小学六年级奥数典型题测试卷（二十）含答案与解析

精编小学六年级奥数典型题测试卷（二十）

最佳对策问题

（考试时间：100分钟试卷满分：100分）

班级姓名学号分数

一.选择题（共5小题，满分13分）

1.（2分）小明和小亮玩取牌游戏，一共有39张牌，小明和小亮轮流取牌，每次最多取5张牌，最少取1

张牌，谁取到最后一张牌谁就获胜，小明先取牌，为了获胜，小明必须先取（）张牌.

A.2B.3C.4

2.（2分）两个同学玩游戏，他们按以下规则轮流在黑板上写数.规则：①每人每次各选一个从1到10中

的数字轮流写在黑板上；

②不能写已写在黑板上的数的约数；如：黑板上写着“9”的话，以后不能写1、3、9.③不能弃权不写.最

后，没数可写的人失败.在这个游戏中，如果巧妙地选数的话，先写的人必胜.那么最先写（）才

能必胜.

A.6或8B.5或7C.3或5D.4或6

3.（2021•迎春杯）甲乙二人进行下面的游戏.二人先约定一个整数N,然后由甲开始，轮流把1,2,3,4,

5,6,7,8,9这九个数字之一填入下面任一方格中：□□□□□□,每一方格只填入一个数字，形成

一个数字可以重复的六位数.若这个六位数能被N整除，乙胜；否则甲胜.当N小于15时，使得乙有

必胜策略的代有（）

A.5B.6C.7D.8

4.（2021•迎春杯）甲、乙两人玩拿火柴棍游戏，桌上共有10根火柴棍，谁取走最后一根谁胜.甲每次可

以取走1根、3根或4根（只能取恰好的数量，如果最后剩2根火柴棍，甲只能取1根），乙每次可以取

1根或2根.如果甲先取，那么甲为了取胜，第一次应（）

A.取1根B.取3根

C.取4根D.无论怎么取都无法获胜

5.牧童骑牛赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛需过河，四头牛分别需要1分钟、2分钟、5分钟、6分

钟.如果牧童每次只能赶两头牛过河，且返回须骑牛，则将四头牛全部赶到对岸至少需要多少分钟？

（）

A.12B.13C.14D.15

二.填空题（共12小题，满分32分）

6.（2分）（2021•学而思杯）甲、乙两人玩井字棋游戏，轮流在一个3X3的方格棋盘内画符号，甲画“O”

先走，乙画“X”后走，谁能将棋盘的一整行，一整列或一整条对角线的3个格都画上自己的符号，谁

就赢.如果前4步甲乙所下位置如图1所示，那么甲下一步应该下在号位置（位置编号如图2

所示），才能保证必胜.

1

7.（2分）（2019•迎春杯）桌子上有两堆棋子，分别有12粒和28粒，甲乙两人轮流从其中的一堆里取出若

千粒，不能同时在两堆里都取，也不能不取，且取出的棋子数必须是另一堆棋子数的约数，取到最后1

粒者为胜，如果甲先取，那么，采用正确的策略必胜.（填甲或乙）

8.（2分）有13根火柴，甲、乙两人轮流取，每次只能取1根或2根，谁取到最后一根火柴谁就赢，如果

让甲先取，为了确保获胜，甲第一次应该取根火柴.

9.（2分）（2020•其他模拟）61根小棒，两人轮流拿，规定每人每次至少拿1根，最多拿3根，直到拿完

为止，谁拿到最后一根，谁就获胜.如果甲先拿，甲第一次要拿根小棒，才能保证获胜.

10.（2021•华罗庚金杯模拟）甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定每人每次只能写一个数,

并禁止写黑板上数的约数，最后不能写者败.若甲先写，并欲胜，则甲的写法是.

11.（2021•走美杯）在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人每次

可以选择某一木格中的任意数目的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当所有小球全部

移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜.面对如图所示的局面（每个木格

中的数字代表小球的数目，木格下方的数字表示木格编号），先手必胜策略，那么，为确保获胜，先手第

一步应该移动号木格中的个小球.

