清华大学微积分高等数学课件第7讲定积分二

汇报人：AA2024-01-24清华大学微积分高等数学课件第7讲定积分二引言定积分的计算定积分的应用广义积分定积分的近似计算课程总结与回顾01引言本讲内容概述010203定积分在几何、物理等方面的应用定积分的性质及其证明定积分的计算方法和技巧定积分的概念与性质回顾01定积分的定义及几何意义02定积分的性质，包括线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等定积分与不定积分的关系，以及微积分基本定理的应用0302定积分的计算公式表述若函数f(x)在[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx=F(b)-F(a)。应用举例通过求解原函数，利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分。定义与性质牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的基本方法，它将定积分转化为原函数在积分区间端点处的函数值之差。牛顿-莱布尼茨公式换元积分法是一种通过变量代换简化定积分计算的方法。定义与性质设函数f(x)在[a,b]上连续，若存在可导函数g(t)，使得x=g(t)，且g(α)=a，g(β)=b，则∫f(x)dx=∫f[g(t)]g'(t)dt。公式表述通过选择合适的变量代换，将复杂的定积分转化为简单的形式进行计算。应用举例换元积分法定义与性质分部积分法是一种将两个函数的乘积的定积分转化为单个函数的定积分的方法。公式表述设函数u=u(x)，v=v(x)在[a,b]上连续，且u'，v'在[a,b]上可积，则∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|ab-∫u'(x)v(x)dx。应用举例通过选择合适的u和v，将复杂的定积分转化为简单的形式进行计算。分部积分法03020103定积分的应用规则图形面积通过定积分可以方便地计算矩形、三角形、梯形等规则图形的面积。不规则图形面积对于不规则图形，可以通过将其划分为若干个小规则图形，然后利用定积分分别计算每个小图形的面积，最后求和得到总面积。曲线围成的面积对于由曲线围成的图形，可以通过定积分计算曲线与坐标轴围成的面积。面积的计算旋转体体积通过定积分可以计算由平面图形绕某一直线旋转一周所形成的旋转体的体积。液体静压力定积分还可以用于计算液体对容器底部的静压力。截面面积已知的立体体积对于截面面积已知的立体，可以通过定积分计算其体积。体积的计算平面曲线弧长通过定积分可以计算平面曲线的弧长，需要知道曲线的参数方程或普通方程。空间曲线弧长对于空间曲线，同样可以利用定积分计算其弧长，需要知道曲线的参数方程或普通方程。曲率半径与弧长关系曲率半径与弧长之间存在一定的关系，可以通过定积分求解相关问题。弧长的计算04广义积分要点三定义设函数$f(x)$在区间$[a,+infty)$上连续，取$A>a$，若极限$lim_{Ato+infty}int_{a}^{A}f(x)dx$存在，则称此极限为函数$f(x)$在区间$[a,+infty)$上的无穷限广义积分，记作$int_{a}^{+infty}f(x)dx$。要点一要点二性质无穷限广义积分具有线性性、可加性和保号性。计算方法通过换元法或分部积分法将无穷限广义积分转化为定积分进行计算。要点三无穷限广义积分定义设函数$f(x)$在区间$(a,b]$上除点$cin(a,b]$外连续，且在点$c$的任一邻域内无界。若对任意的$epsilon>0$，存在$delta>0$，当$0<|x-c|<delta$时，有$|f(x)|>frac{1}{epsilon}$，则称函数$f(x)$在点$c$处无界。若极限$lim_{epsilonto0^+}int_{a}^{b}|f(x)|dx$存在，则称此极限为函数$f(x)$在区间$(a,b]$上的无界函数广义积分，记作$int_{a}^{b}f(x)dx$。性质无界函数广义积分具有线性性、可加性和保号性。计算方法通过分段函数或取绝对值等方法将无界函数广义积分转化为定积分进行计算。无界函数广义积分广义积分具有线性性、可加性、保号性、绝对可积性和比较性质等。性质对于不同类型的广义积分，可以采用不同的计算方法。例如，对于无穷限广义积分和无界函数广义积分，可以采用换元法、分部积分法、分段函数法和取绝对值等方法进行计算。同时，也可以利用广义积分的性质和定理进行简化和计算。计算方法广义积分的性质与计算05定积分的近似计算优点计算简单，易于理解。缺点精度较低，尤其当函数在积分区间内波动较大时，误差较大。定义将积分区间划分为若干个小区间，每个小区间上的函数值用矩形的高来近似表示，再求和得到定积分的近似值。矩形法梯形法当函数在积分区间内存在剧烈波动或拐点时，误差可能较大。缺点将积分区间划分为若干个小区间，每个小区间上的函数值用梯形的面积来近似表示，再求和得到定积分的近似值。定义相对于矩形法，精度有所提高，尤其当函数在积分区间内变化较为平缓时，效果较好。优点定义01将积分区间划分为若干个小区间，每个小区间上的函数值用辛普森公式（一种二次插值多项式）来近似表示，再求和得到定积分的近似值。优点02相对于矩形法和梯形法，精度更高，尤其当函数在积分区间内较为光滑时，效果非常好。缺点03计算相对复杂，需要计算更多的函数值；当函数在积分区间内存在剧烈波动或拐点时，误差可能较大。辛普森法06课程总结与回顾定积分的定义与性质详细解释了定积分的概念，包括其几何意义和物理意义，以及定积分的基本性质，如可加性、保号性等。微积分基本定理介绍了微积分基本定理，该定理揭示了微分与积分之间的内在联系，为定积分的计算提供了有效的方法。定积分的计算讲解了定积分的计算方法，包括换元法、分部积分法等，并通过举例说明了这些方法的应用。本讲重点总结误区一认为定积分就是求面积。实际上，定积分的几何意义是求曲边梯形的面积，但定积分的应用远不止于此，它还可以用来求解一些物理问题，如求变速直线运动的路程、变力做功等。误区二忽视定积分的存在性。在计算定积分时，需要注意被积函数在积分区间上是否可积，否则计算结果可能无意义。疑难解答对于一些复杂的被积函数，可能需要综合运用多种计算方法才能求出其定积分。此时，可以尝试将被积函数进行分解或变换，以便更好地应用已知的积分公式和法则。常见误区与疑难解答课后习题与讨论计算定积分∫[0,π]sin(x)dx。该题旨在巩固学生对定积分计算方法的掌握程度，通过换元法或分部积分法均可求解。习题二讨论定积