三十讲双曲线

第三十讲双曲线一、引言：（一）本节的地位：圆锥曲线是中学教学的核心内容，又是学习高等数学的基础知识，所以它是高考的重点内容，在高考试卷中一般会有一道有关圆锥曲线的解答题，并且椭圆、双曲线、抛物线出现的几率大体相当.1（二）考试大纲要求：通过本节的学习理解双曲线的定义、掌握双曲线的标准方程，知道双曲线的有关几何性质，能利用双曲线的概念、标准方程和几何性质解决相关问题并进一步理解坐标思想.本节重点：了解双曲线的标准方程及其几何性质、进一步理解坐标法；难点是综合应用概念性质解决问题．2（三）考情分析：与椭圆一样，有关双曲线的题目一般会出一道大题或小题.在选择题或填空题中主要考查对概念的理解和灵活运用、基本量的求解以及几何性质的应用，解答题一般为中档题或难题，往往与函数、导数、不等式、数列等知识综合考查，主要考查推理能力及数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想.高考考查的题目的类型：对概念的考查、基本量及几何性质的考查、求曲线方程、突出几何特征的考查、参数范围问题等.3二、考点梳理1．双曲线第一定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距．2．双曲线第二定义：平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做双曲线．定点叫双曲线焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数叫双曲线离心率．43．双曲线的标准方程与几何性质：5,,,67

例1

设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点.若，则 （）三、典型例题选讲

（一）考查双曲线的概念A．1或5B．6C．7D．9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出的值.8解：双曲线渐近线方程是y=由已知渐近线为，归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.，，，

故选C..9（二）基本量求解例2(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.B.5C.D.解析：双曲线的一条渐近线为,由方程组10消去y,得有唯一解,所以△=,所以归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有惟一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.，，故选D11例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()A.B.2C.D.解析：设切点，则切线的斜率为.由题意有,

又，12解得:.

因此选C.

13例4（2009江西）设和为双曲线（）的两个焦点,若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A．B．C．D．2解析：由有则,故选B.归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出,体现数形结合的思想.314（三）求曲线的方程例5（2009北京）已知双曲线的离心率为，右准线方程为.（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.分析：（1）由已知条件列出的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值.15解（1）由题意，得，解得，∴，∴所求双曲线C的方程为.（2）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为.16

由得.（判别式）,∴∵点在圆上∴∴，，..1718

归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、中点弦等知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．19例6

过的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程．分析：求过定点的直线方程，只需要求出它的斜率．为此可设其斜率是,利用M为弦的中点，即可求得的值，由此写出直线的方程．也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解．20解法一：显然直线不垂直于轴，设其斜率是，则方程为．由消去得21设，由于M为弦的中点，所以，所以．显然，当时方程①的判别式大于零，所以直线的方程为，即．22又因为，所以．解法二：设，则②－③得23若则，由得，．则点都不在双曲线上，与题设矛盾，所以．所以．所以直线的方程为，即．经检验直线符合题意，故所求直线为．24解法三：设，由于关于点M（1，1）对称，所以的坐标为，则消去平方项，得．④即点的坐标满足方程④，同理点的坐标也满足方程④．故直线的方程为．归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在．25（四）轨迹问题例7

已知点为双曲线（b为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.求线段的中点P的轨迹的方程.分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等,本题注意到点是线段的中点，可利用相关点法.26解：由已知得,则直线的方程为:,令得,即,设,则,即代入得.27即点P的轨迹的方程为.归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法.28例8（2006江西卷）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（）6B.7C.8D.9（五）突出几何性质的考查29分析：双曲线的两个焦点与恰好是两圆的圆心，欲使的值最大，当且仅当最大且最小，由平面几何性质知，点在线段的延长线上，点是线段与圆的交点时所求的值最大，此时所以选D.30例9（2009重庆）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．（1）求该双曲线的方程；（2）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标.31分析：（1）比较基础，利用条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将转化为其它线段，再利用不等式的性质求解.解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为.设，由准线方程为32

得，由得.解得从而，该双曲线的方程为.33（2）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，，所以.因为B是圆上的点，其圆心为，半径为1，故，从而.34当在线段CD上时取等号，此时的最小值为.

直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故.由方程组解得.所以M点的坐为.归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想.35（六）开放性问题例10

已知双曲线C的中心是原点，右焦点为Ｆ，一条渐近线m:,设过点A

的直线的方向量．(1)求双曲线C的方程；(2)若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；(3)证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为.36分析：前两问是基本问题，比较简单，第三问开放性问题，可根据图形的几何特征求解．解:（1）设双曲线C的方程为

,解得，双曲线C的方程为．（2）直线，直线．由题意，得，解得．37（3）证：设过原点且平行于l的直线．则直线l与b的距离当时，，