I小I”I

3210

12.（2021•其他杯赛）蓝猫和淘气玩玻璃球游戏，有50个小格排成1排，把玻璃球放在左边第一个小格中，

蓝猫和淘气轮流移动玻璃球，每次移动，可以将玻璃球向右移动1个小格或者2个小格，将玻璃球恰好

移到最右边的第50个小格的获胜.如果蓝猫先移动，有必胜策略.

13.（2020•其他模拟）两人做一种游戏：轮流报数，报出的数不能超过8（也不能是0）,把两个人报出

的数连加起来，谁报数后，加起来的数是88（或88以上的数），谁就获胜.如果让你先报，就一定会赢,

那么你第一个数应该报.

14.一堆火柴共100根，甲先乙后轮流每次取1〜5根，规定谁取到最后一根火柴就获胜.如果双方都各用

最佳方法，甲第一次取根才能获胜.

15.（2021•走美杯）在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人每次

可以选择某一木格中的任意数目（至少1个）的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当

所有小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜.

面对如图所示的局面（格中的数字代表小球的数目，木格下方的数字表示木格编号），先手有必胜策略,

那么，为确保获胜，先手第一步应该移动号木格中的个小球.

265

3210

16.（2021•其他杯赛）有两堆石子，一堆11个，另一堆13个，记为（11,13）,甲乙双方从里面取石子，

规则如下：从一堆中可以取任意个石子；从两堆中必须取相同个数的石子，不能不取.谁先取到最后一

颗谁获胜，现在，甲先取，那么当甲第一次取成时，甲必胜.

17.（2020•奥林匹克）奥斑马和小泉一起玩游戏：有2021个棋子，两人轮流取棋子，每次必须取其中2个、

4个或8个，谁最后把棋子取完，就算获胜.先取的人有一个必胜的办法.如果你先取，那么第一次取

个，方有必胜的办法.

三.解答题（共12小题，满分55分）

18.（4分）桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1〜3根，且取最后一根者为赢.问：

先取者如何拿才能保证获胜？

19.（4分）一堆火柴40根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜.每人每次可以拿1至3根，不许

不拿，乙让甲先拿.问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么策略？

20.（4分）1987粒棋子.甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最

后一粒的为胜者.现在两人通过抽签决定谁先取.你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能

取胜？

21.（4分）老两口带着儿子、女儿和一条狗去走亲戚，途中要过一条小河，渡口有一条空船，最多能载60

千克，而老两口各重60千克，儿子和女儿各重30千克，狗重10千克.请问他们怎么样才能全部渡过河

去？

22.（4分）（2021•华罗庚金杯）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每

个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）.这样继续操作下去，完成第5次操作后得到

若干个小三角形纸板.甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂

色，谁最后涂完谁赢.在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢.

23.（5分）有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人

为输.如果甲先取，那么谁将获胜？

24.（5分）有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取,

谁取到最后一枚棋子谁获胜.如果甲后取，那么他一定能获胜吗？

25.（5分）（2020•迎春杯）桌上有一堆糖果共13颗，小明和小刚轮流取糖果，小明先取，每次取的糖果数

不超过3颗，不能不取，取完为止，当糖果被取完时，取得糖果总数为偶数的人获胜，问：谁有必胜策

略？请说明理由.

26.（5分）（2021•其他模拟）有分别装了88,99个玻璃球的两个箱子，两人轮流在任意的箱子中取任意的

球数，规定是一次只能在一个箱子中取球，不能一个不取，取到最后球的人为输，你能给出方案吗？

27.（5分）（2021•春蕾杯）梅川分校四（2）班举行取桔子游戏，两位同学轮流把100只桔子从筐内取出.规

定每人每次至少取走1只，最多取走5只，直至把筐内的桔子取完，谁取到筐内剩下的最后一只桔子谁

获胜.请你写出取桔子获胜的方法（步骤）.

