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文档简介
2024届湖北省武汉市江夏一中数学高二下期末联考试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一物体做直线运动,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s=5t-t2,则该物体在A.-1m/s B.1m2.命题“对任意的,”的否定是A.不存在, B.存在,C.存在, D.对任意的,3.“a>1”是“函数f(x)=ax-sinx是增函数”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数f(x)与它的导函数f'(x)的大致图象如图所示,设g(x)=f(x)exA.15 B.25 C.35.点的直角坐标化成极坐标为()A. B. C. D.6.正三角形ABC的边长为2,将它沿高AD翻折,使点B与点C间的距离为,此时四面体ABCD外接球表面积为()A. B. C. D.7.是第四象限角,,则等于()A. B.C. D.8.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为A. B. C. D.9.已知函数,的图象过点,且在上单调,的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合,若存在两个不相等的实数,满足,则()A. B. C. D.10.设集合,则()A. B. C. D.11.在三棱锥中,平面,,,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.12.抛物线的准线方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则____14.的展开式中,的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)15.函数且的图象所过定点的坐标是________.16.在产品质量检验时,常从产品中抽出一部分进行检查.现从98件正品和2件次品共100件产品中,任选3件检查,恰有一件次品的抽法有__________种.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数f(x)=,求函数f(x)的单调区间.18.(12分)某农场灌溉水渠长为1000m,横截面是等腰梯形ABCD(如图),,其中渠底BC宽为1m,渠口AD宽为3m,渠深.根据国家对农田建设补贴的政策,该农场计划在原水渠的基础上分别沿AD方向加宽、AB方向加深,若扩建后的水渠横截面仍是等腰梯形,且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为hm,若挖掘费为ah2元/m3,扩建后的水渠的内壁AB1,C1D1和渠底B1C1铺设混凝土费为3a元/m2.(1)试用h表示渠底B1C1的宽,并确定h的取值范围;(2)问:渠深h为多少时,可使总建设费最少?(注:总建设费为挖掘费与铺设混凝土费之和)19.(12分)已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且,求直线的斜率的取值范围;20.(12分)球O的半径为R,A﹑B﹑C在球面上,A与B,A与C的球面距离都为,B与C的球面距离为,求球O在二面角B-OA-C内的部分的体积.21.(12分)已知函数(且,e为自然对数的底数.)(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)若函数只有一个零点,求a的值.22.(10分)为发展业务,某调研组对,两个公司的产品需求量进行调研,准备从国内个人口超过万的超大城市和()个人口低于万的小城市随机抽取若干个进行统计,若一次抽取个城市,全是小城市的概率为.(1)求的值;(2)若一次抽取个城市,则:①假设取出小城市的个数为,求的分布列和期望;②若取出的个城市是同一类城市,求全为超大城市的概率.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】
先对s求导,然后将t=3代入导数式,可得出该物体在t=3s时的瞬时速度。【题目详解】对s=5t-t2求导,得s'因此,该物体在t=3s时的瞬时速度为-1m/s,故选:A。【题目点拨】本题考查瞬时速度的概念,考查导数与瞬时变化率之间的关系,考查计算能力,属于基础题。2、C【解题分析】
注意两点:1)全称命题变为特称命题;2)只对结论进行否定.“对任意的,”的否定是:存在,选C.3、A【解题分析】
先由函数fx=ax-sinx为增函数,转化为f'【题目详解】当函数fx=ax-sinx为增函数,则则a≥cos因此,“a>1”是“函数fx=ax-sin【题目点拨】本题考查充分必要条件的判断,涉及参数的取值范围,一般要由两取值范围的包含关系来判断,具体如下:(1)A⊊B,则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;(2)A⊋B,则“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件;(3)A=B,则“x∈A”是“x∈B”的充要条件;(4)A⊄B,则则“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件。4、B【解题分析】
结合图象可得到f'(x)-f(x)<0成立的x的取值范围,从而可得到g(x)【题目详解】由图象可知,y轴左侧上方图象为f'(x)的图象,下方图象为对g(x)求导,可得g'(x)=f'(x)-f(x)ex,结合图象可知x∈(0,1)和x∈(4,5)时,f'(x)-f(x)<0,即g(x)在0,1和【题目点拨】本题考查了函数的单调性问题,考查了数形结合的数学思想,考查了导数的应用,属于中档题.5、D【解题分析】
分别求得极径和极角,即可将直角坐标化为极坐标.【题目详解】由点M的直角坐标可得:,点M位于第二象限,且,故,则将点的直角坐标化成极坐标为.本题选择D选项.【题目点拨】本题主要考查直角坐标化为极坐标的方法,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、C【解题分析】分析:三棱锥的三条侧棱,底面是等腰三角形,它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球,求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离,就是球的半径,然后求球的表面积即可.详解:根据题意可知三棱锥的三条侧棱,底面是等腰三角形,它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球,求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离,就是球的半径,三棱柱中,底面,,,的外接圆的半径为,由题意可得:球心到底面的距离为.球的半径为.外接球的表面积为:.故选:C.点睛:考查空间想象能力,计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点,到三棱柱顶点的距离相等,说明中心就是外接球的球心,是本题解题的关键,仔细观察和分析题意,是解好数学题目的前提.7、B【解题分析】
