、伸缩变换中的误区【典型例题8】把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得函数的解析式为()A．y＝sin(3x＋eq\f(π,12)) B．y＝sin(6x＋eq\f(3π,4))C．y＝sin(eq\f(3,2)x＋eq\f(π,12)) D．y＝sin(eq\f(3,2)x＋eq\f(3π,4))【答案】D【详解】把函数y＝sin(3x－eq\f(π,4))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，可得y＝sin[3(x＋eq\f(π,3))－eq\f(π,4)]的图象，即函数解析式为y＝sin(3x＋eq\f(3π,4))，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y＝sin(eq\f(3,2)x＋eq\f(3π,4))的图象．【易错提醒】1.在解答过程中，若不能正确理解平移的实质，则会出现y＝sin(3x＋eq\f(π,3)－eq\f(π,4))，得到y＝sin(3x＋eq\f(π,12))．从而误选A.2．在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的倍数把握不准，则易出现对x的系数缩小或扩大的倍数造成失误，会出现y＝sin(6x＋eq\f(3π,4))等类似的错误答案.易错点9．求值时忽视正余弦函数值域。【典型例题9】已知sinx+siny=1【答案】4【详解】因为1≤siny≤1，siny=13−sinx，所以sinx满足−1≤sinx≤1−1≤13−sinx≤1，解得−23≤sinx≤1，令t=sinx，则siny=13−t，所以siny则siny−【易错提醒】求关于sinx，cosx最值的常规方法是通过令t=sinx（或cosx）将三角函数的最值问题转化为关于t的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，易错点10．求三角函数的单调区间忽视ω的正负。【典型例题10】已知函数（）的最小正周期.求函数单调递增区间.【答案】；【详解】解：因为函数（）的最小正周期.，所以，由于，所以.所以，所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，令，解得，所以函数单调递增区间为.【易错提醒】周期公式为T=2π｜ω｜，易错点11．求单调区间忽视定义域。【典型例题11】求函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，x∈[－3π，3π]的单调增区间．【答案】【详解】由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)得4kπ－eq\f(5,3)π≤x≤4kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．又∵x∈[－3π，3π]，∴当k＝0时，－eq\f(5,3)π≤x≤eq\f(π,3)，当k＝1时，eq\f(7,3)π≤x≤3π.∴f(x)的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，\f(π,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,3)π，3π)).【易错提醒】求出f(x)的增区间的通式eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(5,3)π，4kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)，忽视题目条件x∈[－3π，3π]而致错，此时令k取某些整数与[－3π，3π]求交集，才是本题的答案，另外单调区间不能用“∪”联结．易错点12．化简忽略角的范围致错。【典型例题12】化简eq\r(2－\r(2＋\r(2＋2cosα)))(3π＜α＜4π)．【答案】【详解】原式＝eq\r(2－\r(2＋\r(4cos2\f(α,2))))(eq\f(3,2)π＜eq\f(α,2)＜2π)＝eq\r(2－\r(2＋2cos\f(α,2)))＝eq\r(2－\r(4cos2\f(α,4)))(eq\f(3,4)π＜eq\f(α,4)＜π)＝eq\r(2＋2cos\f(α,4))＝eq\r(4cos2\f(α,8))(eq\f(3,8)π＜eq\f(α,8)＜eq\f(π,2))＝2coseq\f(α,8).【易错提醒】此题易错于运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．易错点13．求三角函数时注意角的取值范围。【典型例题13】在中，为锐角，且，求的值。【答案】eq\f(π,4)【详解】因为A，B均为锐角，且sinA＝55，sinB＝10所以cosA＝1−sin2A=255，cos所以cos(A+B)＝cosAcosBsinAsinB＝255×3101055又A+B＜π所以A+B=eq\f(π,4).【易错提醒】(1)在两角差的余弦公式cos(α+β)＝cosαcosβsinαsinβ中，要注意它的结构特点，等式右边是余弦之积与正弦之积的和，应用时应特别注意．(2)对于给值求角问题，由已知条件确定出所求角的范围，是解决此类问题的关键．易错点14．因对y＝Asin(ωx＋φ)表示的实际意义理解不清致误。【典型例题14】弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5s内通过的路程及位移．