28.（5分）（2020•奥林匹克）一堆计数卡片分别写着2,3,4,5,…，2020.甲先从中抽走1张，然后乙

再从中抽走1张，如此轮流下去.如果最后的2张上的数是互质数时，甲胜；如果最后剩下的2个数不

是互质数时，乙胜.甲想要获胜有几种抽取方法？各应该怎样抽取卡片？

29.（5分）黑板上写着一排相连的自然数1,2,3,…，51.甲、乙两人轮流划掉连续的3个数.规定在

谁划过之后另一人再也划不成了,谁就算取胜.问：甲有必胜的策略吗？

参考答案

一.选择题（共5小题，满分13分）

1.（2分）小明和小亮玩取牌游戏，一共有39张牌，小明和小亮轮流取牌，每次最多取5张牌，最少取1

张牌，谁取到最后一张牌谁就获胜，小明先取牌，为了获胜，小明必须先取（）张牌.

A.2B.3C.4

【分析】因每次最多取5张牌，最少取1张牌，所以小明和小亮每次最多只能取1+5=6张，39+6=6

（次）…3（张），只要小明先取3张，然后再看小亮每次取几张牌，只要每次与小亮所取牌数和满足是

6,就能取胜.

【解答】解：39+6=6（次）…3（张）

只要小明先取3张，然后再看小亮每次取几张牌，只要每次与小亮所取牌数和满足是6,就能取胜.

故选:B.

2.（2分）两个同学玩游戏，他们按以下规则轮流在黑板上写数.规则：①每人每次各选一个从1到10中

的数字轮流写在黑板上；

②不能写已写在黑板上的数的约数；如：黑板上写着“9”的话，以后不能写1、3、9.③不能弃权不写.最

后，没数可写的人失败.在这个游戏中，如果巧妙地选数的话，先写的人必胜.那么最先写（）才

能必胜.

A.6或8B.5或7C.3或5D.4或6

【分析】甲先写6,由于6的约数有1,2,3,6.接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10.把这6

个数分成三组：（4,7）、（5,8）、（9,10）,当然也可（4,5）、（8,10）、（7,9）或（4,9）、（5,7）、

（8,10）等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，由此即可找到最佳对策.

如果甲先写8,由于8的约数有I,2,4,8.接下来乙可以写的数只有3、5、6,7、9、10.把这6个

数分成三组：（3,5）、（6,7）、（9,10）,当然也可（6,5）、（9,10）、（7,3）或（3,10）、（5.7）、

（9,5）等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，由此即可找到最佳对策.

【解答】解：甲先写6,由于6的约数有1,2,3,6,

接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10,

把这6个数分成三组：（4,7）、（5,8）、（9,10）,

当然也可（4,5）、（8,10）、（7,9）或（4,9）,（5,7）、（8,10）等等，

只要组内两数大数不是小数的倍数即可，

如果甲先写8,由于8的约数有I,2,4,8.接下来乙可以写的数只有3、5、6,7、9、10.把这6个

数分成三组：（3,5）、（6,7）、（9,10）,当然也可（6,5）、（9,10）、（7,3）或（3,10）、（5,7）、

（9,5）等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，

这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，

故选：A.

3.（2021•迎春杯）甲乙二人进行下面的游戏.二人先约定一个整数N,然后由甲开始，轮流把1,2,3,4,

5,6,7,8,9这九个数字之一填入下面任一方格中：□□□□□□,每一方格只填入一个数字，形成

一个数字可以重复的六位数.若这个六位数能被N整除，乙胜；否则甲胜.当N小于15时，使得乙有

必胜策略的代有（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】若N是偶数，甲只需第一次在个位填个奇数，乙必败只需考虑N是奇数.分类讨论，可得结论.

【解答】解：若N是偶数，甲只需第一次在个位填个奇数，乙必败只需考虑N是奇数.

N=l,显然乙必胜.

N=3,9,乙只需配数字和1-8,2-7,3-6,4-5,9-9即可.

N=5,甲在个位填不是5的数，乙必败.

N=7,11,13,乙只需配成abcabc=W^X1001=病乂7><11X13,

故选：B.

