高考数学大二轮复习 第1部分 专题8 选考系列 第2讲 不等式选讲练习-人教版高三数学试题

第一部分专题八第二讲不等式选讲A组1．已知函数f(x)＝|x－2|－|2x－a|，a∈R.(1)当a＝3时，解不等式f(x)>0；(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)<0，求a的取值范围．[解析](1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x，x>2，,5－3x，\f(3,2)≤x≤2，,x－1，x<\f(3,2).))当x>2时，1－x>0，即x<1，此时无解；当eq\f(3,2)≤x≤2时，5－3x>0，即x<eq\f(5,3)，解得eq\f(3,2)≤x<eq\f(5,3)；当x<eq\f(3,2)时，x－1>0，即x>1，解得1<x<eq\f(3,2).∴不等式解集为{x|1<x<eq\f(5,3)}．(2)2－x－|2x－a|<0⇒2－x<|2x－a|⇒x<a－2或x>eq\f(a＋2,3)恒成立．∵x∈(－∞，2)，∴a－2≥2，∴a≥4.2．(2018·南宁二模)设实数x，y满足x＋eq\f(y,4)＝1.(1)若|7－y|<2x＋3，求x的取值范围．(2)若x>0，y>0，求证：eq\r(xy)≥xy.[解析](1)根据题意，x＋eq\f(y,4)＝1，则4x＋y＝4，即y＝4－4x，则由|7－y|<2x＋3，可得|4x＋3|<2x＋3，即－(2x＋3)<4x＋3<2x＋3，解得－1<x<0.(2)x>0，y>0，1＝x＋eq\f(y,4)≥2eq\r(x·\f(y,4))＝eq\r(xy)，即eq\r(xy)≤1，eq\r(xy)－xy＝eq\r(xy)(1－eq\r(xy))，又由0<eq\r(xy)≤1，则eq\r(xy)－xy＝eq\r(xy)(1－eq\r(xy))≥0，即eq\r(xy)≥xy.3．(2018·西安二模)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a)．(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域．(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值．[解析](1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|>7；①当x>2时，得x＋1＋x－2>7，解得x>4；②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x>7，无解；③当x<－1时，得－x－1－x＋2>7，解得x<－3；所以函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．(2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8；因为x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3；又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8解集是R；所以a＋8≤3，即a≤－5.所以a的最大值为－5.4．设函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若关于x的不等式f(x)≥ax＋1恒成立，试求实数a的取值范围．[解析](1)由于f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋3，x≤－1，,－x＋5，－1<x≤2，,3x－3，x>2，))则函数y＝f(x)的图象如图所示．(2)当x＝2时，f(2)＝3.当直线y＝ax＋1过点(2,3)时，a＝1.由函数y＝f(x)与函数y＝ax＋1的图象知，当且仅当－3≤a≤1时，函数y＝f(x)的图象没有在函数y＝ax＋1的图象的下方，因此f(x)≥ax＋1恒成立时，a的取值范围为[－3，1]．B组1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.(1)解不等式f(x)>0；(2)已知关于x的不等式a＋3<f(x)恒成立，求实数a的取值范围．[解析](1)∵f(x)＝|2x＋1|－|x－3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≥3，,3x－2，－\f(1,2)≤x<3，,－x－4，x<－\f(1,2).))∴不等式f(x)>0化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4>0，,x≥3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2>0，,－\f(1,2)≤x<3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－4>0，,x<－\f(1,2).))∴x<－4或x>eq\f(2,3)，即不等式的解集为(－∞，－4)∪(eq\f(2,3)，＋∞)．(2)∵f(x)min＝－eq\f(7,2)，∴要使a＋3<f(x)恒成立，只要a＋3<－eq\f(7,2)，∴a<－eq\f(13,2).2．已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－a|，a∈R.(1)当a＝0时，解关于x的不等式f(x)>4；(2)若∃x∈R，使得不等式|x－3|＋|x－a|<4成立，求实数a的取值范围．[分析](1)按x＝0和3分段讨论或利用绝对值的几何意义求解．(2)∃x∈R，使不等式f(x)<4成立，即f(x)的最小值小于4.[解析](1)由a＝0知原不等式为|x－3|＋|x|>4当x≥3时，2x－3>4，解得x>eq\f(7,2).当0≤x<3时，3>4，无解．当x<0时，－2x＋3>4，解得x<－eq\f(1,2).故解集为{x|x<－eq\f(1,2)或x>eq\f(7,2)}．(2)由∃x∈R，|x－3|＋|x－a|<4成立可得，(|x－3|＋|x－a|)min<4.又|x－3|＋|x－a|≥|x－3－(x－a)|＝|a－3|，即(|x－3|＋|x－a|)min＝|a－3|<4.解得－1<a<7.3．(2018·临川二模)已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a(1)若f(1)<3，求实数a的取值范围．(2)若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.[解析](1)因为f(1)<3，所以|a|＋|1－2a①当a≤0时，得－a＋(1－2a解得a>－eq\f(2,3)，所以－eq\f(2,3)<a≤0；②当0<a<eq\f(1,2)时，得a＋(1－2a)<3，解得a>－2，所以0<a<eq\f(1,2)；③当a≥eq\f(1,2)时，得a－(1－2a)<3，解得a<eq\f(4,3)，所以eq\f(1,2)≤a<eq\f(4,3)；综上所述，实数a的取值范围是(－eq\f(2,3)，eq\f(4,3))．(2)因为a≥1，x∈R，所以f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|(x＋a－1)－(x－2a)|＝|3a4．(2018·安徽江南十校3月模拟)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记不等式f(x)>－1的解集为M.(1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与eq\f(1,a)的大小．[解析](1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≤0，,3x－1，0<x<\f(1,2)，,－x＋1，x≥\f(1,2)，))由f(x)>－1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x－1>－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)，,3x－1>－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,－x＋1>－1，))解得0<x<2，故M＝{x|0<x<2}．(2)由(1)，知0<a<2，因为a2－a＋1－eq\f(1,a)＝eq\f(a3－a2＋a－1,a)＝eq\f(a－1a2＋1,a)，当0<a<1时，eq\f(a－1a2＋1,a)<0，所以a2－a＋1<eq\f(1,a).当a＝1时，e