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文档简介
2023-2024学年安徽省庐巢六校联盟高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系中,已知是圆上两个动点,且满足,设到直线的距离之和的最大值为,若数列的前项和恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()A. B. C. D.3.已知椭圆(a>b>0)与双曲线(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()A. B.C. D.4.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去社区,乙不去社区,则不同的安排方法种数为()A.8 B.7 C.6 D.55.在中所对的边分别是,若,则()A.37 B.13 C. D.6.函数的大致图象为A. B.C. D.7.将函数向左平移个单位,得到的图象,则满足()A.图象关于点对称,在区间上为增函数B.函数最大值为2,图象关于点对称C.图象关于直线对称,在上的最小值为1D.最小正周期为,在有两个根8.如图,在直三棱柱中,,,点分别是线段的中点,,分别记二面角,,的平面角为,则下列结论正确的是()A. B. C. D.9.设,则(
)A.10 B.11 C.12 D.1310.已知定义在上的偶函数满足,且在区间上是减函数,令,则的大小关系为()A. B.C. D.11.设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分不必要条件12.已知类产品共两件,类产品共三件,混放在一起,现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时,检测结束,则第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的T的值为________.14.已知一组数据,1,0,,的方差为10,则________15.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是_______.16.已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合,则双曲线的离心率为_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知公比为正数的等比数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.(12分)棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于311的为“长纤维”,其余为“短纤维”)纤维长度甲地(根数)34454乙地(根数)112116(1)由以上统计数据,填写下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.甲地乙地总计长纤维短纤维总计附:(1);(2)临界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)现从上述41根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为,求的分布列及数学期望.19.(12分)已知抛物线:,点为抛物线的焦点,焦点到直线的距离为,焦点到抛物线的准线的距离为,且.(1)求抛物线的标准方程;(2)若轴上存在点,过点的直线与抛物线相交于、两点,且为定值,求点的坐标.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心为(2,),半径为1的圆.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设M为曲线C1上的点,N为曲线C2上的点,求|MN|的取值范围.21.(12分)已知动圆过定点,且与直线相切,动圆圆心的轨迹为,过作斜率为的直线与交于两点,过分别作的切线,两切线的交点为,直线与交于两点.(1)证明:点始终在直线上且;(2)求四边形的面积的最小值.22.(10分)已知点,直线与抛物线交于不同两点、,直线、与抛物线的另一交点分别为两点、,连接,点关于直线的对称点为点,连接、.(1)证明:;(2)若的面积,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍,所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆,再通过此圆的圆心到直线距离,半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和,即可通过不等式来求解的取值范围.【详解】由,得,.设线段的中点,则,在圆上,到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍,点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,而圆的圆心到直线的距离为,,,..故选:【点睛】本题考查了向量数量积,点到直线的距离,数列求和等知识,是一道不错的综合题.2、B【解析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的,且按顺时针转所形成的角为负角,综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时,转过的角度为,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧度数为.故选:B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制,属于基础题.3、A【解析】
由题意可得,即,代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同,可得:,即,∴,可得,双曲线的渐近线方程为:,故选:A.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查方程思想和运算能力,属于基础题.4、B【解析】根据题意满足条件的安排为:A(甲,乙)B(丙)C(丁);A(甲,乙)B(丁)C(丙);A(甲,丙)B(丁)C(乙);A(甲,丁)B(丙)C(乙);A(甲)B(丙,丁)C(乙);A(甲)B(丁)C(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7种,选B.5、D【解析】
直接根据余弦定理求解即可.【详解】解:∵,∴,∴,故选:D.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形,属于基础题.6、A【解析】
因为,所以函数是偶函数,排除B、D,又,排除C,故选A.7、C【解析】
由辅助角公式化简三角函数式,结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式,结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数,则,将向左平移个单位,可得,由正弦函数的性质可知,的对称中心满足,解得,所以A、B选项中的对称中心错误;对于C,的对称轴满足,解得,所以图象关于直线对称;当时,,由正弦函数性质可知,所以在上的最小值为1,所以C正确;对于D,最小正周期为,当,,由正弦函数的图象与性质可知,时仅有一个解为,所以D错误;综上可知,正确的为C,故选:C.【点睛】本题考查了三角函数式的化简,三角函数图象平移变换,正弦函数图象与性质的综合应用,属于中档题.8、D【解析】