4.（2021•迎春杯）甲、乙两人玩拿火柴棍游戏，桌上共有10根火柴棍，谁取走最后--根谁胜.甲每次可

以取走1根、3根或4根（只能取恰好的数量，如果最后剩2根火柴棍，甲只能取1根），乙每次可以取

1根或2根.如果甲先取，那么甲为了取胜，第一次应（）

A.取1根B.取3根

C.取4根D.无论怎么取都无法获胜

【分析】无论甲怎么走，乙只要让最后火柴棒剩两根，甲这时只能取1根，乙胜.在这之前只要保证火

柴剩下5根，甲取1根，则乙取2根，剩2根，乙胜；或者甲取3根，乙取2根，乙胜；或者甲取4根,

乙取1根，乙胜.所以甲无论怎么取都无法获胜.

【解答】解：无论甲怎么走，乙只要让最后火柴棒剩两根，甲这时只能取1根，乙胜；

在这之前只要保证火柴剩下5根，甲取1根，则乙取2根，剩2根，乙胜；

或者甲取3根，乙取2根，乙胜；或者甲取4根，乙取1根，乙胜.

所以甲无论怎么取都无法获胜.

故选：D.

5.牧童骑牛赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛需过河，四头牛分别需要1分钟、2分钟、5分钟、6分

钟.如果牧童每次只能赶两头牛过河，且返回须骑牛，则将四头牛全部赶到对岸至少需要多少分钟？

（）

A.12B.13C.14D.15

【分析】先骑1分钟的，带着2分钟的过去，用时2分；然后骑一分钟的回来，用时1分；然后骑5分

钟的带着6分钟的过去，用时6分；然后骑2分钟的回来，用时2分；最后骑着1分钟带着2分钟的过

去，用时2分；一共13分钟.

【解答】解:2+1+6+2+2—13（分钟）；

答：将四头牛全部赶到对岸至少需要13分钟.

故选：B.

二.填空题（共12小题，满分32分）

6.（2分）（2021•学而思杯）甲、乙两人玩井字棋游戏，轮流在一个3X3的方格棋盘内画符号，甲画“O”

先走，乙画“X”后走，谁能将棋盘的一整行，一整列或一整条对角线的3个格都画上自己的符号，谁

就赢.如果前4步甲乙所下位置如图1所示,那么甲下一步应该下在号位置（位置编号如图2所示），

才能保证必胜.

12

【分析】因为左上角已经有两个"X"，所以甲下一步应该下在1号位置，否则要被乙杀死，只要甲下在

1号位置，不论乙下一步下在何处，甲都可以下在3或4的位置双杀，乙都挡不住.

【解答】解：根据分析可得，

因为左上角已经有两个“X”，甲不得不走1,此时3或4的位置甲可以双杀，乙都挡不住.

答：甲下一步应该下在1号位置，才能保证必胜.

故答案为：I.

7.（2分）（2019•迎春杯）桌子上有两堆棋子，分别有12粒和28粒，甲乙两人轮流从其中的一堆里取出若

干粒，不能同时在两堆里都取，也不能不取，且取出的棋子数必须是另--堆棋子数的约数，取到最后1

粒者为胜，如果甲先取，那么，甲采用正确的策略必胜.（填甲或乙）

【分析】甲先从28中取出4个，变成12和24,之后每次不论乙取N个，甲都取2N个，最后肯定是甲

赢.

【解答】解：因为24是12的倍数，所以只要甲先从24粒里取出4粒，然后乙开始取，乙无论取出几粒，

中只要取出的是乙的2倍即可.

故只要甲采取该办法一定获胜.

故答案为：甲.

8.(2分)有13根火柴，甲、乙两人轮流取，每次只能取1根或2根，谁取到最后一根火柴谁就赢，如果

让甲先取，为了确保获胜，甲第一次应该取1根火柴.

【分析】因为每人每次可拿走其中的1至2根，所以只要甲先拿1根，乙无论再是拿1根还是2根，甲

再拿时拿的根数和乙的根数和起来是3,则保证甲获胜.

【解答】解:因为，13+3=4-1,

所以，甲先拿1根，乙如果拿1根，甲就拿2根；乙如果拿2根，甲就拿1根，

即甲再拿时拿的根数和乙的根数加起来是3,

所以，甲一定取到最后1根而获胜，

故答案为：1.