∵α是第四象限角,∴sinα<0.∵,∴sinα=,故选B.8、D【解题分析】试题分析:设的中点为,连接,易知即为异面直线与所成的角,设三棱柱的侧棱与底面边长为,则,由余弦定理,得,故选D.考点:异面直线所成的角.9、A【解题分析】
由图像过点可得,由的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合,可知,结合在上单调,从而得到,由此得到的解析式,结合图像,即可得到答案。【题目详解】因为的图象过点,则,又,所以.一方面,的图象向左平移单位后得到的图象与原函数图象重合,则,即,化简可知.另一方面,因为在上单调,所以,即,化简可知.综合两方面可知.则函数的解析式为,结合函数图形,因为,当时,,结合图象可知则,故选A.【题目点拨】本题主要考查正弦函数解析式的求法,以及函数图像的应用,考查学生的转化能力,属于中档题。10、B【解题分析】分析:首先求得A,B,然后进行交集运算即可.详解:求解函数的定义域可得:,由函数的定义域可得:,结合交集的定义可知:.本题选择B选项.点睛:本题主要考查函数定义域的求解,交集的运算法则及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、C【解题分析】
先求出的外接圆的半径,然后取的外接圆的圆心,过作,且,由于平面,故点为三棱锥的外接球的球心,为外接球半径,求解即可.【题目详解】在中,,,可得,则的外接圆的半径,取的外接圆的圆心,过作,且,因为平面,所以点为三棱锥的外接球的球心,则,即外接球半径,则三棱锥的外接球的表面积为.故选C.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法,考查了学生的空间想象能力,属于中档题.12、D【解题分析】根据题意,抛物线y=4x2的标准方程为x2=,其焦点在y轴正半轴上,且p=,则其准线方程为y=﹣;故选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解题分析】
去括号化简,令虚部为0,可得答案.【题目详解】,故答案为4.【题目点拨】本题主要考查了复数的乘法运算以及复数为实数的等价条件.14、【解题分析】因为,所以令,解得,所以=15,解得.考点:本小题主要考查二项式定理的通项公式,求特定项的系数,题目难度不大,属于中低档.15、【解题分析】
由知,解出,进而可知图象所过定点的坐标【题目详解】由可令,解得,所以图象所过定点的坐标是【题目点拨】本题考查对数函数的性质,属于简单题.16、9506【解题分析】分析:事情分两步完成,先从2件次品中选一件有种方法,再从98件正品里选两件有种方法,根据乘法分步原理即得恰有一件次品的抽法的总数.详解:事情分两步完成,先从2件次品中选一件有种方法,再从98件正品里选两件有种方法,根据乘法分步原理得恰有一件次品的抽法的总数为种.故答案为:9506.点睛:本题主要考查排列组合的应用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,0),(0,1]【解题分析】
先求出f(x)的导数f′(x),令f′(x)=0,得出零点.讨论零点两侧导数正负即可解出答案(注意定义域)【题目详解】解:f′(x)=-ex+ex=ex,由f′(x)=0,得x=1.因为当x<0时,f′(x)<0;当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.所以f(x)的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,0),(0,1].【题目点拨】本题主要考察利用导数求函数单调区间,属于基础题.18、(1),h的取值范围;(2)1m【解题分析】
(1)通过前后面积是两倍关系可计算出扩建后的面积,通过梯形面积公式可找出关系式,于是可得答案;(2)找出总建设费用关于h的函数,利用导函数求出极值,于是可得答案.【题目详解】(1)设,由于,原来的横截面面积,故扩建后的面积为,扩建后,可列方程为:,化简整理得到,而,故,故渠底B1C1的宽为,h的取值范围;(2)由(1)可表示,故,因此总建设费用为:,令,则,当时,,当时,,故在处取得极小值,故总建设费用最小为,即渠深h为时,可使总建设费最少.【题目点拨】本题主要考查函数的实际应用,意在考查学生的转化能力,分析能力,计算能力,逻辑推理能力,难度中等.19、(1)(2)【解题分析】分析:(1)利用离心率,点在曲线上,列出的方程.(2)联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出,的关系式,利用向量关系式,列出关于斜率的不等式,解出取值范围.详解:(1)设椭圆的方程为:,由已知:得:,,所以,椭圆的方程为:.(2)由题意,直线斜率存在,故设直线的方程为由得由即有即有解得综上:实数的取值范围为点睛:求参数的取值范围,最终落脚点在于计算直线与曲线的交点坐标的关系式.根据题目的条件,转化为,关系的式子是解题的关键.20、【解题分析】
先求出二面角B-AO-C的平面角,再根据比例关系求出球O在二面角B-OA-C内的部分的体积。【题目详解】解:A与B,A与C的球面距离都为,,BOC为二面角B-AO-C的平面角,又B与C的球面距离为,BOC=,球O夹在二面角B-AO-C的体积是球的六分之一即为【题目点拨】先求出二面角B-AO-C的平面角,再根据比例关系求出球O在二面角B-OA-C内的部分的体积。21、(1)(2)【解题分析】
(1)代入,得,所以,求出,由直线方程的点斜式,即可得到切线方程;(2)分和两种情况,考虑函数的最小值,令最小值等于0,即可得到a的值.【题目详解】解:(1)当时,,,,∴切线方程为;(2),,令,得,1)当时,,x-0+极小值所以当时,有最小值,.因为函数只有一个零点,且当和时,都有,所以,即,因为当时,,所以此方程无解.2)当时,,x-0+极小值所以当时,有最小值,.因为函数只有一个零点,且当和时,都有,所以,即()(*),设(),则,令,得,当时,;当时,;所以当时,,所以方程(*)有且只有一解.综上,时函数只有一个零点.【题目点拨】本题主要考查在曲线上一点的切线方程的求法,以及利用导数研究含参函数的零点问题,考查学生的运算求解能力,体现了分类讨论的数学思想.22、(1)8;(2)①分布列见解析,;②.【解题分析】
(1)先由题意,得到共个城市,取出2个的方法总数是,其中全是小城市的情况有,由题中数据,得到,求解,即可得出结果;(2)①先由题意,
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