【答案】【详解】(1)设振幅为A，则2A＝20cm，所以A＝10cm.设周期为T，则eq\f(T,2)＝0.5s，所以T＝1，所以f＝1Hz.(2)振子在1s内通过的距离为4A，故在5s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)．5s末物体处在B点，所以它的位移为0cm.【易错提醒】1.本题易出现以下两方面错误：(1)没有正确理解振幅的含义，且以为从B点到达C点就是运动了一个周期；(2)混淆了路程与位移的概念．2．在求解三角函数模型的简单应用时，常用正弦函数模型y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移与随时间x变化规律．其中：(1)A为振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移：(2)T＝eq\f(2π,ω)为周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)为频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．二、章节训练单选题1.已知点Ptanθ,sinθ是第三象限的点，则A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．【详解】因为点Ptanθ,sinθ是第三象限的点，所以故选：D．2.已知扇形的周长为6cm，面积为2 cm2，则该扇形的圆心角A．1或4 B．4 C．2或4 D．2【答案】A【分析】设扇形所在圆的半径为r，弧长为l，由题知2r+l=61【详解】解：设扇形所在圆的半径为r，弧长为l，由扇形的周长为6，面积为2，所以，2r+l=612lr=2，解得r=1由弧长公式l=αr，得α=l所以，当r=1，l=4时，可得α=4；当r=2，l=2时，可得α=1．以上均满足条件．所以，该扇形的圆心角α的弧度数为1或4.故选：A3.已知α是第二象限角，cosπ2+α=−5A．−512 B．−513 C．【答案】A【分析】化简cosπ2+α=−sinα=−513，可得【详解】∵cosπ2∵α是第二象限角，∴cosα=−12选：A．4.已知f(x)=sinx+cos2x，g(x)=−3sinx−m，若对任意的x∈R，A．5 B．5 C．94 D．【答案】B【分析】根据二倍角的余弦公式转化为对任意的x∈R，m≥2sin【详解】由题意知，对任意的x∈R，sinx+cos2x≥−3sinx−m令ℎ(x)=2sin∴当sinx=−1时，ℎ(x)max∴实数m的最小值为5．故选：B．5.要得到函数y=3sin2x的图象,只需将y=3sinA．向左平移π8个单位 B．向右平移πC．向左平移π4个单位 D．向右平移π【答案】B【分析】将y=3sin2x+π【详解】解:由题知y=3sin所以由y=3sin2x变到y=3sin故由y=3sin2x+π4变到故选:B6.已知sinxcosx=18A．2±154 B．54 C．3【答案】D【分析】由正余弦的二倍角公式，诱导公式结合已知条件即可求解.【详解】由二倍角公式可得：cos=1+2故选：D.7.将函数fx=sin2x的图象向左平移π3A．gx=sinC．gx=sin【答案】C【分析】利用三角函数的图象变换可求得函数gx【详解】由已知可得gx故选：C.8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与单位圆相交于点P−12,3A．12 B．−32 C．−【答案】C【分析】由已知利用任意角的三角函数求得cosα【详解】解：因为角α的终边与单位圆相交于点P−则cosα=−12故选：C．9.“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的（

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案.【详解】当θ为第一或第四象限角时，cosθ>0所以“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0当cosθ>0时，θ所以“θ为第一或第四象限角”不是“cosθ>0所以“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0故选：A10.若某扇形的弧长为π2，圆心角为π4，则该扇形的半径是（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先设出半径，然后利用扇形弧长公式求解即可.【详解】设该扇形半径为r，又∵圆心角α=π4，弧长∴扇形弧长公式l=αr可得，π2=π故选：B.11.已知函数f(x)=2sin2x+π6，对于任意的a∈−3,1A．7π12,C．π2,5【答案】D【分析】变形为函数gx=sin2x+π60<x≤m与y=【详解】对于任意的a∈−3,1等价于函数gx=sin因为a∈−3,1当0<x≤m时，2x+π画出函数y=sin要想满足要求，则2m+π6∈故选：D多选题12.设函数f(x)=cos2x+sinA．f(x)的最小正周期是πB．f(x)满足fC．f(x)在[a,b]上单调递减，那么b−a的最大值是πD．y=f(x)的图象可以由y=2cos2x【答案】AC【分析】首先化简f(x)=cos【详解】∵f(x)=对于选项A:T=2π对于选项B:ffπ即x=π4不是对于选项C:π2+2kπ≤2x+故减区间为π8+kπ,5π8+kπ，k∈Z对于D:y=2cos2xy=2故选：AC．13.下列结论正确的是（