9.(2分)(2020•其他模拟)61根小棒，两人轮流拿，规定每人每次至少拿1根，最多拿3根，直到拿完

为止，谁拿到最后一根，谁就获胜.如果甲先拿，甲第一次要拿1根小棒,才能保证获胜.

【分析】614-(1+3)=15-1,先取者可获胜，如果甲先取1根，每次两人取的数量和为4,然后结合

余数制定策略即可.

【解答】解：先取者可获胜，如果甲先取，

甲获胜的策略：614-(1+3)=15-1,

甲先取1根，则余下的根数为4的倍数，如果乙取〃?根(机＜5),则甲取根，甲乙共取了4根，

余下的根数仍为4的倍数.

如此反复，直至余下的根数为4根后，乙再取了若干根后，甲就可全部取光，甲就可获胜.

答：甲第一次要拿1根小棒，才能保证获胜.

故答案为：1.

10.(2021•华罗庚金杯模拟)甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定每人每次只能写一个数，

并禁止写黑板上数的约数，最后不能写者败.若甲先写，并欲胜，则甲的写法是甲先把(4,5),(7,

9),(8,10)分组，先写出6,则乙只能写4,5,7,8,9,10中一个，乙写任何组中一个，甲则写另

一个•

【分析】甲先写6,由于6的约数有1,2,3,6.接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10.把这6

个数分成三组：(4,7)、(5,8)、(9,10),当然也可(4,5)、(8,10)、(7,9)或(4,9)、(5,7)、

(8,10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，由此即可找到最佳对策.

【解答】解：甲先写6,由于6的约数有1,2,3,6,

接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10,

把这6个数分成三组：(4,7)、(5,8)、(9,10),

当然也可(4,5)、(8,10)、(7,9)或(4,9)、(5,7)、(8,10)等等，

只要组内两数大数不是小数的倍数即可，

这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，

答：甲先把(4,5),(7,9),(8,10)分组，先写出6,则乙只能写4,5,7,8,9,10中一个，乙写

任何组中一个，甲则写另一个.

故答案为：甲先把(4,5),(7,9),(8,10)分组，先写出6,则乙只能写4,5,7,8,9,10中一个,

乙写任何组中一个，甲则写另一个.

11.(2021•走美杯)在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人每次

可以选择某一木格中的任意数目的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当所有小球全部

移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜.面对如图所示的局面(每个木格

中的数字代表小球的数目，木格下方的数字表示木格编号)，先手必胜策略，那么，为确保获胜，先手第

一步应该移动1号木格中的2个小球.

口♦I”I

3210

【分析】由题意可知，这个游戏的题的策略是奇数性的利用，由图可知，3号格和1号格里的球数不相

同，要确保获胜，先手必须先要取成3号格和1号格里的球数相同，所以先手必须将1号格中的2个小

球移入0号格，后手无论怎么移，都会导致这两格球数不一样，先手只须保持两格一样即可最后获胜；

据此解答即可.

【解答】解：由图可知，3号格和I号格里的球数不相同，要确保获胜，先手必须先要取成3号格和1

号格里的球数相同，所以先手必须将1号格中的2个小球移入0号格，后手无论怎么移，都会导致这两

格球数不一样，先手只须保持两格一样即可最后获胜.所以为确保获胜，先手第一步应该移动1号木格

中的2个小球.

故答案为：1,2.

12.(2021•其他杯赛)蓝猫和淘气玩玻璃球游戏，有50个小格排成1排，把玻璃球放在左边第一个小格中，

蓝猫和淘气轮流移动玻璃球，每次移动，可以将玻璃球向右移动1个小格或者2个小格，将玻璃球恰好

移到最右边的第50个小格的获胜.如果蓝猫先移动，蓝猫有必胜策略.

【分析】共50个小格，说明只能移动49格，蓝猫先移动1格后，剩下的格子数为48,接下来若淘气移

动1格蓝猫就移动2格，淘气移动2格蓝猫就移动1个，最后剩3格，即可取胜.