过点作,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【详解】解:因为,,所以,即过点作,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,设平面的法向量,则,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故选:D.【点睛】本题考查二面角的大小的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.9、B【解析】
根据题中给出的分段函数,只要将问题转化为求x≥10内的函数值,代入即可求出其值.【详解】∵f(x),∴f(5)=f[f(1)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=1.故选:B.【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值,属于基础题.10、C【解析】
可设,根据在上为偶函数及便可得到:,可设,,且,根据在上是减函数便可得出,从而得出在上单调递增,再根据对数的运算得到、、的大小关系,从而得到的大小关系.【详解】解:因为,即,又,设,根据条件,,;若,,且,则:;在上是减函数;;;在上是增函数;所以,故选:C【点睛】考查偶函数的定义,减函数及增函数的定义,根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程:设,通过条件比较与,函数的单调性的应用,属于中档题.11、A【解析】
试题分析:α⊥β,b⊥m又直线a在平面α内,所以a⊥b,但直线不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选A.考点:充分条件、必要条件.12、D【解析】
根据分步计数原理,由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率,不放回情况下第二次检测出类产品的概率,即可得解.【详解】类产品共两件,类产品共三件,则第一次检测出类产品的概率为;不放回情况下,剩余4件产品,则第二次检测出类产品的概率为;故第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为;故选:D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用,古典概型概率计算公式的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序,模拟程序的运行,即可得到答案.【详解】根据题中的程序框图可得:,执行循环体,,不满足条件,执行循环体,,此时,满足条件,退出循环,输出的值为.故答案为:【点睛】本题主要考查了程序和算法,依次写出每次循环得到的,的值是解题的关键,属于基本知识的考查.14、7或【解析】
依据方差公式列出方程,解出即可.【详解】,1,0,,的平均数为,所以解得或.【点睛】本题主要考查方差公式的应用.15、0.08【解析】
先求解这组数据的平均数,然后利用方差的公式可得结果.【详解】首先求得,.故答案为:0.08.【点睛】本题主要考查数据的方差,明确方差的计算公式是求解的关键,侧重考查数据分析的核心素养.16、【解析】
双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合,可得一条渐近线的斜率为1,即,即可求出双曲线的离心率.【详解】解:双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合,一条渐近线的斜率为1,即,,,故答案为:.【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查学生的计算能力,确定一条渐近线的斜率为1是关键,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)判断公比不为1,运用等比数列的求和公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的错位相减法求和,以及等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】解:(1)设公比为正数的等比数列的前项和为,且,,可得时,,不成立;当时,,即,解得(舍去),则;(2),前项和,,两式相减可得,化简可得.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,考查方程思想和运算能力,属于中档题.18、(1)在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.(2)见解析【解析】试题分析:(1)可以根据所给表格填出列联表,利用列联表求出,结合所给数据,应用独立性检验知识可作出判断;(2)写出的所有可能取值,并求出对应的概率,可列出分布列并进一步求出的数学期望.试题解析:(Ⅰ)根据已知数据得到如下列联表:甲地乙地总计长纤维91625短纤维11415总计212141根据列联表中的数据,可得所以,在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为,的可能取值为:1,1,2,3,,,,.∴的分布列为:1123∴.19、(1)(2)【解析】
(1)先分别表示出,然后根据求解出的值,则的标准方程可求;(2)设出直线的方程并联立抛物线方程得到韦达定理形式,然后根据距离公式表示出并代入韦达定理形式,由此判断出为定值时的坐标.【详解】(1)由题意可得,焦点,,则,,∴解得.抛物线的标准方程为(2)设,设点,,显然直线的斜率不为0.设直线的方程为联立方程,整理可得,,∴,∴要使为定值,必有,解得,∴为定值时,点的坐标为【点睛】本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题,难度一般.(1)处理直线与抛物线相交对应的定值问题,联立直线方程借助韦达定理形式是常用方法;(2)直线与圆锥曲线的问题中,直线方程的设法有时能很大程度上起到简化运算的作用。20、(1)C1:y2=1,C2:x2+(y﹣2)2=1;(2)[0,1]【解析】
(Ⅰ)消去参数φ可得C1的直角坐标方程,易得曲线C2的圆心的直角坐标为(0,2),可得C2的直角坐标方程;(Ⅱ)设M(3cosφ,sinφ),由三角函数和二次函数可得|MC2|的取值范围,结合圆的知识可得答案.【详解】(1)消去参数φ可得C1的普通方程为y2=1,∵曲线C2是圆心为(2,),半径为1的圆,曲线C2的圆心的直角坐标为(0,2),∴C2的直角坐标方程为x2+(y﹣2)2=1;(2)设M(3cosφ,sinφ),则|MC2|,∵﹣1≤sinφ≤1,∴1≤|MC2|,由题意结合图象可得|MN|的最小值为1﹣1=0,最大值为1,∴|MN|的取值范围为[0,1].【点睛】本题考查椭圆的参数方程,涉及圆的知识和极坐标方程,属中档题.21、(1)见解析(2)最小值为1.【解析】
(1)根据抛物线的定义,判断出的轨迹为抛物线,并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标,利用导数求得切线的方程,由此求得点的坐标.写出直线的方程,联立直线的方程和曲线的方程,根据韦达定理求得点的坐标,并由此判断出始终在直线上,且.(2)设直线的倾斜角为,求得的
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