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1.5.1数量积的定义及计算新知初探·课前预习题型探究·课堂解透新知初探·课前预习

a||b|cos〈a，b〉a⊥b

|b|cosα|a|cosα

b·aa·c＋b·c基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两向量的数量积仍是一个向量．(

)(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cosθ＞0⇔a·b＞0.(

)(3)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(

)(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(

)×√××

答案：A

答案：D

题型探究·课堂解透题型1向量数量积的计算角度1向量数量积的计算例1

已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．

解析：(1)a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos120°＝－3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.方法归纳求向量的数量积的方法求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量的数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简，使问题转化为两个单一向量的数量积，再用数量积公式计算．

答案：C

答案：B

2

方法归纳求投影向量的方法(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量．(2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cosθ·e计算．

答案：C

(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为________．

题型3向量数量积的应用角度1求两向量的夹角例4已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为________．

答案：A解析：由题意，向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－1，又由|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×1＋22＋4×(－1)＝4，所以|2a＋b|＝2.

方法归纳向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．

2

(2)设向量e1，e2为单位正交基，若a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，且a⊥b，则k＝________．2

易错辨析忽视向量共线的特殊情况出错例7设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．

易错警示易错原因纠错心得若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负，反之不成立．所以解题时注意结论的应用．课堂十分钟1．已知a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(

)A．4B．3C．2D．0答案：B解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×|a|2－a·b＝2×12－(－1)

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