【解答】解：蓝猫先移动1格后，剩下的格子数为48,接下来若淘气移动1格蓝猫就移动2格，淘气移

动2格蓝猫就移动1个，最后剩3格，无论淘气怎么移动，蓝猫都能把玻璃球移到最右边的第50个小格.

故填：蓝猫.

13.（2020•其他模拟）两人做一种游戏：轮流报数，报出的数不能超过8（也不能是0）,把两个人报出

的数连加起来，谁报数后，加起来的数是88（或88以上的数），谁就获胜.如果让你先报，就一定会赢,

那么你第一个数应该报」

【分析】根据游戏规则得出谁报数后使和为88,谁就获胜，进而分析得出，谁先报7,谁就获胜.于是

得出先报者的取胜对策为：先报7,以后若对方报K（/WKW8）,你就报（9-K）这样一定获胜.

【解答】解：因为每人每次至少报1,最多报8,所以当某人报数之后，另一人必能找到一个数，使此数

与某所报的数之和为9.

依照规则，谁报数后使和为88,谁就获胜，于是可推知，谁报数后和为79（=88-9）,谁就获胜.88=9

X9+7,

依此类推，谁报数后使和为16,谁就获胜.进一步，谁先报7,谁就获胜.

于是得出先报者的取胜对策为：先报7,以后若对方报K（/WKW8）,你就报（9-K）.

这样，当你报第10个数的时候，就会取得胜利.

答：第一个数应该报7.

故答案为：7.

14.一堆火柴共100根，甲先乙后轮流每次取1〜5根，规定谁取到最后一根火柴就获胜.如果双方都各用

最佳方法，甲第一次取4根才能获胜.

【分析】这个问题可以倒着推：100减去4,还剩下96,正好是6的倍数；所以先拿的那个人要想取胜，

需要先拿4根，如果另一个拿1根，先拿的就拿5根，若另一个拿2根，先拿的那个人就拿4根，即始

终保持每一轮两个人拿走的根数和是6,即可保证先拿的那个人取胜.

【解答】解：如果让甲先拿，主动权在甲，甲先拿4根，无论另一个人怎么拿，始终保持每一轮两个人

拿走的根数和是6,就能保证我必胜.

答：甲第一次取4根才能获胜.

故答案为:4.

15.（2021•走美杯）在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人每次

可以选择某一木格中的任意数目（至少1个）的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当

所有小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜.

面对如图所示的局面（格中的数字代表小球的数目，木格下方的数字表示木格编号），先手有必胜策略,

那么，为确保获胜，先手第一步应该移动号1木格中的3个小球.

265

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【分析】第一次从1号格中移3个球到0号格.这样就变成了（2）（6）（2）（）,以后无论后手方怎

么移，先手都必胜.

【解答】解：第一次从1号格中移3个球到0号格.这样就变成了（2）（6）（2）（）,以后无论后手

方怎么移，先手都必胜.

这时后手有三种移动情况：

［情况1和情况2］如果后手方从3号格（1号格）移几个球，那么先手方都从1号格（3号格）移相同数

目的球；

［情况3］如果后手方移2号格中的球，无论后手移动几个球，先手就从1号格中移动相同数目的球；一直

这样移下去，只要后手方有球可移，先手方就一定有球可移，这样先手方必胜.

16.（2021•其他杯赛）有两堆石子，一堆11个，另一堆13个，记为（11,13）,甲乙双方从里面取石子，

规则如下：从一堆中可以取任意个石子；从两堆中必须取相同个数的石子，不能不取.谁先取到最后一

颗谁获胜，现在，甲先取，那么当甲第一次取成（3,5）或（8,13）时,甲必胜.

【分析】如果两堆中取相同的个数，则两堆的石头能保持差不变，因此不妨考虑（0,2）的情况，从而

推出（0,a）（其中aWO）的均不是最佳状态：若一堆中可以取任意个石子，则可以考虑（1,6）的情

况对结果的影响.

