2023-2024学年湘教版必修第二册 1-7平面向量的应用举例 学案

1．7平面向量的应用举例最新课程标准学科核心素养1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用．1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．(直观想象、逻辑推理)2．会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．(数学建模、数学运算)教材要点要点一向量在平面几何中的应用(1)线线平行问题：不重合的两条直线a，b平行⇔a∥b⇔a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(a，b为非零向量)．(2)线线垂直问题：两条直线a，b垂直⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)．(3)夹角问题：两个向量的夹角公式cosθ＝a·ba(4)线段的长度问题：向量模的公式|a|＝a·a＝要点二物理中的向量问题(1)力的问题力是既有大小，又有方向的量．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上，主要涉及的问题是力的合成与分解．(2)速度与位移问题速度、位移问题主要涉及合成与分解，其实就是向量的加减法，可以通过向量的线性运算来解决，也可借助坐标运算来求解．(3)功与动量问题物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．即W＝|F||s|cos〈F，s〉．功是一个实数，它可正、可负，也可为零．物理中的动量涉及物体的质量m，物体运动的速率v，因此动量的计算也是向量的数乘运算．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有AB·BC＝0.()(2)若AB∥CD，则直线AB与CD平行．()(3)物理学中的功是一个向量．()(4)速度、加速度与位移的合成和分解，实质上就是向量的加减运算．()2．在四边形ABCD中，若AB·BC＝0，BC＝AD，则四边形ABCD是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形3．若向量OF1＝1，1，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，FA．(5，0)B．(－5，0)C．5D．－54．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－3，2)，则AD·AC＝________．题型1平面向量在几何证明中的应用例1如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.方法归纳用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基；②用基表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题．(2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题．跟踪训练1已知点O，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，P依次是△ABC的()A．重心，垂心B．重心，内心C．外心，垂心D．外心，内心题型2平面向量在几何求值中的应用例2在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝1，AD＝2，若点P为边BC上的动点，则AP·PD的最大值为()A．12B．－C．－54方法归纳(1)用向量法求长度的策略①利用图形特点选择基，向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2(2)向量数量积、夹角的计算利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算．跟踪训练2(1)如图，已知|p|＝22，|q|＝3，p，q的夹角为π4，若AB＝5p＋2q，AC＝p－3q，D为BC的中点，则|AD(2)已知矩形ABCD，AB＝3，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，则∠EAC的大小为________.题型3向量在物理中的应用例3一条宽为3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝3km，船在水中的最大航速为4km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？方法归纳用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．跟踪训练3在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是()A．|G|＝|F1|＋|F2|B．当θ＝π2时，|F1|＝22|C．当θ角越大时，用力越省D．当|F1|＝|G|时，θ＝π易错辨析未将物理问题转化为向量问题致误例4一条河宽为8000m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________min.解析：因为v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20，|v2|＝12，所以|v实际|＝v12-因此所需时间t＝816故该船到达B处所需的时间为30min.答案：30易错警示易错原因纠错心得误将船在静水中的速度作为船的实际速度导致错误．船行驶的实际速度是船在静水中的速度与水速的合成，因此应借助平行四边形法则或三角形法则求出其实际速度，再解决相关问题．课堂十分钟1．在四边形ABCD中，若AB+CD＝0，AC·A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形2．已知作用在点A(1，1)的三个力分别为F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是()A．(8，0)B．(9，1)C．(－1，9)D．(3，1)3.已知边长为2的正六边形ABCDEF，连接BE，CE，点G是线段BE上靠近B的四等分点，连接GF，则GF·CE等于()A．－6B．－9C．6D．94．在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP＝OA+12(AB5．在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角∠BAC的余弦值．1．7平面向量的应用举例新知初探·课前预习[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：由BC＝AD知BC∥AD，且BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．由AB·BC＝0知AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形．答案：C3．解析：F1＋F2＝OF＝(－2，－1)．|F1＋F2|＝-22+-答案：C4．解析：∵AD＝12∴AD·AC＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3.答案：3题型探究·课堂解透例1证明：方法一设AD＝a，AB＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又因为DE＝DA+AE＝－a＋b2，AF＝AB+BF＝b＋a2，所以AF·DE＝b+a2·-a+b2＝-1故AF⊥DE，即AF⊥DE.方法二建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，1)，DE＝(1，－2)．因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF⊥DE，即AF⊥DE.跟踪训练1解析：∵|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O到三角形三个顶点的距离相等∴O是三角形的外心∵PA·PB＝PB·PC＝PC·PA∴PB·(PA-PC)＝0，PA·(∴PB⊥CA，PA∴P是△ABC的垂心．答案：C例2解析：如图，以B为原点，BA，BC所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系．作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，在△ADE中，因为AD＝2，所以AE＝1，DE＝3.在△CDF中，因为DF＝BE＝2，∠C＝60°，所以CF＝233，BC＝则A(1，0)，D(2，3)．设P(0，t)，0≤t≤53则AP＝(－1，t)，PD＝(2，3－t)，所以AP·PD＝－t2＋3t－2，当t＝32时，AP·PD取得最大值，且(AP·PD)max＝－5答案：C跟踪训练2解析：(1)由题意知2AD＝AB+因为AB＝5p＋2q，AC＝p－3q，所以2AD＝AB+AC＝6p－所以2|AD|＝|6p－q|＝36×所以|AD|＝152(2)如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(3，1)，E33AC＝(3，1)，AE＝33，1cos∠EAC＝AC·AE|AC||因为0<∠EAC<π2，所以∠EAC＝π答案：(1)152(2)例3解析：如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，|DE|＝|AC|＝2，|AD|＝4，∠AED＝90°，∴|AE|＝AD2-DE2＝23，又∵∴用时0.5h，易知sin∠EAD＝12.∴∠EAD∴该船实际航行速度大小为4km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5h．跟踪训练3解析：根据题意可得：G＝F1＋F2，则|G|＝|F1＋F2|＝F1+F22＝F12+F22+2F当θ＝π2时，|G|＝2F1|G|＝2F12+2又因行李包所受的重力为G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；当|F1|＝|G|时，即G＝2F12+2F12·又因θ∈(0，π)，所以θ＝2π答案：B[课堂十分钟]1．解析：由题可知AB∥CD，|AB|＝|CD|，且AC⊥BD，故四边形为菱形．答案：D2．解析：∵F＝(8，0)，∴终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1)．答案：B3．解析：方法一根据题意，BE＝2CD，GB＝－所以GF＝GB+BA+AF又CE＝CD+DE，且∠所以GF·CE＝12CD+DE＝12CD2＋＝2＋32×2×2×1方法二以点F为原点，线段EF所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则F(0，0)，E(2，0)，B(0，23)，C(2，23)，BE＝(2，－23)，CE＝(0，－23)，EF＝(－2，0)，GF＝GE+EF＝34故GF·CE＝－332×(－2答案：D4．解析：∵