）A．−7πB．若tanα=3C．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为D．若角α为锐角，则角2α为钝角【答案】AC【分析】选项A：利用诱导公式一即可判断；选项B：当α为锐角时即可判断；选项C：利用弧长和面积公式求解即可；选项D：当α=【详解】对于选项A：−7π对于选项B：当α为锐角时，cosα>0对于选项C：由题意知：设圆心角为θ，扇形的弧长为l，半径为r，则θ=π3,l=π所以该扇形面积为12故选项C正确；对于选项D：当α=45°时，故选：AC.14.已知θ∈0,π，sinθ+cosA．θ的终边在第二象限 B．cosC．tanθ=−34【答案】ACD【分析】对sinθ+cosθ=−15【详解】由sinθ+cosθ=−所以sinθ因为θ∈0,π，所以θ∈π所以A正确，由sinθ+cosθ=−15所以B错误，由sinθ=35故选：ACD15.已知函数f(x)=2sin2x−πA．f(x)的最小值为−2B．f(x)在0,πC．f(x)的图象关于点π8D．f(x)在π4,【答案】BD【分析】A选项，利用整体法，结合函数图象得到fx的最小值为−1B选项，求出2x−πC选项，将x=π8代入，可得到f(x)的图象关于点D选项，x∈π4,π2【详解】当2x−π4=2kπ−π2，k∈Z，即当x∈0,π4时，2x−π4∈−π4当x=π8时，f(π8)=2x∈π4,π2时，2x−π4∈πf(x)=2sin2x−π当2x−π4=π2，即x=故值域为2+1,3故选：BD填空题16.已知角α和角β的顶点为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若点P−4,3在角α终边上，角α终边绕原点逆时针旋转π2后与角β的终边重合，则cos【答案】−35【分析】根据三角函数的定义求α的正弦和余弦，由条件确定α,β的关系，结合诱导公式求cosβ【详解】α终边上一点坐标为−4,3，所以sinα=35由已知可得β=α+π所以cosβ=cosα+故答案为：−317.若扇形的圆心角为2弧度，弧长为4cm，则这个扇形的面积是cm【答案】4【详解】试题分析：设扇形的半径为R，则R=lα=42=2,所以扇形的面积是考点：1、扇形弧长公式；2、扇形面积公式．18.已知fx=sinx+2cosx，fx的最大值为，若【答案】55【分析】由辅助角公式化简函数解析式，求最大值和取最大值时sinα【详解】fx其中cosθ=则当x+θ=π2+2kπk∈当x=α时，fx取到最大值，则α+θ=π2故答案为：5；5519.写出一个周期为π且值域为0,2的函数解析式：．【答案】y=【分析】根据函数的周期性和值域，在三角函数中确定一个解析式即可．【详解】解：函数y=sin2x的周期为π，值域为[−1,则y=sin2x+1的值域为[0,故答案为：y=sin20.已知α的终边上有一点P1,3，则sinπ2【答案】25/【分析】根据三角函数的定义，得到tanα=3【详解】因为α的终边上有一点P1,3，可得则sinπ故答案为：25解答题21.如图，已知角α顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于点P−(1)分别求出sinα、cosα和(2)求cosπ【答案】(1)31010，−10(2)−【分析】（1）根据正弦函数、余弦函数、正切函数的定义进行求解即可；（2）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】（1）由三角函数定义知sinα=所以cosα=−tanα=（2）cosπ2=tanα+11−22.如图，点A、B在单位圆O上，点A的坐标为35,45，点B在第二象限，△AOB为正三角形，点（1）求sin∠COA（2）求cos∠COB【答案】（1）sin∠COA=45【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果．（2）由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和的余弦公式，计算求得结果．【详解】（1）因为A点的坐标为35可知sin∠COA=（2）根据三角函数定义知cos因为三角形AOB为正三角形，所以∠AOB=60°，所以cos=323.已知函数f(x)=23（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）用“五点法”画出f(x)在一个周期内的图象．【答案】（1）kπ−π【分析】（1）首先利用三角函数恒等变形，得到函数fx【详解】（1）∵f(x)=23sin令2kπ−π得kπ−π因此，函数y=f(x)的单调递增区间为kπ−π（2）列表如下：2x+0ππ3π2πx−π5π2π11πf(x)02020f(x)在一个周期内的图象如图所示：24.已知tanπ4−α(1)求sin2α−2(2)若β∈0,π2，且sin【答案】(1)2(2)α+β=【分析】（1）由两角差公式可得tanα=（2）根据题意可得3π【详解】（1）因为tanπ4−α所以sin2α−2（2）因为β∈0,π2则cos3π4所以tan3则tanα+β又因为α∈0,π4所以α+β=π25.已知函数f(x)=Asin(1)求函数fx(2)已知p(x)=cos(π−x)cosπ2【答案】(1)f(x)=2(2)6【分析】（1）根据最大值和最小值先求出A和B，根据图象与x轴的交点求出ω，再利用对称轴即可求出φ，进而求解解析式；（2）先利用诱导公式将p(x)化简，利用pα=1【详解】（1）由图象可知：A=3−(−1)2=2，B=3+(−1)2=1，由正弦函数的性质可知：T2=2π3−π6=π所以φ