【解答】解：我们把取成（加，〃）时，获胜或者有必胜策略的状态记为☆,

显然（0,0）是食，

那么（0,a）或者（a,a）（其中aWO）的均不是众，

当取成（1,2）时，下一步只能变成（0,2）,（1,1）,（0,1）,且这三个都不是食，则（1,2）是食，

那么（1,匕）或（2,c）（其中cWl）,或者差为1的均不是众，

同理（3,5）不能变成（0,0）,（1,2）,故（3,5）是☆.

依此类推，（0,0）、（1,2）、（3,5）、（4,7）、（6,10）（8,13）均是☆,

而甲第一次取，若是根据取相同的个数，则取成（3,5）,

若是取一堆的任意数，则取成（8,13）,

故答案为（3,5）或（8,13）.

17.（2020•奥林匹克）奥斑马和小泉一起玩游戏：有2021个棋子，两人轮流取棋子，每次必须取其中2个、

4个或8个，谁最后把棋子取完，就算获胜.先取的人有一个必胜的办法.如果你先取，那么第一次取

4个,方有必胜的办法.

【分析】当奥斑马取走几个后，接下来如果小泉取2个或8个，则奥斑马取4个；如果小泉取4个，则

奥斑马取2个或8个；这样就能保证取走的个数始终是6的倍数.无论小泉怎样取，奥斑马都有得取.所

以只要奥斑马先取走儿个后剩下的个数是6的倍数即可.

【解答】解:

2021+6=335.......4

故答案为：4.

三.解答题（共12小题，满分55分）

18.（4分）桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1〜3根，且取最后一根者为赢.问：

先取者如何拿才能保证获胜？

【分析】30+（1+3）=7-2,有余数，先取者可获胜，如果甲先取2根，每次两人取的数量和为4,然

后结合余数制定策略即可.

【解答】解：304-（1+3）=7-2

先取者可获胜，如果甲先取，

甲先取2根，则余下的根数为4的倍数，如果乙取，"根5<5）,则甲取（4-M根，甲乙共取了4根,

余下的根数仍为4的倍数.

如此反复，直至余下的根数为4根后，乙再取了若干根后，甲就可全部取光，甲就可获胜.

答：先取者第一次要拿2根小棒，才能保证获胜.

19.（4分）一堆火柴40根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜.每人每次可以拿1至3根，不许

不拿，乙让甲先拿.问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么策略？

【分析】只要保证最后一轮剩下的是4根，那么最后取的那个人就能获胜，由此即可推理得出正确答案.

【解答】解：40是4的倍数，那么如果让甲先取，后取的人就能保证每次取得的和都是4,

即：如果甲取1,那么乙取3,甲取2乙取2,甲取3乙取1,保证每一轮所取的小棒根数都是4,

这样最后一轮就剩下4根，无论甲取几根，乙都是能取到最后一根，乙能获胜；

所以后取的人保证每一轮所取的小棒根数都是4根才能保证获胜.

20.（4分）1987粒棋子.甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最

后一粒的为胜者.现在两人通过抽签决定谁先取.你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能

取胜？

【分析】因为每人每次可取1〜4粒，所以一定能保证两人所拿的和是5,而19874-（1+4）=377……2,

所以要想取胜，就要先取2粒，然后看另一个人拿几粒，与他每个回合凑5粒.

【解答】解：1987+（1+4）=377.......2

答：先取胜，先取先取2粒，然后看另一个人拿几粒，与他每个回合凑5粒.

21.（4分）老两口带着儿子、女儿和一条狗去走亲戚，途中要过一条小河，渡口有一条空船，最多能载60

千克，而老两口各重60千克，儿子和女儿各重30千克，狗重10千克.请问他们怎么样才能全部渡过河

去？

【分析】老两口只能单独过河；儿子女儿可以同时过河；儿子（或女儿）可以带着狗过河，此外还要考

虑船一定要有人划回来才行；据此解答即可.

【解答】解：由于30+30（千克），

所以老两口只能单独过，而子女能同乘•条船过河，由此可按如下方案过河：

1、让儿子和女儿一块过去，

2、女儿或儿子把船划回来，另一人留在岸边；

3、让老两口把船渡过去，对岸剩下的那个子女把船划回来，这样重复2次：这时儿子和女儿又同时回来

了；

4、然后让女儿或儿子带着狗把船划过去，把狗留下，然后再划回来；

5、最后两个子女再同时划船到对面，这样四个人和狗就可以安全渡过小河了.

22.（4分）（2021•华罗庚金杯）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每

个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）.这样继续操作下去，完成第5次操作后得到

若干个小三角形纸板.甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂

色，谁最后涂完谁赢.在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢.

【分析】根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到4X4=16个小正三角形；第三

次操作后得到4X4X4=64个小正三角形；…继而第5次操作后得到4X4X4X4X4=1024个小三角

形.首先理解题意，谁先涂谁并且获胜，甲要先涂，利用甲所涂小三角形的个数均为10减去乙所涂三角

形个数解答此题即：甲先涂1个，以后当乙涂〃个时，甲涂11个，据此即可解答问题.

【解答】解：4X4X4X4X4=1024（个）

10244-(10+1)=93-1

甲先涂，由于余1,所以甲先涂1个张，乙再涂〃（1W.W10）张，接着甲涂走（11-”）个；

以后每次在乙涂后，甲所涂的个数均为11减去乙所涂数之差；

最后都得给甲剩下1〜10个，

这样，甲就能最后涂剩下的所有小三角形.

23.（5分）有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人

为输.如果甲先取，那么谁将获胜？

【分析】因为每人每次至少取一个，最多取5个，所以一定能保证两人所拿的和是6,而1999+（1+5）

=1999<-6=333-1,所以甲先拿1个，然后看乙拿几个，甲拿的球数与乙拿的和是6,甲一定胜利.

【解答】解：1999+（1+5）

=1999+6

=333........1

答：甲先拿1个，然后看乙拿几个，甲拿的球数与乙拿的和是6,甲一定胜利.

24.（5分）有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，

谁取到最后一枚棋子谁获胜.如果甲后取，那么他一定能获胜吗？

【分析】后取者必胜，方法是：乙在一堆中取后剩几枚，甲就在另一堆取使其剩相同枚数.什么时候乙

把一堆取净了，那甲就把另一堆取净，里面就包括最后一枚；据此解答即可.

【解答】解：甲的获胜方法是：乙在一堆中取后剩几枚，甲就在另一堆取使其剩相同枚数.

什么时候乙把一堆取净了，那甲就把另一堆取净，里面就包括最后一枚；这样甲一定能获胜.

25.（5分）（2020•迎春杯）桌上有一堆糖果共13颗，小明和小刚轮流取糖果，小明先取，每次取的糖果数

不超过3颗，不能不取，取完为止，当糖果被取完时，取得糖果总数为偶数的人获胜，问：谁有必胜策

略？请说明理由.

【分析】当小明先取1个的时候，接下去无论小刚怎么取，如果小刚两次取的都是单数，那么小明就要

想办法使剩下的糖果数是4,让小刚取，这样无论小刚取，小明都有办法使小刚取到奇数个；如果小刚

两次取的都是偶数，小明的处理方式相同，还是使余下的糖果数为4.如果小刚取的两次是一个奇数和

一个偶数，那小明要想办法使余下的糖果数为5,这样无论小刚怎样取，小明都有办法使小刚从5个当

中取到偶数个.

【解答】解:

小明必胜，小明先取第一颗糖果.

取的顺①②③④⑤⑥⑦⑧结果

序

小明1113小明赢

小刚331

小明1111小明赢

小刚3321

小明133余4个，取法同上小明赢

小刚11

小明131余4个，取法同上小明赢

小刚13

小明113余4个，取法同上小明赢

小刚22

小明1131小明匾

小刚213

小明1133小明赢

小刚2111

小明1133小明赢

小刚22

小明131余5个，取法同上小明赢

小刚12

小明I1I余5个，取法同上小明赢

小刚23

小明111余5个，取法同上小明赢

小刚32

26.（5分）（2021•其他模拟）有分别装了88,99个玻璃球的两个箱子，两人轮流在任意的箱子中取任意的

球数，规定是一次只能在一个箱子中取球，不能一个不取，取到最后球的人为输，你能给出方案吗？

【分析】由题意，要想获胜